思考题
5-1 轴对称问题的定义
答：工程中又一类结构，其几何形状、边界条件、所受载荷都对称于某一轴线，这种情况下结构再载荷作用下位移、应变和应力也对称于这个轴线，这种问题成为轴对称问题。 5-2 轴对称问题一般采用的坐标系？作图说明每个坐标分量的物理意义 答：在描述轴对称弹性体问题的应力及变形时常采用圆柱坐标r ，θ，z 。
5-3 轴对称问题中每个点有几个位移分量？ 各位移分量是那几个自变量的函数？
答：位移分量u, w,都只是rz 的函数，与θ无关。
5-4 轴对称问题中的每个点有哪几个应力分量？是那几个自变量的函数。 答：4个应力分量；
5-5 轴对称问题中的每个点有哪几个应变分量？是那几个自变量的函数
答：4个应变分量
5-6 轴对称问题是三维问题？二维问题？最简单的轴对称单元是哪种单元？作图说明
答：由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v 等于零。因此轴对称问题是二维问题；三角形环单元。（三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz 平面（子午面）正交的截面是三角形）
5-7 写出三角形环单元的位移函数。满足完备性要求吗？
答：满足完备性要求。
5-8 三角形环单元形函数的表达式？指出形函数的性质。
5-9 三角形环单元的应力和应变的特点。其单元刚度矩阵是几阶的？
答：应力分量：剪应力为常量，其他3个正应力分量均随位置变化；
应变分量：面内（子五面）3个应变分量为常量，环向应变不是常应变，而是与单元中各点的位置有关。
单元刚度矩阵为六阶。
5-10 有限元方法求解对称问题的基本步骤？
1. 结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；
2. 求出各单元的刚度矩阵[K](e)：[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);
3. 集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。
4. 引入支撑条件，求出各节点的位移：节点的支撑条件有两种：一种是节点n 沿某个方向的位移为零，另一种是节点n 沿某个方向的位移为一给定值。
5. 求出各单元内的应力和应变
对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为:
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值) 的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 ) 、自然边界条件(黎曼边界条件) 、混合边界条件(柯西边界条件) 。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
5-11 与平面问题比较，有限元方法求解轴对称问题，相同的地方？不同的地方？
答：轴对称问题简单三角形单元的形函数虽与平面问题简单三角形单元相同，但其应变、应力则是不相同的，这里不仅多出了一个环向应变及环向应力，而且单元应变和应力
分布规律也是不相同的，对平面问题，此种单元内应变应力均为常量，而对轴对称问题，此种单元内应力、应变非常值，是r 、z 的函数。
5-12 轴对称问题单元刚度矩阵与平面问题单元刚度矩阵的推导过程及基本原理一样吗？
答：一样；虚功原理。
5-13 轴对称问题和平面问题的单元刚度矩阵公式一样吗？计算过程有什么不同？
答：与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为：
只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：
5-14 有限元分析中，轴对称位移边界条件如何考虑？举例说明？
答：（1）没有沿对称面法向的移动位移分量；
（2）没有绕平行于对称面轴的转动位移分量。
思考题
5-1 轴对称问题的定义
答：工程中又一类结构，其几何形状、边界条件、所受载荷都对称于某一轴线，这种情况下结构再载荷作用下位移、应变和应力也对称于这个轴线，这种问题成为轴对称问题。 5-2 轴对称问题一般采用的坐标系？作图说明每个坐标分量的物理意义 答：在描述轴对称弹性体问题的应力及变形时常采用圆柱坐标r ，θ，z 。
5-3 轴对称问题中每个点有几个位移分量？ 各位移分量是那几个自变量的函数？
答：位移分量u, w,都只是rz 的函数，与θ无关。
5-4 轴对称问题中的每个点有哪几个应力分量？是那几个自变量的函数。 答：4个应力分量；
5-5 轴对称问题中的每个点有哪几个应变分量？是那几个自变量的函数
答：4个应变分量
5-6 轴对称问题是三维问题？二维问题？最简单的轴对称单元是哪种单元？作图说明
答：由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v 等于零。因此轴对称问题是二维问题；三角形环单元。（三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz 平面（子午面）正交的截面是三角形）
5-7 写出三角形环单元的位移函数。满足完备性要求吗？
答：满足完备性要求。
5-8 三角形环单元形函数的表达式？指出形函数的性质。
5-9 三角形环单元的应力和应变的特点。其单元刚度矩阵是几阶的？
答：应力分量：剪应力为常量，其他3个正应力分量均随位置变化；
应变分量：面内（子五面）3个应变分量为常量，环向应变不是常应变，而是与单元中各点的位置有关。
单元刚度矩阵为六阶。
5-10 有限元方法求解对称问题的基本步骤？
1. 结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；
2. 求出各单元的刚度矩阵[K](e)：[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);
3. 集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。
4. 引入支撑条件，求出各节点的位移：节点的支撑条件有两种：一种是节点n 沿某个方向的位移为零，另一种是节点n 沿某个方向的位移为一给定值。
5. 求出各单元内的应力和应变
对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为:
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值) 的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 ) 、自然边界条件(黎曼边界条件) 、混合边界条件(柯西边界条件) 。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
5-11 与平面问题比较，有限元方法求解轴对称问题，相同的地方？不同的地方？
答：轴对称问题简单三角形单元的形函数虽与平面问题简单三角形单元相同，但其应变、应力则是不相同的，这里不仅多出了一个环向应变及环向应力，而且单元应变和应力
分布规律也是不相同的，对平面问题，此种单元内应变应力均为常量，而对轴对称问题，此种单元内应力、应变非常值，是r 、z 的函数。
5-12 轴对称问题单元刚度矩阵与平面问题单元刚度矩阵的推导过程及基本原理一样吗？
答：一样；虚功原理。
5-13 轴对称问题和平面问题的单元刚度矩阵公式一样吗？计算过程有什么不同？
答：与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为：
只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：
5-14 有限元分析中，轴对称位移边界条件如何考虑？举例说明？
答：（1）没有沿对称面法向的移动位移分量；
（2）没有绕平行于对称面轴的转动位移分量。