圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题
1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案 14π
2. （2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶3 D . 1∶9
答案 C
3. 已知正方体外接球的体积是32π，那么正方体的棱长等于（ ） 3
A.22 B. 23424 C. D. 333
24.(吉林省吉林市2008届上期末) ） 3
A ．π B ．2π C ．4π 8
3D ．π 4
3
答案C
5. （2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2.
答案
2+9，底面周长为3，86. （2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
则这个球的体积为 ．
答案 4π 3
7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD, 四边形ABCD
是边长为形.
若则△OAB 的面积为______________.
二、锥体的内切球与外接球
8. （辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面) 的面积是 . 答案
9. （2006辽宁）如图，半径为2的半球内
有一内接正六棱锥
P -A B C D E F ，则此正六棱锥的侧面积是________．
答案 F
10. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大
圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
3333 B． C． D． 43412
答案 B A ．
11. （2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）
A ．3π B ．2π
C ．16π 3D ．以上都不对
答案C
12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1内接于半径为2的球， 若∆ABC 的边长为22，则正三棱柱的体积为 ．答案 8
2014高三补充题：
（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4, 8, h ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的
表面积为100π，则h =________（答：2）
（2）三棱锥P -ABC 的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱
两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案：32)
（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是 .（答：16π）
（4）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直底面，∠ACB =90, ∠BAC =30, BC =1,
且三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球表面积为______（答：16π）
(5) 在四面体ABCD 中，AB =CD =6, AC =BD =4, AD =BC =5,
则四面体ABCD 的外接球表面积为______(答：即长方体的外接球表面积：0077π) 2
（6）四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的
球面面积为________（答：100π）
（7）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD
外接球表面积为______(答：13π) 3
（8）已知O 的直径PQ =4, A , B , C 是球O 球面上的三点，∆ABC 是正三角形，且
∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =300, 则三棱锥P -ABC 的体积为（ B ）
A.33933327 B. C. D. 4424
(9)(长春第四次调研试题) 已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，，每个球都与其他三个球外切，
另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ B ） A.7654 B. C. D . 11111111
（10）（辽、哈、东北师大一联模）球O 的球面上有四点S , A , B , C , 其中O , A , B , C 四点共面，∆ABC 是
边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC , 则棱锥S -ABC 的体积的最大值为（D ） A. B.1 C. D. 323
(11) （快乐考生预测卷一）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各顶点都在同一个球面上，若四面体
A -B 1CD 1的表面积为83， 则球的体积为_________（答：4π）
(12)（快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长
为２锐角６０的菱形，则此几何体的内切球表面积为（ ）
A. 8π B.4π C.3π D.2π
（13）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD 中，AB ⋅BC =0，→→0
2AB +BD =6，若将∆ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A -BCD 外接球的表面积为________（答：６π）
（14）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为４的球O 的球面上，且AB =6, BC =23, 则棱锥O -ABCD
的体积为________（答：8）
(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上，AB =BC =2, AC =2, 若四面体ABCD 体积的最大值为
个球的表面积为 (答：C)
A. →2→22，则这3125π25π25π
B. 8π C D. 6416
圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题
1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案 14π
2. （2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶3 D . 1∶9
答案 C
3. 已知正方体外接球的体积是32π，那么正方体的棱长等于（ ） 3
A.22 B. 23424 C. D. 333
24.(吉林省吉林市2008届上期末) ） 3
A ．π B ．2π C ．4π 8
3D ．π 4
3
答案C
5. （2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2.
答案
2+9，底面周长为3，86. （2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
则这个球的体积为 ．
答案 4π 3
7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD, 四边形ABCD
是边长为形.
若则△OAB 的面积为______________.
二、锥体的内切球与外接球
8. （辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面) 的面积是 . 答案
9. （2006辽宁）如图，半径为2的半球内
有一内接正六棱锥
P -A B C D E F ，则此正六棱锥的侧面积是________．
答案 F
10. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大
圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
3333 B． C． D． 43412
答案 B A ．
11. （2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）
A ．3π B ．2π
C ．16π 3D ．以上都不对
答案C
12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1内接于半径为2的球， 若∆ABC 的边长为22，则正三棱柱的体积为 ．答案 8
2014高三补充题：
（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4, 8, h ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的
表面积为100π，则h =________（答：2）
（2）三棱锥P -ABC 的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱
两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案：32)
（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是 .（答：16π）
（4）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直底面，∠ACB =90, ∠BAC =30, BC =1,
且三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球表面积为______（答：16π）
(5) 在四面体ABCD 中，AB =CD =6, AC =BD =4, AD =BC =5,
则四面体ABCD 的外接球表面积为______(答：即长方体的外接球表面积：0077π) 2
（6）四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的
球面面积为________（答：100π）
（7）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD
外接球表面积为______(答：13π) 3
（8）已知O 的直径PQ =4, A , B , C 是球O 球面上的三点，∆ABC 是正三角形，且
∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =300, 则三棱锥P -ABC 的体积为（ B ）
A.33933327 B. C. D. 4424
(9)(长春第四次调研试题) 已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，，每个球都与其他三个球外切，
另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ B ） A.7654 B. C. D . 11111111
（10）（辽、哈、东北师大一联模）球O 的球面上有四点S , A , B , C , 其中O , A , B , C 四点共面，∆ABC 是
边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC , 则棱锥S -ABC 的体积的最大值为（D ） A. B.1 C. D. 323
(11) （快乐考生预测卷一）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各顶点都在同一个球面上，若四面体
A -B 1CD 1的表面积为83， 则球的体积为_________（答：4π）
(12)（快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长
为２锐角６０的菱形，则此几何体的内切球表面积为（ ）
A. 8π B.4π C.3π D.2π
（13）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD 中，AB ⋅BC =0，→→0
2AB +BD =6，若将∆ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A -BCD 外接球的表面积为________（答：６π）
（14）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为４的球O 的球面上，且AB =6, BC =23, 则棱锥O -ABCD
的体积为________（答：8）
(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上，AB =BC =2, AC =2, 若四面体ABCD 体积的最大值为
个球的表面积为 (答：C)
A. →2→22，则这3125π25π25π
B. 8π C D. 6416