教学参谋
解法探究2014年12月
高中数学解题中向量方法的应用探讨
筅江苏省盐城市教育科学研究院
徐明悦
首先，目前我国的高中生有非常大的习题量，复杂多变的题型使很多学生解答起来非常吃力. 向量是高中数学教学中非常重要的知识点，并且通过向量能够解决多种类型的习题. 其次，随着新课程改革的不断加深，要求学生不能仅仅掌握向量的理论知识，还要能够将向量知识应用到实际生活中，来解决实际生活中的难题. 所以无论从哪方面来说，高中学校都要加强向量的教学力度，提高学生应用向量的能力.
向量已经被全面地应用到数学的研究工具. 到20世纪，
领域. 在20世纪90年代，我国才将向量知识引入到高中数学教学大纲中，并且向量知识也一直是高中教学的重点.
向量在数学建模、线性代数、抽象代数等多个数学分支中都有非常重要的应用，通过良好的运用向量知识，也能够更好对这几个分支的习题进行有效解答. 由于向量是有长度、有方向的线段，所以不仅能够利用向量来表达空间物体的具体位置，还可以将向量应用到几何学中，能够将空间的物体通过向量来表示，然后通过也能够表达平面向量来解答问题. 通过向量的方向性，
一、向量的概括
在19世纪，向量就已经成为物理学家、数学家重要
k 1+k2=2k 3. 定理2证完. 所以，
定理2中令m=c即得定理1，故定理1是定理2的特殊情形，证明了定理2就意味着也证明了定理1.
双曲线、抛物线也有类似结论.
定理3：若过点M （m ，0）（|m|>a）作直线l 1⊥x 轴，与双x 2y 2
曲线2-2=1（a>0，b>0）相交于两点，其中一点为P ，过
a b 点M 作一动直线（不与l 1重合）与双曲线交于A 、B 两点，与
a 2
x=交于点N ，记PA ，PB ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，直线l 2：m k 3，则k 1+k2=2k 3.
仿定理2可证，略去.
定理4：若过点M （m ，0）（m>0）作直线l 1⊥x 轴，与抛物
所以y 1+y2=k（x 1-m ）+k（x 2-m ）=-2pm
. k 2
2p ，（x 1-m ）（x 2-m ）=k
易得P （m ，±姨，不失一般性，取P （m ，. 姨y -y 2-姨所以k 1+k2=1姨+
x 1-m x 2-m
%1
=x 1y 2+x2y 1-姨x 1+x2）-m （y 1+y2）（x 1-m ）（x 2-m ）+2m 姨］
%1
=2kx 1x 2-（mk+姨（x 1+x2）-m （y 1+（x 1-m ）（x 2-m ））+2m 姨y 2
k 2%（mk+姨（2mk 2+2p ）2pm =-2km 2--2m +姨
2pm k 2k
%%
%
%
%%
（p>0）相交于两点，其中一点为P ，过点M 作一动线y 2=2px
直线（不与l 1重合）与抛物线交于A 、B 两点，与直线l 2：x=记PA ，PB ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1+-m 交于点N ，
k 2=2k 3.
证明：显然，直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 的
姨
%
%
姨
方程为y=k（x-m ），代入y 2=2px ，整理得，k 2m 2-（2mk 2+2p ）x+k m =0.
2
2
=2k+姨.
m
也易得N （-m ，-2mk ）.
+2mk 所以k 3=姨=k+姨.
