第一中学提前招生数学模拟试题
一、选择题：（共8题，每题4分，共32分）
1、已知y=P （x ，y ）所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、现有6个红球，4个白球，这10个球除颜色外都相同，小明先从这些球中任意拿出1个球（不放回）, 小华再从余下的球中任意拿出1个球，则小明拿到红球，小华拿到白球的概率是（ ） A.
34322134, B. , C. , D. 595553109
3、一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是( )
A. 106元 B. 105元 C. 118元 D. 108元
4、如果关于x 的不等式（a +1) x >a +1的解集为x -1 D、a >0a
5、为了调查学生的身体情况，某校对九年级学生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校九年级学生的体检合格率不低于90﹪，则该校九年级学生最多为（ ）
A. 180人 B. 200人 C. 210人 D. 225人
6、电线杆上有一盏路灯O ，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB 、
CD 、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m ，已知AB 、CD 在灯光下的影长分别为BM = 1. 6 m ，DN = 0. 6m. 则标杆EF 的影长为（ ） A. 1.2 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.2
BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，7、如图，设AD ，若AB =6，
BC =5，EF =3，则线段BE 的长为 （ ）
A.
182124. B. 4. C. . D. . 555
8、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则
111
++的值为（ ） x y z
A. 1 B.
2 3
C .
1 2
D.
1 3
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
9、已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 为圆心，且与⊙O 相切的圆的半径是 。
10、一个几何体，是由许多规格相同的小正方 体堆积而成的，其主视图、左视图如图所示， 要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体
11、实数x 、y 满足x －2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的最大值为______________． 12、如图，在菱形ABCD 中，∠A = 100°，M ，N 分别
是AB 和BC 的中点，MP ⊥CD 于P ，则∠NPC 的度数为 ．
13、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的
图象的对称轴，则①a ＋b ＋c ＞0，②b ＜a ＋c ， ③abc ＜0，④2a=b中正确的是 。
（请把正确的序号填上）
14、如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延
长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记
其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5=_____________ .
P
B
N
2
A
D
三、解答题（44分） 15、（1）（5分）计算：-2-2
1-4
a -1a 2-41
∙2÷2（2）（5分）先化简，再求值：, 其中a 2-a=0. a +2a -2a +1a -1
16、（10分）某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少
于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大?
(3)根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大? （注：利润=售价-成本）
17、（10分）已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连结DE ，DE=. ⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值.
.
18、（14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
A
B
参考答案及评分标准
一、填空题（每题4分，共32分）
二、选择题(每题4分，共24分）
15、（1）解：原式=-11
1…………………………………………3分 44
=1 …………………………………………………………………5分
a -1(a -2)(a +2)
(a + 1) （2） 解：原式= ∙ 2∙ - 1)( a ………………2分
a +2(a -1)
2
=(a -2)(a +1) =a -a -2…………………………4分 2
当a -a=0时，原式= -2 ……………………………5分
16、（10分）解：(1)设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x)套． 由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50
∵ x取非负整数， ∴ x为48，49，50． ∴ 有三种建房方案：
A型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套…4分 (2)设该公司建房获得利润W(万元) ．
由题意知W=5x+6(80-x)=480-x ∴ 当x=48时，W 最大=432(万元)
即A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大……………………………7分
(3)由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x， ∴ 当O
即A 型住房建48套，B 型住房建32套，
当a=l时，a-1=O，三种建房方案获得利润相等
当a>1时，x=50，W 最大，即A 型住房建50套，B 型住房建30套………10分
17. .⑴∵DC 为⊙O 的直径，∴∠DEC=90°，EC=DC -DE ∵OA=OB=4，M 为OB 的中点， ∴AM=6，BM=2.设EM=x，则CM=7－x ，
连接AC,EB, 则△AMC ∽△EMB, 得AM ·MB=EM·MC 得，6·2=x·（7－x ）, ……………4分 解得x 1=3，x 2=4.但EM ＞MC ，∴EM=4. ……………………………5分 ⑵由⑴知，EO=EM，作EF ⊥OB 于F ，则OF=MF=
2
2
=2-() 2=7.
14
OB=1，………………………………2分
在Rt △EOF 中，EF=OE 2-OF 2=∴sin ∠EOB=
42-12=, ………………………………2分
EF . …………………………………………1分 =
OE 4
18、[解] （1）如图1，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。
∴PM ＝DC ＝12 ………………………………1分
1
∵QB ＝16－t ，∴S ＝×12×(16－t) ＝96－t ………3分
2
（2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。热以B 、P 、Q 三点
为顶点的 三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
D
图1
①若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，PQ =t +12，由PQ 2＝BQ 2 得 t +12=(16-t ) ，解得t ＝
2
2
2
222
7
；………………………2分 2
2
2
2
②若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，BP =(16-2t ) +12。由BP 2＝BQ 2 得：
(16-2t ) 2+122=(16-t ) 2 即3t 2-32t +144=0。
由于Δ＝－704＜0
∴3t -32t +144=0无解，∴PB ≠B Q …………………………4分 ③若PB ＝PQ 。由PB 2＝PQ 2，得t +12=(16-2t ) +12
2
整理，得3t -64t +256=0。解得t 1=
2
2222
16
，t 2=16（不合题意，舍去）…6分 3
综合上面的讨论可知：当t ＝秒或t =
7216
秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等3
腰三角形。……………………………………7分
（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图2，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，………2分
得
DC BC =PE EQ ，即1216=t
12
。解得t ＝9……………3分 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。…………………4分
图2
第一中学提前招生数学模拟试题
一、选择题：（共8题，每题4分，共32分）
1、已知y=P （x ，y ）所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、现有6个红球，4个白球，这10个球除颜色外都相同，小明先从这些球中任意拿出1个球（不放回）, 小华再从余下的球中任意拿出1个球，则小明拿到红球，小华拿到白球的概率是（ ） A.
