第一章 误差估算与数据处理方法
课后习题答案
1．指出下列各量有效数字的位数。 (1)U
=1. 000
kV 有效位数：4
(2)L =0. 000123mm 有效位数：3 (3)m =10. 010kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位
2．判断下列写法是否正确，并加以改正。 (1)I =0. 0350A =35mA
错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为I
(2)m =(53. 270
+0. 3)kg
=53. 270
=0. 0350
A =3. 50⨯10mA 。
1
错，测量结果(即最佳估计值) 有效数字的最后一
位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“±”的形式。故应将上式改成m =(53. 3±0. 3)kg 。
(3)h =(27. 3⨯10
4
±2000
)km
错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。因此，上式应改为h =(27. 3±0. 2)⨯10
(4)x =(4. 325±0. 004)A
正确。
3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有
4
km
。
效数字。
，，3.6612，
3.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.26
4．按有效数字的确定规则，计算下列各式。 (1)343. 37+75. 8+0. 6386=?
解：原式=343. 37+75. 8+0. 64=419. 81=419. 8 (2)88. 45-8. 180-76. 543=? 解：原式=88. 45-8. 180-76. 543(3)0. 0725⨯2. 5=?
解：原式=0. 0725⨯2. 5=0. 18 (4)(8. 42+0. 052
-0. 47)÷2. 001=?
-0. 47)÷2. 001=8. 00÷2. 001=4. 00
=3. 727=3. 73
解：原式=(8. 42+0. 052
5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。 (1)
Q =
12
K A +B
(
22
)
(K 为常数)
解：
(a ) 绝对不确定度：
u C (Q )= =
12
1⎛∂Q ⎫⎛∂Q ⎫
u A ⎪+ u B ⎪=K
2⎝∂A ⎭⎝∂B ⎭K
2
2
⎛∂A 2+B
∂A ⎝
2A
(
2
)
B
⎫⎛∂A 2+B
u A ⎪⎪+ ∂B ⎭⎝
2
2
(
2
)
⎫
u B ⎪⎪⎭
2
2A u )+(2B u )
2A
B
2
=K
A u )+(B u )
(b ) 相对不确定度：
E =
u C (Q )Q
=
K
(A u )+(B u )
2A
b
2
12
其中，u 、u 分别表示A 、B 量的合成不确定度。
A
B
K (A +B
2
2
)
=
2
(A u )+(B u )
2A
b
2
A +B
22
(2)
N =
1A
(B -C )D
2
-
12
F
解：
(a ) 绝对不确定度：
u C (N )=
⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫
u A ⎪+ u B ⎪+ u C ⎪+ u D ⎪+ u F ⎪ ⎝∂A ⎭⎝∂B ⎭⎝∂C ⎭⎝∂D ⎭⎝∂F ⎭
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⎡1⎤⎛1⎫⎛1⎫⎡2⎤⎛1⎫222
()()-B -C D u +D u +-D u +B -C D u +-u ⎪ ⎪ ⎪A B C D F ⎢A 2⎥⎢A ⎥
⎣⎦⎝A ⎭⎝A ⎭⎣⎦⎝2⎭⎡
⎢(B -C ⎢⎣
D
)⎛ ⎫
⎪⎪A ⎝⎭
2
2222
⎤⎡2D ⎤⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫22
(B -C )u D ⎥+ u F ⎪u A ⎥+ D u B ⎪+ D u C ⎪+⎢
A A A ⎝⎭⎝⎭⎝2⎭⎥⎣⎦⎦
2
22
=
(b ) 相对不确定度：
E =
u C (N N ⎡
⎢(B -C ⎢⎣
2
2
)
2222
⎤⎛D ⎫⎡⎤12D 1⎛1⎫⎛⎫⎛⎫22
) (B -C )u D ⎥+ u F ⎪D u B ⎪+ D u C ⎪+⎢⎪ ⎪u A ⎥+ A A A A ⎝⎭⎝⎭⎝2⎭⎝⎭⎣⎦⎥⎦
=
1
(B -C )2-1F A 2
其中，u A 、u B 、u C 、u D 、u F 分别表示A 、B 、C 、D 、F 量
