大學入學考試中心 102學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占76分） 一、單選題（占24分）
說明：第1題至第4題，每題有五個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，各題答對者，得6分；答錯、未作答或書記多於一個選項者，該題以零分計算。 1. 設z 為一複數，且一個選項？ （1）
z -2
=i
（其中i 為虛數單位）。試問z 的絕對值z 為下列哪z +2
1 （2
（3）1 （4
（5）2 22. 坐標平面上，直線x =2分別交函數y =log 10x 、y =log 2x 的圖形於R 、S 兩點。試問四邊形PQSR 的面積最接近下列哪一個選項？（log 102=0.3010） （1）10 （2）11 （3）12 （4）13 （5）14
3. 袋中有大小相同編號1到8號的球各一個。小明自袋中隨機一次取出兩球，設隨機變數X 的值為取出兩小球中的較小號碼。若p k 表X 取值為k 的機率（k =1,2, ⋅⋅⋅,8），試問有幾個
1p k 的值大於？
5
（1）1個 （2）2個 （3）3個 （4）4個 （5）5個
⎡0⎢4. 考慮所有由1、2、3、4、5、6各一個與三個0所排成如c ⎢⎢⎣e
方陣。今隨機選取這樣一個方陣，試問其行列式值c
a 0
f
b ⎤d ⎥⎥對角線均為0的三階o ⎥⎦
a 0
f
b
d 為奇數的幾率為下列哪一個選0
e
項？ （1）
111919 （2） （3） （4） （5） 201021020
二、多選題（占40分）
說明：第5題至第9題，每題有五個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
5. 令A(-2，0) 、B(0，1) 、C(2，1) 、D(4，3) 為座標平面上四點。請選出正確的選項。 （1）恰有一條直線通過A 、B 、C 三點 （2）恰有一圓通過A 、B 、D 三點
（3）恰有一個二次多項式函數的圖形通過B 、C 、D 三點 （4）恰有一個三次多項式函數的圖形通過A 、B 、C 、D 四點 （5）可找到兩平行直線，其聯集包含A 、B 、C 、D 四點
6. 設c 為實數，E 1、E 2、E 3皆為座標空間中的平面，其方程式如下：
E 1:cx +y =c E 2:cy +z =0E 3:x +cz =1
已知E 1、E 2、E 3有一個交點的z 座標為1，請選出正確的選項。 （1）（1,0,0）是E 1、E 2、E 3的一個交點 （2）E 1、E 2、E 3有無窮多個交點 （3）E 1、E 2、E 3中一定有兩個平面重合 （4）c =1
（5）E 1、E 2、E 3有一個交點的z 座標為2
7. 令f (x )=x -x -2x +1。設a 、b 、c 為方程式f (x )=0的三個實根，且a
3
2
請選出正確的選項。 （1）極限lim
x →1
f (x )x -1
存在
（2）a 、b 、c 至少有一個在0與1之間 （3）a , a , a , ⋅⋅⋅, a , ⋅⋅⋅為收斂數列 （4）b , b , b , ⋅⋅⋅, b , ⋅⋅⋅為收斂數列 （5）c , c , c , ⋅⋅⋅, c , ⋅⋅⋅為收斂數列
8. 考慮函數f (x )=sin x +cos x ，其中x 為任意實數。請選出正確的選項。 （1）f (-x )=f (x )對所有實數x 成立
2
3
n
2
3
n
2
3
n
（2）f
（3）f 的最小值為0
（4）f
⎛π⎫⎛π⎫
>f ⎪ ⎪ 10⎝⎭⎝9⎭
（5）函數f 的（最小正）週期為π
9. 考慮向量u =(a , b ,0)、v =(c , d ,1)，其中a 2+b 2=c 2+d 2=1 。請選出正確的選項。
（1）向量v 與z 軸正向的夾角互為定值（與c 、d 之值無關）
（2）u ⋅v 。
（3）u 與v 夾角的最大值為135
（4）ad -bc 的值可能為
（5）u ⨯v
5 4
三、選填題
說明：每題完全答對給6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A . 設A 、B 、C 、D 為空間中四個相異點，且直線CD 垂直平面ABC 。已知
4
A B =B C =C D =10, s i n ∠A B , 且∠ABC 為銳角，則AD (化成最簡
5
根式)
B . 設m 為實數，若圓x 2+y 2+4x -7y +10=0與直線y =m (x +3)在座標平面上的兩個
交點位於不同的象限，而滿足此條件的m 之最大範圍為a
第貳部分：非選擇題（占24分）
一、設p (x )為一實係數多項式，其各項係數均大於或等於0。在座標平面上，已知對所有的t ≥1，函數y =p (x )、y =-1-x 2的圖形與直線x =1、x =t 所圍成有界區域的面積為
t 4+t 3+t 2+t +C (其中C 為常數) 。
（1）試說明p (x )>-1-x 2對所有的x ≥1均成立。（2分） （2）設t ≥1，試求
（3分） ⎰(-1-x )dx 。
2
1t
（3）試求C 。（2分） （4）試求p (x )。（5分）
二、設A (1,0)、B (0,1)為座標平面上兩點，C 為直線AB 外一點。經平面線性變換M 作
、B
被映射至B - , 而C 被映射至C 。 用後，A
被映射至A （1）試問變換M 的矩陣為何？（4分）
（2）試證明變換M 將∆ABC 的重心映射至∆A B C 的重心。（4分） （3）若∆ABC 的面積為3，試求點C 與直線A B 的距離。（4分）
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參考答案
大學入學考試中心 102學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占76分） 一、單選題（占24分）
說明：第1題至第4題，每題有五個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，各題答對者，得6分；答錯、未作答或書記多於一個選項者，該題以零分計算。 1. 設z 為一複數，且一個選項？ （1）
