人口数量及结构预测模型

基于Leslie矩阵的中国计划生育政策探讨

摘要

我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响,人口问题也是我国的根本问题,可是我国目前人口的发展却出现老龄化严重，男女性别比例失调等不良现象。

在本文中，我们首先针对近几年的人口数据做出了一些简要的分析，特别是自从2002年计划生育政策实施至今，我国的人口自然增长率出现一定的降低，为了考虑其以后的人口发展情况，我们在实行计划生育政策的情况下对未来人口数量和结构进行一定的预测，并评价其合理性。

从种群的方面出发，在种群的Leslie模型的基础上，我们将整个中国的年龄按阶段分成20组，通过Leslie矩阵建立起他们的相关关系，我们以最近中国第六次人口普查所得的数据进行研究，通过控制5年内总生育率的倍数来控制每个夫妇所生孩子的个数，通过多次迭代求解，最终可得到：若我国严格采用现行的计划生育政策，即每个夫妇仅生一个孩子，则50年后我国的人口将为5亿左右，可见人口老龄化现象的严重。

为了提出新的政策，我们通过改变其倍数关系来改变其人口的结构，我们发现当生育率为原总和生育率的倍数为1.8左右，也即每个夫妇大约生2个孩子时，从人口数量来看，50年后我国的人数将在10亿左右；而从人口的结构来看，男女比例也接近于1，老少比也比较合适。所以，这应该是一个我们比较容易接受的结果。关于放宽二胎政策的时间，我们通过探索两个不同总和生育率的相关人口变化情况下，发现在2015年对计划生育进行改变，其改变的内容为：在控制人口数量为10亿情况下，在最近50年里，可以对二胎政策给予一定的放宽。

在模型的检验中，在现行总和生育率与原总和生育率的倍数为1.8时，我们通过增大或减小其值时，其效果都不是往老龄化方向发展就是往人口数量急剧上升的方向发展，所以，我们就认为其值为1.8时，在未来50年内，其效果是最好的。

关键词：计划生育，Leslie矩阵，人口老龄化，总和生育率，二胎政策

目录 一、问题重述 1 二、问题分析 1

2.1 关于人口数量与结构的分析 1 2.2 二胎政策相关问题的分析 2 三、模型的建立与求解 3

3.1 模型的假设 3 3.2符号的定义 3

3.3基于Leslie的矩阵模型建立 4

3.3.1 Leslie种群模型的介绍 4 3.3.2基于Leslie矩阵的人口模型 3.4模型的求解 6

3.4.1 存活率s的求解 6 3.4.2 生育率的确定 7

3.4.3 Leslie矩阵的确定及模型求解 8 四、模型的分析 9

4.1实施当前计划生育政策的分析 9 4.2 a值对人口年龄结构的影响 14 4.3人口政策的分析 18 4.4人口政策的建议 18 五、模型的评价 18

5.1优点 18 5.2缺点 19 六、模型的检验 19 七、参考文献 20

5

一、问题重述

我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响.。人口问题也是我国的根本问题。 我国由于人口基数大，国家实施了计划生育的政策，虽说人口的自然增长率较之前有一定的降低，人口的递增速度也有所减缓。但是，近年来，我国人口面临着老龄化进程加速,出生人口性别比严重失调，以及乡村人口城镇化等不良现象。所以很有必要利用现有的相关人口统计数据，在当前计划生育政策实施的情况下，通过建立数学模型来研究我国人口在结构及数量上在近阶段的变化情况，并对其未来情况进行一定的预测，以适应整个中国国情与经济的形势.同时,还需要我们分析现行人口政策的优缺点，同时，为了解决上述人口结构的一些的问题，我们也还得考虑是否需要对该政策进行一定的改变来改善我国人口老龄化，男女比例失调等现象。从而使我国人口向一个比较乐观的方向发展。

二、问题分析

2.1 关于人口数量与结构的分析

随着人们生活水平和社会医疗水平的提高，我国人口的平均寿命显著变长。在人口的数量和结构上，根据表一的相关数据显示：

【1】1

特点：

1人口的数量持续增加，到2010年底，我国的人口达到13.4亿，这与我国的人○

口基数大这一点是分不开的。

2我国的老年人比重逐渐增加，○少儿的比重逐渐降低，而总抚养比重却出现降低，这充分说明了我国人口老龄化但劳动人口增加的现象。 所以，在本文中，我们将通过2010年的人口数量及结构的相关数据，基于Leslie

【2】

模型，结合中国当今的人口情况，对其作一定的改进与分析，最终对未来时间的人口数量以及年龄结构进行一定的预测与分析。

2.2 二胎政策相关问题的分析

所谓二胎政策，是指农村户口的话，头一抬是女的就可以生第二胎，但是前提条件是年满28周岁的夫妇，否则两胎要相隔四年才能生第二胎，如果头一抬是男的，无论是什么户口，则只能生一胎。 所以，如果考虑是否需要全面实施二胎政策，则需要我们从原来的计划生育政策中改变一定的条件，也即是要我们探究在基本保持人口增长速度保持较慢的情况