的合成不确定度。
(3)
f =
A -B 4A
2
2
解：
(a ) 绝对不确定度：
u C (f )=
⎛∂f ⎫⎛∂f ⎫
u A ⎪+ u B ⎪= ⎝∂A ⎭⎝∂B ⎭
22
⎛⎛A 2-B
∂ 4A ⎝
∂A ⎝
2
2
⎫⎪⎪⎭
⎫⎛⎛A 2-B ⎪ ∂
4A ⎪ ⎝
u A ⎪+
∂B
⎪ ⎪ ⎭⎝
2
2
⎫
⎪⎪⎭
⎫⎪⎪u B ⎪⎪⎪⎭
2
=
⎛∂A /4-B 2/(4A )⎫⎛∂A /4-B 2/(4A )⎫ ⎪ ⎪u +u A ⎪B ⎪ ∂A ∂B ⎝⎭⎝⎭1414
⎛∂A -B 2/A ⎫⎛∂A -B 2/A ⎫ ⎪ ⎪u +u A ⎪B ⎪ ∂A ∂B ⎝⎭⎝⎭
2⎡⎛⎛2B ⎫B ⎫⎤ ⎪ ⎪1+u +u ⎢ B ⎪2⎪A ⎥
A A ⎝⎭⎭⎦⎣⎝
2
2
[][]
2
=
()
2
()
2
=
2
(b ) 相对不确定度：
1
E =
u C (f f
)
=
4
2⎡⎛⎛2B ⎫B ⎫⎤ ⎪1+u +u ⎢ B ⎪2⎪A ⎥ ⎪
A A ⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
A -B 4A
22
=
⎡⎛A 2+B 2⎫⎤2
⎪()u +2B u ⎢ B ⎪A ⎥A ⎝⎭⎣⎦
A -B
2
2
2
其中，u 、u 分别表示A 、B 量的合成不确定度。
A
B
(4)
解：
V =
πd h 4
2
(a ) 绝对不确定度：
u C (V )=
⎛∂V ⎫⎛∂V ⎫
u d ⎪+ u h ⎪= ⎝∂d ⎭⎝∂h ⎭
2
2
⎛πd 2⎫⎡πh ⎤
⎪()⋅2d u +u d ⎥h ⎪⎢ 44⎣⎦⎝⎭
22
4
(b ) 相对不确定度：
d
=
πd
(2h u )+(d u )
2
h
2
2
2
E =
u C (V V
)
πd =2h u )+(d u )
d
h
πd h
2
=
⎛u d ⎫⎛u h ⎫ 2⎪+ ⎪
d h ⎝⎭⎝⎭
22
4
其中，u 、u 分别表示d 、h 量的合成不确定度。
d
h
6．用最小刻度为0.1cm 的米尺对物体进行长度测量，其
数据为L (cm )=9.92，9.94，9.87，9.86，9.91，若置信概率为95. 5%，则测量结果应该表示为?
解：
平均值有效数字的位数可比原数据
(1)最佳值L
5
有效数字的位数多取一位。
∑L
L =
i =1
i
(2)不确定度u
5
d
=
9. 92+9. 94+9. 87+9. 86+9. 91
5
=
49. 505
=9. 900(cm )
A 类分量：
u A (L )=S L =
∑(L
i =1
5
i
-L )
2
5(5-1)
=加、减法中间计算
结果的末位与运算各数据中末位数数
=量级最大的那一位对齐(如9.92) ，不必
再多取一位。
(9. 92-9. 900)2+(9. 94-9. 900)2+ +(9. 91-9. 900)2
5⨯4
0. 02+0. 04+0. 03+0. 04+0. 01
20
10
-4
2
2
2
2
2
=
加、减法中间计算结果的末位与运算 =各数据中末位数数量级最大的那一位
2
2
+4+3+4+1
20
2222
乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字
中间过程的不确定度可多取一位有效数字(两位) ，且遵
10
-4
(4. 0+16+9. 0+16+1. 20
-4
=
46⨯1020. 0
=
4620. 0
⨯10
-2
=2. 30⨯10
-2
常数
3
-2
016cm
米尺的仪器误差取其最小刻度的一半，即0.05cm 。
可根据具体计
∆仪
3
0. 051. 732
B 类分量：
L 的合成不确定度：
u C =
u A (L )+u B (L )=
2
2
u B (L )=
==0. 028cm
-2
. 6+2. 8⨯10
22-2
=. 56+7. 84⨯10
-3
=. 40⨯10=cm
乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字
绝对不确定度保留一位有效数字，且遵循“只进不舍”的取舍原则。
由于置信概率为95. 5%，则扩展不确定度
U =2⨯u C =2⨯0. 04=0. 08cm
(3)测量结果表示
E =
U L
=
0. 089. 900
=0. 80%
ρ=(9. 90±0. 08)g /cm (P =95. 5%)
3
E =0. 80%
7．用量程为20mA ，准确度等级为0.5级的电流表测量某
电流的指示值为15.00mA ，其测量结果的最大误差为？
解：
测量结果的最大误差即仪器误差。仪器误差=量程⨯准确度等级%，而与测量指示值15.00mA 无关。该题测量结果的最大误差=20⨯0. 5%=0. 1(mA ) 。注意，仪器误差通常取一位有效数字。
