工程力学经典电子教案1

工程力学

第一篇 静力学 第一章 静力分析基础 §1-4 约束和约束力

第二章 平面基本力系

§2-3 简单轮轴类部件的受力问题

第三章 内力计算

§3-2 圆轴扭转时的内力和扭矩图

第二篇 机械零部件的承载能力 第四章 材料失效和机械零部件失效

第五章 机械零部件的强度条件

§5-1 杆件拉伸和压缩时的强度条件及应力集中

§5-2 联接件强度的工程实用计算

*§5-4 弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度条件

§5-7 圆轴的疲劳失效

第六章 杆件的变形和刚度条件

§6-1 杆件拉伸和压缩时的变形 *§6-4 静定和静不定问题

第七章 压杆的稳定条件

§7-1 压杆的临界压力和临界应力 §7-2 压杆的稳定性校核 第八章 提高构件承载能力的措施 §8-1 提高构件承受静载能力的措施

第三篇 运动分析和动力分析初步

第九章 运动形式概述

第十章 刚体绕定轴转动

§10-1 刚体绕定轴转动的运动分析

*§10-3 轴承的动约束力和定轴转动刚体的动应力 *第十一章 合成运动

*§11-2 刚体的平面运动

绪 论

一、工程力学的内容

将来工作中要接触到各种机器，例如，图示是什么机器？（提问）

工作原理：电机转动—两皮带轮转动—主轴卡盘工件转动—车刀轴向径向移动—切削零件 这个机器的力学问题就是各部分的受力、运动和承载能力

运动：电机转动、皮带轮转动、主轴转动、卡盘工件转动、车刀移动

动的传递

受力：车刀切削力、卡盘夹紧力、轴承支持力、皮带拉力、电机动力 各部分受力之间有一定的关系：一定的切削力，夹紧力多大？轴承受力多大？皮带拉力？电机动力？

怎样从一个零件的受力计算其他零件的受力？这也是力学问题——受力及力的传递 各构件能否受力：车刀受力之后会不会拆断？轮轴受力之后会不会弯曲？皮带受多大的力会断裂？

为了不发生断裂，可以使用高强度的合金钢材料,但成本太高；或将构件做得又粗又大,但机器笨重

怎样做到既要坚固结实,又要降低成本、节省材料、减轻重量？这也是力学问题——构件的承载能力

所以，力学是研究机器各构件的受力及传力，运动及传动，构件的承载能力 静力学——第一篇 静力分析 静力是指在平衡状态下的受力 运动力学——第二篇 运动分析与动力分析 材力力学——第三篇 机械零部件的承载能力

第一篇 静力学

静力分析是研究构件在平衡状态下的受力

“构件”：机器上的零件与部件

零件是组成机器的最小单位，例齿轮、轴

部件是几个零件装配成的组合体，例如齿轮与轴组成轮轴部件

“构件的平衡状态”：物理学过，物体静止或匀速直线运动，就是物体处于平衡状态 轮轴部件，静止或匀速转动也是处于平衡状态

分析受力，包括外力和内力。什么是外力，什么是内力，这很容易，以后遇到再讲，这样节省时间

第一章 静力分析基础

§1-1 力的投影

投影 用灯光照射一根直杆，投射在墙壁上影子的长短来说明投影的概念 杆长l，光线水平，杆墙平行,投影长为l；垂直,影长0；杆和墙夹角α,投影长度等于l〃cos

若力的大小为F，方向和x轴的夹角为α，现要求该力在x轴的投影 即力F矢量的起点a向x轴引垂线,交x轴得垂足a1点；力矢量端点b向x轴引垂线,得垂足b1点

力F在x轴的投影Fx=a1b1=F〃cosα （Fx字母F和下标x表示力F在x轴的投影） 同理，要求该力在y轴的投影

即力F矢量的起点a向y轴引垂线,交y足b2点

力F在y轴的投影Fy=a2b2=F〃sinα （Fy投影正负规定：从力矢量起点投影足a2反之，从力矢量起点投影足a1所以，上述力F在x、y轴的投影 Fx=-F

Fy=+F〃sinα

若已知力和x轴的夹角为α，则Fx=±F〃cosα；Fy=±F〃sinα，不能死记硬背，不要画垂线

ααα，在该轴投影³cosα，在另一轴投影³sinα(若与y轴夹角b,投影？)

轴引垂线）

各力投影：F1x=ac，F2x=ab=cd（c对边、同位角），FRx=ad=ac+cd==ac+ab=F1x+F2x 若力系的分力不止两个分力，有三、四、五……多个，同样有：

FRx=F1x+F2x+F3x+……=∑Fix FRy=F1y+F2y+F3y+……=∑Fiy

1-2）

“∑”数学用过吗？像英文字母Ｍ逆时针旋转90°，念法？

意义：F1x+F2x+F3x+……，不写下标i，即∑Fx，∑Fy

有了这个定理，可以用投影法求平面汇交力系的合力FR 由合力FR在两直角坐标轴上的投影FRx、FRy关系有FR

FRxFRy （右图）

2

2

由合力投影定理：FRx=∑Fx，FRy=∑Fy有

FRtga

FRxFRyΣFx)(ΣFy)FRyFRx

FyFx

2

2

2

2

（1）

P7 例1-1

已知：F1=450 N，F2=140 N，F3=300 N

受力：F1、F2、F3大小？方向？ 求：这三个力的合力的大小和方向

解法：中学物理方法，每两个力用平行四边形合成……？必须严格按比例画各力和c形状，太麻烦

现在要求用投影法，不使用物理学的平行四边形合成法，今后作业、考试也要求用投影法 物理方法对了不算对，因为我要检查力学方法学得如何，不检查物理方法学得如何 解：根据合力投影定理

FRx=F1x+F2x+F3x=-450+0+300³cos 60°=-300 N FRy=F1y+F2y+F3y=0-140-300³sin 60°=-400 N 根据力的投影与该力的关系

FR

FRxFRyFRyFRx

-400-300

2

2

(-300)

2

(-400)

2

500N

tana

1.333 , a53.1

因为合力在两个坐标轴上的投影FRx、FRy都是负值

说明合力平行于两坐标轴方向的分力与坐标轴反向 所以，合力FR的方向如图所示，即与x轴夹角53.1°，指向左下方 小结：①中间计算数据不必写单位（N）

②但各力的单位要统一，不要N与kN混用

③最后结果要写单位

§1-2 力矩与力偶

一、力矩的概念

物理学过，用板手转动螺栓，施加在板手上的力必须要产生力矩，力矩=力³力臂

力臂是转动中心到力作用线垂直距离，若转动中心到作用点连线和力作用线垂直,力臂？不垂直,力臂？

转动中心称为矩心，常用一字母表示矩心，例如用板手拧螺栓A，矩心为A；拧螺栓B，矩心为B

力矩的表示方法:MO(F)=±Fd，其中M力矩,Ｏ矩心,(F)产生力矩的力,±正或负号,F力,d力臂

规定逆时针转动,力矩为正；顺时针转动,力矩为负。什么是顺、逆时针？因逆时针用右手向上表示方便 例，力F1拧紧螺栓A,连线和力线不垂直, MA(F1)=－F1d1；力F 2拧松,垂直, MA(F 2)=+F 2d2 怎样判定转动方向是顺时针或逆时针？──想像法！ ①把矩心想像为时钟中心，②把力臂和垂足想像为指针所指钟点位置，③把力想像为推动指针转向

板手,F1力垂足在3点钟位置,力使之向下走,顺时针,负力矩；F 2力垂足2点钟,力使之向上,逆时针,正力矩

力矩单位：N〃m ；k N〃m ；N〃cm ；N〃mm等等。同一个计算式子里的单位要统一 特例：力作用线通过矩心，力矩等于零

例，板手卡口外的受力F3，或板手手柄端部沿手柄轴线的受力F4，力臂均为零，力矩为零 力矩是计算力对矩心的力矩，同一力不同矩心力矩不同，矩心是一个点，所以又称为力对点的力矩

力矩使物体转动,该物体总是绕着一个轴转动，例如板手使螺栓绕其中心轴线转动,又称为对轴的力矩

如计算轮轴各力力矩,空间力臂尺寸难想象,投影在转轴垂直平面上,计算各力对中心点力矩,即

二、合力矩定理

合力矩定理：P9页2行 合力对一点（轴）的力矩，等于各分力对该点（轴）力矩的代数和 点后又(轴),即合力对点的力矩等于分力对该点力矩代数和,合力对轴的力矩等于分力对该轴力矩代数和

因为物理已知，合力和分力等效，所以,合力力矩等于各分力力矩之代数和

如图所示，F1、F2两力的合力FR可以画平行四边形表示。矢量关系表达式为 FRF1F2 矩心在力作用线所在平面上的A点。合力矩与各分力矩的关系表达式为MA(FR)=MA(F1)+MA(F2)

各力的力臂为d、d1、d2，合力矩定理的表达式为 FRd=F1 d1-F2 d2 P9 例1-2

已知:D2=300 mm，Fn=1 kN，a=20° 求：MO(Fn)