2

下，使人口的男女性别出现均衡以及老龄化的进程得到减缓。所以，我们将会对上述所建立的数学模型作一定的参数修正，同时也用其对未来近几年进行一定的预测。并能使其达到相关的预期目标。通过对其所得相关结果给予一定的分析与讨论，我们将从中对该政策是否实施、什么时候实施以及怎么实施给予最终的结果。

三、模型的建立与求解

3.1 模型的假设

1.假设没有重大的自然灾害，政府的政策没有重大的变化以及医疗水平基本保持不变。

2.所研究的人口没有太大的迁出与迁出，且基本相等。 3.我国人口数量主要取决于出生率与死亡率两个因素。 4.短期内人口的生育率与死亡率的总体水平可以视为常数 5.本文参考的所有文献及资料的所有的数据来源均真实可靠。

3.2符号的定义

3

3.3基于Leslie的矩阵模型建立 3.3.1 Leslie种群模型的介绍

Leslie模型是一个研究群体的离散模型，对于人这种特殊的群体也同样适用，而且特别是其考虑年龄结构，所以其显得比Logical等其他群体的模型更具有优越性。

我们将群体按年龄的大小等间隔的分成n个组，讨论其在不同时间年龄的分布，对时间加以离散化，其间隔也必须与年龄组的间隔相同。

设某生物种群的最大生存年龄为l（年），我们将其按年龄的大小区间[0,l]分为n等分，可得到n个年龄间隔为

[

l

的年龄组，即有 n

i1i

l,l],i1,2,3...,n nn

i1i

l,l],设其存活率为si，对于第i个年龄组[生育率为bi，一个年龄组的变化时nn

间为1，则有当时间从t1到t的过程中，显然有

n



x1(t+1)=bixi(t)

（3.1） i=0

x(t+1)=sx(t),i=1,2,,n-1

iii

其中若计矩阵L为

1式可写为 则○

4

b1b2s01

L0s2

bn-1bn

0000





sn-1

X(t1)LX(t) （3.2）

当L,X(0)均已知时，当t1,2,3...,n时，通过多次迭代，则不难得到

X(t)LnX(0) （3.3） 其中若（3.2）式中的元素满足

si0,i=1,2,,n-1;

bi0,i=1,2,,n,且至少一个bi>0;

则称矩阵L为Leslie矩阵。

所以只要已知Leslie矩阵和初始时间种群年龄组的分布向量，就可以求出以后各时间t的种群年龄组的分布向量。

3.3.2基于Leslie矩阵的人口模型

按照每五岁一个年龄组，我们将0-99岁分为20个组，即0-4岁为第一个年龄组，5-9岁为第二个年龄组，10-14岁为第三个年龄组…,把95-99岁为第20个年龄组，而100岁及100岁以上分为第21个年龄组。在这里，我们引入实数a，并设实数a为未来年份的生育率与现在种群的生育率之比，并且a(0.8,1.9),很显然,在平均生育率一定的情况下,我们可以通过改变a值来改变每个夫妇所生的孩子的个数.而且a的值大概等于每对夫妇所生的孩子的数除以总和生育率，各年龄组的育龄妇女在五年内的平均生育率向量实际上应该为Bab1,b2,b21。把t阶段全部存活的新生儿全部划分到t1阶段的第一年龄组，并设各年龄组人口在5年时间里的存活率向量为Ss1,s2,s21，而且t阶段第k1年龄组人存活到第

t1阶段就是第k年龄组的人(k1,2,...20)，且第21年龄组的人五年后存活下来

T

T

的仍然属于第21年龄组。根据我们前面叙述的Leslie种群的模型应用于这21个年龄组，则必满足

5

21



x1(t+1)= ackbkxk(t)

k=1



（3.4） xk(t+1)=sk-1xk-1t-1

x(t+1)=sx(t)+sx(t)

2020212121



3.4模型的求解

我们以2010年中国第六次人口普查的相关数据来获取L矩阵以及X(0)，由于我们以每5岁作为一个年龄组，所以也必须以每五年作为一次人口数量及年龄结构的相关推测，通过控制a值的大小来控制当今我国适龄夫妇的生育孩子个数,实质上其对应的也是计划生育的政策,然后通过改变a值来讨论这个相应的人口结构的变化,.除此以外，我们还得对存活率进行一定的求解.下面,我们对这些参数进行一一求解.