8．用千分尺(仪器极限误差为±0. 004mm ) 测量一钢球直径6次，测量数据为：14.256、14.278、14.262、14.263、14.258、14.272(mm ) ；用天平(仪器极限误差为±0. 06g ) 测量它的质量1次，测量值为：11. 84g ，试求钢球密度的最佳值与不确定度。
解：密度ρ为间接测量量，直径d 与质量m 为直接测量量，故应按间接测量数据处理方法来求测量结果。
1．直径d 的处理 (1)最佳值d
6
∑d
d =
i =1
i
6
(2)不确定度
=
14. 256+14. 278+ +14. 272
6
=14. 2648mm
平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。
A 类分量：
加、减法中间计算
u A (d )=S d =
∑(d
i =1
6
i
-d
)
2
6(6-1)
=
(14. 256
0. 009
-6
2
-14. 2648
2
)2+(14. 278
2
-14. 26486⨯5
2
)2+ +(14. 272
2
-14. 2648
)2
=
+0. 013+0. 003+0. 002
30
2
2
2
2
2
+0. 007+0. 007
2
=
10
9
2
+13+3+2+7+7
30
=
10
-6
(81+169
-6
+9. 0+4. 0+49+49)30
=
361⨯1030. 00
=
36130. 00∆仪
⨯10
-3
=. 03⨯10
-3
=0. 0035mm
3B 类分量：
d 的合成不确定度： u d =
u A (d )+u B (d )=
2
2
u B (d )=
=
0. 0041. 732
=0. 0023mm
3. 5+2. 3⨯10
22-3
=+-3
-3
mm
2．质量m 的处理
类分量u (m )，并且B 类分量u (m )=σ
A
B
乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，
由于质量m 为单次测量值，A
仪
=∆仪=0. 06g
，则质量m 的合
成不确定u
m
=u B (m )=0. 06g
。
3．密度ρ的处理 (1)最佳值
=
π应比运算各数中有效数
6πd
3
=
6⨯11. 84g 3. 14159⨯(1. 4265cm )6⨯11. 843. ⨯2. 9028
3
=
6⨯11. 843. 14159⨯2. 90279
3
=字位数最多的(如1.42648)
还多取一位。
=7. 790g /cm
密度7.790是最后计算结果，其有效数字的位数与11.84(有效数字位数最少) 一致，不要再多取一位有效数字。
乘除法运算以各运算数据中有效数字位数最少的为准(11.84有效数字位数为4) ，其余数据在中间计算过程中可多取一位有效数字(即5位) 。
(2)合成不确定度u (ρ)
C
密度与质量和直径之间的函数为简单乘除关系，可先计算相对不确定度E 。
E =
u C (ρ)
2
2
2
2
=
⎛∂ln ρ⎫⎛∂ln ρ⎫
u d ⎪+ u m ⎪=
⎝∂d ⎭⎝∂m ⎭
2
2
⎛u d ⎫⎛u m ⎫
3⎪+ ⎪
d ⎝⎭⎝⎭
2
2
= =
⎛3⨯0. 0042⎫⎛0. 06⎫
+ ⎪ ⎪=
⎝14. 2648⎭⎝11. 84⎭⎛3⨯0. 0042⎫⎛0. 06⎫
+ ⎪ ⎪
14. 3⎝⎭⎝12⎭=
0. 881+5. 0⨯10
-32
2
-3
(0. 881⨯10)+(5. 0⨯10)
-32
-3
-32
=0. 7761+25. 0⨯10=0. 78+25. 0⨯10=25. 8⨯10=0. 51%
密度ρ的合成不确定度：u (ρ)=⋅E =7. 790⨯0. 51%=0. 04g /cm
-3
3
C
(3)最终结果为
ρ=(7. 79±0. 04)g /cm (P =68. 3%)
3
E =0. 51%
9．示波管磁偏转实验中，偏转距离与电流之间关系数据如下表所示。
4540
[1**********]055
10图，并求出I -L 之间的关系式；
(2)用逐差法求出
I -L
之间的关系式。 解：
I -L (1)由图可看出，
之间成一次函数关系，因此可设I -L 的关系式为
I =kL +b
15
20
25
30
35
40
45
L /m m
。
1
2
9. 1)和P (38. 0 ， 40.0)，可得斜率 在图中任取两点P (8. 0 ，
22.5)以及斜率k 代入设定的关系式中，可将第三点P (21. 0 ，
38. 0-8. 0
30. 0
3
k =
40. 0-9. 1
=
30. 9
=1. 03
得截距
b =22. 5-1. 03⨯21. 0=22. 5-21. 63=0. 87
因此I 与L 的关系式为
=0. 9
(2)逐差法
