2006年 第30卷 中国石油大学学报(自然科学版) Vol. 30 No. 1 第1期 Journal of China University of Petroleum Feb. 2006
文章编号:167325005(2006) 0120154203
分块矩阵特征值的圆盘估计
梁景伟
(
中国石油大学数理系, 北京摘要:在考虑非正规性因素影响下, 于对角元素算术平均值的偏离程度的估计关键词:分块矩阵; ; A disc estimation for eigenvalues of a block matrix
L IAN G Jing 2wei
(Depart ment of M athem atics and Physics in China U niversity of Pet roleum , Beijing 102249, China )
Abstract :Considering abnormal factors , a disc estimation for all eigenvalues of a block matrix was obtained , i. e. , an esti 2mation of deviation for any eigenvalue of a block matrix to arithmetic mean of its diagnoal elements was given. K ey w ords :block matrix ; eigenvalue ; disc estimation
1 问题的提出
本文中C n ×n 表示所有n 阶复方阵组成的集合,
如果M ∈C n ×n , 则tr M , rank M 以及M F 分别表示M 的迹、秩和Frobinius 范数。如果M M 3=
M
3
的算术平均的偏离估计, 即对于任一n 阶方阵M ∈
C n ×n 的所有特征值都位于如下单一圆盘中:
. (1) D z :z -≤r 1=q
n n
式
(1) 的圆盘估计主要依赖于Schur 不等式
n
M , 则称M 为正规矩阵, 其中M
3
为M 的共轭
转置矩阵。
在特征值估计理论中, 最著名的是G erschgorin 圆盘定理, 该定理实际上给出了矩阵特征值偏离对角元素的一个良好又实用的估计, 同时也有许多文献和著作对该定理给予了补充和改进[1]。除此之外,1994年古以熹[2]给出了任意复方阵的任一特征值相对于所有特征值的算术平均或相对于它的对角元素的算术平均的偏离估计。但是, 他的研究结果没有体现矩阵非正规性对上述偏离估计的影响。笔者曾考虑非正规性因素影响, 给出了更精确的估计
[3]
j =1
λj
n j =1
2
≤M
2
2
F
, 其中λ1, λ2, L , λn 为M 的特征
值,
λj
的上界估计越小, 则圆盘的半径也越
小, 文献[4]
针对分块矩阵给出了一个半径更小的
估计。
引理1[4]
如果M ∈C n ×n , 任意给定1≤k ≤n -1, 将M 进行如下分块:
M =B ∈C l k =
A C A
2
B +
, 其中A ∈C , C ∈
C D
2
F
(n -k ) ×k
k ×k
, D ∈C
(n -k ) ×(n -k )
,
(n -k ) k ×
F
, 令
F
+2B C
, 本文中则针对分块矩阵给出更好的估计。
F
, (2)
则有
rank M ≥
l k
2 主要结果
文献[2]中给出了任意复方阵的任一特征值相
对于所有特征值的算术平均或相对与它的对角元素
收稿日期:2005-06-25
tr M
2
. (3)
定理1 在引理1的条件下, 分块矩阵M =
作者简介:梁景伟(1963-) , 男(汉族) , 北京人, 教授, 博士, 从事矩阵理论与计算方面的研究。
第30卷 第1期 梁景伟:分块矩阵特征值的圆盘估计・155・
A
C
B 的所有特征值位于如下的圆盘中:
l k -tr M
n n
2
D z
:z -
≤r =
n
. (4)
将其化简为
2
n λ-λtr M 3-λ tr M ≤(n -1) l k -进一步化简并配方, 则有λ
2
tr M
2
.
-λ
n
3
-λ
n
2
+
n
2
tr M
2
≤
其中
l k =n , 则
A
2
F
+D
2
F
+2B
F
C F .
l k -tr M 2
n n
,
证明 设λ为M 的任一特征值, 任取
1≤k ≤
λI k -A
即
-2
M
n n
2
.
λI n 且有rank -) ≤1, 将式(3) 中M 用-M , 则有
rank (λI -M ) ≥
) l k (λ
2
F
λ
I -M =
,
, 则有
λ-≤l k -tr M
n
n
n
2
,
即分块矩阵M =的圆盘中:
A C
B 的所有特征值位于如下
tr (λI -M )
+λI n -
2
.