2m 2m
故k 1+k2=2k 3. FH
%
%
2mk 2+2p
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x2=，x 1x 2=m2. 2
k
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2014年12
月解法探究
教学参谋
中的直线的关系等. 例1如图1，正三棱柱ABC-
二、课题研究的意义
向量是目前近代数学非常重要的一种工具，因为向有方向的线段，所以其不但能够解决量是一种有长度、
代数的问题，而且还能够解决几何图形的问题，所以其能够成为近代数学重要的工具. 在高中数学教学中，向空量是非常重要的知识点，通过向量能够对解析几何、间几何、平面几何等多个领域进行分析、解答，能够将非常复杂的问题简单化，提高学生的解题效率和质量. 但是目前我国大部分的高中生对向量的认识不足. 据调查显示，首先，很多的学生在学习向量时，只进行死记公运算等工作，处于低级应用向量知识的阶段. 其次，式、
学生没有对向量知识体系进行充分的了解，往往忽视向量的特点，没有将其应用到更多的领域，而且很多学生不清楚各个数学领域之间的联系，所以在应用向量知识时，也非常的单一、片面. 第三，没有充分发挥向量的解题功能. 大多数学生表示明白向量解题的优势，但是在实际解题中不会首先想到利用向量来解答，依然通过传统的解题方式，只有一些明确规定或者特别明显需要利用向量解答的题型，学生才会利用向量来进行做答. 第四，现今高中数学教材中很多重要定理都是通过向量的知识证明的，但是往往在教学过程中，学生仅仅记住了证明的结果，却没有在意利用向量证明的过程，这就使得学生不能对向量进行更加深刻的了解. 如果学生没有对向量进行深刻的思考，就不能够有效地掌握向量知识，更不能保证学生能够将向量方式应用到解题中. 第五，目前高中习题中应用向量方法解题的习题过少，这就会使学生对传统解题方法产生依赖性，导致学生很难将向量方法作为解题的第一顺位.
本文对向量在高中数学解题中的应用进行简要的探讨，希望高中教师要认识到向量解题方法的重要性，从而进行良好的向量教学，进而提高学生应用向量工具的能力，保证学生能够更好地解决各方面问题，保证学生能够更好的发展.
D 为CC 1的A 1B 1C 1的所有棱长都为2，中点.
（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A-A 1D-B 的大小. 解：（Ⅰ）如图2，取BC 的中点
B
图1z B B 1
图2
B 1
A 1C 1
O ，连接AO.
由△ABC 为正三角形，得AO ⊥BC.
在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，则AO ⊥平面BCC 1B 1.
x
A 1C 1O 1y
A A A A A A
O B 、OO 1、O A 的方向为取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，
x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （1，0，0）、D （-1，1，0）、A （2，、A （0，0，、B （2，0）. 姨姨10，11，
A A A A A A %%AB 1=B D=BA 1=（1，2，-姨，（-2，1，0），（-1，2，. 姨A A A A A A A A A A
B D=-AB BA AB 1⊥由AB ·2+2+0=0，·=-1+4-3=0，得111
A A A A A A B D ，AB 1⊥BA 1.
则AB 1⊥平面A 1BD.
（Ⅱ）设n =（x ，y ，z ）是平面A 1AD 的一个法向量.
A A A A %
AA 1=A D=（-1，1，-姨，（0，2，0）.
A A A A %
由n ⊥A D ，n ⊥AA 1，得-x+y-姨z=0，2y=0. 则y=0，x=-姨z.
令z=1，所以n =（-姨，0，1）为平面A 1AD 的一个法向量.
根据（Ⅰ）得出AB 1是平面A 1BD 的一个法向量.
%
A A AB 1〉所以cos 〈n ，=-，所以二面角A-A 1D-B 的
4
%
%
%
%
大小为arccos .
4
本题如果利用传统的解题方法进行解答，那么势必需要非常大的计算量，进而会增大失误率. 通过向量的能够将方法，能够比较简单地解答此题. 利用向量知识，空间几何问题转化成为代数问题，从而能够有效解决学生空间想象能力不足的问题，从而提高学生解题的自信. 解决立体几何问题的传统方法，不但需要学生具有比较好的空间想象能力，而且还需要学生有比较好的计算能力，传统的解题方法与向量的解题方法相比而言，传统解题方法的解题步骤更加烦琐，容易出现建系不合理、求错坐标、求错法向量、计算错误等错误，错误率大
高中版
%
三、向量在高中数学解题中的应用
1. 在空间几何中的应用
因为向量是有长度且有方向的线段，所以其能够代表空间图形的边，进而利用向量来解答空间几何问题. 在利用向量解答空间几何问题时，首先需要利用向量来表示出空间几何图形，然后利用向量知识来解答问题.
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幅度高于向量的解题方法. 所以在平时的训练中，高中数学教师应该多要求学生练习向量的解题方法，并且对学生解题过程中的不足进行及时指引，帮助学生体会向量解题方法的优越性，从而保证学生使用向量的积极性，最终保证学生能够良好掌握向量这个解题工具.
