翻折-最短距离的初三数学
1．如图，已知等边△ABC 的面积为4
是（ ）
，P 、Q 、R 分别为边AB 、BC 、AC 上的动点，则PR +QR 的最小值
A ．3 B ．2 C ． D ．4
解：如图，作△ABC 关于AC 对称的△ACD ，点E 与点Q 关于AC 对称，连接ER ，则QR=ER，
当点E ，R ，P 在同一直线上，且PE ⊥AB 时，PR +QR 的最小值是PE 的长，
设等边△ABC 的边长为x ，则高为
∵等边△ABC 的面积为4
∴x ×解得x=4，
∴等边△ABC 的高为即PE=2， x=2， x=4， ，
x ，
2．平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣1）三点，D （1，m ）是一个动点，当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
解：由题可得，点C 关于直线x=1的对称点E 的坐标为（2，﹣1），
设直线AE 的解析式为y=kx+b ，则
，
解得，
∴y=﹣x ﹣，
将D （1，m ）代入，得
m=﹣﹣=
﹣，
即点D 的坐标为（1，﹣），
∴当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积=×AB ×|﹣|=×4×=．
3．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．135° B ．130° C ．125° D ．120°
解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN ，∠NAD +∠A″=∠ANM ，
∴∠AMN +∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD +∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°
，
4．如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α=（ ）
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解：如图，作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E ，OB 于F ．此时，△PEF 的周长最小．
连接OC ，OD ，PE ，PF ．
∵点P 与点C 关于OA 对称，
∴OA 垂直平分PC ，
∴∠COA=∠AOP ，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP ，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA +∠DOB=∠AOP +∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF 的周长=PE+EF +FP=CE+EF +FD=CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△COD 是等边三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°．
5．如图，在边长为1正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E 点出发，经过F 、G 、H ，最后回点E 点，则蚂蚁所走的最小路程是（ ）
A ．2 B ．4 C ． D．
解：延长DC 到D' ，使CD=CD'，G 关于C 对称点为G' ，则FG=FG'，
同样作D'A' ⊥CD' ，D'A'=DA，H 对应的位置为H' ，则G'H'=GH，
再作A'B' ⊥D'A' ，E 的对应位置为E' ，
则H'E'=HE．
容易看出，当E 、F 、G' 、H' 、E' 在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'===2．
6．已知∠AOB=30°，在OA 上有一点M ，OM=10cm，现要在OB 、OA 上分别找点Q 、N ，使QM +QN 最小，则其最小值为（ ）
A ． B． C．5 D ．3
解：作ME ⊥OB 与OB 相交于E ，并将ME 延长一倍到M′，即M′E=ME，
作M′N⊥OA 与OB 相交于Q ，与OA 相交于N ，再连接MQ ，则QM +QN 最小，
∵∠AOB=30°，OM=10 cm，
∴EM=OM•sin30°=5cm，∠OMM′=60°，
∴MM′=10cm，
∴M′N=MM′•sin60°=5
即QM +QN 最小值为5cm ， cm ．
7．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，点P 是腰AD 上的一个动点，要使PC +PB 最小，则点P 应该满足（ ）
A ．PB=PC B ．PA=PD C ．∠BPC=90° D ．∠APB=∠DPC
【解答】解：如图，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE 交AD 于P ，连接CP ．
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD ，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD ，
所以∠APB=∠DPC ．
故选D ．
8．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=120°，点P 是底边AC 上一个动点，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，若PM +PN 的最小值为2，则△ABC 的周长是（ ）
A ．2 B ．2+ C ．4 D ．4+2