I =1. 03L +0. 9
由于有8组数据，所以数据处理应采取隔4项(8/2) 逐差的方法，则L 每次改变∆L =20. 0时，电流改变值的算术平均值为
I -L
∆4I =
(I 5-I 1)+(I 6-I 2)+(I 7
4
-I 3)+(I 8-I 4)
=
83. 74
=20. 9
关系式的斜率为
k =
∆4I ∆L
=20. 920. 0
=1. 04
任取一组数据(如(30.0，31.6)) 代入I -L 关系式中，可得截距
b =31. 6-1. 04⨯30. 0=31. 6-31. 20=0. 4
因此I 与L 的关系式为：
据如下表所示。
I =1. 04L +0. 4
10．已知某两个量u 与L 之间具有关系L =ku +b ，测量数
u L 解：
=
1
6
∑6
i =1
u i =
8. 75+19. 43+ +63. 44
6
⨯10=
3
216. 716
⨯10=36. 1833⨯10
33
L =
1
6
∑6
i =1
L i =
6
2
i
0. 72+5. 70+ +25. 83
6
2
2
⨯10
2
-2
=
79. 466
2
⨯10
-2
=13. 243⨯10
2
-2
u =
2
1
u ∑6
i =1
=
8. 75+19. 43+30. 52+41. 86+52. 71+63. 44
6
9940. 66=
2
⨯10
6
=
1
6
i
i
⨯10=1656. 77⨯10
66
⨯10
1
uL =
u L ∑6
i =1
8. 75⨯0. 72+19. 43⨯5. 70+ +63. 44⨯25. 83
66
3834. 0
⨯10=6. 39000⨯10
1
3
= =
6. 30+110. 8+329. 92+656. 78+1091. 6+1638. 6
⨯10
1
6
k 、b 的最佳值k ˆ、b ˆ为
ˆ=⋅L -uL =(36. 1833⨯10)⋅(13. 243⨯10)-6. 39000k
-u (36. 1833⨯10)-1656. 77⨯10
3
-2
2
2
32
6
⨯10
3
= =ˆ=⋅uL -L ⋅u b
22-u
36. 1833⨯13. 243⨯10
36. 1833
2
-2
-6. 39000
-1656. 77⨯10
-3
⨯10
-3
4.79175-6. 390001309. 231-1656. 77
2
=
1. 59825347. 54⨯10⨯10
3
⨯10
-3
=4. 5988⨯10
-2
-6
6
(36. 1833=
⨯10
3
)⋅(6. 39000(36. 1833
2
32
)-(13. 243⨯10)⋅(1656. 77⨯10))-1656. 77⨯10
6
=
36. 1833⨯6. 39000-13. 243⨯16. 5677
36. 1833
11. 805347. 54
-1656. 77
=
231. 2113-219. 4061309. 231-1656. 77
=-=-0. 033967
因此，待求关系式为
L =4. 5988⨯10
-6
u -0. 033967
第一章 误差估算与数据处理方法
课后习题答案
1．指出下列各量有效数字的位数。 (1)U
=1. 000
kV 有效位数：4
(2)L =0. 000123mm 有效位数：3 (3)m =10. 010kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位
2．判断下列写法是否正确，并加以改正。 (1)I =0. 0350A =35mA
错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为I
(2)m =(53. 270
+0. 3)kg
=53. 270
=0. 0350
A =3. 50⨯10mA 。
1
错，测量结果(即最佳估计值) 有效数字的最后一
位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“±”的形式。故应将上式改成m =(53. 3±0. 3)kg 。
(3)h =(27. 3⨯10
4
±2000
)km
错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。因此，上式应改为h =(27. 3±0. 2)⨯10
(4)x =(4. 325±0. 004)A
正确。
3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有
4
km
。
效数字。
，，3.6612，
3.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.26
4．按有效数字的确定规则，计算下列各式。 (1)343. 37+75. 8+0. 6386=?