2
F
(5)
其中
) =
I k -
A l k (λ
k
-D +(6)
2B
F
C F .
D z :z -≤r =l k -tr M 2.
n n n
比较式(1) 与(4) 两边的半径, 有r 1≤r 。要想
将式(5) 改写, 则有
) rank
(λtr (λI -M
) 2≤l k (λ
I -M ) .
再由rank (λI -
M ) ≤n -1, 可得
tr (λI -M )
2
说明r 1≤r , 只要证明l k ≤M
M C
(7)
22
F F
2
F
即可。事实上,
B
F )
=A
2
F
+D
F
2
F
+C
2
F
+
=l k +(B -
2
.
) . ≤(n -1) l k (λ
2
式(7) 左边又可表示为
λ-tr M tr (λI -M ) 2=n
(n λ-tr M ) (n λ-tr M ) 3=
(n λ-tr M ) (n λ -tr M 3) =
2
n λ
2
显然有l k ≤M 2F , 且等号成立的充分必要条件为B F =C F 。此结果说明B F 与C F 两者的差值越大, 式(4) 估计的半径r 比式(1) 估计的半径r 1越小, 这说明本估计更适用于具有强非对称性的矩阵。另外, 还需说明的是, 在定理1中, k 的选择可以是满足1≤k ≤n -1的任意正整数, 为此可以适当选择k , 使l k 为其最小值。令l =min l k , 则有下面
1≤k ≤n -1
=
λ-n tr M
3
λ-n tr M +tr M
2
F
2
; +
式(7) 的右边又可表示为
(n -1) l k (λ) =(n -1) (I k -A λI n -k
-D
2
F
+2B
F
C
3
F ) =
3
的推论:
推论1 在引理1的条件下, 分块矩阵M =
A
B F ]
(n -1) [tr (λI k -A ) (λI k -A )
+
F
tr (λI n -
k
-D ) (λI n -2
k
-D ) +2B C =
C
的所有特征值位于如下的圆盘中:
≤r =
l k -tr M
n n
2
(n
-1) [tr (λ(n -1) [k λA D
22
F F
3
I k -λA -λ A +AA 3) +
F
3
tr (λ2I k -λA -λ A +AA 3) +2B
2
C F ]=
D z :z -n
. (8)
-λtr A
2
3
-λ tr A +
+(n -k ) λ+2B
F
-λtr D 3-λ tr D +
3
3
3 应用实例
+
C F ].
注意到tr M =tr A +tr D 以及tr M 1) [n λ
2
=tr A
) =(n -tr D 3, 式(7) 的右边为(n -1) l k (λ
-λtr M 3-λ tr M +l k ]。于是由式(7) 可
3
编写了Matlab 程序, 对任意输入的矩阵, 给出
最好的分块方法以及最小的估计半径并作出直观图形。设
M =[9-102
i 04; 310-2
i 203
i +1
-1; 0-1802-12; 23019-1
得
n λ
2
2
λ-n tr M
2
λ-n tr M +tr M
3
2
≤
8; -3-1007-119; -1723030
-1; 1
i +22
-1023],
(n -1) [n λ-λtr M -λ tr M +l k ].
・156・中国石油大学学报(自然科学版) 2006年2
月
对不同的分块k =1, 2, 3, 4, 5, 6分别计算出圆盘半
径为
r =30. 6695, 30. 5681, 30. 5685, 30. 6565, 28. 2796, 26. 1730,
r 1=30. 6701, 30. 6701, 30. 6701, 30. 6701, 30. 6701, 30. 6701.
参考文献:
[1] MARV IN Marcus , HENR YK Minc. A survey of matrix
theory and matrix inequalities [M ].Boston :Allyn and Bacon , Inc , 1964:1392152.
[2] 古以熹. 矩阵特征值的分布[J].应用数学学报,1994,
17(4) :55258.
GU Y i 2The matrix eigenvalues [J ].(4) :55258. . :自然科学版, 2001, 25(5) :1132116.
L IAN GJing 2wei. The distribution of matrix eigenvalues and its applications in numerical analysis [J].Journal of the University of Petroleum , China (Edition of Natural Science ) , 2001,25(5) :1132116.