3.4.1 存活率s的求解

根据死亡率的相关定义及微分的相关思想,则有, ui(t)

xi(t)xi1(t)

(3.5)

xi(t)

对该公式两边进行全微分运算,则有

dXk

ukXk (3.6) dt

对该微分方程(3.6)进行整理,并对其两边求定积分,则有

skds5

ukdt (3.7) 10s

所以,可以解得五年的平均成活率为

ske5uk (3.8)

6

3.4.2 生育率的确定

根据全国第六次人口普查的结果,我国各年龄组的人口总数,女性比例,年均生育率的数据如下表所示

当第k组的育龄妇女的年平均生育率为fk时,则五年的平均生育率就是bk5fk.计算可得以五年为一个单位时间的人口存活率和平均生育率向量. 所以,由上表中的数据可得: 其中平均生育率向量为

7

B[0,0,0,0.0308,0.4330,0.4829,0.2514,0.0992,0.0378,0.0289，0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]而

其存活率的向量为

sk=[0.9936 , 0.9985 , 0.9985 , 0.9981 , 0.9975 , 0.997 , 0.996 , 0.9942 , 0.9913 , 0.987 , 0.9793,0.9695 , 0.9498 , 0.9176 , 0.858 , 0.7807 , 0.6544 , 0.5288 , 0.3852 , 0.3377 , 0.1031]

3.4.3 Leslie矩阵的确定及模型求解

由于在前面我们已将存活率向量以及生育率向量给出,所以我们可以很容易的得到Leslie矩阵,再通过公式(3.4)编程,在MATLAB下经过多次迭代运算对其进行一一进行求解.

可知在2010年的总和生育率R=1.364, 为响应计划生育政策时,也即每对夫妇仅生一个孩子,此时我们需将实数a值设为0.8,也即此时以总和生育率aR的值约为1,

这样,我们则可以求得结果如下

借助表三的数据,,我们由式(3.9),式(3.10)进一步计算老少比和负担老年系数

8

负担老年系数=

65岁以上的人口数

(3.9)

15-64岁以上的人口数

老少比=

65岁以上的人口数

(3.10)

0-14岁的人口数

表四

四、模型的分析

4.1实施当前计划生育政策的分析

为了让表三和表四的数据更加的直观化,以便于更好的进行计划生育政策该不该改变的分析,我们将人口总数,老少比,男女比例,以及负担老年系数分别对时间作图,通过其整个过程中的相关变化,我们来从这几方面来对当前实施的计划生育政策进行评价.

9

当一对夫妇只生一个孩子时总人口的变化

人口总数/千万

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

2055

2060

年份/年

图一

10

当每对夫妇生一个孩子时 老少比 随时间的变化情况

老少比

[**************]0

20352040年份/年

[**************]0

图二

11

4

当每对夫妇生一个孩子时 男女人口随时间变化情况

人口数/万

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

2055

2060

图三

12

当一对夫妇只生一个孩子时 负担老年系数随时间的变化

0.50.45

0.4

负担老年系数%

0.350.30.250.2

[**************]0

20352040年份/年

[**************]0

图四

从图一,图二,图三,图四中,我们可以很直观的看出实施当前计划生育政策的优缺点:. 缺点:

1.当我国严格的执行现行的计划生育政策时,也即严格控制一对夫妇仅生一个孩子,可得其人口总数显著减少,且当时间到2060年时,人口将不到五亿,由此可见,人口的趋势明显出现衰退情况.

2.从老少比的变化趋势来看,其比值随时间的变化是单调递增的,所以人口的老龄化越来越严重,

3.从负担老年系数来看,它也随时间呈现单调递增的变化,这一趋势说明了中青年的负担会越来越重. 优点:

1.从性别的比例来看,男女的性别比随着时间的变化是逐渐接近于1的,这也是我们所要希望达到的一个状态.

综上来看,当我国严格执行计划生育政策时,从数量上来讲,人口的数量大大的减少,虽然说起到了计划生育控制人口增长的目的,但是其抑制的程度还是过于太大,

13

而从结构上来讲,老龄化的现象越来越严重,不但改善人口老龄化的进程,反而加速了人口的进一步老龄化,总的来说,人口在未来的几十年中是呈现一个衰退型的,所以,这是极其不利于中国未来人口发展的,所以说,计划生育政策对未来人口的发展弊大于利,所以必须加以改进.

4.2 a值对人口年龄结构的影响

从上述分析中可以看出,人口的发展趋势不是很乐观,为了让其得到一定的改善,我们将通过改变a值来改变整个人口的数量以及整个人口的结构.

我们不妨假定每对夫妇生两个孩子,同样在原总生育率R=1.364的情况下,由此可计算得a值的大小应该为1.8左右,在此情况下,我们也用上述方法对其进行同样的求解运算,可得其结果应该为表五所示:

表六 每对夫妇生两个孩子时未来人口变化趋

14

同样的,我们也分别用上述值对年份进行一一作图,则有

当一对夫妇生两个孩子时总人口的变化

人口总数/千万

2015

[***********]4020452050

20552060

年份/年

图五

15

当每对夫妇生两个孩子时 老少比 随时间的变化情况

0.0.0.0.0.0.0.0.

[***********][***********]2060

年份/年

图六

4

老少比

当每对夫妇生两个孩子时 男女人口数量随时间变化的情况

人口数量/万

2015

2020

2025

2030

20352040年份/年

2045

2050

2055

2060

图七

16

当每对夫妇生两个孩子时 负担老年系数岁时间变化情况

0.240.23

0.22

负担老年系数%

0.210.20.190.180.170.162015

[1**********]0

20352040年份/年

[**************]0

图八 从图五,图六,图七,图八来看

1.人口的总体数量较2010年要低,且随着时间的推移,人口在2040年后趋近于10亿左右.这也是一个我们所要要求达到的效果.

