能力加速度
一、精心选一选——慧眼识金
1将如图1-4-6所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽, 使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计), 则围成的圆锥形纸帽是(
)
图
1-4-6
图1-4-7
解析:借助实际操作可知应选B, 故排除A 、C 、D 选项. 答案:B
2. 观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民年人均收入每年比上年增长率的统计图（图1-4-8），下列说法中正确的是(
)
图1-4-8 A.2003年农村居民年人均收入低于2002年
B. 农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年 C. 农村居民年人均收入最多的是2004年
D. 农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小, 但农村居民年人均收入在持续增加 解析:由统计图可知2003年比2002年的增长率高5.6%,故排除A, 农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有3年, 故排除B, 因2005年的增长率为11.9, 故排除C, 选D. 答案:D
3y=ax2+bx与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
图1-4-9
解析:在选项A 中, 二次函数y=ax2+bx的a>0,b=0,而对函数y=ax+b来说, 其a>0,b>0,则这两个函数解析式中的b 的取值不一样, 故排除A, 同样在选项B 中, 二次函数y=ax2+bx的a>0,b>0,而对函数y=ax+b来说, 其a>0,b>0.但是从图象上看点(0,b)在y=ax2+bx的图象上, 而将(0,b)代入y=ax2+bx时y=0,而不等于b, 故排除B, 在选项D 中二次函数y=ax2+bx的a>0,b>0,而对函数y=ax+b来说,a
4. 实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图1-4-10所示, 下列式子中正确的有( ) ①b+c>0 ②a+b>a+c ③bc>ac ④
ab>ac
图1-4-10
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:由图象可知cb>0,|c|>|b|,故②③④正确, ①不正确. 答案:C
5. 若直线y=mx+4,x=1,x=4和x 轴围成的直角梯形的面积是7, 则m 的值为( )
123
B.- C.- D.-2 232
[(m +4) +(4m +4)]⨯3
解析:由题意,S 梯形==7.
2
2
解得m=-.
3
A.-答案:B
6. 某班学生的数学考试成绩(分数均为正整数) 的频数直方图如图1-4-11所示, 根据图示信息可知该班的人数是(
)
图1-4-11
A.60 B.50 C.45 D.40 解析:观察图象并计算可得. 答案:D
7. 已知反比例函数y=
1
的图象上有两点A(x1,y 1),B(x2,y 2), 且x 1
( )
A.y 1y2 C.y 1=y2 D.y 1与y 2之间的大小关系不能确定 解析:画出示意图, 观察图象可得其图象具有两个分支. 当0
当x 1
8. 如图1-4-12(1),在大房间一面墙壁上, 边长为15 cm的正六边形A(如图(2))横排20片和以其一部分所形成的梯形B, 三角形C 、D 、E, 菱形F 等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起, 已知墙壁高3.3 m,请你仔细观察各层瓷砖的排列特点, 计算其中菱形F 瓷砖需使用(
)
图1-4-12
A.220片 B.200片 C.180片 D.190片 解析:观察图象通过计算可得. 答案:B
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-4-13所示, 则下列结论正确的是(
)
图1-4-13
A.a>0,b0 B.a0 C.a0,c0,c>0 解析:观察图象可得开口向下,a
b
>0,即b>0.图象与y 轴的交点在2a
x 轴上方, 所以c>0. 答案:D
10. 抛物线y=ax2+bx+c与x 轴交于A 、B 两点,Q(2,k)是该抛物线上一点, 且AQ ⊥BQ, 则ak 的值等于( )
A.-1 B.-2 C.2 D.3 解析:如图, 因为AQ ⊥BQ,CQ ⊥AB,
所以△ACQ ∽△AQB. 所以CQ 2=AC·BC.