D1不需要给出，大齿轮分度圆直径为度圆圆周上

为什么可以将啮合力作用点位置视为在分度圆周上？在机械零件课程讲述，这里只要懂得这个结论

如果齿形是直线形状的，啮合力就和圆周相切，力矩=啮合力³半径

为了齿轮啮合传动得平稳，齿形是曲线形状，啮合力Fn和啮合点所在的圆周切线的夹角称为压力角a

现在Fn=1 kN，a=20°，求：Mｏ(Fn) 解

一

2

D2

按力矩的定义计算

Mo(Fn)FndFn

cosa1000×0.15cos20141Nm

解二 按合力矩定理计算 将啮合力分解为圆周切向和径向两个分力

圆周力 FtFncosa径向力 FrFnsina

Mo(Fn)Mo(Ft)Mo(Fr)Ft

D22

+0Fncosa

D22

1000cos200.15141Nm

小结：虽然用①“力矩=力³力臂”、②“合力矩定理”两种方法计算力矩的结果相同 但是，当不好计算力臂时，要将力分解成两个分力，使用合力矩定理计算两分力的力矩 对于力作用线与尺寸线不垂直的题目，今后一概使用“合力矩定理”计算力矩，即“解二”的方法

P10 例1-3

已知:F=300 N，a=30°

a＝0.25 m，b＝0.05 m 求：MB(F)

题目：这是一个刹车的操纵机构，驾驶员脚的踏力

成a=30°

在脚踏力F作用下,A点左移,摇臂ABC绕B点转动,C点右移,通过液压油控制刹车的具体方法不讲

现:已知:F=30 N，a=30°,求：MB(F)

如果按力矩的定义计算，力矩=力³力臂，图示力臂d的尺寸太难求了

题目给了力F作用点与矩心Ｂ的铅直距离尺寸a＝0.25 m，水平距离尺寸b＝0.05 m 将F力分解为水平和铅直方向两分力Fx、Fy，这两分力的力臂就是a和b，计算两分力的力矩即…

Fx=Fcosa=300³cos30°=260 N Fy=Fsina=300³sin30°=150 N

MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=Fx a-Fyb=260³0.25-150³0.05=57.5 N²m

小结：

①力臂不好计算的题目，一定不要花很多时间去寻找力臂的计算方法，一定要用合力矩定理计算力矩

②合力矩定理计算力矩的方法，将力分解为与尺寸线平行或垂直的两个分力，计算两分力力矩代数和

③这里的Fx、Fy是分力，不是投影！投影有正有负(此题Fx、Fy的投影均负值)，分力一定是正值

两分力力矩的正负符号，由转动方向决定，Fx逆正、Fy顺负，力矩正负号与各力投影正负符号无关

三、力偶的概念

用板手旋紧螺栓，由于构件螺栓孔的约束，只要在板手末端加一个力F，可使板手、螺栓一起转动，丝锥攻制内螺纹,开始圆孔小,不能保持丝锥位置,若只一力F,丝锥偏离圆孔移动,不能在孔内旋转，即使攻丝有了一定的深度，由于丝锥的材料较脆，如果只靠一个力的力矩作用，常会使其弯曲折断，要转动丝锥攻制螺纹不使其折断，或者使没有支点的物体转动，必须在手柄上作用两个力F和F，这两个力的大小相等、方向相反，作用线平行。 这样等值、反向、平行的两个力称为力偶

又如，铰链支座（使用实物），有销钉，在杆件上作用一个力就能使杆件转动

如果没有销钉，一个力，杆件就不能绕圆孔转动，作用两个等值、反向、平行的力，也能使杆转动

力矩和力偶都能使物体转动，但有区别：①力矩转动须有支点,力偶转动的支点可有可无 ②力矩转动的支点受力,力偶转动的支点不受力 力偶实例:汽车司机左右手作用在方向盘上的两个力组成一个力偶

电机通过联轴器带动机器时，联轴器凸缘四个螺栓孔的受力组成两个力偶

在日常生活中，用钥匙开门，拧水龙头，拧毛巾、转动螺丝刀等等，都是力偶使物体转动的实例。

‘

四、力偶的性质 P11

性质1．力偶在其作用面上任一轴的投影恒等于零 组成力偶的两个力作用线所在的平面称为力偶作用面

‘

力偶F和F两力等值、反向、平行，两力与某一轴夹角a相同，在该轴投影绝对值相等，因两力方向相反，在一轴投影正负号相反。所以，两个力在其作用面上任一轴投影的代数和

性质2．力偶对其作用面上任一点的力矩恒等于其力偶矩 P11

‘

例，力偶的两力F和F，两力作用线之间的距离为d

计算两力对两力中间的A点的力矩，设A点到两力作用线的垂直距离为a和b，有a+b=d MA(F )+MA(F‘ )=-Fa-F‘b=-F(a+b)=-Fd “-”号表示顺时针转向

‘

再计算两力对两力之外的B点的力矩，设B点到F力作用线的垂直距离为c

MB(F)+MB(F)=-F(a+b+c)+ Fc=-F(a+b)=- Fd“-”号,说明也是顺时针转向 如果再计算这两力对C、D、……各点力矩代数和都是顺时针，力矩的代数和都是-Fd 再如P11图1-15十字形板手MC(F )+MC(F‘ )=+Fd，曲杆板手MD(F )+MD(F‘ )=+Fd

这说明,力偶两力对作用面任点力矩代数和等于其中一力Ｆ和两力作用线间垂直距离d乘积Fd，和矩心位置无关

‘ ‘

组成力偶的两个力作用线之间的垂直距离，称为力偶臂，用符号d表示

力偶的一个力和力偶臂的乘积，称为力偶矩，用符号M表示，即M=±Fd（所以性质2“…力偶矩”）

因力矩和矩心位置无关,不用写下标; 因不同力和不同力偶臂乘积的力偶矩可能相同,不用(什么力)

才有正负号 ③计算结果“-”号，说明合力矩顺时针方向转动

五、力的平行移动 P12

如图所示的轮轴，啮合力Fn作用在齿轮上的A点

在分析轴的承载能力时，往往需要将力Fn平行移动到圆轴上，使力作用线通过圆轴中心点O（图b）

显然，移动到圆轴中心点的力对转轴没有力矩，与原力的作用效果不同

为了使力平行移动后与原力的作用效果相同，必须附加一个力偶M

其作用面在O点和原力作用线组成的平面内，或在与该平面平行的平面内（图c） 附加力偶的力偶矩等于原力对平移点O的力矩，即 M=MO（Fn）=Fnd

无论原力是什么方向，无论平移的距离有多远，附加力偶的力偶矩都等于原力对平移点O的力矩

力偶

一、重心与形心的概念

任何物体可以看作由许多微小块粒组成，每一小块粒都受到地球的引力，称为重力 这些重力作用线汇交于地球中心，可以将汇交点视为在无穷远，这些引力视为空间平行力系 这些空间平行力系合力的数值大小就是该物体的重量，合力作用点就是该物体的重心 画图示矩形物体的受力图时，重力W，桌面支承力Fn，其中重力W的作用点位置就是物体的重心

画图示槽形物体的受力图时，就不知道重心在哪里，就要计算重心的位置

即使是矩形物体，如果它由不同材料组成，例左半铁右半木，也不知重心位置在哪里，也要计算重心

同一种材料组成的物体,称为“均质物体”,重心一定在其几何中心点,称为物体的形状中心,简称为形心

有的物体具有对称面（人体），有的物体具有对称轴线（等腰三角形），有的物体具有对称中心点（球）

具有对称要素的均质物体，重心一定在对称要素上，例矩形、平行四边形、三角形、圆轮、球的

具有对称要素的物体，不必计算就可以确定其重心位置，如矩形？平行四边形？三角形？圆轮？球？

形状不规则的物体，或由不同材料组成的物体，要用计算或实验测定的方法，确定其重心的位置

实验测定重心的方法在第二章讲，这是只讲计算重心的方法

为了描述物体重心空间位置，建立空间直角坐标系Ｏxyz？三坐标轴相互垂直，Ｏxy平面是水平面

设：物体的总重量为W、其重心Ｃ点的位置坐标为xC，yC，zC

假想将物体分割成n个微小部分，每一部分重力为W1、W2…Wn，任一Wi位置坐标为xi，yi，zi

则,作用在重心的重力W就是各微小部分重力Wi的合力，即 W=W1+W2+…=ΣWi (符号Σ意义、用法)

为计算重力对x轴的力矩，将各力投影到与x轴垂直的Ｏyz平面上，计算合力和分力对Ｏ点的力矩

根据合力矩定理，合力对Ｏ点的力矩等于各分力对Ｏ点的力矩的代数和，有

MO(W)MO(Wi)-Wyy



C

Σ-Wiy

i

i

ΣWiyW

C

同理，通过计算重力对y轴的力矩可以求得 xC

ΣWixW

i

把物体连同坐标系绕y轴（或x轴）旋转90°，使重力和z轴垂直，也可以求得

zC

ΣWizW

i

xC

ΣWx

i

i

wΣWy

i

i

得到物体重心位置的坐标公式 y

C



P14（1-6） 其中：y

xC? xi? W?

