指数型复合函数的单调性(对象：高一学生60-80分)
学习目标：1. 理解复合函数的定义。
2. 会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型y=a f (x)和y=f(a ) ） x
重难点：指数型复合函数的单调性。
内容要点：
1. 复合函数的定义。
设y=f(u）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x）的定义域为Dx ，值域为Mx, 那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为
⎛1⎫ ⎪中间变量（内函数），y 为因变量（外函数）。例如y= ⎝2⎭
数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。
2. 接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。
2x （1）f(x)=+4x 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2） x 2+4x 这样的函数我们称为复合函
（2）f(x)=x -2x -3 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1）
(3) f(x)=2 增区间[-∞,+∞]
3. 那么指数型复合函数单调性如何判断？
例1. x 2
⎛1⎫ ⎪判断y=⎝2⎭x 2+4x 单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R
⎛1⎫ ⎪2x +4x 设u=,y=⎝2⎭ (将原函数分解为内函数和外函数)
2由u=x +4x =(x+2) -4知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞) 在上为增函数， u 2
⎛1⎫ ⎪ y=⎝2⎭为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间） u
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求并集。 第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
⎛1⎫ ⎪练习1. （1）函数y=⎝2⎭
2x 2-1的单调递增区间为（A ） A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞) (x+3) （2 ) 函数y=2的单调递增区间[-3,+∞)
(3) 函数f(x)=23-x 在（-∞,0]上的单调性是（B ）
A 增函数 B 减函数 C 常函数 D 不具有单调性
-x a 例2求函数y=2+3x +2(a>1)
解：复合函数定义域为R
3⎫17⎛33x -+ ⎪22⎭4, 易知u （x ）在（-∞，2]上是增函数，在(2+∞上是减设u(x)=-x +3x+2=-⎝
函数.
当a>1时，y 为增函数 2
33
∴原函数在（-∞，2]是增函数，在(2,+∞) 上是减函数。
练习 2. 求
y=
在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上是单调递减。
总结y=a f (x)（t=f（x ））的单调性的一般规律
t 当a>1时，y=a 是单调递增的
f(x)的增区间就是原函数的增区间，
f(x)的减区间就是原函数的减区间
（2）当0
f （x ）的增区间就是原函数的减区间
f(x)的减区间就是原函数的增区间。
x f (a) 的单调性. 4. 下面来看函数y=
例3. 求函数y=2-22x x +1+3的单调区间
2x x +1x 2x x 22-2+3（2）-2⋅2+3=（2-1）+2 解：y==
设t=2则t>0
2(t-1) +2在[1,+∞) 上为增函数。 当t ≥1时，y=x
2x ≥1, 即x ≥0 ，而2x 在[0,+∞) 上为增函数
由复合函数的单调性的判定方法知原函数在[0,+∞) 上为增函数， 同理原函数在（-∞,0]上为减函数。
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪- ⎪-2
练习3. 求函数y=⎝4⎭⎝2⎭的单调性
x x x ⎡⎤⎡111⎛⎫⎛⎫⎛⎫1⎤9⎛1⎫⎛1⎫⎪⎥- ⎪-2⎢ ⎪-⎥- ⎪- ⎪-2⎢ ⎢⎝2⎭⎦⎥⎝2⎭⎢⎝2⎭2⎦⎥4 解：y=⎝4⎭⎝2⎭=⎣=⎣x x x x 22
⎛1⎫ ⎪设t=⎝2⎭, 则t>0 x
⎡⎛1⎫x 1⎤911⎢ ⎪-⎥-⎢⎝2⎭2⎦⎥4在[2,+∞) 上为增函数， 当t ≥2时，y=⎣
2
⎛1⎫⎛1⎫1 ⎪ ⎪⎝2⎭≥2即x ≤1, ⎝2⎭在（-∞,1]上减函数
由复合函数的单调性判定方法知原函数在（-∞,1]上为减函数。
同理 原函数在（1，+∞）上为增函数。
课后习题：
判断下列指数型复合函数的单调性 x x
⎛1⎫ ⎪1.y=⎝3⎭x 2-2x -3
x +2⎛1⎫ ⎪ 2.y=⎝2⎭
22x -x 3.y=7
⎛1⎫ ⎪ 4.y=⎝2⎭x 2-4x +1
x 2x 5.y=a +2a -1(a>0,a≠1)
x 6.y=22+2x +a (-2≤x ≤2)