解：作M 点关于AC 的对称点M′，连接M'N ，则与AC 的交点即是P 点的位置，
∵M ，N 分别是AB ，BC 的中点，
∴MN 是△ABC 的中位线，
∴MN ∥AC ，∴
∴PM′=PN，
即：当PM +PN 最小时P 在AC 的中点，
∴MN=AC ∴PM=PN=1，MN=
∴AC=2， ，
AB=BC=2PM=2PN=2
∴△ABC 的周长为：2+2+2=4+
2 ．
的最小值是（ ）
9．已知：a 、b 是正数，且a +b=2，则A ． B ． C ． D ．
解：∵a ，b 均为正数，a +b=2，b=2﹣a ，
设W=+=+，
从上式可以看出：W 表示x 轴上一点C （a ，0）到A （0，2），B （2，﹣1）的距离之和，
最小值为AB=
∴W 最小值=（注意取值范围：0＜a ＜2）， ，
10．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是（ ）
A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC
解：如图连接PC ，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD ⊥BC ，
∴PB=PC，
∴PB +PE=PC+PE ，
∵PE +PC ≥CE ，
∴P 、C 、E 共线时，PB +PE 的值最小，最小值为CE 的长度，
11．如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点D 在BC 上，BD=3，DC=1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB 于P ，连接CP ．
此时DP +CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵BD=3，DC=1
∴BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC ，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′===5．
12．如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）
A ．5 B ．10 C ．10 D ．15
解：作点E 关于BC 的对称点E′，连接E′G交BC 于点F ，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点G 作GG′⊥AB 于点G′，如图所示．
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G=∴C 四边形EFGH =2E′G=10．
=5，
13．如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PD 的最小值是（ ）
A ．3 B ．10 C ．9 D ．9
解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P′，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴点B 与D 关于AC 对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，为BE 的长度．
∵直角△CBE 中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，
∴BE==3．
14．如图，已知正比例函数y=kx（k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx（k ＞0）的图象上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为（ ）
A ．2 B ．4sin40° C ．2 D ．4sin20°（1+cos20°+sin20°cos20°）
解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y=kx对称，直线OD 、直线y=kx关于y 轴对称，点A′是点A 关于直线y=kx的对称点．
作A′E⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y=kx于M ，作PN ⊥直线y=kx垂足为N ，
∵PN=PE，AM=A′M，
∴AM +PM +PN=A′M+PM +PE=A′E最小（垂线段最短），
在RT △A′EO中，∵∠A′EO=90°，OA′=4，∠A′OE=3∠AOM=60°，
∴OE=OA′=2，A′E=∴AM +MP +PN 的最小值为2．
==2．
故选C ．
15．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ=
时，四边形APQE 的周长最小．
解：点A 向右平移3个单位到M ，点E 关于BC 的对称点F ，连接MF ，交BC 于Q ，
此时MQ +EQ 最小，
∵PQ=3，DE=CE=2，AE==2，
∴要使四边形APQE 的周长最小，只要AP +EQ 最小就行，
即AP +EQ=MQ+EQ 过M 作MN ⊥BC 于N ，
设CQ=x，则NQ=8﹣3﹣x=5﹣x ，
∵△MNQ ∽△FCQ ， ∴=
∵MN=AB=4，CF=CE=2，CQ=x，QN=5﹣x ，
解得：x=，则CQ= 故答案为：．
16．已知y=+，则y 的最小值是
解：作线段AB=4，
作线段AC ⊥AB ，且AC=1，作BD ⊥AB ，且BD=2，并且D 和C 在AB 的两侧，过D 作DM ∥AB ，交CA 的延长线于M ，
在直线AB 上任取一点E ，显然有CE +DE ≥CD ，
即当连接CD 交AB 于E ，此时CE +DE=CD，
这时CD 的长就是AC +BD 的最小值．，
设BE=x，在Rt △DBE 中，DE=同理DE=
==， ，