解：原式=343. 37+75. 8+0. 64=419. 81=419. 8 (2)88. 45-8. 180-76. 543=? 解：原式=88. 45-8. 180-76. 543(3)0. 0725⨯2. 5=?
解：原式=0. 0725⨯2. 5=0. 18 (4)(8. 42+0. 052
-0. 47)÷2. 001=?
-0. 47)÷2. 001=8. 00÷2. 001=4. 00
=3. 727=3. 73
解：原式=(8. 42+0. 052
5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。 (1)
Q =
12
K A +B
(
22
)
(K 为常数)
解：
(a ) 绝对不确定度：
u C (Q )= =
12
1⎛∂Q ⎫⎛∂Q ⎫
u A ⎪+ u B ⎪=K
2⎝∂A ⎭⎝∂B ⎭K
2
2
⎛∂A 2+B
∂A ⎝
2A
(
2
)
B
⎫⎛∂A 2+B
u A ⎪⎪+ ∂B ⎭⎝
2
2
(
2
)
⎫
u B ⎪⎪⎭
2
2A u )+(2B u )
2A
B
2
=K
A u )+(B u )
(b ) 相对不确定度：
E =
u C (Q )Q
=
K
(A u )+(B u )
2A
b
2
12
其中，u 、u 分别表示A 、B 量的合成不确定度。
A
B
K (A +B
2
2
)
=
2
(A u )+(B u )
2A
b
2
A +B
22
(2)
N =
1A
(B -C )D
2
-
12
F
解：
(a ) 绝对不确定度：
u C (N )=
⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫⎛∂N ⎫
u A ⎪+ u B ⎪+ u C ⎪+ u D ⎪+ u F ⎪ ⎝∂A ⎭⎝∂B ⎭⎝∂C ⎭⎝∂D ⎭⎝∂F ⎭
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⎡1⎤⎛1⎫⎛1⎫⎡2⎤⎛1⎫222
()()-B -C D u +D u +-D u +B -C D u +-u ⎪ ⎪ ⎪A B C D F ⎢A 2⎥⎢A ⎥
⎣⎦⎝A ⎭⎝A ⎭⎣⎦⎝2⎭⎡
⎢(B -C ⎢⎣
D
)⎛ ⎫
⎪⎪A ⎝⎭
2
2222
⎤⎡2D ⎤⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫22
(B -C )u D ⎥+ u F ⎪u A ⎥+ D u B ⎪+ D u C ⎪+⎢
A A A ⎝⎭⎝⎭⎝2⎭⎥⎣⎦⎦
2
22
=
(b ) 相对不确定度：
E =
u C (N N ⎡
⎢(B -C ⎢⎣
2
2
)
2222
⎤⎛D ⎫⎡⎤12D 1⎛1⎫⎛⎫⎛⎫22
) (B -C )u D ⎥+ u F ⎪D u B ⎪+ D u C ⎪+⎢⎪ ⎪u A ⎥+ A A A A ⎝⎭⎝⎭⎝2⎭⎝⎭⎣⎦⎥⎦
=
1
(B -C )2-1F A 2
其中，u A 、u B 、u C 、u D 、u F 分别表示A 、B 、C 、D 、F 量
的合成不确定度。
(3)
f =
A -B 4A
2
2
解：
(a ) 绝对不确定度：
u C (f )=
⎛∂f ⎫⎛∂f ⎫
u A ⎪+ u B ⎪= ⎝∂A ⎭⎝∂B ⎭
22
⎛⎛A 2-B
∂ 4A ⎝
∂A ⎝
2
2
⎫⎪⎪⎭
⎫⎛⎛A 2-B ⎪ ∂
4A ⎪ ⎝
u A ⎪+
∂B
⎪ ⎪ ⎭⎝
2
2
⎫
⎪⎪⎭
⎫⎪⎪u B ⎪⎪⎪⎭
2
=
⎛∂A /4-B 2/(4A )⎫⎛∂A /4-B 2/(4A )⎫ ⎪ ⎪u +u A ⎪B ⎪ ∂A ∂B ⎝⎭⎝⎭1414
⎛∂A -B 2/A ⎫⎛∂A -B 2/A ⎫ ⎪ ⎪u +u A ⎪B ⎪ ∂A ∂B ⎝⎭⎝⎭
2⎡⎛⎛2B ⎫B ⎫⎤ ⎪ ⎪1+u +u ⎢ B ⎪2⎪A ⎥
A A ⎝⎭⎭⎦⎣⎝
2
2
[][]
2