但是教师在对学生进行教学时，不能给学生灌输向量能够解决任何空间几何问题的思想. 因为以往很多教师认为向量是万能的，结果学生遇到空间几何图形问题时，没有对其进行充分的分析就开始利用向量进行解答，但是这样很有可能将比较简单的空间问题复杂化，而且还不利于培养学生的空间想象能力. 遇到不规则几何体时，不适合作空间直角坐标系，这就导致空间图形的各点坐标不容易表示出来，从而加大利用向量方法的解题难度，在遇到此类问题时，学生一定要对其进行充分的分析，也许传统的解题方法会更加的简单.
2. 向量在平面几何中的应用例2
%
3. 向量在不等式问题中的应用
高中生在处理不等式问题时，也可以利用向量的知往往还能够使不等式问题识进行解答. 运用向量知识，
变成非常简单的问题，从而通过非常简单的步骤就能够有效解答问题. 在解答不等式问题时，主要应用向量数量积的知识，从而简化不等式，进而更加容易地对其进行解答.
例3
已知x 、y 都大于0，并且x+y=1，证明：姨+
%
%
%
%
姨≤2姨.
证明：设向量a =（1，1），b =（姨，. 姨2
由向量数量积公式可得（1·姨+1·姨≤
%
%
（1+1）（2x+1+2y+1）.
化简得：姨+姨≤2姨. 得证.
从这道题可以看出，在解决此类不等式问题时，如果通过传统的方法，需要非常多的计算步骤，还需要很大的计算量，从而会消耗很多的时间，而且正确率也会下降. 但通过向量的知识来对其进行解答，仅仅需要非常简单的过程，而且计算量相对来说也少了很多，大幅度提高了解题的正确率和效率.
4. 向量在三角函数中的应用例4
%
%
%
已知△ABC 的顶点A （0，-4）、B （4，0）、C （-6，2），
D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求直线EF 、DE 、FD 的方程.
解：根据A 、B 、C 三点的坐标，由中点公式可得F （2，-1）、
△△△△
D （-1，1）、E （-3，-1），设DE 上一点M （x ，y ），通过D M 与D E
平行，就能够得出直线DE 的方程，同理也可以得出直线EF 、FD 的方程.
在利用向量解决平面问题时，要进行科学合理的评价，从而保证学生能够养成良好的学习习惯. 保证全体学生能够共同进步、全面发展是开展教学的最终目的，但是由于学生的学习素质有很大的差别，所以学生在进行学习时，也会表现出很大的差异. 如果学生不能对自己的学习效果进行有效、科学的评价，就会很容易导致学生之间的差距进一步增大. 所以高中数学教师在开展向量教学时，应该创建一个公平、公正的评析体系，保证从客观的角度对每位同学进行充分的分析，从而保证每个学生都能够更好的学习、成长.
学生在利用向量解决平面解析问题之后，教师要对学生的解答过程进行充分的分析，将学生的不足及时反映给学生，保证学生能够更全面的发展. 教师还要通过小组的形式来进行教学. 在解决一道题时，一个小组就有可能产生很多种解题方法，小组成员之间会对不同的简单的解题解题方法进行讨论，然后选出更加科学的、方法，从而使小组中的每个成员都能够学习到更加丰富的知识，而且还能够提高学生的合作意识，进而保证学生能够更全面的发展.
证明cos （α-β）=sin αsin β+cos αcos β.
证明：设a 、b 是平面的标准正交基，c 、d 是平面的单
位向量，设α为向量a 与d 的夹角，β为向量b 与c 的夹角，且β
由向量坐标乘积公式可得：m ·n =sin αsin β+cos αcos β. 由向量数量积公式可得：m ·n =cos （α-β）. 联立可得：cos （α-β）=sin αsin β+cos αcos β，得证. 从此题可以看出通过向量的知识来求解三角函数问题时，能够将三角问题通过非常简单的向量知识进行简化，大幅度提高学生的解题效率.
