欧拉法与龙格库塔法比较分析

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较

欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。缺点：

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

改进欧拉格式（向前欧拉公式）：

为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法：

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：

f(x,y) x[a,b] dx

y(a)y0

可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：

(y(xi1)y(xi))

f(xi,y(xi))

在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi的数值计算出yi1来：

yi1yihf(xi,yi)i0,1,2,L

这就是向前欧拉公式。

改进的欧拉公式：

将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。

可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式：数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。

龙格-库塔方法的基本思想：

在区间[xn,xn1]内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。

令初值问题表述如下。

y'f(t,y)y(t0)y0

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

yn1yn(k12k22k3k4)

其中

k1f(tn,yn)

k2f(tn,ynk1)

k3f(tn,ynk2)

k4f(tnh,ynhk3)

这样，下一个值yn1由现在的值yn加上时间间隔h和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均： k1是时间段开始时的斜率；

k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn值；

k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值； k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

h的2

k12k22k3k4

slope

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。

例子：h0.2;x0:h:4

下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。其中

y1,y2,y3,y4分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4级4阶龙格-库塔

公式及精确解。

结果分析：

图1中显示在x2时，3种算法与精确值较接近，即误差不大，但当x继续增加时则4级4阶龙格库塔法较精确，但也有一定限度，当x3.5时，计算值与精确值得差别将越来越大。从图2中可以清楚的看到这一结果，其中'y1'y4y1，

'y2'y4y2，'y3'y4y3。

图

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