=
()
2
()
2
=
2
(b ) 相对不确定度：
1
E =
u C (f f
)
=
4
2⎡⎛⎛2B ⎫B ⎫⎤ ⎪1+u +u ⎢ B ⎪2⎪A ⎥ ⎪
A A ⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
A -B 4A
22
=
⎡⎛A 2+B 2⎫⎤2
⎪()u +2B u ⎢ B ⎪A ⎥A ⎝⎭⎣⎦
A -B
2
2
2
其中，u 、u 分别表示A 、B 量的合成不确定度。
A
B
(4)
解：
V =
πd h 4
2
(a ) 绝对不确定度：
u C (V )=
⎛∂V ⎫⎛∂V ⎫
u d ⎪+ u h ⎪= ⎝∂d ⎭⎝∂h ⎭
2
2
⎛πd 2⎫⎡πh ⎤
⎪()⋅2d u +u d ⎥h ⎪⎢ 44⎣⎦⎝⎭
22
4
(b ) 相对不确定度：
d
=
πd
(2h u )+(d u )
2
h
2
2
2
E =
u C (V V
)
πd =2h u )+(d u )
d
h
πd h
2
=
⎛u d ⎫⎛u h ⎫ 2⎪+ ⎪
d h ⎝⎭⎝⎭
22
4
其中，u 、u 分别表示d 、h 量的合成不确定度。
d
h
6．用最小刻度为0.1cm 的米尺对物体进行长度测量，其
数据为L (cm )=9.92，9.94，9.87，9.86，9.91，若置信概率为95. 5%，则测量结果应该表示为?
解：
平均值有效数字的位数可比原数据
(1)最佳值L
5
有效数字的位数多取一位。
∑L
L =
i =1
i
(2)不确定度u
5
d
=
9. 92+9. 94+9. 87+9. 86+9. 91
5
=
49. 505
=9. 900(cm )
A 类分量：
u A (L )=S L =
∑(L
i =1
5
i
-L )
2
5(5-1)
=加、减法中间计算
结果的末位与运算各数据中末位数数
=量级最大的那一位对齐(如9.92) ，不必
再多取一位。
(9. 92-9. 900)2+(9. 94-9. 900)2+ +(9. 91-9. 900)2
5⨯4
0. 02+0. 04+0. 03+0. 04+0. 01
20
10
-4
2
2
2
2
2
=
加、减法中间计算结果的末位与运算 =各数据中末位数数量级最大的那一位
2
2
+4+3+4+1
20
2222
乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字
中间过程的不确定度可多取一位有效数字(两位) ，且遵
10
-4
(4. 0+16+9. 0+16+1. 20
-4
=
46⨯1020. 0
=
4620. 0
⨯10
-2
=2. 30⨯10
-2
常数
3
-2
016cm
米尺的仪器误差取其最小刻度的一半，即0.05cm 。
可根据具体计
∆仪
3
0. 051. 732
B 类分量：
L 的合成不确定度：
u C =
u A (L )+u B (L )=
2
2
u B (L )=
==0. 028cm
-2
. 6+2. 8⨯10
22-2
=. 56+7. 84⨯10
-3
=. 40⨯10=cm
乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字
绝对不确定度保留一位有效数字，且遵循“只进不舍”的取舍原则。
由于置信概率为95. 5%，则扩展不确定度
U =2⨯u C =2⨯0. 04=0. 08cm
(3)测量结果表示
E =
U L
=
0. 089. 900
=0. 80%
ρ=(9. 90±0. 08)g /cm (P =95. 5%)
3
E =0. 80%
7．用量程为20mA ，准确度等级为0.5级的电流表测量某
电流的指示值为15.00mA ，其测量结果的最大误差为？
解：
测量结果的最大误差即仪器误差。仪器误差=量程⨯准确度等级%，而与测量指示值15.00mA 无关。该题测量结果的最大误差=20⨯0. 5%=0. 1(mA ) 。注意，仪器误差通常取一位有效数字。