四、总结
向量是高中数学中非常重要的一个知识点，而且也是一个比较难的知识点，但是向量有非常广的应用面，其能够将非常复杂的问题简单化，所以高中数学教师要加大对向量知识的教学力度，提高学生应用向量的能力，从而提高学生应对各种数学难题的能力. 尤其是解决立体几何问题时，往往通过向量的方法能够快速、高效地解答出问题，不需要烦琐的解题步骤和大量的计算量，能够大幅度提高解题的效率和质量. WG
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高中数学解题中向量方法的应用探讨
筅江苏省盐城市教育科学研究院
徐明悦
首先，目前我国的高中生有非常大的习题量，复杂多变的题型使很多学生解答起来非常吃力. 向量是高中数学教学中非常重要的知识点，并且通过向量能够解决多种类型的习题. 其次，随着新课程改革的不断加深，要求学生不能仅仅掌握向量的理论知识，还要能够将向量知识应用到实际生活中，来解决实际生活中的难题. 所以无论从哪方面来说，高中学校都要加强向量的教学力度，提高学生应用向量的能力.
向量已经被全面地应用到数学的研究工具. 到20世纪，
领域. 在20世纪90年代，我国才将向量知识引入到高中数学教学大纲中，并且向量知识也一直是高中教学的重点.
向量在数学建模、线性代数、抽象代数等多个数学分支中都有非常重要的应用，通过良好的运用向量知识，也能够更好对这几个分支的习题进行有效解答. 由于向量是有长度、有方向的线段，所以不仅能够利用向量来表达空间物体的具体位置，还可以将向量应用到几何学中，能够将空间的物体通过向量来表示，然后通过也能够表达平面向量来解答问题. 通过向量的方向性，
一、向量的概括
在19世纪，向量就已经成为物理学家、数学家重要
k 1+k2=2k 3. 定理2证完. 所以，
定理2中令m=c即得定理1，故定理1是定理2的特殊情形，证明了定理2就意味着也证明了定理1.
双曲线、抛物线也有类似结论.
定理3：若过点M （m ，0）（|m|>a）作直线l 1⊥x 轴，与双x 2y 2
曲线2-2=1（a>0，b>0）相交于两点，其中一点为P ，过
a b 点M 作一动直线（不与l 1重合）与双曲线交于A 、B 两点，与
a 2
x=交于点N ，记PA ，PB ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，直线l 2：m k 3，则k 1+k2=2k 3.
仿定理2可证，略去.
定理4：若过点M （m ，0）（m>0）作直线l 1⊥x 轴，与抛物
所以y 1+y2=k（x 1-m ）+k（x 2-m ）=-2pm
. k 2
2p ，（x 1-m ）（x 2-m ）=k
易得P （m ，±姨，不失一般性，取P （m ，. 姨y -y 2-姨所以k 1+k2=1姨+
x 1-m x 2-m
%1
=x 1y 2+x2y 1-姨x 1+x2）-m （y 1+y2）（x 1-m ）（x 2-m ）+2m 姨］
%1
=2kx 1x 2-（mk+姨（x 1+x2）-m （y 1+（x 1-m ）（x 2-m ））+2m 姨y 2
k 2%（mk+姨（2mk 2+2p ）2pm =-2km 2--2m +姨
2pm k 2k
%%
%
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%%
（p>0）相交于两点，其中一点为P ，过点M 作一动线y 2=2px
直线（不与l 1重合）与抛物线交于A 、B 两点，与直线l 2：x=记PA ，PB ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1+-m 交于点N ，
k 2=2k 3.
证明：显然，直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 的
姨
%
%
姨
方程为y=k（x-m ），代入y 2=2px ，整理得，k 2m 2-（2mk 2+2p ）x+k m =0.
2
2
=2k+姨.
m
也易得N （-m ，-2mk ）.
+2mk 所以k 3=姨=k+姨.