在Rt △CMD 中，MC=MA+AC=BD+AC=1+2=3；DM=AB=4， CD=
==5，
即y 的最小值是CD=5，
17．如图，C 为线段BD 上一个动点，分别过B 、D 两点作AB ⊥BD 于B 点、ED ⊥BD 于D 点，连接AC 、EC ，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x，则BC=8﹣x ，那么
CE=
AC +CE=+，则AC +CE 的最小值是．
，
AC=，那么
解：过点E 作EF ∥BD ，交AB 的延长线于F 点
根据题意，四边形BDEF 为矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE==10．
即AC +CE 的最小值是10．
18．如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 4 ．
解：如图，在AC 上截取AE=AN，连接BE ．
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
∴∠EAM=∠NAM ，
在△AME 与△AMN 中，
∴△AME ≌△AMN （SAS ），
∴ME=MN．
∴BM +MN=BM+ME ≥BE ．
∵BM +MN 有最小值．
当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，
又AB=4
∴BE=4，
即BE 取最小值为4，
∴BM +MN 的最小值是4．
故答案为：4．
，∠BAC=45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形， ，
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19．在直角坐标系中有四个点A （﹣6，3），B （﹣2，5），C （0，m ），D （n ，0），当四边形ABCD 周长最短时，则m +n= 0 ．
解：∵四边形ABCD 周长最短，AB 长度一定，
∴必须使AD +CD +BC 最短，即A′、D 、C 、B′共线，
作A 点关于x 轴的对称点为A′，B 点关于y 轴的对称点是B′，
设直线A′B′为y=kx+b ，
则A′（﹣6，﹣3），B′（2，5），
将其代入直线中得：k=1，b=3，
∴y=x+3，
∵C （0，m ），D （n ，0），
代入直线方程中，得：m=3，n=﹣3，
∴m +n=0．
故填0．
20．已知点A （0，2），B （4，0）．点C ，D 分别在直线x=1与x=2上，且CD ∥x 轴，则AC +CD +DB 的最小
解：作法如图，过A 作直线x=1的垂线，垂足为M ，连接BM 交直线x=2于D 点，过D 点作直线x=1的垂线，垂足为C 点，
此时，AC +CD +DB 的最小，
AC +CD +DB=MD+CD +DB=BM+CD=
+CD=+1．
第12页（共12页）
翻折-最短距离的初三数学
1．如图，已知等边△ABC 的面积为4
是（ ）
，P 、Q 、R 分别为边AB 、BC 、AC 上的动点，则PR +QR 的最小值
A ．3 B ．2 C ． D ．4
解：如图，作△ABC 关于AC 对称的△ACD ，点E 与点Q 关于AC 对称，连接ER ，则QR=ER，
当点E ，R ，P 在同一直线上，且PE ⊥AB 时，PR +QR 的最小值是PE 的长，
设等边△ABC 的边长为x ，则高为
∵等边△ABC 的面积为4
∴x ×解得x=4，
∴等边△ABC 的高为即PE=2， x=2， x=4， ，
x ，
2．平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣1）三点，D （1，m ）是一个动点，当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
解：由题可得，点C 关于直线x=1的对称点E 的坐标为（2，﹣1），
设直线AE 的解析式为y=kx+b ，则
，
解得，
∴y=﹣x ﹣，
将D （1，m ）代入，得
m=﹣﹣=
﹣，
即点D 的坐标为（1，﹣），
∴当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积=×AB ×|﹣|=×4×=．
3．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．135° B ．130° C ．125° D ．120°
解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN ，∠NAD +∠A″=∠ANM ，
∴∠AMN +∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD +∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°
，
4．如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α=（ ）
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解：如图，作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E ，OB 于F ．此时，△PEF 的周长最小．
连接OC ，OD ，PE ，PF ．
∵点P 与点C 关于OA 对称，
∴OA 垂直平分PC ，
∴∠COA=∠AOP ，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP ，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA +∠DOB=∠AOP +∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF 的周长=PE+EF +FP=CE+EF +FD=CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△COD 是等边三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°．