8．用千分尺(仪器极限误差为±0. 004mm ) 测量一钢球直径6次，测量数据为：14.256、14.278、14.262、14.263、14.258、14.272(mm ) ；用天平(仪器极限误差为±0. 06g ) 测量它的质量1次，测量值为：11. 84g ，试求钢球密度的最佳值与不确定度。
解：密度ρ为间接测量量，直径d 与质量m 为直接测量量，故应按间接测量数据处理方法来求测量结果。
1．直径d 的处理 (1)最佳值d
6
∑d
d =
i =1
i
6
(2)不确定度
=
14. 256+14. 278+ +14. 272
6
=14. 2648mm
平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。
A 类分量：
加、减法中间计算
u A (d )=S d =
∑(d
i =1
6
i
-d
)
2
6(6-1)
=
(14. 256
0. 009
-6
2
-14. 2648
2
)2+(14. 278
2
-14. 26486⨯5
2
)2+ +(14. 272
2
-14. 2648
)2
=
+0. 013+0. 003+0. 002
30
2
2
2
2
2
+0. 007+0. 007
2
=
10
9
2
+13+3+2+7+7
30
=
10
-6
(81+169
-6
+9. 0+4. 0+49+49)30
=
361⨯1030. 00
=
36130. 00∆仪
⨯10
-3
=. 03⨯10
-3
=0. 0035mm
3B 类分量：
d 的合成不确定度： u d =
u A (d )+u B (d )=
2
2
u B (d )=
=
0. 0041. 732
=0. 0023mm
3. 5+2. 3⨯10
22-3
=+-3
-3
mm
2．质量m 的处理
类分量u (m )，并且B 类分量u (m )=σ
A
B
乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，
由于质量m 为单次测量值，A
仪
=∆仪=0. 06g
，则质量m 的合
成不确定u
m
=u B (m )=0. 06g
。
3．密度ρ的处理 (1)最佳值
=
π应比运算各数中有效数
6πd
3
=
6⨯11. 84g 3. 14159⨯(1. 4265cm )6⨯11. 843. ⨯2. 9028
3
=
6⨯11. 843. 14159⨯2. 90279
3
=字位数最多的(如1.42648)
还多取一位。
=7. 790g /cm
密度7.790是最后计算结果，其有效数字的位数与11.84(有效数字位数最少) 一致，不要再多取一位有效数字。
乘除法运算以各运算数据中有效数字位数最少的为准(11.84有效数字位数为4) ，其余数据在中间计算过程中可多取一位有效数字(即5位) 。
(2)合成不确定度u (ρ)
C
密度与质量和直径之间的函数为简单乘除关系，可先计算相对不确定度E 。
E =
u C (ρ)
2
2
2
2
=
⎛∂ln ρ⎫⎛∂ln ρ⎫
u d ⎪+ u m ⎪=
⎝∂d ⎭⎝∂m ⎭
2
2
⎛u d ⎫⎛u m ⎫
3⎪+ ⎪
d ⎝⎭⎝⎭
2
2
= =
⎛3⨯0. 0042⎫⎛0. 06⎫
+ ⎪ ⎪=
⎝14. 2648⎭⎝11. 84⎭⎛3⨯0. 0042⎫⎛0. 06⎫
+ ⎪ ⎪
14. 3⎝⎭⎝12⎭=
0. 881+5. 0⨯10
-32
2
-3
(0. 881⨯10)+(5. 0⨯10)
-32
-3
-32
=0. 7761+25. 0⨯10=0. 78+25. 0⨯10=25. 8⨯10=0. 51%
密度ρ的合成不确定度：u (ρ)=⋅E =7. 790⨯0. 51%=0. 04g /cm
-3
3
C
(3)最终结果为
ρ=(7. 79±0. 04)g /cm (P =68. 3%)
3
E =0. 51%