又因为AC·BC=(2-x1)(x2-2)=-x1x 2+2(x1+x2)-4=-所以k 2=-
c 2b
--4,CQ=|k|, a a
c 2b --4. 所以-ak 2=4a+2b+c. a a
因为点Q 是抛物线上一点, 所以4a+2b+c=k. 所以-ak 2=k.所以ak=-1. 答案:A
11. 如图1-4-14,OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象, 图中s 和t 分别表示运动的路程和时间, 根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快(
)
图1-4-14
A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米 解析:观察图, 可得v 快=
6464-12=8(米/秒),v 慢==6.5(米/秒),8-6.5=1.5(米/秒). 88
答案:C
二、耐心填一填——一锤定音
12. 某型号汽油的数量与相应金额的关系如图1-4-15所示, 那么这种汽油的单价是每升________________元
.
图1-4-15
解析:直线可看作正比例函数图象, 解析式为y=5.09x. 当x=1时,y=5.09. 答案:5.09
13. 如图1-4-16, 把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中, 使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上, 连结OB, 将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在点A′的位置. 若OB=,tan ∠BOC=A′的坐标为_____________.
1
, 则点2
图1-4-16
解析:如图, 过点A′作A′E⊥EO 于点E,A′G⊥CO 于点G
,
设BF=x,FC=y,则根据勾股定理得BF 2=CF2+BC2, 得x 2-y 2=1,又因BF=FO, 由此得x+y=2,解上面两式组成的方程组得x=则S △A′OB=
53
,y=, 44
11
［A′G×FO+BC×FO］=OA×AB, 22
3
解得A′G=EO=.
5
4
又因OA′=1,则由勾股定理得A′E=,
5
34
由此得A′(-, ).
5534答案:(-, )
55
14.(2006江西南昌中考,16) 如图1-4-17, 用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案
:
图1-4-17
(1)第4个图案中有白色纸片____________张; (2)第n 个图案中有白色纸片____________张.
解析:由图案中有白色纸片张数4,7,10不难发现每加一个黑色纸片就增加3个白色纸片. 答案:(1)13 (2)3n+1 15. 在数学活动中, 小明为了求
11111
+2+3+4+ +n 的值(结果用n 表示), 设计如图22222
1-4-18所示的几何图形. (1)请你利用这个几何图形求
11111
+2+3+4+ +n 的值为
________________. 22222
图1-4-18
(2)请你利用图1-4-18, 再设计一个能求
11111
+2+3+4+ +n 的值的几何图形. 22222
111111
解析:(1)+2+3+4+ +n 的值是正方形的面积中去掉了多少, 即1-n .
222222
(2)如图
.
答案:(1)1-
1
;(2)如上图. 2n
方法点拨:(2)的关键是把图形的面积分成一半, 只要把握住这个实质性的问题, 那么就好做了. 16. 已知关于x 的方程x 2-(3m+1)x+(m+4)=0的两个实数根, 一个根大于1, 另一个根小于1, 则m 的取值范围是_________________.
解析:画出函数y=x2-(3m+1)x+m+4的大致图象, 可知当x=1时,y2. 答案:m>2
三、用心做一做——马到成功
17. 我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中, 数和形是两个最主要的研究对象, 它们之间有着十分密切的联系, 在一定条件下, 数和形之间可以相互转化, 相互渗透.
数形结合的基本思想, 就是在研究问题的过程中, 注意把数和形结合起来考查, 斟酌问题的具体情形, 把图形性质的问题转化为数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 化难为易, 获得简便易行的成功方案. 例如, 求1+2+3+4+…+n的值, 其中n 是正整数.
对于这个求和问题, 如果采用纯代数的方法(首尾两头加), 问题虽然可以解决, 但在求和过程中, 需对n 的奇偶性进行讨论.