C

wΣWz

i

i

? yi? Wi?

zC? zi?

zC

w

2

要确定这样物体的重心位置，只需要计算剖面图形形心位置的两个坐标，即平面图形的形心坐标

对于杆状、柱状和平板状的零件，重心位置都有这样的的特点，只要计算剖面图形的形心位置

图示等厚度均质物体，假设厚度为，材料的比重为

建立直角坐标系的x轴y轴组成的平面与物体上下底与平行，显然，重心形心均在其厚度一半/2处

只要在Ｏxy坐标平面上确定平面图形的形心位置（右图）

假想将总面积为A分成n部分，任一部分面积为Ai ，总面积A=A1+A2+…=ΣAi 小块重量

xC

Wixi

W

Wi＝



Ai，总重量

Aixi

A

W＝

A。代入重心的计算公式

Aixi

A

xC

Aixi

AAiyA

i

所以，平面图形形心的坐标公式是

y

C

P15（1-7）



xC

Wixi

W

Aixi

AAiyA

i



Aixi

A



Aixi

A

xC

y

C



解一 将平面图形假想分割成中图所示的三个矩形，每个矩形的面积Ai和形心坐标yi为：

A1=(50-10)×10=400mm, A2=100×10=1000

2

2

y1=yy

2

50-102

+10=30mm

mm,

2

=5mm

A3=A1=400mm,

3

=y1=30mm

y

C



AiyA

i



A1y1A2y

2

A3y

3

A1A2A3



400×30+1000×5+400×30

400+1000+400

16.1mm

解二 将图形分割成另外三个矩形，每个矩形的面积Ai和形心坐标yi为？

A1=50×10=500mm, A2=(100-210)×10=800mm, A3=A1=500mm,

2

2

2

y1=yy

23

502

=25mm

=5mm=y1=25mm

yC计算结果一定相同

解三 将图形视为由面积A1＝50 ³100 矩形切除A2＝40 ³80 后剩余的图形。两矩形Ai和yi分别为：

Ａ1＝50 ³100 ＝5000 mm2， y1＝25 mm Ａ2＝-40 ³80 ＝-3200 mm2， y2＝30 mm；

y

Aiy

A

i

C



A1y1A2y

A12

2



5000×25-3200×30

5000-3200

16.1mm

注意：①使用公式计算形心时，切除的面积为应为负值，形心坐标也可能是负值，例左矩形x1=-45 mm

②左右对称只算yC，上下对称只算xC(转90°)，另一坐标一定不算,也不要写xC ＝ ?非对称才要算两坐标

③计算式子中间不要写单位，最后要写。今后题目示图，凡没有单位的尺寸一律为毫米，考试不要问 P16 例1-6

已知：起重机机架重量W1＝500 kN

最大吊重W2＝250 kN 求：平衡配W3＝？

题目：塔式起重机机架重量W1＝500 kN不包括起重载荷W2和配重W3

形状Ｔ形,空架重心在两轮之外

空架W1重心在两轮之外会倾倒，右边吊起重载荷W2更会倾倒，为了平衡不倾倒，要加平衡配重W3

配重W3平衡配重W3=？

吊重可大、小、没,在0~250 间变化,重心位置也变化,不能倾倒,条件是重心坐标xC不超出左右两轨道Ａ、Ｂ范围

在以左轨Ａ为坐标原点建立的Ｏxy坐标系中

满载时，整体重心最右，应保证重心坐标xC ≤ 3 m；xC≥0

解 各部分的重量Ｗi及其重心坐标xi数据

机架： W1＝500 kN， x1＝3＋1.5＝4.5 m

吊重: W2＝250 kN， x2＝3＋10＝13 m 配重： W3未知， x3＝-6 m

满载时,上述三部分重量都存在。重心位置不得超出轨道Ｂ以右，整体重心坐标xC ≤ 3 m

xC

ΣWixi

W



W1x1W2x

2

W3x3

W1W2W3

≤3

≤3

xC

500×4.5+250×13+W3×(-6)

500+250+W3

解得 W3≥361 kN

空载时，没有吊重 W2，只有机架W1和配重W3，两部分合力的重心不得超出轨道Ａ以左，即xC≥0

xCxC

ΣWixW

i



W1x1W3xW1W3

3

≤3

500×4.5+W3×(-6)

500+W3



解得 W3≤375 kN

所以，配重W3的数值应为 361 kN≤W3≤375 kN 例W3=370 kN

§1-4 约束与约束力

讲述“约束与约束力”的目的，是为了画机械构件的受力图 物理课程画过受力图，例,平面上物体的受力图？斜面上物体的受力图？三绳挂物体,结点的受力图？

机械中的一个构件与周围其他构件联接关系是多种多样的，平面，曲面，孔、槽……怎样画受力图？

要使轮轴只转动不移动,必须把它安装在支座A、B上.轮轴运动被两支座限制，或支座约束了轮

轴的移动

就把这两个支座称为“约束”。在它们的接触处,轮轴受到支座的作用力FA、FN和FB称为“约束力”