9．示波管磁偏转实验中，偏转距离与电流之间关系数据如下表所示。
4540
[1**********]055
10图，并求出I -L 之间的关系式；
(2)用逐差法求出
I -L
之间的关系式。 解：
I -L (1)由图可看出，
之间成一次函数关系，因此可设I -L 的关系式为
I =kL +b
15
20
25
30
35
40
45
L /m m
。
1
2
9. 1)和P (38. 0 ， 40.0)，可得斜率 在图中任取两点P (8. 0 ，
22.5)以及斜率k 代入设定的关系式中，可将第三点P (21. 0 ，
38. 0-8. 0
30. 0
3
k =
40. 0-9. 1
=
30. 9
=1. 03
得截距
b =22. 5-1. 03⨯21. 0=22. 5-21. 63=0. 87
因此I 与L 的关系式为
=0. 9
(2)逐差法
I =1. 03L +0. 9
由于有8组数据，所以数据处理应采取隔4项(8/2) 逐差的方法，则L 每次改变∆L =20. 0时，电流改变值的算术平均值为
I -L
∆4I =
(I 5-I 1)+(I 6-I 2)+(I 7
4
-I 3)+(I 8-I 4)
=
83. 74
=20. 9
关系式的斜率为
k =
∆4I ∆L
=20. 920. 0
=1. 04
任取一组数据(如(30.0，31.6)) 代入I -L 关系式中，可得截距
b =31. 6-1. 04⨯30. 0=31. 6-31. 20=0. 4
因此I 与L 的关系式为：
据如下表所示。
I =1. 04L +0. 4
10．已知某两个量u 与L 之间具有关系L =ku +b ，测量数
u L 解：
=
1
6
∑6
i =1
u i =
8. 75+19. 43+ +63. 44
6
⨯10=
3
216. 716
⨯10=36. 1833⨯10
33
L =
1
6
∑6
i =1
L i =
6
2
i
0. 72+5. 70+ +25. 83
6
2
2
⨯10
2
-2
=
79. 466
2
⨯10
-2
=13. 243⨯10
2
-2
u =
2
1
u ∑6
i =1
=
8. 75+19. 43+30. 52+41. 86+52. 71+63. 44
6
9940. 66=
2
⨯10
6
=
1
6
i
i
⨯10=1656. 77⨯10
66
⨯10
1
uL =
u L ∑6
i =1
8. 75⨯0. 72+19. 43⨯5. 70+ +63. 44⨯25. 83
66
3834. 0
⨯10=6. 39000⨯10
1
3
= =
6. 30+110. 8+329. 92+656. 78+1091. 6+1638. 6
⨯10
1
6
k 、b 的最佳值k ˆ、b ˆ为
ˆ=⋅L -uL =(36. 1833⨯10)⋅(13. 243⨯10)-6. 39000k
-u (36. 1833⨯10)-1656. 77⨯10
3
-2
2
2
32
6
⨯10
3
= =ˆ=⋅uL -L ⋅u b
22-u
36. 1833⨯13. 243⨯10
36. 1833
2
-2
-6. 39000
-1656. 77⨯10
-3
⨯10
-3
4.79175-6. 390001309. 231-1656. 77
2
=
1. 59825347. 54⨯10⨯10
3
⨯10
-3
=4. 5988⨯10
-2
-6
6
(36. 1833=
⨯10
3
)⋅(6. 39000(36. 1833
2
32
)-(13. 243⨯10)⋅(1656. 77⨯10))-1656. 77⨯10
6
=
36. 1833⨯6. 39000-13. 243⨯16. 5677
36. 1833
11. 805347. 54
-1656. 77
=
231. 2113-219. 4061309. 231-1656. 77
=-=-0. 033967
因此，待求关系式为
L =4. 5988⨯10
-6
u -0. 033967