34322134, B. , C. , D. 595553109
3、一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是( )
A. 106元 B. 105元 C. 118元 D. 108元
4、如果关于x 的不等式（a +1) x >a +1的解集为x -1 D、a >0a
5、为了调查学生的身体情况，某校对九年级学生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校九年级学生的体检合格率不低于90﹪，则该校九年级学生最多为（ ）
A. 180人 B. 200人 C. 210人 D. 225人
6、电线杆上有一盏路灯O ，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB 、
CD 、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m ，已知AB 、CD 在灯光下的影长分别为BM = 1. 6 m ，DN = 0. 6m. 则标杆EF 的影长为（ ） A. 1.2 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.2
BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，7、如图，设AD ，若AB =6，
BC =5，EF =3，则线段BE 的长为 （ ）
A.
182124. B. 4. C. . D. . 555
8、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则
111
++的值为（ ） x y z
A. 1 B.
2 3
C .
1 2
D.
1 3
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
9、已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 为圆心，且与⊙O 相切的圆的半径是 。
10、一个几何体，是由许多规格相同的小正方 体堆积而成的，其主视图、左视图如图所示， 要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体
11、实数x 、y 满足x －2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的最大值为______________． 12、如图，在菱形ABCD 中，∠A = 100°，M ，N 分别
是AB 和BC 的中点，MP ⊥CD 于P ，则∠NPC 的度数为 ．
13、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的
图象的对称轴，则①a ＋b ＋c ＞0，②b ＜a ＋c ， ③abc ＜0，④2a=b中正确的是 。
（请把正确的序号填上）
14、如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延
长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记
其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5=_____________ .
P
B
N
2
A
D
三、解答题（44分） 15、（1）（5分）计算：-2-2
1-4
a -1a 2-41
∙2÷2（2）（5分）先化简，再求值：, 其中a 2-a=0. a +2a -2a +1a -1
16、（10分）某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少
于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大?
(3)根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大? （注：利润=售价-成本）
17、（10分）已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连结DE ，DE=. ⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值.
.
18、（14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
A
B
参考答案及评分标准
一、填空题（每题4分，共32分）
二、选择题(每题4分，共24分）
15、（1）解：原式=-11
1…………………………………………3分 44
=1 …………………………………………………………………5分
a -1(a -2)(a +2)
(a + 1) （2） 解：原式= ∙ 2∙ - 1)( a ………………2分
a +2(a -1)
2
=(a -2)(a +1) =a -a -2…………………………4分 2
当a -a=0时，原式= -2 ……………………………5分
16、（10分）解：(1)设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x)套． 由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50
∵ x取非负整数， ∴ x为48，49，50． ∴ 有三种建房方案：
A型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套…4分 (2)设该公司建房获得利润W(万元) ．
由题意知W=5x+6(80-x)=480-x ∴ 当x=48时，W 最大=432(万元)
即A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大……………………………7分
(3)由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x， ∴ 当O
即A 型住房建48套，B 型住房建32套，
当a=l时，a-1=O，三种建房方案获得利润相等
当a>1时，x=50，W 最大，即A 型住房建50套，B 型住房建30套………10分
17. .⑴∵DC 为⊙O 的直径，∴∠DEC=90°，EC=DC -DE ∵OA=OB=4，M 为OB 的中点， ∴AM=6，BM=2.设EM=x，则CM=7－x ，
连接AC,EB, 则△AMC ∽△EMB, 得AM ·MB=EM·MC 得，6·2=x·（7－x ）, ……………4分 解得x 1=3，x 2=4.但EM ＞MC ，∴EM=4. ……………………………5分 ⑵由⑴知，EO=EM，作EF ⊥OB 于F ，则OF=MF=
2
2
=2-() 2=7.
14
OB=1，………………………………2分
在Rt △EOF 中，EF=OE 2-OF 2=∴sin ∠EOB=
42-12=, ………………………………2分
EF . …………………………………………1分 =
OE 4
18、[解] （1）如图1，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。
∴PM ＝DC ＝12 ………………………………1分
1
∵QB ＝16－t ，∴S ＝×12×(16－t) ＝96－t ………3分
2
（2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。热以B 、P 、Q 三点
为顶点的 三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
D
图1
①若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，PQ =t +12，由PQ 2＝BQ 2 得 t +12=(16-t ) ，解得t ＝
2
2
2
222
7
；………………………2分 2
2
2
2
②若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，BP =(16-2t ) +12。由BP 2＝BQ 2 得：
(16-2t ) 2+122=(16-t ) 2 即3t 2-32t +144=0。
由于Δ＝－704＜0
∴3t -32t +144=0无解，∴PB ≠B Q …………………………4分 ③若PB ＝PQ 。由PB 2＝PQ 2，得t +12=(16-2t ) +12
2
整理，得3t -64t +256=0。解得t 1=
2
2222
16
，t 2=16（不合题意，舍去）…6分 3
综合上面的讨论可知：当t ＝秒或t =
7216
秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等3
腰三角形。……………………………………7分
（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图2，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，………2分
得
DC BC =PE EQ ，即1216=t
12
。解得t ＝9……………3分 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。…………………4分
图2