2m 2m
故k 1+k2=2k 3. FH
%
%
2mk 2+2p
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x2=，x 1x 2=m2. 2
k
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教学参谋
中的直线的关系等. 例1如图1，正三棱柱ABC-
二、课题研究的意义
向量是目前近代数学非常重要的一种工具，因为向有方向的线段，所以其不但能够解决量是一种有长度、
代数的问题，而且还能够解决几何图形的问题，所以其能够成为近代数学重要的工具. 在高中数学教学中，向空量是非常重要的知识点，通过向量能够对解析几何、间几何、平面几何等多个领域进行分析、解答，能够将非常复杂的问题简单化，提高学生的解题效率和质量. 但是目前我国大部分的高中生对向量的认识不足. 据调查显示，首先，很多的学生在学习向量时，只进行死记公运算等工作，处于低级应用向量知识的阶段. 其次，式、
学生没有对向量知识体系进行充分的了解，往往忽视向量的特点，没有将其应用到更多的领域，而且很多学生不清楚各个数学领域之间的联系，所以在应用向量知识时，也非常的单一、片面. 第三，没有充分发挥向量的解题功能. 大多数学生表示明白向量解题的优势，但是在实际解题中不会首先想到利用向量来解答，依然通过传统的解题方式，只有一些明确规定或者特别明显需要利用向量解答的题型，学生才会利用向量来进行做答. 第四，现今高中数学教材中很多重要定理都是通过向量的知识证明的，但是往往在教学过程中，学生仅仅记住了证明的结果，却没有在意利用向量证明的过程，这就使得学生不能对向量进行更加深刻的了解. 如果学生没有对向量进行深刻的思考，就不能够有效地掌握向量知识，更不能保证学生能够将向量方式应用到解题中. 第五，目前高中习题中应用向量方法解题的习题过少，这就会使学生对传统解题方法产生依赖性，导致学生很难将向量方法作为解题的第一顺位.
本文对向量在高中数学解题中的应用进行简要的探讨，希望高中教师要认识到向量解题方法的重要性，从而进行良好的向量教学，进而提高学生应用向量工具的能力，保证学生能够更好地解决各方面问题，保证学生能够更好的发展.
D 为CC 1的A 1B 1C 1的所有棱长都为2，中点.
（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A-A 1D-B 的大小. 解：（Ⅰ）如图2，取BC 的中点
B
图1z B B 1
图2
B 1
A 1C 1
O ，连接AO.
由△ABC 为正三角形，得AO ⊥BC.
在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，则AO ⊥平面BCC 1B 1.
x
A 1C 1O 1y
A A A A A A
O B 、OO 1、O A 的方向为取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，
x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （1，0，0）、D （-1，1，0）、A （2，、A （0，0，、B （2，0）. 姨姨10，11，
A A A A A A %%AB 1=B D=BA 1=（1，2，-姨，（-2，1，0），（-1，2，. 姨A A A A A A A A A A
B D=-AB BA AB 1⊥由AB ·2+2+0=0，·=-1+4-3=0，得111
A A A A A A B D ，AB 1⊥BA 1.
则AB 1⊥平面A 1BD.
（Ⅱ）设n =（x ，y ，z ）是平面A 1AD 的一个法向量.
A A A A %
AA 1=A D=（-1，1，-姨，（0，2，0）.
A A A A %
由n ⊥A D ，n ⊥AA 1，得-x+y-姨z=0，2y=0. 则y=0，x=-姨z.
令z=1，所以n =（-姨，0，1）为平面A 1AD 的一个法向量.
根据（Ⅰ）得出AB 1是平面A 1BD 的一个法向量.
%
A A AB 1〉所以cos 〈n ，=-，所以二面角A-A 1D-B 的
4
%
%
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%
大小为arccos .
4
本题如果利用传统的解题方法进行解答，那么势必需要非常大的计算量，进而会增大失误率. 通过向量的能够将方法，能够比较简单地解答此题. 利用向量知识，空间几何问题转化成为代数问题，从而能够有效解决学生空间想象能力不足的问题，从而提高学生解题的自信. 解决立体几何问题的传统方法，不但需要学生具有比较好的空间想象能力，而且还需要学生有比较好的计算能力，传统的解题方法与向量的解题方法相比而言，传统解题方法的解题步骤更加烦琐，容易出现建系不合理、求错坐标、求错法向量、计算错误等错误，错误率大
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三、向量在高中数学解题中的应用
1. 在空间几何中的应用
因为向量是有长度且有方向的线段，所以其能够代表空间图形的边，进而利用向量来解答空间几何问题. 在利用向量解答空间几何问题时，首先需要利用向量来表示出空间几何图形，然后利用向量知识来解答问题.
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解法探究2014年12月
幅度高于向量的解题方法. 所以在平时的训练中，高中数学教师应该多要求学生练习向量的解题方法，并且对学生解题过程中的不足进行及时指引，帮助学生体会向量解题方法的优越性，从而保证学生使用向量的积极性，最终保证学生能够良好掌握向量这个解题工具.