2.人口的老少比随时间的变化是呈现先单调下降,再单调上升直至达到一个最大值,此时再出现下降的情况.而且其最大值为0.6左右,较a0.8的情况要低得多. 3.人口的性别比也是逐步接近于1,且离数1越来越近,这也是我们所渴求的状态. 4.人口负担系数较a0.8时也要小得多. 所以,我们可以得出如下的结论

随着a值的增大,人口的总数呈现一个比较健康的态势,其数量比较满足当今未来人口的发展趋势,而更重要的是,人口的年龄结构以及性别结构愈来愈合理,特别是老少比以及负担系数均不是很大,也即人口的老龄化现象非常轻微,综上来看,整个人口的变化趋势是属于一个稳定型的.但是a值并不是越大越好, a值太大,反而会出现一个相反的情况.

17

4.3人口政策的分析

从上面的分析可以看出,在控制人口增长政策时要多方面考虑,如果只看重多人口总数的控制,严格实行当前的计划生育政策,可能导致严重的社会老龄化,劳动力不足这种严重的社会现象.如果为了防止社会老龄化加快,全面放开二胎政策,放任人口的增长,也会导致社会人口过多对资源和环境的压力.因此要制定正确的人口政策才能使国民经济持续增长,人民生活水平不断提高.

4.4人口政策的建议

从上面的一些分析来看,结合我国的整个人口增长的情况,提出对我国人口发展的一些相关性人口政策建议

我们针对人口未来的情况提出了比较新的生育政策:

在实施计划生育政策的同时,逐步放开二胎政策,也即一对夫妇最好生育两个孩子.同时稳定整个相对比较低的生育水平.

从图五,图六,图七,图八等图解来看, 图中在2035年时人口的整个变化趋势出现了一个折点,,从人口的居多年龄结构来看,这一点将使整个人口局势发生一定的变化,也就是说在20年后出现一个人口变化的拐点,我们再看a=0.8时的情况,也即严格的情况下一对夫妇仅生育一个孩子,当其时间到2035年时,人口的老少比明显大于1,这是一个老龄化现象比较严重的情形.由于其要20年后才会达到一种相对比较满意的状态,我们认为计划生育政策的修改时间为2015年.,因为从整个人口的数量来看,这一时间也是相对合理的.

五、模型的评价

5.1优点

首先，本文采用定性与定量、理论与实证相结合的方法进行研究，使得所建立的模型具有一定的依据。

然后，本文运用Leslie模型，通过建立动态数学模型，分别对人口总数及人口结构进行预测分析。在人口结构中，对全国人口总数、男女人口数、人口年

龄结构、人口老龄化等方面等随时间的变化规律。所以，模型得到的结果全面、简洁、直观、有效。

18

最后，我们设定了总生育率的倍数a，根据不同的a值，即每对夫妇所生孩子数量的不同得到的不同预测结果。本文分别取a=0.8和a=1.8两个值，对模型所得到的结果进行分析。这样分析得到的结果有很强的对比性和有效性。

5.2缺点

：本文基于2010年人口普查得到的相关数据建立的模型，模型建立所需要的数据只用到了2010年一年的数据，所以可能对最后的结果产生误差。 基于模型的假设，以及出生率和死亡率都会随时间的变化而有所变化的，数据选取的有限性，因此预测的结果存在一定的误差。

六、模型的检验

本文采用选取不同的a值，即每对夫妇生不同数量孩子，通过建模得到的具体数据来进行横向和纵向分析，最终来确定模型的准确性和稳定性。

对于所建立的模型，改变其中的参数a，这里设定a=2.8,得到以下数据：

表七 讨论a值对人口结构的变化

19

通过对以上数据的分析：

第一,当a=2.8时，人口总数、男女比都随时间的变化而不断增加，老少系数、负担系数都随时间的变化不断减少。根据实际情况分析比较可以得出具有一定的合理性。说明我们所建立的模型准确性比较理想。

第二，通过对a=1.8 a=0.8 a=2.8时模型解得的数据进行比较，发现当每对夫妇只生一个孩子时，人口数量不断减少，男女比加大，老少比增加，即人口数量和结构都不稳定。当每对夫妇生两个孩子时，人口数量和人口结构都比较稳定和理想。当每对夫妇生超过两个孩子时，人口数量和人口结构再次出现不稳定情况。 综上所述，我们所建立的模型具有一定的有效性、准确性，并且与实际情况比较吻合。

七、参考文献

【1】【3】全国分年龄、性别的死亡人口状况：http://www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm 全国育龄妇女分年龄、孩次的生育状况：

http://www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm

人 口 数 及 构 成：http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/2011/indexch.htm 【2】王喜林，刘丽红，中国人口增长模型的建立与预测，2007.6.12