由此可知，机械零部件和其他物体接触，其自由运动受到这些物体的限制,这些物体就是约束，例支座

约束作用于机械零部件上的力称为约束力 ，例力FA、FN和FB 约束通过约束力的作用限制构件的自由运动，例在力FA、FN和FB的作用下,轮轴不能自由移动

使构件运动的力称为主动力.齿轮啮合力Fn使轮轴转动,是主动力。构件自身重量使之下落,也是主动力

约束力的作用点在构件与约束的接触处，其方向主要取决于约束的类型 机械工程常见的约束可以分为下述六种类型：

1．柔索约束

构成：由柔软的绳索、皮带、链条等非刚性物体所构成的约束 例 重物用绳索吊起，绳子是重物的约束，重物被绳子约束

因绳索不能受压,只能受拉,根据反作用？受柔索约束的构件,约束力方向一定和连接端绳索受力反向

所以，柔索约束力总是沿着绳索的中心线，使物体受到拉力。

其他例子:吊运钢梁,无论绳索捆扎钢梁底部何处,钢梁和吊钩受柔索约束力,总是沿绳索中心线拉力

带轮传动，无论轮子如何转向，带轮两边总是受到皮带拉力，其作用点在带与轮

缘的切点

注意：不能画施力，重物A点受绳索的拉力不能向下（画重物Ａ点受向下的力，错），只能离开物体

不能画压力，轮子圆周不能分布压力（右图错），无论轮子顺、逆时针转动，都是

切点处受拉

吊运钢梁，约束力不能画铅直方向，不能移到重心上（下图错），只能与绳索中心

光滑，没有摩擦力，两物体间没有接触面公切线方向的作用力，只有公法线（?）方向的相互压力

所以，光滑面的约束力方向总是沿着接触面的公法线，使物体受到压力

其他例子:曲面和平面、曲面和曲面、曲面和尖点、平面和尖点（画各类型光滑约束示图）

齿轮传动,齿廓曲线?公切线?公法线?力倾斜，力与轮周切线夹角称压力角a，斜线实质是法线

止推轴承底面（这里不一定讲，留§2-4再讲轴承约束力。但学生可以看懂这部分教材内容）

注意：不能画施力，重物受台面的压力不能向下（画错误的左下角示图），只能指向物体 曲面接触，法线方向即半径方向，法向压力作用线一定通过曲面圆弧的圆心

尖点接触，尖点即半径等零的圆弧,过尖点任一直线都是其法线,公法线即另一物体

表面法线

被支座约束

限制？杆件被销钉限制,不限制转动,能限制移动。任何方向移动都被限制,说明存在任何方向约束力

所以，固定铰链的约束力用通过铰链中心、互相垂直的两个分力FxFy来表示

①为什么通过铰链中心？

销钉圆孔实质是光滑面约束，光滑约束法向压力，接触面公法线即圆孔半径，一定通过圆心

②为什么用两个分力可以表示任何方向的约束力？

钉孔间隙小，接触点未知，力方向未知。两分力，后面计算其数值和±号，若++若+-…

③为什么两个分力互相垂直？

将铰链约束力分解为平行四边形与分解为矩形均可，矩形更容易计算，也容易合成

其他例子: ①门、窗活页就是铰链（前面已讲） ②两杆铰链连接（圆规，没有支座）

③三角支架（杆端钉墙，两杆钉孔联接） ④定滑轮中心支座（虽然支座在上，

符号在下）

⑤径向轴承的圆孔内壁（这里不一定讲，留§2-3再讲。学生可以看懂这部分教材内容）

注意：一个铰链只有一个约束力，两个分力不表示两个约束力，更不能画两分力和合力画成三个力

只有固定铰链，才画两分力。柔性约束和光滑面约束有确定的约束力方向，不能画

两个分力

传力： ， FN→FN 两分力FxFy →Fx Fy中间铰链FAxFAy →FAx F‘Ay

‘

‘

‘

‘

构造上和固定铰链完全一样,也是圆孔销钉。但铰链约束力方向未知,二力杆受力反向共线,方向可知

所以，二力杆约束力总是沿着二力杆件两端的铰链中心连线，指向待定。

①为什么沿二力杆两孔中心连线？

因为二力杆CD 受力等值,反向,共线，即沿两孔中心连线，所以反作用力也沿两孔中心连线

②为什么指向待定？

受力复杂时，计算之前未知二力杆受拉受压，任意画约束力，计算后，正值同画向,,②本身重量不计,③不受主动力（例

AB

②曲拱（提问:ＡＣ上的主动力移到BＣ上如何? ④用三角架固定的滑轮

前者两个分力，后者钉孔连线

CD是二力杆，AB杆受二

‘

传力：三角支架FＲC→F‘，FＲC→F‘C点的FＲC 力直接传到支座D） ＲC →FＲD→FＲDＲ（即水平杆 C

在受力图中，一般用字母FＲ或FＳ表示二力杆件的约束力

限制：由于支座和支承件间装滚子，不能限制构件沿支承面的移动，只能限制垂直于支承面的移动

所以，活动铰链的约束力总是通过铰链中心，垂直于支承平面的一个约束力，指向待定。

①铰链，圆孔销钉，光滑约束力法线仍半径方向，仍通过圆孔中心

②垂直于支座面，不能限制支承面切向移动，能限制垂直于支承面的移动，约束力垂直支承面

③指向待定，实际结构不允许支座离开支承面,有法向的连接固定，双向约束，计算可能正负值

其他例子: ①销钉和槽面之间的约束 ②横梁，端头接触一端视为固定铰链支座,另一端活动支座

③轴承支座(也是两端结构相同，但端部接触的一端视为固定铰链支座，另视

为活动支座)

(左下图所示) 图示符号 图滑槽

约束力偶 所以，约束力用通过杆件与固定端交界点、互相垂直的两个分力Fx、、Fy和一个约束力偶M来表示

①分布力向交界点平移,得汇交力和力偶系,两分力表示任意方向的合力,力偶表示合

成的力偶系

②类似铰链两分力，画任意方向两力和一力偶,计算正值画对了,负值说明实际方向与所画相反

③从限制运动功能看:限制任意方向移动说明有任意方向约束力,限制任意方向转动有约束力偶

其他例子: ①埋在地面的电线杆 ②嵌入墙壁的阳台

③固定在车床卡盘上的工件 ④安装在刀架上的车刀

注意：习题与考题，往往只写求固定端约束力，不能只画、只算两力，一定既要画力偶,又要算力偶

固定端约束可以简单地表示为下图的形式，注意它与光滑约束的区别——光滑约束的接触面较宽

在受力图中，一般用字母FFy和M表示固定端约束的一偶两力

约束类型与约束力记忆口诀： 柔索约束——绳带拉力；光滑约束——法向压 力； 固定铰链——两个分力； 二力杆件——钉孔连线；活动铰链——垂直一 力； 固定一端——一偶两

力。

图a所示的曲杆，画图b所示的受力图，似乎能平衡，因为没有考虑约束类型，是错误的

画机械零部件的轮廓外形，并在其上画全部的受力，包括主动力和约束力，这就是零部件的受力图

要注意以下几个问题：

1．要画隔离体

构件受其他件作用力,为明确力作用对象,要把它从机器分离出来,只画其轮廓形状,不画周围其他零件,这就是隔离体

一对齿轮啮合传动,要分析其中一轮受力,如在接触点画啮合力Fn,不明确是左轮还是右轮受力,错误!

如果分析右轮受力，必须先画出右齿轮的隔离体，再画啮合力Fn，就明确是右轮受力（今后可画圆）

2．要根据约束类型画约束力

如果要分析图1-48曲杆AB的受力，中图受力似乎能够平衡，但这样的画法是错误的 除了主动力F外，要根据约束类型画约束力：A端，固定铰链,两个分力；B端，活动铰链,垂直一力

受力似乎不平衡，因为根据约束类型画约束力，却是完全正确的 P26 例1-7，由三根直根用铰链连接成图示的梯子 主动力F作用在AB杆上，各杆件的重量不计 要求画出整个梯子、AB杆和AC杆的受力图

整个梯子：主动力F

约束力是地面对梯子的支承力，因为梯子没有运动的趋势，摩擦力等于零 根据约束类型画约束力：在B、C两处，光滑约束，法向压力FNB、FNC

AB杆：主动力F

如果要分析DE杆受力，应画出DE杆，它与左右两斜杆FD与FD，FE与FE 为作用力与反作用力

’’

4. 不画内约束力

在上例中，画整个梯子的受力图时，铰链A 、D、E的约束力是内约束力

内燃机的曲柄活塞机构示意图

在燃气推力FP的作用下，活塞B通过连杆AB推动曲柄OA转动，作用在曲柄上的力偶矩为M

各构件的自身重量不计。试画出活塞B和曲柄OA的受力图 活塞：主动力FP

在铰链B处，二力杆件,钉孔连线FS；在活塞和气缸内壁接触处，光滑约束,法向压力FN 活塞两侧都是气缸内壁的光滑约束,根据连杆推力FS方向,只与一侧内壁接触,只受气缸一侧约束力FN

图示的回转式起重机，圆柱形立柱的上下两端A、B安放在圆孔支座里 设起重机支架自身重量为W１，吊起重物的重量为W２ 试画出起重机的受力图

起重机，主动力为自身重力W１和吊重W２

支座A,立柱下端面受孔下底部光滑约束,法向压力FN；支座B,立柱上端面和孔上底没接触,没约束力

虽然上下支座圆孔也是铰链,但不画两个分力。因为主动力只有铅面内的重力，没有垂直于铅直面的力

所以，圆孔内壁也没有垂直于铅直面的约束分力，只有在铅直面内的约束力FAx、FBx 上下两支座的构造完全相同，因为下支座有FN、FAx两个约束力，上支座只有FBx

所以，起重机的受力图也可以画成右图的形式。A端两个分力Fx、Fy，B端垂直一力FB

为了研究在平面力系作用下构件的平衡问题，在外力作用线的平面内，任选择一点A作为简化中心

将n个外力都平移到简化中心上，可得到汇交于点A的平面力系F1、F2、…、Fn

和同一个作用面的附加力偶系M1、M2、…、Mn 构件平衡，汇交

FR

A点的平面力系合力为零，根据式（1-3）

2222

FRxFRyΣFx)(ΣFy)0（a）

根据§1-2力的平移定理，上述每一附加力偶矩Mi等于“原力对平移点的力矩”，即Mi=M（ AFi）而且构件平衡时，n 个附加力偶矩的代数和也等于零（省略证明过程），即ΣMi=ΣMA（Fi）=0 （b）

ΣMA（Fi）=0 FCx³0.15+FCy³1.14-W³(1.14+0.36)=0（注意使用合力矩定理列力矩平衡方程）

FC cos30°³0.15+FC sin30°³1.14-70³1.5=0 FC=150 kN ΣFx=0 FAx-FC cos30°=0 FAx=FC cos30°=150³0.866=130 kN ΣFy=0 FAy+FC sin30°-W=0 FAy=W-FC sin30°=70-150³0.5=-5 kN

计算结果的说明：

‘‘

①求得FC=150 kN是横梁AB在铰链C受力，根据反作用定律，拉杆CD受力FC’=FC=150 kN（方向?）

②FAy=-5 kN中的“－”号表示该力实际方向和画受力图假设方向相反（提问：实际应为什么方向?）

③凡是固定铰链求得的两个分力不必合成，例，只要FAx=130 kN，FAy=-5 kN，不必合成FA

解题三个步骤：

①选择研究对象，有已知力和未知力共同作用的物体

②画受力图，要画出全部的主动力和约束力，特别要根据约束类型画约束力 ③列平衡方程，一般先列力矩方程

矩心选择在几个未知力的交点上，可得一个未知数的平衡方程 注意使用合力矩定理列力矩平衡方程 解题要求：

每一个力的投影方程前面要写ΣFx=0或ΣFy=0。用下标x、y表明该方程的投影轴 每一个力矩平衡方程前面要写ΣMA=0，用下标A、B、C表明该方程的矩心位置

力矩平衡方程前面只要ΣMA=0，不一定要ΣMA（Fi）=0，即可以没有（Fi）

————————————————————————————————————————

‘

解二：分别以A、D、C点为矩心，列力矩平衡方程求解未知力

ΣMA=0 FCx³0.15+FCy³1.14-W³(1.14+0.36)=0 (只有FC未知数) FC=150 kN

ΣMD=0 FAx³(0.15+1.14³tg30°)-W³(1.14+0.36)=0 (只有FAx未知数) FAx=130 kN

ΣMC=0 -FAy³1.14+FAx³0.15-W³0.36=0 (只有FAy未知数) FAy=-5 kN 小结：平衡方程的三种形式：

Fx0

①一矩式， Fy0

MA(Fi)0MA(Fi)0

（2-1） 无限制条件

②二矩式 MB(Fi)0（2-2） 限制条件：投影轴x不能与矩心A、B的连线垂

Fx0

直

如以上例题中，列ΣMA=0方程，求得FC=150 kN；再列ΣMD=0方程，求得FAx=130 kN 如果再列ΣFx=0方程，因为x 轴和矩心A、D的连线垂直，方程中不含FAy，就不能求解FAy