[4] 蒋正新, 施国梁. 矩阵理论及其应用[M ].北京:北京航
显然在k =6时, 式(4) 圆盘r 最小, 而式(1) 半径与
k 无关。有关矩阵M 的特征值的分布及圆盘估计见图1
。
空学院出版社,1988:992102.
[5] 孙继广. 矩阵扰动分析[M ].北京:科学出版社,1987:
1542163.
[6] RO GER A Horn , CHARL ES R Johnson. Matrix analysis
[M ].Cambridge :Cambridge University Press , 1985:
图1 分块矩阵特征值的圆盘估计3522353.
(编辑 修荣荣)
(上接第149页)
实现了主客观的统一, 且随着样本量的增加, 权重能够动态调整, 因而赋权更加科学有效, 具有一定的智能性。参考文献:
[1] 财政部统计评价司. 企业效绩评价工作指南[M ].北
integrated evaluation and decision method based on en 2tropy coefficient [J].Control and Decision , 2003,18(4) :4562459.
[5] 王才经. 现代应用数学[M ].东营:石油大学出版社,
2004.
[6] 魏一鸣, 童光煦, 范体均. 基于神经网络的多目标权重
计算方法探讨[J].武汉化工学院学报,1995,17(4) :
37241.
WEI Y i 2ming , TON G Guang 2xu , FAN Ti 2jun. An in 2vestigation on neural network based method for com put 2ing the multi 2object weight [J].Journal of Wuhan Insti 2tute of Chemical Technology , 1995,17(4) :37241. [7] 许东, 吴铮. 基于MA TLAB6. X 的系统分析与设计
京:经济科学出版社,2002.
[2] 秦寿康. 综合评价原理与应用[M ].北京:电子工业出
版社,2003.
[3] 林齐宁. 决策分析[M ].北京:北京邮电大学出版社,
2003.
[4] 陈雷, 王延章. 基于熵权系数与TOPSIS 集成评价决策
方法的研究[J].控制与决策,2003,18(4) :4562459.
CHEN Lei , WAN G Y an 2zhang. Research on TOPSIS
———神经网络[M ].西安:西安电子科技大学出版社,
2002.
(编辑 修荣荣)
2006年 第30卷 中国石油大学学报(自然科学版) Vol. 30 No. 1 第1期 Journal of China University of Petroleum Feb. 2006
文章编号:167325005(2006) 0120154203
分块矩阵特征值的圆盘估计
梁景伟
(
中国石油大学数理系, 北京摘要:在考虑非正规性因素影响下, 于对角元素算术平均值的偏离程度的估计关键词:分块矩阵; ; A disc estimation for eigenvalues of a block matrix
L IAN G Jing 2wei
(Depart ment of M athem atics and Physics in China U niversity of Pet roleum , Beijing 102249, China )
Abstract :Considering abnormal factors , a disc estimation for all eigenvalues of a block matrix was obtained , i. e. , an esti 2mation of deviation for any eigenvalue of a block matrix to arithmetic mean of its diagnoal elements was given. K ey w ords :block matrix ; eigenvalue ; disc estimation
1 问题的提出
本文中C n ×n 表示所有n 阶复方阵组成的集合,
如果M ∈C n ×n , 则tr M , rank M 以及M F 分别表示M 的迹、秩和Frobinius 范数。如果M M 3=
M
3
的算术平均的偏离估计, 即对于任一n 阶方阵M ∈
C n ×n 的所有特征值都位于如下单一圆盘中:
. (1) D z :z -≤r 1=q
n n
式
(1) 的圆盘估计主要依赖于Schur 不等式
n
M , 则称M 为正规矩阵, 其中M
3
为M 的共轭
转置矩阵。