【4】薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京，2008

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基于Leslie矩阵的中国计划生育政策探讨

摘要

我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响,人口问题也是我国的根本问题,可是我国目前人口的发展却出现老龄化严重，男女性别比例失调等不良现象。

在本文中，我们首先针对近几年的人口数据做出了一些简要的分析，特别是自从2002年计划生育政策实施至今，我国的人口自然增长率出现一定的降低，为了考虑其以后的人口发展情况，我们在实行计划生育政策的情况下对未来人口数量和结构进行一定的预测，并评价其合理性。

从种群的方面出发，在种群的Leslie模型的基础上，我们将整个中国的年龄按阶段分成20组，通过Leslie矩阵建立起他们的相关关系，我们以最近中国第六次人口普查所得的数据进行研究，通过控制5年内总生育率的倍数来控制每个夫妇所生孩子的个数，通过多次迭代求解，最终可得到：若我国严格采用现行的计划生育政策，即每个夫妇仅生一个孩子，则50年后我国的人口将为5亿左右，可见人口老龄化现象的严重。

为了提出新的政策，我们通过改变其倍数关系来改变其人口的结构，我们发现当生育率为原总和生育率的倍数为1.8左右，也即每个夫妇大约生2个孩子时，从人口数量来看，50年后我国的人数将在10亿左右；而从人口的结构来看，男女比例也接近于1，老少比也比较合适。所以，这应该是一个我们比较容易接受的结果。关于放宽二胎政策的时间，我们通过探索两个不同总和生育率的相关人口变化情况下，发现在2015年对计划生育进行改变，其改变的内容为：在控制人口数量为10亿情况下，在最近50年里，可以对二胎政策给予一定的放宽。

在模型的检验中，在现行总和生育率与原总和生育率的倍数为1.8时，我们通过增大或减小其值时，其效果都不是往老龄化方向发展就是往人口数量急剧上升的方向发展，所以，我们就认为其值为1.8时，在未来50年内，其效果是最好的。

关键词：计划生育，Leslie矩阵，人口老龄化，总和生育率，二胎政策

目录 一、问题重述 1 二、问题分析 1

2.1 关于人口数量与结构的分析 1 2.2 二胎政策相关问题的分析 2 三、模型的建立与求解 3

3.1 模型的假设 3 3.2符号的定义 3

3.3基于Leslie的矩阵模型建立 4

3.3.1 Leslie种群模型的介绍 4 3.3.2基于Leslie矩阵的人口模型 3.4模型的求解 6

3.4.1 存活率s的求解 6 3.4.2 生育率的确定 7

3.4.3 Leslie矩阵的确定及模型求解 8 四、模型的分析 9

4.1实施当前计划生育政策的分析 9 4.2 a值对人口年龄结构的影响 14 4.3人口政策的分析 18 4.4人口政策的建议 18 五、模型的评价 18

5.1优点 18 5.2缺点 19 六、模型的检验 19 七、参考文献 20

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一、问题重述

我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响.。人口问题也是我国的根本问题。 我国由于人口基数大，国家实施了计划生育的政策，虽说人口的自然增长率较之前有一定的降低，人口的递增速度也有所减缓。但是，近年来，我国人口面临着老龄化进程加速,出生人口性别比严重失调，以及乡村人口城镇化等不良现象。所以很有必要利用现有的相关人口统计数据，在当前计划生育政策实施的情况下，通过建立数学模型来研究我国人口在结构及数量上在近阶段的变化情况，并对其未来情况进行一定的预测，以适应整个中国国情与经济的形势.同时,还需要我们分析现行人口政策的优缺点，同时，为了解决上述人口结构的一些的问题，我们也还得考虑是否需要对该政策进行一定的改变来改善我国人口老龄化，男女比例失调等现象。从而使我国人口向一个比较乐观的方向发展。

二、问题分析

2.1 关于人口数量与结构的分析

随着人们生活水平和社会医疗水平的提高，我国人口的平均寿命显著变长。在人口的数量和结构上，根据表一的相关数据显示：

【1】1

特点：

1人口的数量持续增加，到2010年底，我国的人口达到13.4亿，这与我国的人○

口基数大这一点是分不开的。

2我国的老年人比重逐渐增加，○少儿的比重逐渐降低，而总抚养比重却出现降低，这充分说明了我国人口老龄化但劳动人口增加的现象。 所以，在本文中，我们将通过2010年的人口数量及结构的相关数据，基于Leslie

【2】

模型，结合中国当今的人口情况，对其作一定的改进与分析，最终对未来时间的人口数量以及年龄结构进行一定的预测与分析。

2.2 二胎政策相关问题的分析

所谓二胎政策，是指农村户口的话，头一抬是女的就可以生第二胎，但是前提条件是年满28周岁的夫妇，否则两胎要相隔四年才能生第二胎，如果头一抬是男的，无论是什么户口，则只能生一胎。 所以，如果考虑是否需要全面实施二胎政策，则需要我们从原来的计划生育政策中改变一定的条件，也即是要我们探究在基本保持人口增长速度保持较慢的情况

