结构力学小论文
两跨连续梁进行弹性支承简化的公式以及误差分析
2015-11-29
贺领U201315578 袁拥桃U201315565 许文旺U201315579 李闯U201310313 李飞U201315585
两跨连续梁进行弹性支承简化的公式以及误差分析
一、前言
在进行复杂结构的计算的时候，我们希望能够进行结构的简化，特别是只有部分结构受 到荷载的时候。于是我们考虑到将不受力的部分简化成弹性支承，并且弹性支承的弹簧 可以根据位移法求出，下面以两跨连续梁，其中一跨受到均布荷载，另外一跨不受力， 作为我们的研究对象。
参数设置：
均布荷载大小为：4个单位
单元一的刚度为1个单位，长度为3个单位
二、讨论内容
1. 改变不受力的一跨的刚度，求出受力段的弯矩图，与将不受力跨简化成弹性支承的受力
跨的弯矩图进行对比，并且分析若将其简化成固定端的误差（误差通过比较跨中弯矩） 其他条件不变
由以上数据可以得出结论：当增加单元（2）时，与2结点是固结的情况进行对比，单元（1）跨中弯矩明显增加，当单元（2）的EI由（1）单元的0.01倍到20倍进行变化时，单元（1）的跨中弯矩增加由99.11%减少到4.89%，并且单元（2）的EI超过单元（1）的20倍时，可以直接将单元（1）的右跨简化成固定支座，并且误差在5%以内。
理论分析：
连续梁不考虑轴向变形，只考虑转角位移，所以单位二给单位一提供的支承是弹性转角支承 即提供弯矩，所以当做弹性支承简化时，可以使用位移法计算。
当固端发生单位转角时，对于固端1而言，会产生3i的弯矩 于是我们的原结构可以简化成如下图所示：
通过实际计算检验
K=3EI/L
结果完全一样，可见理论推导正确。
2. 改变不受力的一跨的长度，求出受力段的弯矩图，与将不受力跨简化成弹性支承的受力
跨的弯矩图进行对比，并且分析若将其简化成固定端的误差（误差通过比较杆端弯矩） 其他条件不变
由以上数据可以得出结论：当增加单元（2）时，与2结点是固结的情况进行对比，单元（1）跨中弯矩明显增加，当单元（2）的长度由0.1到30进行变化时，单元（1）的跨中弯矩由增加3.33%增加到90.89%，并且单元（2）的L小于单元（1）的二十分之一时，可以直接将单元（1）的右跨简化成固定支座，并且误差在5%以内。
实际计算结果反映出来的情况跟在第一种情况中的理论分析的成果相当的吻合。
3. 改变不受力的一跨的右端的转动方向的约束，求出受力段的弯矩图，与将不受力跨简化
成弹性支承的受力跨的弯矩图进行对比，并且分析若将其简化成固定端的误差（误差通过比较跨中弯矩）
理论分析：
（基本体系）
2、列出基本方程：k11Z1+F1p=-kZ1 3、求系数和自由项：
（当右端发生单位转角时）
可求得：k11=4i 3、求系数和自由项：
可求得：F1p=2i
4、代入求解未知量： Z1=-2i/(4i+k)
综上可得杆端弯矩：M1=4i+2iZ1=4i*(3i+k)/(4i+k)
所以通过理论计算可得，当单位二的右端的转角弹簧约束的刚度发生变化时，可以对于整体双跨梁可以简化成如图所示结构：
4i*(3i+k1)/(4i+k1)
（其中K1表示单元二右端的弹性支承的刚度，i表示单元二的线刚度） 通过实际计算验证可得：
三、总结
经过上述的讨论计算，得到了两跨连续梁在不同条件下进行弹性支承简化时的公式以及误差分析，对于多跨连续梁甚至钢架等相对复杂的结构，可将上述得到的结论进行推广，最终可得到支座简化的所选择的不同支座形式。