如果采用数形结合的方法, 即用图形的性质来说明数量关系的事实, 那就非常的直观. 现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值, 方案如下:如图1-4-19, 斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3, …,n 个小圆圈排列组成的. 而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值. 为求式子的值, 现把左边三角形倒放于斜线右边, 与原三角形组成一个平行四边形. 此时, 组成平行四边形的小圆圈共有n 行, 每行有(n+1)个小圆圈, 所以组
成平行四边形小圆圈的总个数为n(n+1)个, 因此, 组成一个三角形小圆圈的个数为即1+2+3+4+…+n=
n (n +1)
, 2
n
(n +1)
. 2
图1-4-19
(1)仿照上述数形结合的思想方法, 设计相关图形, 求1+3+5+7+…+(2n-1)的值, 其中n 是正整数.(要求:画出图形, 并利用图形做必要的推理说明)
(2)试设计另外一种图形, 求1+3+5+7+…+(2n-1)的值, 其中n 是正整数.(要求:画出图形, 并利用图形做必要的推理说明) 解:
(1)
因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行, 每行有［(2n-1)+1］个, 即2n 个, 所以组成此平行四边形的小圆圈共有(n×2n) 个, 即2n 2个. ∴1+3+5+7+…+(2n-1)=(2)
n ⨯[(2n -1) +1]2
=n.
2
因为组成此正方形的小圆圈共有n 行, 每行有n 个, 所以共有(n×n) 个, 即n 2个. ∴1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2.
18.(2006浙江金华中考,23) 初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中, 进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料, 将它设计成外观为长方形的三种框架, 使长方形框架面积最大. 小组讨论后, 同学们做了以下三种试验
:
图1-4-20
请根据图1-4-20回答下列问题:
(1)在图1-4-20(1)中, 如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和) 为6 m, 当AB 为1 m, 长方形框架ABCD 的面积是_____________ m2;
(2)在图1-4-20(2)中, 如果铝合金材料总长度为6 m,设AB 为x m,长方形框架ABCD 的面积为S=_____________ (用含x 的代数式表示); 当AB=_____________ m时, 长方形框架ABCD 的面积S 最大; 在图1-4-20(3)中, 如果铝合金材料总长度为l m,设AB 为x m,当AB=___________
m 时, 长方形框架ABCD 的面积S 最大;
(3)经过这三种情形的试验, 他们发现对于图1-4-21这样的情形也存在着一定的规律.
探索:如图1-4-21, 如果铝合金材料总长度为l m,共有n 条竖档时, 那么当竖档AB 为多少时, 长方形框架ABCD 的面积最大
?
图1-4-21
解:(1)
4l (2)-x2+2x 1 38
l -nx
, 3
(3)设AB 长为x m,那么AD 为
l -nx n 1
=-x 2+x . 333l 当x=时,S 最大.
2n
19. 如图1-4-22, 直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别相交于点B 、点C, 经过B 、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A, 顶点为P, 且对称轴是直线
x=2.
图1-4-22
(1)求A 点的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连结AC. 请问在x 轴上是否存在点Q, 使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似, 若存在, 请求出点Q 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 解:(1)∵直线y=-x+3与x 轴相交于点B, ∴当y=0时,x=3. ∴点B 的坐标为(3,0). 又∵抛物线过x 轴上的A 、B 两点, 且对称轴为x=2,根据抛物线的对称性, ∴点A 的坐标为(1,0). (2)∵y=-x+3过点C, 易知C(0,3), ∴c=3. 又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0), ∴⎨
⎧a +b +3=0, ⎧a =1,
解得⎨
⎩9a +3b +3=0. ⎩b =-4.
∴y=x2-4x+3.
(3)连结PB, 由y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 得P(2,-1),
设抛物线的对称轴交x 轴于点M, 在Rt △PBM 中,PM=MB=1, ∴∠PBM=45°,PB=2.
由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰Rt △OBC 中, ∠ABC=45°, 由勾股定理, 得BC=32.