z -2
=i
（其中i 為虛數單位）。試問z 的絕對值z 為下列哪z +2
1 （2
（3）1 （4
（5）2 22. 坐標平面上，直線x =2分別交函數y =log 10x 、y =log 2x 的圖形於R 、S 兩點。試問四邊形PQSR 的面積最接近下列哪一個選項？（log 102=0.3010） （1）10 （2）11 （3）12 （4）13 （5）14
3. 袋中有大小相同編號1到8號的球各一個。小明自袋中隨機一次取出兩球，設隨機變數X 的值為取出兩小球中的較小號碼。若p k 表X 取值為k 的機率（k =1,2, ⋅⋅⋅,8），試問有幾個
1p k 的值大於？
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（1）1個 （2）2個 （3）3個 （4）4個 （5）5個
⎡0⎢4. 考慮所有由1、2、3、4、5、6各一個與三個0所排成如c ⎢⎢⎣e
方陣。今隨機選取這樣一個方陣，試問其行列式值c
a 0
f
b ⎤d ⎥⎥對角線均為0的三階o ⎥⎦
a 0
f
b
d 為奇數的幾率為下列哪一個選0
e
項？ （1）
111919 （2） （3） （4） （5） 201021020
二、多選題（占40分）
說明：第5題至第9題，每題有五個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
5. 令A(-2，0) 、B(0，1) 、C(2，1) 、D(4，3) 為座標平面上四點。請選出正確的選項。 （1）恰有一條直線通過A 、B 、C 三點 （2）恰有一圓通過A 、B 、D 三點
（3）恰有一個二次多項式函數的圖形通過B 、C 、D 三點 （4）恰有一個三次多項式函數的圖形通過A 、B 、C 、D 四點 （5）可找到兩平行直線，其聯集包含A 、B 、C 、D 四點
6. 設c 為實數，E 1、E 2、E 3皆為座標空間中的平面，其方程式如下：
E 1:cx +y =c E 2:cy +z =0E 3:x +cz =1
已知E 1、E 2、E 3有一個交點的z 座標為1，請選出正確的選項。 （1）（1,0,0）是E 1、E 2、E 3的一個交點 （2）E 1、E 2、E 3有無窮多個交點 （3）E 1、E 2、E 3中一定有兩個平面重合 （4）c =1
（5）E 1、E 2、E 3有一個交點的z 座標為2
7. 令f (x )=x -x -2x +1。設a 、b 、c 為方程式f (x )=0的三個實根，且a
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請選出正確的選項。 （1）極限lim
x →1
f (x )x -1
存在
（2）a 、b 、c 至少有一個在0與1之間 （3）a , a , a , ⋅⋅⋅, a , ⋅⋅⋅為收斂數列 （4）b , b , b , ⋅⋅⋅, b , ⋅⋅⋅為收斂數列 （5）c , c , c , ⋅⋅⋅, c , ⋅⋅⋅為收斂數列
8. 考慮函數f (x )=sin x +cos x ，其中x 為任意實數。請選出正確的選項。 （1）f (-x )=f (x )對所有實數x 成立
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n
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（2）f
（3）f 的最小值為0
（4）f
⎛π⎫⎛π⎫
>f ⎪ ⎪ 10⎝⎭⎝9⎭
（5）函數f 的（最小正）週期為π
9. 考慮向量u =(a , b ,0)、v =(c , d ,1)，其中a 2+b 2=c 2+d 2=1 。請選出正確的選項。
（1）向量v 與z 軸正向的夾角互為定值（與c 、d 之值無關）
（2）u ⋅v 。
（3）u 與v 夾角的最大值為135
（4）ad -bc 的值可能為
（5）u ⨯v
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三、選填題
說明：每題完全答對給6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A . 設A 、B 、C 、D 為空間中四個相異點，且直線CD 垂直平面ABC 。已知
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A B =B C =C D =10, s i n ∠A B , 且∠ABC 為銳角，則AD (化成最簡
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根式)
B . 設m 為實數，若圓x 2+y 2+4x -7y +10=0與直線y =m (x +3)在座標平面上的兩個
交點位於不同的象限，而滿足此條件的m 之最大範圍為a
第貳部分：非選擇題（占24分）
一、設p (x )為一實係數多項式，其各項係數均大於或等於0。在座標平面上，已知對所有的t ≥1，函數y =p (x )、y =-1-x 2的圖形與直線x =1、x =t 所圍成有界區域的面積為
t 4+t 3+t 2+t +C (其中C 為常數) 。
（1）試說明p (x )>-1-x 2對所有的x ≥1均成立。（2分） （2）設t ≥1，試求
（3分） ⎰(-1-x )dx 。
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1t
（3）試求C 。（2分） （4）試求p (x )。（5分）
二、設A (1,0)、B (0,1)為座標平面上兩點，C 為直線AB 外一點。經平面線性變換M 作
、B
被映射至B - , 而C 被映射至C 。 用後，A
被映射至A （1）試問變換M 的矩陣為何？（4分）
（2）試證明變換M 將∆ABC 的重心映射至∆A B C 的重心。（4分） （3）若∆ABC 的面積為3，試求點C 與直線A B 的距離。（4分）
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參考答案