在特征值估计理论中, 最著名的是G erschgorin 圆盘定理, 该定理实际上给出了矩阵特征值偏离对角元素的一个良好又实用的估计, 同时也有许多文献和著作对该定理给予了补充和改进[1]。除此之外,1994年古以熹[2]给出了任意复方阵的任一特征值相对于所有特征值的算术平均或相对于它的对角元素的算术平均的偏离估计。但是, 他的研究结果没有体现矩阵非正规性对上述偏离估计的影响。笔者曾考虑非正规性因素影响, 给出了更精确的估计
[3]
j =1
λj
n j =1
2
≤M
2
2
F
, 其中λ1, λ2, L , λn 为M 的特征
值,
λj
的上界估计越小, 则圆盘的半径也越
小, 文献[4]
针对分块矩阵给出了一个半径更小的
估计。
引理1[4]
如果M ∈C n ×n , 任意给定1≤k ≤n -1, 将M 进行如下分块:
M =B ∈C l k =
A C A
2
B +
, 其中A ∈C , C ∈
C D
2
F
(n -k ) ×k
k ×k
, D ∈C
(n -k ) ×(n -k )
,
(n -k ) k ×
F
, 令
F
+2B C
, 本文中则针对分块矩阵给出更好的估计。
F
, (2)
则有
rank M ≥
l k
2 主要结果
文献[2]中给出了任意复方阵的任一特征值相
对于所有特征值的算术平均或相对与它的对角元素
收稿日期:2005-06-25
tr M
2
. (3)
定理1 在引理1的条件下, 分块矩阵M =
作者简介:梁景伟(1963-) , 男(汉族) , 北京人, 教授, 博士, 从事矩阵理论与计算方面的研究。
第30卷 第1期 梁景伟:分块矩阵特征值的圆盘估计・155・
A
C
B 的所有特征值位于如下的圆盘中:
l k -tr M
n n
2
D z
:z -
≤r =
n
. (4)
将其化简为
2
n λ-λtr M 3-λ tr M ≤(n -1) l k -进一步化简并配方, 则有λ
2
tr M
2
.
-λ
n
3
-λ
n
2
+
n
2
tr M
2
≤
其中
l k =n , 则
A
2
F
+D
2
F
+2B
F
C F .
l k -tr M 2
n n
,
证明 设λ为M 的任一特征值, 任取
1≤k ≤
λI k -A
即
-2
M
n n
2
.
λI n 且有rank -) ≤1, 将式(3) 中M 用-M , 则有
rank (λI -M ) ≥
) l k (λ
2
F
λ
I -M =
,
, 则有
λ-≤l k -tr M
n
n
n
2
,
即分块矩阵M =的圆盘中:
A C
B 的所有特征值位于如下
tr (λI -M )
+λI n -
2
.
2
F
(5)
其中
) =
I k -
A l k (λ
k
-D +(6)
2B
F
C F .
D z :z -≤r =l k -tr M 2.
n n n
比较式(1) 与(4) 两边的半径, 有r 1≤r 。要想
将式(5) 改写, 则有
) rank
(λtr (λI -M
) 2≤l k (λ
I -M ) .
再由rank (λI -
M ) ≤n -1, 可得
tr (λI -M )
2
说明r 1≤r , 只要证明l k ≤M
M C
(7)
22
F F
2
F
即可。事实上,
B
F )
=A
2
F
+D
F
2
F
+C
2
F
+
=l k +(B -
2
.
) . ≤(n -1) l k (λ
2
式(7) 左边又可表示为
λ-tr M tr (λI -M ) 2=n
(n λ-tr M ) (n λ-tr M ) 3=
(n λ-tr M ) (n λ -tr M 3) =
2
n λ
2
显然有l k ≤M 2F , 且等号成立的充分必要条件为B F =C F 。此结果说明B F 与C F 两者的差值越大, 式(4) 估计的半径r 比式(1) 估计的半径r 1越小, 这说明本估计更适用于具有强非对称性的矩阵。另外, 还需说明的是, 在定理1中, k 的选择可以是满足1≤k ≤n -1的任意正整数, 为此可以适当选择k , 使l k 为其最小值。令l =min l k , 则有下面
1≤k ≤n -1
=
λ-n tr M
3
λ-n tr M +tr M
2
F
2
; +
式(7) 的右边又可表示为
(n -1) l k (λ) =(n -1) (I k -A λI n -k
-D
2
F
+2B
F
C
3
F ) =
3
的推论:
推论1 在引理1的条件下, 分块矩阵M =
A
B F ]
(n -1) [tr (λI k -A ) (λI k -A )
+
F
tr (λI n -
k
-D ) (λI n -2
k
-D ) +2B C =
C
的所有特征值位于如下的圆盘中:
≤r =
l k -tr M
n n
2
(n
-1) [tr (λ(n -1) [k λA D
22
F F
3
I k -λA -λ A +AA 3) +
F
3
tr (λ2I k -λA -λ A +AA 3) +2B
2
C F ]=
D z :z -n
. (8)
-λtr A
2
3
-λ tr A +
+(n -k ) λ+2B
F
-λtr D 3-λ tr D +
3
3
3 应用实例
+
C F ].