5．如图，在边长为1正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E 点出发，经过F 、G 、H ，最后回点E 点，则蚂蚁所走的最小路程是（ ）
A ．2 B ．4 C ． D．
解：延长DC 到D' ，使CD=CD'，G 关于C 对称点为G' ，则FG=FG'，
同样作D'A' ⊥CD' ，D'A'=DA，H 对应的位置为H' ，则G'H'=GH，
再作A'B' ⊥D'A' ，E 的对应位置为E' ，
则H'E'=HE．
容易看出，当E 、F 、G' 、H' 、E' 在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'===2．
6．已知∠AOB=30°，在OA 上有一点M ，OM=10cm，现要在OB 、OA 上分别找点Q 、N ，使QM +QN 最小，则其最小值为（ ）
A ． B． C．5 D ．3
解：作ME ⊥OB 与OB 相交于E ，并将ME 延长一倍到M′，即M′E=ME，
作M′N⊥OA 与OB 相交于Q ，与OA 相交于N ，再连接MQ ，则QM +QN 最小，
∵∠AOB=30°，OM=10 cm，
∴EM=OM•sin30°=5cm，∠OMM′=60°，
∴MM′=10cm，
∴M′N=MM′•sin60°=5
即QM +QN 最小值为5cm ， cm ．
7．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，点P 是腰AD 上的一个动点，要使PC +PB 最小，则点P 应该满足（ ）
A ．PB=PC B ．PA=PD C ．∠BPC=90° D ．∠APB=∠DPC
【解答】解：如图，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE 交AD 于P ，连接CP ．
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD ，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD ，
所以∠APB=∠DPC ．
故选D ．
8．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=120°，点P 是底边AC 上一个动点，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，若PM +PN 的最小值为2，则△ABC 的周长是（ ）
A ．2 B ．2+ C ．4 D ．4+2
解：作M 点关于AC 的对称点M′，连接M'N ，则与AC 的交点即是P 点的位置，
∵M ，N 分别是AB ，BC 的中点，
∴MN 是△ABC 的中位线，
∴MN ∥AC ，∴
∴PM′=PN，
即：当PM +PN 最小时P 在AC 的中点，
∴MN=AC ∴PM=PN=1，MN=
∴AC=2， ，
AB=BC=2PM=2PN=2
∴△ABC 的周长为：2+2+2=4+
2 ．
的最小值是（ ）
9．已知：a 、b 是正数，且a +b=2，则A ． B ． C ． D ．
解：∵a ，b 均为正数，a +b=2，b=2﹣a ，
设W=+=+，
从上式可以看出：W 表示x 轴上一点C （a ，0）到A （0，2），B （2，﹣1）的距离之和，
最小值为AB=
∴W 最小值=（注意取值范围：0＜a ＜2）， ，
10．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是（ ）
A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC
解：如图连接PC ，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD ⊥BC ，
∴PB=PC，
∴PB +PE=PC+PE ，
∵PE +PC ≥CE ，
∴P 、C 、E 共线时，PB +PE 的值最小，最小值为CE 的长度，
11．如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点D 在BC 上，BD=3，DC=1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB 于P ，连接CP ．
此时DP +CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵BD=3，DC=1
∴BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC ，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′===5．
12．如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）
A ．5 B ．10 C ．10 D ．15
解：作点E 关于BC 的对称点E′，连接E′G交BC 于点F ，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点G 作GG′⊥AB 于点G′，如图所示．
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G=∴C 四边形EFGH =2E′G=10．
=5，
13．如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PD 的最小值是（ ）
A ．3 B ．10 C ．9 D ．9