假设在x 轴上存在点Q, 使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似. ①当
BQ PB
=, ∠PBQ=∠ABC=45°时, △PBQ ∽△ABC, BC AB
即
BQ 32
=
2. 2
∴BQ=3. 又∵BO=3,∴点Q 与点O 重合. ∴Q 1的坐标是(0,0). ②当
QB PB
=, ∠QBP=∠ABC=45°时, △QBP ∽△ABC, AB BC
即
QB 2
. =
232
2
. 3
27=. 33
∴QB=
∵OB=3, ∴OQ=OB-QB=3-∴Q 2的坐标是(
7
,0). 3
∵∠PBx=180°-45°=135°, ∠BAC
7
,0), 能使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 3
能力加速度
一、精心选一选——慧眼识金
1将如图1-4-6所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽, 使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计), 则围成的圆锥形纸帽是(
)
图
1-4-6
图1-4-7
解析:借助实际操作可知应选B, 故排除A 、C 、D 选项. 答案:B
2. 观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民年人均收入每年比上年增长率的统计图（图1-4-8），下列说法中正确的是(
)
图1-4-8 A.2003年农村居民年人均收入低于2002年
B. 农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年 C. 农村居民年人均收入最多的是2004年
D. 农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小, 但农村居民年人均收入在持续增加 解析:由统计图可知2003年比2002年的增长率高5.6%,故排除A, 农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有3年, 故排除B, 因2005年的增长率为11.9, 故排除C, 选D. 答案:D
3y=ax2+bx与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
图1-4-9
解析:在选项A 中, 二次函数y=ax2+bx的a>0,b=0,而对函数y=ax+b来说, 其a>0,b>0,则这两个函数解析式中的b 的取值不一样, 故排除A, 同样在选项B 中, 二次函数y=ax2+bx的a>0,b>0,而对函数y=ax+b来说, 其a>0,b>0.但是从图象上看点(0,b)在y=ax2+bx的图象上, 而将(0,b)代入y=ax2+bx时y=0,而不等于b, 故排除B, 在选项D 中二次函数y=ax2+bx的a>0,b>0,而对函数y=ax+b来说,a
4. 实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图1-4-10所示, 下列式子中正确的有( ) ①b+c>0 ②a+b>a+c ③bc>ac ④
ab>ac
图1-4-10
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:由图象可知cb>0,|c|>|b|,故②③④正确, ①不正确. 答案:C
5. 若直线y=mx+4,x=1,x=4和x 轴围成的直角梯形的面积是7, 则m 的值为( )
123
B.- C.- D.-2 232
[(m +4) +(4m +4)]⨯3
解析:由题意,S 梯形==7.
2
2
解得m=-.
3
A.-答案:B
6. 某班学生的数学考试成绩(分数均为正整数) 的频数直方图如图1-4-11所示, 根据图示信息可知该班的人数是(
)
图1-4-11
A.60 B.50 C.45 D.40 解析:观察图象并计算可得. 答案:D
7. 已知反比例函数y=
1
的图象上有两点A(x1,y 1),B(x2,y 2), 且x 1
( )
A.y 1y2 C.y 1=y2 D.y 1与y 2之间的大小关系不能确定 解析:画出示意图, 观察图象可得其图象具有两个分支. 当0
当x 1
8. 如图1-4-12(1),在大房间一面墙壁上, 边长为15 cm的正六边形A(如图(2))横排20片和以其一部分所形成的梯形B, 三角形C 、D 、E, 菱形F 等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起, 已知墙壁高3.3 m,请你仔细观察各层瓷砖的排列特点, 计算其中菱形F 瓷砖需使用(
)
图1-4-12
A.220片 B.200片 C.180片 D.190片 解析:观察图象通过计算可得. 答案:B
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-4-13所示, 则下列结论正确的是(
)
图1-4-13
A.a>0,b0 B.a0 C.a0,c0,c>0 解析:观察图象可得开口向下,a
b
>0,即b>0.图象与y 轴的交点在2a
x 轴上方, 所以c>0. 答案:D
10. 抛物线y=ax2+bx+c与x 轴交于A 、B 两点,Q(2,k)是该抛物线上一点, 且AQ ⊥BQ, 则ak 的值等于( )
A.-1 B.-2 C.2 D.3 解析:如图, 因为AQ ⊥BQ,CQ ⊥AB,
所以△ACQ ∽△AQB. 所以CQ 2=AC·BC.