注意到tr M =tr A +tr D 以及tr M 1) [n λ
2
=tr A
) =(n -tr D 3, 式(7) 的右边为(n -1) l k (λ
-λtr M 3-λ tr M +l k ]。于是由式(7) 可
3
编写了Matlab 程序, 对任意输入的矩阵, 给出
最好的分块方法以及最小的估计半径并作出直观图形。设
M =[9-102
i 04; 310-2
i 203
i +1
-1; 0-1802-12; 23019-1
得
n λ
2
2
λ-n tr M
2
λ-n tr M +tr M
3
2
≤
8; -3-1007-119; -1723030
-1; 1
i +22
-1023],
(n -1) [n λ-λtr M -λ tr M +l k ].
・156・中国石油大学学报(自然科学版) 2006年2
月
对不同的分块k =1, 2, 3, 4, 5, 6分别计算出圆盘半
径为
r =30. 6695, 30. 5681, 30. 5685, 30. 6565, 28. 2796, 26. 1730,
r 1=30. 6701, 30. 6701, 30. 6701, 30. 6701, 30. 6701, 30. 6701.
参考文献:
[1] MARV IN Marcus , HENR YK Minc. A survey of matrix
theory and matrix inequalities [M ].Boston :Allyn and Bacon , Inc , 1964:1392152.
[2] 古以熹. 矩阵特征值的分布[J].应用数学学报,1994,
17(4) :55258.
GU Y i 2The matrix eigenvalues [J ].(4) :55258. . :自然科学版, 2001, 25(5) :1132116.
L IAN GJing 2wei. The distribution of matrix eigenvalues and its applications in numerical analysis [J].Journal of the University of Petroleum , China (Edition of Natural Science ) , 2001,25(5) :1132116.
[4] 蒋正新, 施国梁. 矩阵理论及其应用[M ].北京:北京航
显然在k =6时, 式(4) 圆盘r 最小, 而式(1) 半径与
k 无关。有关矩阵M 的特征值的分布及圆盘估计见图1
。
空学院出版社,1988:992102.
[5] 孙继广. 矩阵扰动分析[M ].北京:科学出版社,1987:
1542163.
[6] RO GER A Horn , CHARL ES R Johnson. Matrix analysis
[M ].Cambridge :Cambridge University Press , 1985:
图1 分块矩阵特征值的圆盘估计3522353.
(编辑 修荣荣)
(上接第149页)
实现了主客观的统一, 且随着样本量的增加, 权重能够动态调整, 因而赋权更加科学有效, 具有一定的智能性。参考文献:
[1] 财政部统计评价司. 企业效绩评价工作指南[M ].北
integrated evaluation and decision method based on en 2tropy coefficient [J].Control and Decision , 2003,18(4) :4562459.
[5] 王才经. 现代应用数学[M ].东营:石油大学出版社,
2004.
[6] 魏一鸣, 童光煦, 范体均. 基于神经网络的多目标权重
计算方法探讨[J].武汉化工学院学报,1995,17(4) :
37241.
WEI Y i 2ming , TON G Guang 2xu , FAN Ti 2jun. An in 2vestigation on neural network based method for com put 2ing the multi 2object weight [J].Journal of Wuhan Insti 2tute of Chemical Technology , 1995,17(4) :37241. [7] 许东, 吴铮. 基于MA TLAB6. X 的系统分析与设计
京:经济科学出版社,2002.
[2] 秦寿康. 综合评价原理与应用[M ].北京:电子工业出
版社,2003.
[3] 林齐宁. 决策分析[M ].北京:北京邮电大学出版社,
2003.
[4] 陈雷, 王延章. 基于熵权系数与TOPSIS 集成评价决策
方法的研究[J].控制与决策,2003,18(4) :4562459.
CHEN Lei , WAN G Y an 2zhang. Research on TOPSIS
———神经网络[M ].西安:西安电子科技大学出版社,
2002.
(编辑 修荣荣)