但是教师在对学生进行教学时，不能给学生灌输向量能够解决任何空间几何问题的思想. 因为以往很多教师认为向量是万能的，结果学生遇到空间几何图形问题时，没有对其进行充分的分析就开始利用向量进行解答，但是这样很有可能将比较简单的空间问题复杂化，而且还不利于培养学生的空间想象能力. 遇到不规则几何体时，不适合作空间直角坐标系，这就导致空间图形的各点坐标不容易表示出来，从而加大利用向量方法的解题难度，在遇到此类问题时，学生一定要对其进行充分的分析，也许传统的解题方法会更加的简单.
2. 向量在平面几何中的应用例2
%
3. 向量在不等式问题中的应用
高中生在处理不等式问题时，也可以利用向量的知往往还能够使不等式问题识进行解答. 运用向量知识，
变成非常简单的问题，从而通过非常简单的步骤就能够有效解答问题. 在解答不等式问题时，主要应用向量数量积的知识，从而简化不等式，进而更加容易地对其进行解答.
例3
已知x 、y 都大于0，并且x+y=1，证明：姨+
%
%
%
%
姨≤2姨.
证明：设向量a =（1，1），b =（姨，. 姨2
由向量数量积公式可得（1·姨+1·姨≤
%
%
（1+1）（2x+1+2y+1）.
化简得：姨+姨≤2姨. 得证.
从这道题可以看出，在解决此类不等式问题时，如果通过传统的方法，需要非常多的计算步骤，还需要很大的计算量，从而会消耗很多的时间，而且正确率也会下降. 但通过向量的知识来对其进行解答，仅仅需要非常简单的过程，而且计算量相对来说也少了很多，大幅度提高了解题的正确率和效率.
4. 向量在三角函数中的应用例4
%
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已知△ABC 的顶点A （0，-4）、B （4，0）、C （-6，2），
D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求直线EF 、DE 、FD 的方程.
解：根据A 、B 、C 三点的坐标，由中点公式可得F （2，-1）、
△△△△
D （-1，1）、E （-3，-1），设DE 上一点M （x ，y ），通过D M 与D E
平行，就能够得出直线DE 的方程，同理也可以得出直线EF 、FD 的方程.
在利用向量解决平面问题时，要进行科学合理的评价，从而保证学生能够养成良好的学习习惯. 保证全体学生能够共同进步、全面发展是开展教学的最终目的，但是由于学生的学习素质有很大的差别，所以学生在进行学习时，也会表现出很大的差异. 如果学生不能对自己的学习效果进行有效、科学的评价，就会很容易导致学生之间的差距进一步增大. 所以高中数学教师在开展向量教学时，应该创建一个公平、公正的评析体系，保证从客观的角度对每位同学进行充分的分析，从而保证每个学生都能够更好的学习、成长.
学生在利用向量解决平面解析问题之后，教师要对学生的解答过程进行充分的分析，将学生的不足及时反映给学生，保证学生能够更全面的发展. 教师还要通过小组的形式来进行教学. 在解决一道题时，一个小组就有可能产生很多种解题方法，小组成员之间会对不同的简单的解题解题方法进行讨论，然后选出更加科学的、方法，从而使小组中的每个成员都能够学习到更加丰富的知识，而且还能够提高学生的合作意识，进而保证学生能够更全面的发展.
证明cos （α-β）=sin αsin β+cos αcos β.
证明：设a 、b 是平面的标准正交基，c 、d 是平面的单
位向量，设α为向量a 与d 的夹角，β为向量b 与c 的夹角，且β
由向量坐标乘积公式可得：m ·n =sin αsin β+cos αcos β. 由向量数量积公式可得：m ·n =cos （α-β）. 联立可得：cos （α-β）=sin αsin β+cos αcos β，得证. 从此题可以看出通过向量的知识来求解三角函数问题时，能够将三角问题通过非常简单的向量知识进行简化，大幅度提高学生的解题效率.
四、总结
向量是高中数学中非常重要的一个知识点，而且也是一个比较难的知识点，但是向量有非常广的应用面，其能够将非常复杂的问题简单化，所以高中数学教师要加大对向量知识的教学力度，提高学生应用向量的能力，从而提高学生应对各种数学难题的能力. 尤其是解决立体几何问题时，往往通过向量的方法能够快速、高效地解答出问题，不需要烦琐的解题步骤和大量的计算量，能够大幅度提高解题的效率和质量. WG
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