又因为AC·BC=(2-x1)(x2-2)=-x1x 2+2(x1+x2)-4=-所以k 2=-
c 2b
--4,CQ=|k|, a a
c 2b --4. 所以-ak 2=4a+2b+c. a a
因为点Q 是抛物线上一点, 所以4a+2b+c=k. 所以-ak 2=k.所以ak=-1. 答案:A
11. 如图1-4-14,OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象, 图中s 和t 分别表示运动的路程和时间, 根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快(
)
图1-4-14
A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米 解析:观察图, 可得v 快=
6464-12=8(米/秒),v 慢==6.5(米/秒),8-6.5=1.5(米/秒). 88
答案:C
二、耐心填一填——一锤定音
12. 某型号汽油的数量与相应金额的关系如图1-4-15所示, 那么这种汽油的单价是每升________________元
.
图1-4-15
解析:直线可看作正比例函数图象, 解析式为y=5.09x. 当x=1时,y=5.09. 答案:5.09
13. 如图1-4-16, 把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中, 使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上, 连结OB, 将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在点A′的位置. 若OB=,tan ∠BOC=A′的坐标为_____________.
1
, 则点2
图1-4-16
解析:如图, 过点A′作A′E⊥EO 于点E,A′G⊥CO 于点G
,
设BF=x,FC=y,则根据勾股定理得BF 2=CF2+BC2, 得x 2-y 2=1,又因BF=FO, 由此得x+y=2,解上面两式组成的方程组得x=则S △A′OB=
53
,y=, 44
11
［A′G×FO+BC×FO］=OA×AB, 22
3
解得A′G=EO=.
5
4
又因OA′=1,则由勾股定理得A′E=,
5
34
由此得A′(-, ).
5534答案:(-, )
55
14.(2006江西南昌中考,16) 如图1-4-17, 用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案
:
图1-4-17
(1)第4个图案中有白色纸片____________张; (2)第n 个图案中有白色纸片____________张.
解析:由图案中有白色纸片张数4,7,10不难发现每加一个黑色纸片就增加3个白色纸片. 答案:(1)13 (2)3n+1 15. 在数学活动中, 小明为了求
11111
+2+3+4+ +n 的值(结果用n 表示), 设计如图22222
1-4-18所示的几何图形. (1)请你利用这个几何图形求
11111
+2+3+4+ +n 的值为
________________. 22222
图1-4-18
(2)请你利用图1-4-18, 再设计一个能求
11111
+2+3+4+ +n 的值的几何图形. 22222
111111
解析:(1)+2+3+4+ +n 的值是正方形的面积中去掉了多少, 即1-n .
222222
(2)如图
.
答案:(1)1-
1
;(2)如上图. 2n
方法点拨:(2)的关键是把图形的面积分成一半, 只要把握住这个实质性的问题, 那么就好做了. 16. 已知关于x 的方程x 2-(3m+1)x+(m+4)=0的两个实数根, 一个根大于1, 另一个根小于1, 则m 的取值范围是_________________.
解析:画出函数y=x2-(3m+1)x+m+4的大致图象, 可知当x=1时,y2. 答案:m>2
三、用心做一做——马到成功
17. 我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中, 数和形是两个最主要的研究对象, 它们之间有着十分密切的联系, 在一定条件下, 数和形之间可以相互转化, 相互渗透.
数形结合的基本思想, 就是在研究问题的过程中, 注意把数和形结合起来考查, 斟酌问题的具体情形, 把图形性质的问题转化为数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 化难为易, 获得简便易行的成功方案. 例如, 求1+2+3+4+…+n的值, 其中n 是正整数.
对于这个求和问题, 如果采用纯代数的方法(首尾两头加), 问题虽然可以解决, 但在求和过程中, 需对n 的奇偶性进行讨论.
