三角形全等的证明
【知识梳理】
（一）三角形概述：
1．定义（包括内、外角）
2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。
⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑶角与边：在同一三角形中
等边 等角
大边 大角
小边 小角
3．三角形的主要线段
（1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线
（2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质
4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质
等腰三角形：
定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”）
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。
等边三角形的性质及判定：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．全等三角形
全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS：
注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
寻找对应元素的方法：
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
图1 图2 图3
旋转
如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移
如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
6．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线
⑴截长、补短;⑵倍长中线;⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴综合法（执因索果）、分析法（执果索因）
⑵证面积关系：将面积表示出来
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等（其余有关线段和角相等的定理）
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：截长法、补短法
小练习：1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为________。
2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为__________。
3、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个_______。
4、如果等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角_____。
（二）全等三角形的判定及应用：
（1） 证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE
(4)证明线段相互垂直
例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
(三1
(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。（截长）
例1： 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
A
D
EODN
BCAMBE
例2、已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
例3、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?
2、倍长中线法：
倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
（1）证明线段不等
例1 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的
中线．求证：AB+AC＞2AD．
（2）、证明线段相等 例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，
交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．
例3．如图3所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。
（3）、证明线段倍分
例4 如图4，CB，CD分别是钝角△AEC
CD．
图3
（4）、证明两直线垂直
例5 如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．
3、面积法 根据面积公式，求解论证线段数量关系的特殊方法。
例1、求证：从等腰三角形底边上不同于两顶点的任一点向两腰作垂线，两条垂线段之和，等于一腰上的高。
例2、求证：从等边三角形内任一点向三边作垂线，三条垂线段的和等于等边三角形的高。
三角形全等的证明
【知识梳理】
（一）三角形概述：
1．定义（包括内、外角）
2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。
⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑶角与边：在同一三角形中
等边 等角
大边 大角
小边 小角
3．三角形的主要线段
（1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线
（2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质
4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质
等腰三角形：
定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”）
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。
等边三角形的性质及判定：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．全等三角形
全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS：
注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
寻找对应元素的方法：
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
图1 图2 图3
旋转
如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移
如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
6．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线
⑴截长、补短;⑵倍长中线;⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴综合法（执因索果）、分析法（执果索因）
⑵证面积关系：将面积表示出来
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等（其余有关线段和角相等的定理）
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：截长法、补短法
小练习：1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为________。
2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为__________。
3、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个_______。
4、如果等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角_____。
（二）全等三角形的判定及应用：
（1） 证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE
(4)证明线段相互垂直
例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
(三1
(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。（截长）
例1： 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
A
D
EODN
BCAMBE
例2、已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
例3、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?
2、倍长中线法：
倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
（1）证明线段不等
例1 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的
中线．求证：AB+AC＞2AD．
（2）、证明线段相等 例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，
交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．
例3．如图3所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。
（3）、证明线段倍分
例4 如图4，CB，CD分别是钝角△AEC
CD．
图3
（4）、证明两直线垂直
例5 如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．
3、面积法 根据面积公式，求解论证线段数量关系的特殊方法。
例1、求证：从等腰三角形底边上不同于两顶点的任一点向两腰作垂线，两条垂线段之和，等于一腰上的高。
例2、求证：从等边三角形内任一点向三边作垂线，三条垂线段的和等于等边三角形的高。