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下，使人口的男女性别出现均衡以及老龄化的进程得到减缓。所以，我们将会对上述所建立的数学模型作一定的参数修正，同时也用其对未来近几年进行一定的预测。并能使其达到相关的预期目标。通过对其所得相关结果给予一定的分析与讨论，我们将从中对该政策是否实施、什么时候实施以及怎么实施给予最终的结果。

三、模型的建立与求解

3.1 模型的假设

1.假设没有重大的自然灾害，政府的政策没有重大的变化以及医疗水平基本保持不变。

2.所研究的人口没有太大的迁出与迁出，且基本相等。 3.我国人口数量主要取决于出生率与死亡率两个因素。 4.短期内人口的生育率与死亡率的总体水平可以视为常数 5.本文参考的所有文献及资料的所有的数据来源均真实可靠。

3.2符号的定义

3

3.3基于Leslie的矩阵模型建立 3.3.1 Leslie种群模型的介绍

Leslie模型是一个研究群体的离散模型，对于人这种特殊的群体也同样适用，而且特别是其考虑年龄结构，所以其显得比Logical等其他群体的模型更具有优越性。

我们将群体按年龄的大小等间隔的分成n个组，讨论其在不同时间年龄的分布，对时间加以离散化，其间隔也必须与年龄组的间隔相同。

设某生物种群的最大生存年龄为l（年），我们将其按年龄的大小区间[0,l]分为n等分，可得到n个年龄间隔为

[

l

的年龄组，即有 n

i1i

l,l],i1,2,3...,n nn

i1i

l,l],设其存活率为si，对于第i个年龄组[生育率为bi，一个年龄组的变化时nn

间为1，则有当时间从t1到t的过程中，显然有

n



x1(t+1)=bixi(t)

（3.1） i=0

x(t+1)=sx(t),i=1,2,,n-1

iii

其中若计矩阵L为

1式可写为 则○

4

b1b2s01

L0s2

bn-1bn

0000





sn-1

X(t1)LX(t) （3.2）

当L,X(0)均已知时，当t1,2,3...,n时，通过多次迭代，则不难得到

X(t)LnX(0) （3.3） 其中若（3.2）式中的元素满足

si0,i=1,2,,n-1;

bi0,i=1,2,,n,且至少一个bi>0;

则称矩阵L为Leslie矩阵。

所以只要已知Leslie矩阵和初始时间种群年龄组的分布向量，就可以求出以后各时间t的种群年龄组的分布向量。

3.3.2基于Leslie矩阵的人口模型

按照每五岁一个年龄组，我们将0-99岁分为20个组，即0-4岁为第一个年龄组，5-9岁为第二个年龄组，10-14岁为第三个年龄组…,把95-99岁为第20个年龄组，而100岁及100岁以上分为第21个年龄组。在这里，我们引入实数a，并设实数a为未来年份的生育率与现在种群的生育率之比，并且a(0.8,1.9),很显然,在平均生育率一定的情况下,我们可以通过改变a值来改变每个夫妇所生的孩子的个数.而且a的值大概等于每对夫妇所生的孩子的数除以总和生育率，各年龄组的育龄妇女在五年内的平均生育率向量实际上应该为Bab1,b2,b21。把t阶段全部存活的新生儿全部划分到t1阶段的第一年龄组，并设各年龄组人口在5年时间里的存活率向量为Ss1,s2,s21，而且t阶段第k1年龄组人存活到第

t1阶段就是第k年龄组的人(k1,2,...20)，且第21年龄组的人五年后存活下来

T

T

的仍然属于第21年龄组。根据我们前面叙述的Leslie种群的模型应用于这21个年龄组，则必满足

5

21



x1(t+1)= ackbkxk(t)

k=1



（3.4） xk(t+1)=sk-1xk-1t-1

x(t+1)=sx(t)+sx(t)

2020212121



3.4模型的求解

我们以2010年中国第六次人口普查的相关数据来获取L矩阵以及X(0)，由于我们以每5岁作为一个年龄组，所以也必须以每五年作为一次人口数量及年龄结构的相关推测，通过控制a值的大小来控制当今我国适龄夫妇的生育孩子个数,实质上其对应的也是计划生育的政策,然后通过改变a值来讨论这个相应的人口结构的变化,.除此以外，我们还得对存活率进行一定的求解.下面,我们对这些参数进行一一求解.