如果采用数形结合的方法, 即用图形的性质来说明数量关系的事实, 那就非常的直观. 现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值, 方案如下:如图1-4-19, 斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3, …,n 个小圆圈排列组成的. 而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值. 为求式子的值, 现把左边三角形倒放于斜线右边, 与原三角形组成一个平行四边形. 此时, 组成平行四边形的小圆圈共有n 行, 每行有(n+1)个小圆圈, 所以组
成平行四边形小圆圈的总个数为n(n+1)个, 因此, 组成一个三角形小圆圈的个数为即1+2+3+4+…+n=
n (n +1)
, 2
n
(n +1)
. 2
图1-4-19
(1)仿照上述数形结合的思想方法, 设计相关图形, 求1+3+5+7+…+(2n-1)的值, 其中n 是正整数.(要求:画出图形, 并利用图形做必要的推理说明)
(2)试设计另外一种图形, 求1+3+5+7+…+(2n-1)的值, 其中n 是正整数.(要求:画出图形, 并利用图形做必要的推理说明) 解:
(1)
因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行, 每行有［(2n-1)+1］个, 即2n 个, 所以组成此平行四边形的小圆圈共有(n×2n) 个, 即2n 2个. ∴1+3+5+7+…+(2n-1)=(2)
n ⨯[(2n -1) +1]2
=n.
2
因为组成此正方形的小圆圈共有n 行, 每行有n 个, 所以共有(n×n) 个, 即n 2个. ∴1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2.
18.(2006浙江金华中考,23) 初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中, 进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料, 将它设计成外观为长方形的三种框架, 使长方形框架面积最大. 小组讨论后, 同学们做了以下三种试验
:
图1-4-20
请根据图1-4-20回答下列问题:
(1)在图1-4-20(1)中, 如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和) 为6 m, 当AB 为1 m, 长方形框架ABCD 的面积是_____________ m2;
(2)在图1-4-20(2)中, 如果铝合金材料总长度为6 m,设AB 为x m,长方形框架ABCD 的面积为S=_____________ (用含x 的代数式表示); 当AB=_____________ m时, 长方形框架ABCD 的面积S 最大; 在图1-4-20(3)中, 如果铝合金材料总长度为l m,设AB 为x m,当AB=___________
m 时, 长方形框架ABCD 的面积S 最大;
(3)经过这三种情形的试验, 他们发现对于图1-4-21这样的情形也存在着一定的规律.
探索:如图1-4-21, 如果铝合金材料总长度为l m,共有n 条竖档时, 那么当竖档AB 为多少时, 长方形框架ABCD 的面积最大
?
图1-4-21
解:(1)
4l (2)-x2+2x 1 38
l -nx
, 3
(3)设AB 长为x m,那么AD 为
l -nx n 1
=-x 2+x . 333l 当x=时,S 最大.
2n
19. 如图1-4-22, 直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别相交于点B 、点C, 经过B 、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A, 顶点为P, 且对称轴是直线
x=2.
图1-4-22
(1)求A 点的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连结AC. 请问在x 轴上是否存在点Q, 使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似, 若存在, 请求出点Q 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 解:(1)∵直线y=-x+3与x 轴相交于点B, ∴当y=0时,x=3. ∴点B 的坐标为(3,0). 又∵抛物线过x 轴上的A 、B 两点, 且对称轴为x=2,根据抛物线的对称性, ∴点A 的坐标为(1,0). (2)∵y=-x+3过点C, 易知C(0,3), ∴c=3. 又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0), ∴⎨
⎧a +b +3=0, ⎧a =1,
解得⎨
⎩9a +3b +3=0. ⎩b =-4.
∴y=x2-4x+3.
(3)连结PB, 由y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 得P(2,-1),
设抛物线的对称轴交x 轴于点M, 在Rt △PBM 中,PM=MB=1, ∴∠PBM=45°,PB=2.
由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰Rt △OBC 中, ∠ABC=45°, 由勾股定理, 得BC=32.
假设在x 轴上存在点Q, 使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似. ①当
BQ PB
=, ∠PBQ=∠ABC=45°时, △PBQ ∽△ABC, BC AB
即
BQ 32
=
2. 2
∴BQ=3. 又∵BO=3,∴点Q 与点O 重合. ∴Q 1的坐标是(0,0). ②当
QB PB
=, ∠QBP=∠ABC=45°时, △QBP ∽△ABC, AB BC
即
QB 2
. =
232
2
. 3
27=. 33
∴QB=
∵OB=3, ∴OQ=OB-QB=3-∴Q 2的坐标是(
7
,0). 3
∵∠PBx=180°-45°=135°, ∠BAC
7
,0), 能使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 3