可以再列ΣFy=0方程，即可求得FAy=-5 kN

MA(Fi)0

③三矩式 MB(Fi)0（2-3） 限制条件：矩心A、B、C三点不能共线

MC(Fi)0

如以上例题中，列ΣMA=0方程，求得FC=150 kN；再列ΣMD=0方程，求得FAx=130 kN 如果再选择与A、D共线的任一点K为矩心，方程中不含FAy，就不能求解FAy 以上解二中，分别以A、D、C三点为矩心，这三点不共线，可以求解三个未知数 特别要注意：使用各种形式平衡方程时，一个研究对象只能列三个独立的方程，只能求解三个未知量

‘

W=3.2 k N砂土，是分因为0.8 m长度上堆放重量3.2 kN ，所以，每米长度上堆放4 kN 4 kN/m

所以,载荷集度q单位是kN/m 或N/m ,其合力=载荷集度q³分布段长度，作用点在分布段中点

题目：已知：分布载荷集度q=4 kN/m

分布段长度l=0.8 m，分布段左端距梁左端0.8 m，分布段右端距梁右端0.4 m 求：支座A和B的约束力

选择AB梁为研究对象

画受力图 （已知力为分布载荷q，A点固定铰链两个分力，B点活动铰链垂直一力） ΣMA=0 FB³2-q³0.8³(0.8+0.4)=0 （分布载荷q的合力q³0.8，对A点的力臂0.8+0.4） FB³2-4³0.8³1.2=0 FB=1.92 kN ΣFy=0 FAy-q³0.8+FB=0 FAy-4³0.8+1.92 =0 FAy=1.28 kN

ΣFx=0 FAx=0

小结 ①在受力图中，均布载荷用端部连线的一组箭头表示

②在力的投影方程中，均布载荷合力的大小=载荷集度q³分布段长度 ③在力矩的平衡方程中，因为均布载荷合力的作用点在载荷分布段的中点

所以，力矩=载荷集度q³分布段长度³矩心至载荷分布段中点合力作用线的垂直距离

P35 例2-3

B点固定铰链,’Bx=0 FAx=F’Bx=7.5 N FAy-F’By=0 Ay-(-8)=0 FAy=-8 N A-F’By³1.6=0 A-(-8)³1.6=0 MA=-12.8 N²m

③固定端画受力图一偶两力,要画约束力偶。求其约束力,不是只计算两个分力,一定还要计算约束力偶

④两个构件在联接处各自的约束力是作用力与反作用力，受力图画的方向？名称？方程中的数值正负？

如, 在BC杆的受力图中FBx、FBy方向？平衡方程中这两力的数值 FBx=+7.5 N，FBy=-8 N

’

在AB杆的受力图中F’F’F’Bx、By方向？平衡方程中这两力的数值FBx=+7.5 N，By=-8 N

§2-2 平面特殊力系的平衡方程及其应用

平面一般力系：力作用线在同一平面的力系

平面一般力系的平衡方程即§2-1节一矩式（2-1）、二矩式（2-2）、三矩式（2-3） 一矩式的意义：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任一点力矩的代数和也等于零

平面汇交力系：力作用线在同一平面上，且汇交于一点的力系

以汇交点A为矩心时，无论是否平衡,都有ΣMA≡0，力矩方程不能说明力系是否平衡 平面汇交力系的平衡方程只剩下：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零 平面平行力系：力作用线在同一平面上，且互相平行的力系

倾角a=15°称重，即在前轮下加垫板，使飞机机头抬高，前后轮中心连线与水平线夹角a=15°

‘

飞机倾斜，重心后移，使得后面两磅称的读数增大，由FB=90 kN变为FB=100 kN

求飞机重心的前后和高度位置，即以前轮中心为坐标原点的x、y坐标系中，确定重心的xC，yC坐标

解：水平称重，前后轮下磅称读数是飞机前后轮受磅称约束力FA=30 kN，FB=90 kN，方向铅直向上

可知飞机总重W=FA+FB=120 kN，其作用点在飞机重心，方向铅直向下 FA、FB、W三力构成平面平行力系，使用平行力系的两个平衡方程： ΣFy=0 FA+FB-W=0 倾斜称重：

‘

30 +90-W=0 飞机倾斜后，后轮FB变化

W=30 +90=120 kN 总重W不变，重心位置坐标xC=3 m不变，yC未知

‘

ΣMA=0 FBa-WxC=0 ΣMA=0 F〃xC-Wsina〃yC=0 Bacosa-Wcosa 90³4-120xC=0 100³4³cos15°-120³cos15°³3-120³sin15°³yC=0

xC

y

C

90×4120

3m

1.244m



100×4×0.9659-120×0.9659×3

120×0.2588

力作用点位置

P38 例2-5

已知：F=1 kN，a=8° 求：FAB 、FBC、工件受力 题目：已知：F=1 kN，a=8° 求：FAB 、FBC、工件受力

因为已知力F=1 kN作用在铰接点B上，择销钉B为对象 销钉B

受力图：主动力F与两个二力杆的约束F1 、F2构成平面汇交力系，用汇交力系的两个平衡方程：

ΣFx=0 F1cosa-F2 cosa=0 F1 =F2

ΣFy=0 F1sina+F2 sina-F=0

2F1³sin8°-1=0

F1F2

12×sin8°

=

12×0.1392

3.59

kN

根据作用与反作用定律，直杆AB和BC的受力F’1=F’2=3.59 kN 滑块Ｃ

受力图，二力杆作用力F2与工件、地面的光滑约束力FN1、FN2构成汇交力系，用两个平衡方程：

ΣFx=0 F’2 cosa-FN2=0

FN2=F2cos8°=3.59³0.9903=3.56 kN 根据作用与反作用定律，工件受力F’N2=3.56 kN

’

’

§2-3 简单轮轴类部件的受力问题

轮轴类部件，轮子、轴、轴承构成的部件

简单轮轴类部件，轮子只是皮带轮或直齿轮，没有斜齿轮或圆锥齿轮 简单轮轴类部件的受力问题，计算皮带轮或直齿轮的轮轴部件的主动力与轴承支座的约束力 P39 例2-6

F=W

题目：带轮:D1=400 mm，两边皮带拉力都是水平方向，紧边FT=2000 N,松边Ft=1000 N 齿轮C：D2=200 mm，啮合力Fn作用点在轮心同一水平线上（见侧视图），压力角a=20°（回

顾压力角）

求：齿轮C的啮合力Fn，轴承A、B的约束力FA、FB

轴承A、B的约束力FA、FB就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个

分力

为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz？y轮轴线，z轴铅直，Ｏxy是水平面，三轴垂直

轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz方向，用FAx、FAz和FBx、FBz，或XA、ZA和XB、ZB 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz平面上)

受力图，没有画轴承A、B的约束力，因为没有解除这两个轴承约束

MB=0 FT

D12

-Ft

D12

-Fncosa

D22

0

2000³200-1000³200-Fncos20°³100=0 Fn=2130 N

主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz平面上)

受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130³0.9396=2000 N 因主动力Fnz=2000 N作用点到A、B两个支座距离相同，方向向上

显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以

Z

A

Z

B

-

Fnz2

-

2000

2

N

-1000

N

俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130³0.3420=729 N ΣMA=0 -(FT+Ft)³0.15+Fnx³0.25-XB³0.5=0

-(2000+1000)³0.15+729³0.25-XB³0.5=0 XB=-536 N

ΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0

-2000-1000+XA-729+(-536)=0

XA=4265 N

结论：Fn=2130 N

XA=4265 N； B=-536 N ZA=-1000 N； B=-1000 N

①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力

在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力

②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径

齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力³cosa³半径（啮合力³cosa=

圆周方向分力）

③侧视图上没有画轴承A、B的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA、ZA和XB、ZB四力）

不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn，因为在x方向，实际上还有XA、XB两力的投影

*§2-4 斜齿轮和锥齿轮的轮轴类部件的受力问题 P42

齿轮的啮合力都是齿面啮合点的法线方向，也就是与轮齿的齿面垂直的方向

直齿轮齿向平行轴线,啮合力与轴线垂直,无轴向分力;斜齿轮、锥齿轮啮合力与轴线不垂直,有轴向分力

在本课程、后续课程及工程实际应用中，都需要将轮齿的啮合力分解为轴向、径向和圆周切向的分力

一、斜齿轮啮合力的分解

斜齿轮的轮齿呈螺旋形,螺纹线在与轮轴线重合平面上的投影与轴线的夹角为螺旋角b（图2-15 b、a）

轮齿上的啮合力Fn是齿面的法线方向，即与齿面垂直

啮合力Fn与啮合点所在圆柱面切平面的夹角为压力角a（图2-15a、c）

过啮合力Fn作用点作与轮轴线垂直的平面、与轮轴线重合的平面、与啮合点所在圆柱面相切的平面

再过表示啮合力Fn线段长度的另一端点作与上述平面平行的三个平面 这六个平面围成直角六面体，其棱边分别平行于齿轮轴线、过啮合点齿轮半径、啮合点所在圆周的切线

其中，过啮合点与轮轴线平行的边长，表示啮合力Fn的轴向分力，用Fa表示 过啮合点与齿轮半径重合的边长，表示啮合力Fn的径向分力，用Fr表示 过啮合点与齿轮圆柱面相切的边长，表示啮合力Fn的切向分力，用Ft表示