3.4.1 存活率s的求解

根据死亡率的相关定义及微分的相关思想,则有, ui(t)

xi(t)xi1(t)

(3.5)

xi(t)

对该公式两边进行全微分运算,则有

dXk

ukXk (3.6) dt

对该微分方程(3.6)进行整理,并对其两边求定积分,则有

skds5

ukdt (3.7) 10s

所以,可以解得五年的平均成活率为

ske5uk (3.8)

6

3.4.2 生育率的确定

根据全国第六次人口普查的结果,我国各年龄组的人口总数,女性比例,年均生育率的数据如下表所示

当第k组的育龄妇女的年平均生育率为fk时,则五年的平均生育率就是bk5fk.计算可得以五年为一个单位时间的人口存活率和平均生育率向量. 所以,由上表中的数据可得: 其中平均生育率向量为

7

B[0,0,0,0.0308,0.4330,0.4829,0.2514,0.0992,0.0378,0.0289，0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]而

其存活率的向量为

sk=[0.9936 , 0.9985 , 0.9985 , 0.9981 , 0.9975 , 0.997 , 0.996 , 0.9942 , 0.9913 , 0.987 , 0.9793,0.9695 , 0.9498 , 0.9176 , 0.858 , 0.7807 , 0.6544 , 0.5288 , 0.3852 , 0.3377 , 0.1031]

3.4.3 Leslie矩阵的确定及模型求解

由于在前面我们已将存活率向量以及生育率向量给出,所以我们可以很容易的得到Leslie矩阵,再通过公式(3.4)编程,在MATLAB下经过多次迭代运算对其进行一一进行求解.

可知在2010年的总和生育率R=1.364, 为响应计划生育政策时,也即每对夫妇仅生一个孩子,此时我们需将实数a值设为0.8,也即此时以总和生育率aR的值约为1,

这样,我们则可以求得结果如下

借助表三的数据,,我们由式(3.9),式(3.10)进一步计算老少比和负担老年系数

8

负担老年系数=

65岁以上的人口数

(3.9)

15-64岁以上的人口数

老少比=

65岁以上的人口数

(3.10)

0-14岁的人口数

表四

四、模型的分析

4.1实施当前计划生育政策的分析

为了让表三和表四的数据更加的直观化,以便于更好的进行计划生育政策该不该改变的分析,我们将人口总数,老少比,男女比例,以及负担老年系数分别对时间作图,通过其整个过程中的相关变化,我们来从这几方面来对当前实施的计划生育政策进行评价.

9

当一对夫妇只生一个孩子时总人口的变化

人口总数/千万

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

2055

2060

年份/年

图一

10

当每对夫妇生一个孩子时 老少比 随时间的变化情况

老少比

[**************]0

20352040年份/年

[**************]0

图二

11

4

当每对夫妇生一个孩子时 男女人口随时间变化情况

人口数/万

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

2055

2060

图三

12

当一对夫妇只生一个孩子时 负担老年系数随时间的变化

0.50.45

0.4

负担老年系数%

0.350.30.250.2

[**************]0

20352040年份/年

[**************]0

图四

从图一,图二,图三,图四中,我们可以很直观的看出实施当前计划生育政策的优缺点:. 缺点:

1.当我国严格的执行现行的计划生育政策时,也即严格控制一对夫妇仅生一个孩子,可得其人口总数显著减少,且当时间到2060年时,人口将不到五亿,由此可见,人口的趋势明显出现衰退情况.

2.从老少比的变化趋势来看,其比值随时间的变化是单调递增的,所以人口的老龄化越来越严重,

3.从负担老年系数来看,它也随时间呈现单调递增的变化,这一趋势说明了中青年的负担会越来越重. 优点:

1.从性别的比例来看,男女的性别比随着时间的变化是逐渐接近于1的,这也是我们所要希望达到的一个状态.

综上来看,当我国严格执行计划生育政策时,从数量上来讲,人口的数量大大的减少,虽然说起到了计划生育控制人口增长的目的,但是其抑制的程度还是过于太大,

13

而从结构上来讲,老龄化的现象越来越严重,不但改善人口老龄化的进程,反而加速了人口的进一步老龄化,总的来说,人口在未来的几十年中是呈现一个衰退型的,所以,这是极其不利于中国未来人口发展的,所以说,计划生育政策对未来人口的发展弊大于利,所以必须加以改进.

4.2 a值对人口年龄结构的影响

从上述分析中可以看出,人口的发展趋势不是很乐观,为了让其得到一定的改善,我们将通过改变a值来改变整个人口的数量以及整个人口的结构.

我们不妨假定每对夫妇生两个孩子,同样在原总生育率R=1.364的情况下,由此可计算得a值的大小应该为1.8左右,在此情况下,我们也用上述方法对其进行同样的求解运算,可得其结果应该为表五所示:

表六 每对夫妇生两个孩子时未来人口变化趋

14

同样的,我们也分别用上述值对年份进行一一作图,则有

当一对夫妇生两个孩子时总人口的变化

人口总数/千万

2015

[***********]4020452050

20552060

年份/年

图五

15

当每对夫妇生两个孩子时 老少比 随时间的变化情况

0.0.0.0.0.0.0.0.

[***********][***********]2060

年份/年

图六

4

老少比

当每对夫妇生两个孩子时 男女人口数量随时间变化的情况

人口数量/万

2015

2020

2025

2030

20352040年份/年

2045

2050

2055

2060

图七

16

当每对夫妇生两个孩子时 负担老年系数岁时间变化情况

0.240.23

0.22

负担老年系数%

0.210.20.190.180.170.162015

[1**********]0

20352040年份/年

[**************]0

图八 从图五,图六,图七,图八来看

1.人口的总体数量较2010年要低,且随着时间的推移,人口在2040年后趋近于10亿左右.这也是一个我们所要要求达到的效果.