指数型复合函数的单调性(对象：高一学生60-80分)
学习目标：1. 理解复合函数的定义。
2. 会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型y=a f (x)和y=f(a ) ） x
重难点：指数型复合函数的单调性。
内容要点：
1. 复合函数的定义。
设y=f(u）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x）的定义域为Dx ，值域为Mx, 那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为
⎛1⎫ ⎪中间变量（内函数），y 为因变量（外函数）。例如y= ⎝2⎭
数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。
2. 接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。
2x （1）f(x)=+4x 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2） x 2+4x 这样的函数我们称为复合函
（2）f(x)=x -2x -3 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1）
(3) f(x)=2 增区间[-∞,+∞]
3. 那么指数型复合函数单调性如何判断？
例1. x 2
⎛1⎫ ⎪判断y=⎝2⎭x 2+4x 单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R
⎛1⎫ ⎪2x +4x 设u=,y=⎝2⎭ (将原函数分解为内函数和外函数)
2由u=x +4x =(x+2) -4知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞) 在上为增函数， u 2
⎛1⎫ ⎪ y=⎝2⎭为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间） u
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求并集。 第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
⎛1⎫ ⎪练习1. （1）函数y=⎝2⎭
2x 2-1的单调递增区间为（A ） A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞) (x+3) （2 ) 函数y=2的单调递增区间[-3,+∞)
(3) 函数f(x)=23-x 在（-∞,0]上的单调性是（B ）
A 增函数 B 减函数 C 常函数 D 不具有单调性
-x a 例2求函数y=2+3x +2(a>1)
解：复合函数定义域为R
3⎫17⎛33x -+ ⎪22⎭4, 易知u （x ）在（-∞，2]上是增函数，在(2+∞上是减设u(x)=-x +3x+2=-⎝
函数.
当a>1时，y 为增函数 2
33
∴原函数在（-∞，2]是增函数，在(2,+∞) 上是减函数。
练习 2. 求
y=
在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上是单调递减。
总结y=a f (x)（t=f（x ））的单调性的一般规律
t 当a>1时，y=a 是单调递增的
f(x)的增区间就是原函数的增区间，
f(x)的减区间就是原函数的减区间
（2）当0
f （x ）的增区间就是原函数的减区间
f(x)的减区间就是原函数的增区间。
x f (a) 的单调性. 4. 下面来看函数y=
例3. 求函数y=2-22x x +1+3的单调区间
2x x +1x 2x x 22-2+3（2）-2⋅2+3=（2-1）+2 解：y==
设t=2则t>0
2(t-1) +2在[1,+∞) 上为增函数。 当t ≥1时，y=x
2x ≥1, 即x ≥0 ，而2x 在[0,+∞) 上为增函数
由复合函数的单调性的判定方法知原函数在[0,+∞) 上为增函数， 同理原函数在（-∞,0]上为减函数。
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪- ⎪-2
练习3. 求函数y=⎝4⎭⎝2⎭的单调性
x x x ⎡⎤⎡111⎛⎫⎛⎫⎛⎫1⎤9⎛1⎫⎛1⎫⎪⎥- ⎪-2⎢ ⎪-⎥- ⎪- ⎪-2⎢ ⎢⎝2⎭⎦⎥⎝2⎭⎢⎝2⎭2⎦⎥4 解：y=⎝4⎭⎝2⎭=⎣=⎣x x x x 22
⎛1⎫ ⎪设t=⎝2⎭, 则t>0 x
⎡⎛1⎫x 1⎤911⎢ ⎪-⎥-⎢⎝2⎭2⎦⎥4在[2,+∞) 上为增函数， 当t ≥2时，y=⎣
2
⎛1⎫⎛1⎫1 ⎪ ⎪⎝2⎭≥2即x ≤1, ⎝2⎭在（-∞,1]上减函数
由复合函数的单调性判定方法知原函数在（-∞,1]上为减函数。
同理 原函数在（1，+∞）上为增函数。
课后习题：
判断下列指数型复合函数的单调性 x x
⎛1⎫ ⎪1.y=⎝3⎭x 2-2x -3
x +2⎛1⎫ ⎪ 2.y=⎝2⎭
22x -x 3.y=7
⎛1⎫ ⎪ 4.y=⎝2⎭x 2-4x +1
x 2x 5.y=a +2a -1(a>0,a≠1)
x 6.y=22+2x +a (-2≤x ≤2)