这是因为：在Fn所在abcd平面（图c），Fn分解为径向力Fr和切平面分力F’，矢量式

'

FnFrF ①

在啮合点的切平面上（图b），分力F’又分解为切向分力Ft和轴向分力Fa ， 矢量式

'

FFtFa ②

式②代①，有FnFrFtFa，所以Fn分解为直角六面体所示的径向力Fr,轴向力Fa,切向力Ft

在abcd平面（图2-15c）， Fr=Fnsina F=Fncosa

在啮合点的切平面上（图2-15b），Ft=F’cosb Fa=F’sinb

所以，径向分力 Fr=Fnsina （a）

’

切向分力 Ft=Fcosb=Fncosacosb P42式（b）

’’

二、锥齿轮啮合力的分解 P43

圆锥齿轮轮齿和轴线的夹角称为锥顶角 （图2-16b、a）

啮合力Fn和啮合点所在圆周切线的夹角为压力角a（图2-16a、c） (注意：不是与切平面的夹角)

以表示啮合力Fn线段为对角线,作直角六面体,其各平面与轴线垂直、与轴线平行、与啮合点所在圆周相切

通过啮合点半径的棱边表示径向分力,与轴线平行的棱边表示轴向分力,与圆周相切的棱边表示切向分力

在Fn所在abcd斜平面（图c），Fn分解为切向力Ft和斜平面上的分力F’： Ft=Fncosa F’=Fnsina 在过啮合点与轮轴重合的平面上（图b），F’又分解为径向力Fr和轴向力Fa ：Fr=F’cos Fa=F’sin

所以，切向分力 Ft=Fncosa （d） 径向分力 Fr=F’cos=Fnsinacos P43式（e） 轴向分力 Fa=F’sin=Fnsinasin （f）

三、齿轮啮合力对转轴的力矩 P43~44

根据§1-2节合力矩定理，计算齿轮啮合力上述三个分力对转轴力矩代数和就是啮合力对转

轴的力矩

径向力Fr和转动轴线相交，对转轴的力矩等于零

轴向力Fa和转轴平行。与转轴平行的力不使物体转动，如门自重不能使门转动，所以其力矩也为零

切向分力Ft在与转轴垂直平面上，两图d，切向力对轴线与平面交点Ｏ力矩就是啮合力对转轴的力矩：

My(Fn)Mo(Ft)Ft

D2

P44 （2-7）

所以，齿轮的啮合力对转轴的力矩等于其圆周的切向分力和齿轮半径的乘积

P44 例2-7

已知：带轮D1＝300 mm，F1＝2F2，锥齿轮D2＝200 mm，Fn＝700 N，a＝20°，＝34°

FFFAx、Ay、Az

径向滑动轴承B通孔，孔内壁铰链约束，画约束力FFBx、Bz 侧视图 俯视图 ΣMD=0 Ft

D22-F1

D12F2

D12

-（F1+F2）³0.2-FBx³0.36-Ft³0 ΣMA=0

0.52=0

658³100-2F2³150+F2³150=0 -（878+439）³0.2-FBx³0.36-658³0.52=0

F2＝439 N FBx=-1682 N

F1＝2F2＝878 N ΣFx=0 FAz+F1+F2+FBz+Ft=0

主视图 FAz+878 +439-1682+658=0 ΣMA=0 FBz0.36-Fr0.52Fa

D22

0 FAz=-293 N

FBz³0.36-198³0.52+134³0.1=0 FBz=249 N

ΣFz=0 FAz+FBz-Fr=0 小结：

FAz+249 -198=0 锥齿轮或斜齿轮啮合力分解为切向、径向、轴向三分力

FAz=-51 N 与直齿轮不同的是存在轴向分力，需要一个止推轴承

ΣFy=0 FAy-Fa=0 存在轴向约束力，需用ΣFy=0平衡方程求轴向约束力

FAy-134=0

FAy=134 N P46 例2-8

已知：斜齿轮D＝200 mm 切向力Ft= 1000 N 径向力Fr=400 N 轴向力Fa=300 N 求：电机力矩M， 约束力 FA、FB

题目：电机带动斜齿轮轴匀速转动，斜齿轮有轴向力，轴承B是止推滑动轴承，轴承A径向滑动轴承

建立空间直角坐标系Axyz，其中y轴和轮轴的轴线重合，Axy是水平面

画径向滑动轴承A的约束力FAx、FAz，止推滑动轴承B的约束力FBx、FBy、FBz 侧视图

ΣMB=0 Ft

D2

-M0

1000³0.1-M=0 M=100 N²m 主视图

ΣMA=0 FBz0.6-Fr0.3Fa

D20

FBz³0.6-400³0.3-300³0.1=0 FBz=250 N ΣFz=0 FAz-Fr+FBz=0 FAz-400 +250=0 FAz=150 N ΣFy=0 Fa-FBy=0 300-FBy=0 FBy=300 N 俯视图

FAxFBx-Ft2-10002

-500N

Fr2

注意：在主视图中，因为轴向力Fa的投影与轴线不重合，FAzFBz小结：斜齿轮或锥齿轮啮合力分解为切向、径向、轴向三个分力 与直齿轮不同的是存在轴向分力，需要一个止推轴承

止推轴承可以提供轴向约束力，需用ΣFy=0平衡方程求轴向约束力

*§2-5 摩擦与自锁 P48

前面几节,认为两物体间的接触面是绝对光滑的

两物体间的作用力只有法向压力没有切向摩擦力

如果①摩擦力很小,对运动影响很少,或②物体静止,而且没有滑动趋势,可以认为没有摩擦力

实际情况,绝对光滑的接触面是不存在的

只要相互接触的物体有①相对滑动或②相对滑动的趋势时,两者接触面之间就有摩擦力

当摩擦力对物体的平衡状态或运动状态有较大影响时,必须考虑摩擦力

摩擦有利方面：加工零件的夹具:卡盘、压板。动力传动:带轮传动，地面有摩擦车辆才能启动、

用较小推力FP推不动桌子，说明平衡，ΣF=0，必定有FP-F=0, 说明存在滑动摩擦力F=FP 物理学过F=mFN,不一定都如此,例桌子、地面间很粗糙,可以有F=mFN 存在,但没有推拉桌子，F=0

例桌子重W=100N,m=0.5,FN=100N,可有F=mFN=50N。但FP=10、20…49.99N逐增过程F≠

mFN

FP≤mFN=50N推不动桌子，说明平衡F=FP，随FP=10、20…增大，F=10、20…以相同数值增大

推力FP可以80、90…不断增大，摩擦力F不会无限制增大，到50 N之后桌子被推动 如果桌子被推动之后继续滑动，比从静止起动时的50 N略要省力，说明滑动之后的摩擦力略小一点

所以，在摩擦力F和推力FP的纵横坐标系中，F~FP关系曲线如图2-21所示：

45°斜线，表示这一阶段一定有F=FP，摩擦力F随推力FP以相同数值增大，称为滑动趋势阶段

该摩擦力是由平衡方程ΣF=0，即F=FP计算，其大小是在0

在这一阶段，决不能用F=mFN计算摩擦力

曲线的最高点，表示物体处于将动未动的临界状态

该摩擦力的大小Fmax=msFN，是定值，称为最大静摩擦力

ms称静摩擦因数，与材料、粗糙度有关，几种ms数值P49表2-1。FN物体摩擦接触面上的法向压力

临界状态后的水平线，表示物体滑动阶段

该摩擦力的大小Fd也是定值，其计算方法是Fd=mFN，Fd略小于Fmax，称为动摩擦力 系数m称为动摩擦因数，几种材料m数值见P49表2-1，m略小于ms 所以，摩擦力计算方法应区分三种不同状态，不能一概使用F=mFN计算摩擦力

应懂得摩擦力存在三个状态名称?三摩擦力F、Fmax、Fd名称?三者计算方法?两种摩擦因数ms、m名称?

其中最重要的是临界状态最大静摩擦力Fmax=msFN，它决定保持平衡的最大受力,使之运动至少受力

无论用Fmax=msFN 或Fd=mFN 计算,其中FN接触面法向压力不一定等于物体重量,例平面?斜面?