解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P′，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴点B 与D 关于AC 对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，为BE 的长度．
∵直角△CBE 中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，
∴BE==3．
14．如图，已知正比例函数y=kx（k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx（k ＞0）的图象上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为（ ）
A ．2 B ．4sin40° C ．2 D ．4sin20°（1+cos20°+sin20°cos20°）
解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y=kx对称，直线OD 、直线y=kx关于y 轴对称，点A′是点A 关于直线y=kx的对称点．
作A′E⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y=kx于M ，作PN ⊥直线y=kx垂足为N ，
∵PN=PE，AM=A′M，
∴AM +PM +PN=A′M+PM +PE=A′E最小（垂线段最短），
在RT △A′EO中，∵∠A′EO=90°，OA′=4，∠A′OE=3∠AOM=60°，
∴OE=OA′=2，A′E=∴AM +MP +PN 的最小值为2．
==2．
故选C ．
15．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ=
时，四边形APQE 的周长最小．
解：点A 向右平移3个单位到M ，点E 关于BC 的对称点F ，连接MF ，交BC 于Q ，
此时MQ +EQ 最小，
∵PQ=3，DE=CE=2，AE==2，
∴要使四边形APQE 的周长最小，只要AP +EQ 最小就行，
即AP +EQ=MQ+EQ 过M 作MN ⊥BC 于N ，
设CQ=x，则NQ=8﹣3﹣x=5﹣x ，
∵△MNQ ∽△FCQ ， ∴=
∵MN=AB=4，CF=CE=2，CQ=x，QN=5﹣x ，
解得：x=，则CQ= 故答案为：．
16．已知y=+，则y 的最小值是
解：作线段AB=4，
作线段AC ⊥AB ，且AC=1，作BD ⊥AB ，且BD=2，并且D 和C 在AB 的两侧，过D 作DM ∥AB ，交CA 的延长线于M ，
在直线AB 上任取一点E ，显然有CE +DE ≥CD ，
即当连接CD 交AB 于E ，此时CE +DE=CD，
这时CD 的长就是AC +BD 的最小值．，
设BE=x，在Rt △DBE 中，DE=同理DE=
==， ，
在Rt △CMD 中，MC=MA+AC=BD+AC=1+2=3；DM=AB=4， CD=
==5，
即y 的最小值是CD=5，
17．如图，C 为线段BD 上一个动点，分别过B 、D 两点作AB ⊥BD 于B 点、ED ⊥BD 于D 点，连接AC 、EC ，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x，则BC=8﹣x ，那么
CE=
AC +CE=+，则AC +CE 的最小值是．
，
AC=，那么
解：过点E 作EF ∥BD ，交AB 的延长线于F 点
根据题意，四边形BDEF 为矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE==10．
即AC +CE 的最小值是10．
18．如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 4 ．
解：如图，在AC 上截取AE=AN，连接BE ．
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
∴∠EAM=∠NAM ，
在△AME 与△AMN 中，
∴△AME ≌△AMN （SAS ），
∴ME=MN．
∴BM +MN=BM+ME ≥BE ．
∵BM +MN 有最小值．
当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，
又AB=4
∴BE=4，
即BE 取最小值为4，
∴BM +MN 的最小值是4．
故答案为：4．
，∠BAC=45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形， ，
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19．在直角坐标系中有四个点A （﹣6，3），B （﹣2，5），C （0，m ），D （n ，0），当四边形ABCD 周长最短时，则m +n= 0 ．
解：∵四边形ABCD 周长最短，AB 长度一定，
∴必须使AD +CD +BC 最短，即A′、D 、C 、B′共线，
作A 点关于x 轴的对称点为A′，B 点关于y 轴的对称点是B′，
设直线A′B′为y=kx+b ，
则A′（﹣6，﹣3），B′（2，5），
将其代入直线中得：k=1，b=3，
∴y=x+3，
∵C （0，m ），D （n ，0），
代入直线方程中，得：m=3，n=﹣3，
∴m +n=0．
故填0．
20．已知点A （0，2），B （4，0）．点C ，D 分别在直线x=1与x=2上，且CD ∥x 轴，则AC +CD +DB 的最小
解：作法如图，过A 作直线x=1的垂线，垂足为M ，连接BM 交直线x=2于D 点，过D 点作直线x=1的垂线，垂足为C 点，
此时，AC +CD +DB 的最小，
AC +CD +DB=MD+CD +DB=BM+CD=
+CD=+1．
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