结构力学小论文
两跨连续梁进行弹性支承简化的公式以及误差分析
2015-11-29
贺领U201315578 袁拥桃U201315565 许文旺U201315579 李闯U201310313 李飞U201315585
两跨连续梁进行弹性支承简化的公式以及误差分析
一、前言
在进行复杂结构的计算的时候，我们希望能够进行结构的简化，特别是只有部分结构受 到荷载的时候。于是我们考虑到将不受力的部分简化成弹性支承，并且弹性支承的弹簧 可以根据位移法求出，下面以两跨连续梁，其中一跨受到均布荷载，另外一跨不受力， 作为我们的研究对象。
参数设置：
均布荷载大小为：4个单位
单元一的刚度为1个单位，长度为3个单位
二、讨论内容
1. 改变不受力的一跨的刚度，求出受力段的弯矩图，与将不受力跨简化成弹性支承的受力
跨的弯矩图进行对比，并且分析若将其简化成固定端的误差（误差通过比较跨中弯矩） 其他条件不变
由以上数据可以得出结论：当增加单元（2）时，与2结点是固结的情况进行对比，单元（1）跨中弯矩明显增加，当单元（2）的EI由（1）单元的0.01倍到20倍进行变化时，单元（1）的跨中弯矩增加由99.11%减少到4.89%，并且单元（2）的EI超过单元（1）的20倍时，可以直接将单元（1）的右跨简化成固定支座，并且误差在5%以内。
理论分析：
连续梁不考虑轴向变形，只考虑转角位移，所以单位二给单位一提供的支承是弹性转角支承 即提供弯矩，所以当做弹性支承简化时，可以使用位移法计算。
当固端发生单位转角时，对于固端1而言，会产生3i的弯矩 于是我们的原结构可以简化成如下图所示：
通过实际计算检验
K=3EI/L
结果完全一样，可见理论推导正确。
2. 改变不受力的一跨的长度，求出受力段的弯矩图，与将不受力跨简化成弹性支承的受力
跨的弯矩图进行对比，并且分析若将其简化成固定端的误差（误差通过比较杆端弯矩） 其他条件不变
由以上数据可以得出结论：当增加单元（2）时，与2结点是固结的情况进行对比，单元（1）跨中弯矩明显增加，当单元（2）的长度由0.1到30进行变化时，单元（1）的跨中弯矩由增加3.33%增加到90.89%，并且单元（2）的L小于单元（1）的二十分之一时，可以直接将单元（1）的右跨简化成固定支座，并且误差在5%以内。
实际计算结果反映出来的情况跟在第一种情况中的理论分析的成果相当的吻合。
3. 改变不受力的一跨的右端的转动方向的约束，求出受力段的弯矩图，与将不受力跨简化
成弹性支承的受力跨的弯矩图进行对比，并且分析若将其简化成固定端的误差（误差通过比较跨中弯矩）
理论分析：
（基本体系）
2、列出基本方程：k11Z1+F1p=-kZ1 3、求系数和自由项：
（当右端发生单位转角时）
可求得：k11=4i 3、求系数和自由项：
可求得：F1p=2i
4、代入求解未知量： Z1=-2i/(4i+k)
综上可得杆端弯矩：M1=4i+2iZ1=4i*(3i+k)/(4i+k)
所以通过理论计算可得，当单位二的右端的转角弹簧约束的刚度发生变化时，可以对于整体双跨梁可以简化成如图所示结构：
4i*(3i+k1)/(4i+k1)
（其中K1表示单元二右端的弹性支承的刚度，i表示单元二的线刚度） 通过实际计算验证可得：
三、总结
经过上述的讨论计算，得到了两跨连续梁在不同条件下进行弹性支承简化时的公式以及误差分析，对于多跨连续梁甚至钢架等相对复杂的结构，可将上述得到的结论进行推广，最终可得到支座简化的所选择的不同支座形式。