2.人口的老少比随时间的变化是呈现先单调下降,再单调上升直至达到一个最大值,此时再出现下降的情况.而且其最大值为0.6左右,较a0.8的情况要低得多. 3.人口的性别比也是逐步接近于1,且离数1越来越近,这也是我们所渴求的状态. 4.人口负担系数较a0.8时也要小得多. 所以,我们可以得出如下的结论

随着a值的增大,人口的总数呈现一个比较健康的态势,其数量比较满足当今未来人口的发展趋势,而更重要的是,人口的年龄结构以及性别结构愈来愈合理,特别是老少比以及负担系数均不是很大,也即人口的老龄化现象非常轻微,综上来看,整个人口的变化趋势是属于一个稳定型的.但是a值并不是越大越好, a值太大,反而会出现一个相反的情况.

17

4.3人口政策的分析

从上面的分析可以看出,在控制人口增长政策时要多方面考虑,如果只看重多人口总数的控制,严格实行当前的计划生育政策,可能导致严重的社会老龄化,劳动力不足这种严重的社会现象.如果为了防止社会老龄化加快,全面放开二胎政策,放任人口的增长,也会导致社会人口过多对资源和环境的压力.因此要制定正确的人口政策才能使国民经济持续增长,人民生活水平不断提高.

4.4人口政策的建议

从上面的一些分析来看,结合我国的整个人口增长的情况,提出对我国人口发展的一些相关性人口政策建议

我们针对人口未来的情况提出了比较新的生育政策:

在实施计划生育政策的同时,逐步放开二胎政策,也即一对夫妇最好生育两个孩子.同时稳定整个相对比较低的生育水平.

从图五,图六,图七,图八等图解来看, 图中在2035年时人口的整个变化趋势出现了一个折点,,从人口的居多年龄结构来看,这一点将使整个人口局势发生一定的变化,也就是说在20年后出现一个人口变化的拐点,我们再看a=0.8时的情况,也即严格的情况下一对夫妇仅生育一个孩子,当其时间到2035年时,人口的老少比明显大于1,这是一个老龄化现象比较严重的情形.由于其要20年后才会达到一种相对比较满意的状态,我们认为计划生育政策的修改时间为2015年.,因为从整个人口的数量来看,这一时间也是相对合理的.

五、模型的评价

5.1优点

首先，本文采用定性与定量、理论与实证相结合的方法进行研究，使得所建立的模型具有一定的依据。

然后，本文运用Leslie模型，通过建立动态数学模型，分别对人口总数及人口结构进行预测分析。在人口结构中，对全国人口总数、男女人口数、人口年

龄结构、人口老龄化等方面等随时间的变化规律。所以，模型得到的结果全面、简洁、直观、有效。

18

最后，我们设定了总生育率的倍数a，根据不同的a值，即每对夫妇所生孩子数量的不同得到的不同预测结果。本文分别取a=0.8和a=1.8两个值，对模型所得到的结果进行分析。这样分析得到的结果有很强的对比性和有效性。

5.2缺点

：本文基于2010年人口普查得到的相关数据建立的模型，模型建立所需要的数据只用到了2010年一年的数据，所以可能对最后的结果产生误差。 基于模型的假设，以及出生率和死亡率都会随时间的变化而有所变化的，数据选取的有限性，因此预测的结果存在一定的误差。

六、模型的检验

本文采用选取不同的a值，即每对夫妇生不同数量孩子，通过建模得到的具体数据来进行横向和纵向分析，最终来确定模型的准确性和稳定性。

对于所建立的模型，改变其中的参数a，这里设定a=2.8,得到以下数据：

表七 讨论a值对人口结构的变化

19

通过对以上数据的分析：

第一,当a=2.8时，人口总数、男女比都随时间的变化而不断增加，老少系数、负担系数都随时间的变化不断减少。根据实际情况分析比较可以得出具有一定的合理性。说明我们所建立的模型准确性比较理想。

第二，通过对a=1.8 a=0.8 a=2.8时模型解得的数据进行比较，发现当每对夫妇只生一个孩子时，人口数量不断减少，男女比加大，老少比增加，即人口数量和结构都不稳定。当每对夫妇生两个孩子时，人口数量和人口结构都比较稳定和理想。当每对夫妇生超过两个孩子时，人口数量和人口结构再次出现不稳定情况。 综上所述，我们所建立的模型具有一定的有效性、准确性，并且与实际情况比较吻合。

七、参考文献

【1】【3】全国分年龄、性别的死亡人口状况：http://www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm 全国育龄妇女分年龄、孩次的生育状况：

http://www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm

人 口 数 及 构 成：http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/2011/indexch.htm 【2】王喜林，刘丽红，中国人口增长模型的建立与预测，2007.6.12

【4】薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京，2008

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