摩擦力的方向？沿接触面的公法线，指向与滑动方向或滑动趋势方向相反

对于有滑动或有滑动趋势的物体，应首先考虑滑动方向或滑动趋势的方向，其相反方向是摩擦力方向

例斜面上的物体滑动趋势向下,摩擦力向上；行人？自行车后轮摩擦力向前,前轮摩擦力向后；汽车？

对于不存在滑动或滑动趋势的物体，应考虑两相接触物体之间的滑动摩擦力是作用与反作用关系

例斜面受的摩擦力向下；与车辆前轮接触的地面受的摩擦力向前，后轮地面受的摩擦力向后：人脚地？

即：两物体相接触所产生的一对摩擦力，是作用力与反作用力，一定等值、反向、共线 摩擦力要画在其作用点处──与其他物体的接触面处

二、摩擦角 P50

放置在支承面上的物体，在推力FP的作用下，物体处于滑动趋势阶段，摩擦力 F

正压力FN和滑动摩擦力F合成的合力称为全约束力，用符号FR表示，它和接触面公法线的夹角为f

增大推力FP，滑动摩擦力F也随之增大。在临界状态，摩擦力为最大静摩擦力Fmax=msFN时

正压力FN和临界状态摩擦力Fmax合成的合力仍然称为全约束力，符号仍然是FR表示 在临界状态，全约束力和接触面公法线的夹角称为摩擦角，用符号fm表示

注意：无论是临界状态还是非临界状态，正压力FN和摩擦力F的合力都称为全约束力，都用符号FR

在非临界状态，全约束力和接触面法线的夹角没有名称，不称为摩擦角，用符号f表示 只有在临界状态，全约束力和接触面法线的夹角才称为摩擦角，才用符号fm表示 由图示三角关系可知 tanf因数

对比左右两图可知 tanfFmsFNmstanf

FN

FN

m

m



FmaxFN



msFNFN

ms

即，摩擦角的正切等于静摩擦

即，f≤fm，FR和法线夹角f

不大于fm

上式说明,在存在滑动摩擦力的任何阶段,全约束力作用线一定在摩擦角fm范围之内，最多

mm重力W作用线和接触面法线夹角a＞fm，下方，全约束力作用线一定在摩擦角fm范围内，最多在其边缘

同理，位于平面上的物体的自锁条件是：主动力合力作用线和支承面法线的夹角不超过接触

螺纹可以看作由长条状材料旋绕在圆柱体表面的零件，展开的螺纹就是斜面，其倾斜角就是螺纹升角

相配合的内外螺纹可以视为位于斜面上的长条形物体，其受力有自身重力W和内外螺纹的全约束力FR

图2-25所示夹具，夹紧后要求不能回松，螺纹升角要小于内外螺纹材料的摩擦角a≤fm

P51 例2-9

面

夹紧工件时，给楔块右端面向左敲击力FP，楔块左移，立柱上移，工件夹紧

要求停止敲击FP=0后，不能松脱，即楔块不能右移，所以应以楔块为研究对象，其受力要平衡

楔块

受力图：上接触面全约束力FR1作用线与其法线夹角为f1，下接触面FR2与法线夹角为f2 分析楔的自锁条件：

上下两个全约束力FR1、FR2作用线一定在摩擦角fm范围之内，即它与法线夹角均小于摩擦角

f1≤fm （a） f2≤fm （b）

要使楔块处于平衡状态，全约束力FR1、FR2必须在同一条直线上，二力共线对顶角相等，有

f2=b=a1-f1=a-f1 （c）

即 a=f1+f2 （d） 用式（a）、（b）代入式（d）得 a=f1+f2≤2fm （e）

2

NsNsNsN将2msFN乘进括号 2msFNe-msFNd-FNb+msFNd≤0

消去FN 2ms e - msd - b + msd ≤ 0 消去±msd 2mse - b ≤ 0 得

讨论 ①减小尺寸e，②增大尺寸b，即增大齿轮的宽度

③减小摩擦因数ms，①既减小或消除推力偏心e的尺寸，

滑动

P53 例2-11

已知：楔形滑块槽面夹角f，ms 求：当量静摩擦因数mSv

题目：楔形滑块底部和楔形滑槽上部的夹角相同为f

滑块有重量或铅直载荷FQ，两接触斜面有正压力FN，推力FP使之滑动或趋势时，接触斜面有摩擦力

这摩擦力与平面滑块不同，求：

因数mSv

①计算楔形滑块斜面上的法向压力

画楔形滑块没有受到推力FP Fy=0 2FNsiFQ0

2f

FN

FQ2sin

f2

②计算槽面的最大摩擦力Fmax

楔形滑块受到推力FP作用时（左图） Fmax2msFN③计算当量静摩擦因数mSv

msV

FmaxFQ



msFQf

siFQ

2



msfsi2

f2si2

fsi2

讨论：由于sin

f2

1,

1sin

f2

1, 所以msVms。与平面摩擦相比，槽面摩擦的当量静摩擦

因数较大

W

临界状态

①选择两轮为研究对象

受力图，其中摩擦力FN是根据与滑动趋势相反的方向确定 ΣMO=0 FR-Wr=0 F FNmsFP）

②选择制动杆为研究对象

受力图，其中FN＝FN＝250 N，F＝FN＝150 N，均根据轮子相应两力的反作用方向确定

‘

ΣMA=0 F‘N³0.6 -F³0.3-FP³(0.6+0.8)=0

250³0.6 -150³0.3-FP³1.4=0 FP

2500.61500.3

1.4

75N

‘

‘

WrR



3000.20.4

150

N

Fmaxms



1500.6

250N （临界状态，摩擦力就是最大静摩擦力Fmax＝

小结：解题步骤仍是①选择研究对象②画受力图③列平衡方程

①选择研究对象，有已知力作用的物体，未知力少的物体

②画受力图，摩擦力方向？与运动或运动趋势的方向相反，或由作用反作用关系确

定的方向

③列平衡方程，平面任意力系三个方程，汇交力系两个方程，平行力系两个方程

工程力学

第一篇 静力学 第一章 静力分析基础 §1-4 约束和约束力

第二章 平面基本力系

§2-3 简单轮轴类部件的受力问题

第三章 内力计算

§3-2 圆轴扭转时的内力和扭矩图

第二篇 机械零部件的承载能力 第四章 材料失效和机械零部件失效

第五章 机械零部件的强度条件

§5-1 杆件拉伸和压缩时的强度条件及应力集中

§5-2 联接件强度的工程实用计算

*§5-4 弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度条件

§5-7 圆轴的疲劳失效

第六章 杆件的变形和刚度条件

§6-1 杆件拉伸和压缩时的变形 *§6-4 静定和静不定问题

第七章 压杆的稳定条件

§7-1 压杆的临界压力和临界应力 §7-2 压杆的稳定性校核 第八章 提高构件承载能力的措施 §8-1 提高构件承受静载能力的措施

第三篇 运动分析和动力分析初步

第九章 运动形式概述

第十章 刚体绕定轴转动

§10-1 刚体绕定轴转动的运动分析

*§10-3 轴承的动约束力和定轴转动刚体的动应力 *第十一章 合成运动

*§11-2 刚体的平面运动

绪 论

一、工程力学的内容

将来工作中要接触到各种机器，例如，图示是什么机器？（提问）

工作原理：电机转动—两皮带轮转动—主轴卡盘工件转动—车刀轴向径向移动—切削零件 这个机器的力学问题就是各部分的受力、运动和承载能力

运动：电机转动、皮带轮转动、主轴转动、卡盘工件转动、车刀移动

动的传递

受力：车刀切削力、卡盘夹紧力、轴承支持力、皮带拉力、电机动力 各部分受力之间有一定的关系：一定的切削力，夹紧力多大？轴承受力多大？皮带拉力？电机动力？

怎样从一个零件的受力计算其他零件的受力？这也是力学问题——受力及力的传递 各构件能否受力：车刀受力之后会不会拆断？轮轴受力之后会不会弯曲？皮带受多大的力会断裂？

为了不发生断裂，可以使用高强度的合金钢材料,但成本太高；或将构件做得又粗又大,但机器笨重

怎样做到既要坚固结实,又要降低成本、节省材料、减轻重量？这也是力学问题——构件的承载能力

所以，力学是研究机器各构件的受力及传力，运动及传动，构件的承载能力 静力学——第一篇 静力分析 静力是指在平衡状态下的受力 运动力学——第二篇 运动分析与动力分析 材力力学——第三篇 机械零部件的承载能力

第一篇 静力学

静力分析是研究构件在平衡状态下的受力

“构件”：机器上的零件与部件

零件是组成机器的最小单位，例齿轮、轴

部件是几个零件装配成的组合体，例如齿轮与轴组成轮轴部件

“构件的平衡状态”：物理学过，物体静止或匀速直线运动，就是物体处于平衡状态 轮轴部件，静止或匀速转动也是处于平衡状态

分析受力，包括外力和内力。什么是外力，什么是内力，这很容易，以后遇到再讲，这样节省时间

第一章 静力分析基础

§1-1 力的投影

投影 用灯光照射一根直杆，投射在墙壁上影子的长短来说明投影的概念 杆长l，光线水平，杆墙平行,投影长为l；垂直,影长0；杆和墙夹角α,投影长度等于l〃cos

若力的大小为F，方向和x轴的夹角为α，现要求该力在x轴的投影 即力F矢量的起点a向x轴引垂线,交x轴得垂足a1点；力矢量端点b向x轴引垂线,得垂足b1点

力F在x轴的投影Fx=a1b1=F〃cosα （Fx字母F和下标x表示力F在x轴的投影） 同理，要求该力在y轴的投影

即力F矢量的起点a向y轴引垂线,交y足b2点

力F在y轴的投影Fy=a2b2=F〃sinα （Fy投影正负规定：从力矢量起点投影足a2反之，从力矢量起点投影足a1所以，上述力F在x、y轴的投影 Fx=-F

Fy=+F〃sinα

若已知力和x轴的夹角为α，则Fx=±F〃cosα；Fy=±F〃sinα，不能死记硬背，不要画垂线

ααα，在该轴投影³cosα，在另一轴投影³sinα(若与y轴夹角b,投影？)

轴引垂线）

各力投影：F1x=ac，F2x=ab=cd（c对边、同位角），FRx=ad=ac+cd==ac+ab=F1x+F2x 若力系的分力不止两个分力，有三、四、五……多个，同样有：

FRx=F1x+F2x+F3x+……=∑Fix FRy=F1y+F2y+F3y+……=∑Fiy

1-2）

“∑”数学用过吗？像英文字母Ｍ逆时针旋转90°，念法？

意义：F1x+F2x+F3x+……，不写下标i，即∑Fx，∑Fy

有了这个定理，可以用投影法求平面汇交力系的合力FR 由合力FR在两直角坐标轴上的投影FRx、FRy关系有FR

FRxFRy （右图）

2

2

由合力投影定理：FRx=∑Fx，FRy=∑Fy有

FRtga

FRxFRyΣFx)(ΣFy)FRyFRx

FyFx

2

2

2

2

（1）

P7 例1-1

已知：F1=450 N，F2=140 N，F3=300 N

受力：F1、F2、F3大小？方向？ 求：这三个力的合力的大小和方向

解法：中学物理方法，每两个力用平行四边形合成……？必须严格按比例画各力和c形状，太麻烦

现在要求用投影法，不使用物理学的平行四边形合成法，今后作业、考试也要求用投影法 物理方法对了不算对，因为我要检查力学方法学得如何，不检查物理方法学得如何 解：根据合力投影定理

FRx=F1x+F2x+F3x=-450+0+300³cos 60°=-300 N FRy=F1y+F2y+F3y=0-140-300³sin 60°=-400 N 根据力的投影与该力的关系

FR

FRxFRyFRyFRx

-400-300

2

2

(-300)

2

(-400)

2

500N

tana

1.333 , a53.1

因为合力在两个坐标轴上的投影FRx、FRy都是负值

说明合力平行于两坐标轴方向的分力与坐标轴反向 所以，合力FR的方向如图所示，即与x轴夹角53.1°，指向左下方 小结：①中间计算数据不必写单位（N）

②但各力的单位要统一，不要N与kN混用

③最后结果要写单位

§1-2 力矩与力偶

一、力矩的概念

物理学过，用板手转动螺栓，施加在板手上的力必须要产生力矩，力矩=力³力臂

力臂是转动中心到力作用线垂直距离，若转动中心到作用点连线和力作用线垂直,力臂？不垂直,力臂？

转动中心称为矩心，常用一字母表示矩心，例如用板手拧螺栓A，矩心为A；拧螺栓B，矩心为B

力矩的表示方法:MO(F)=±Fd，其中M力矩,Ｏ矩心,(F)产生力矩的力,±正或负号,F力,d力臂

规定逆时针转动,力矩为正；顺时针转动,力矩为负。什么是顺、逆时针？因逆时针用右手向上表示方便 例，力F1拧紧螺栓A,连线和力线不垂直, MA(F1)=－F1d1；力F 2拧松,垂直, MA(F 2)=+F 2d2 怎样判定转动方向是顺时针或逆时针？──想像法！ ①把矩心想像为时钟中心，②把力臂和垂足想像为指针所指钟点位置，③把力想像为推动指针转向

板手,F1力垂足在3点钟位置,力使之向下走,顺时针,负力矩；F 2力垂足2点钟,力使之向上,逆时针,正力矩

力矩单位：N〃m ；k N〃m ；N〃cm ；N〃mm等等。同一个计算式子里的单位要统一 特例：力作用线通过矩心，力矩等于零

例，板手卡口外的受力F3，或板手手柄端部沿手柄轴线的受力F4，力臂均为零，力矩为零 力矩是计算力对矩心的力矩，同一力不同矩心力矩不同，矩心是一个点，所以又称为力对点的力矩

力矩使物体转动,该物体总是绕着一个轴转动，例如板手使螺栓绕其中心轴线转动,又称为对轴的力矩

如计算轮轴各力力矩,空间力臂尺寸难想象,投影在转轴垂直平面上,计算各力对中心点力矩,即

二、合力矩定理

合力矩定理：P9页2行 合力对一点（轴）的力矩，等于各分力对该点（轴）力矩的代数和 点后又(轴),即合力对点的力矩等于分力对该点力矩代数和,合力对轴的力矩等于分力对该轴力矩代数和

因为物理已知，合力和分力等效，所以,合力力矩等于各分力力矩之代数和

如图所示，F1、F2两力的合力FR可以画平行四边形表示。矢量关系表达式为 FRF1F2 矩心在力作用线所在平面上的A点。合力矩与各分力矩的关系表达式为MA(FR)=MA(F1)+MA(F2)

各力的力臂为d、d1、d2，合力矩定理的表达式为 FRd=F1 d1-F2 d2 P9 例1-2

已知:D2=300 mm，Fn=1 kN，a=20° 求：MO(Fn)

D1不需要给出，大齿轮分度圆直径为度圆圆周上

为什么可以将啮合力作用点位置视为在分度圆周上？在机械零件课程讲述，这里只要懂得这个结论

如果齿形是直线形状的，啮合力就和圆周相切，力矩=啮合力³半径

为了齿轮啮合传动得平稳，齿形是曲线形状，啮合力Fn和啮合点所在的圆周切线的夹角称为压力角a

现在Fn=1 kN，a=20°，求：Mｏ(Fn) 解

一

2

D2

按力矩的定义计算

Mo(Fn)FndFn

cosa1000×0.15cos20141Nm

解二 按合力矩定理计算 将啮合力分解为圆周切向和径向两个分力

圆周力 FtFncosa径向力 FrFnsina

Mo(Fn)Mo(Ft)Mo(Fr)Ft

D22

+0Fncosa

D22

1000cos200.15141Nm

小结：虽然用①“力矩=力³力臂”、②“合力矩定理”两种方法计算力矩的结果相同 但是，当不好计算力臂时，要将力分解成两个分力，使用合力矩定理计算两分力的力矩 对于力作用线与尺寸线不垂直的题目，今后一概使用“合力矩定理”计算力矩，即“解二”的方法

P10 例1-3

已知:F=300 N，a=30°

a＝0.25 m，b＝0.05 m 求：MB(F)

题目：这是一个刹车的操纵机构，驾驶员脚的踏力

成a=30°

在脚踏力F作用下,A点左移,摇臂ABC绕B点转动,C点右移,通过液压油控制刹车的具体方法不讲

现:已知:F=30 N，a=30°,求：MB(F)

如果按力矩的定义计算，力矩=力³力臂，图示力臂d的尺寸太难求了

题目给了力F作用点与矩心Ｂ的铅直距离尺寸a＝0.25 m，水平距离尺寸b＝0.05 m 将F力分解为水平和铅直方向两分力Fx、Fy，这两分力的力臂就是a和b，计算两分力的力矩即…

Fx=Fcosa=300³cos30°=260 N Fy=Fsina=300³sin30°=150 N

MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=Fx a-Fyb=260³0.25-150³0.05=57.5 N²m

小结：

①力臂不好计算的题目，一定不要花很多时间去寻找力臂的计算方法，一定要用合力矩定理计算力矩

②合力矩定理计算力矩的方法，将力分解为与尺寸线平行或垂直的两个分力，计算两分力力矩代数和

③这里的Fx、Fy是分力，不是投影！投影有正有负(此题Fx、Fy的投影均负值)，分力一定是正值

两分力力矩的正负符号，由转动方向决定，Fx逆正、Fy顺负，力矩正负号与各力投影正负符号无关

三、力偶的概念

用板手旋紧螺栓，由于构件螺栓孔的约束，只要在板手末端加一个力F，可使板手、螺栓一起转动，丝锥攻制内螺纹,开始圆孔小,不能保持丝锥位置,若只一力F,丝锥偏离圆孔移动,不能在孔内旋转，即使攻丝有了一定的深度，由于丝锥的材料较脆，如果只靠一个力的力矩作用，常会使其弯曲折断，要转动丝锥攻制螺纹不使其折断，或者使没有支点的物体转动，必须在手柄上作用两个力F和F，这两个力的大小相等、方向相反，作用线平行。 这样等值、反向、平行的两个力称为力偶

又如，铰链支座（使用实物），有销钉，在杆件上作用一个力就能使杆件转动

如果没有销钉，一个力，杆件就不能绕圆孔转动，作用两个等值、反向、平行的力，也能使杆转动

力矩和力偶都能使物体转动，但有区别：①力矩转动须有支点,力偶转动的支点可有可无 ②力矩转动的支点受力,力偶转动的支点不受力 力偶实例:汽车司机左右手作用在方向盘上的两个力组成一个力偶

电机通过联轴器带动机器时，联轴器凸缘四个螺栓孔的受力组成两个力偶

在日常生活中，用钥匙开门，拧水龙头，拧毛巾、转动螺丝刀等等，都是力偶使物体转动的实例。

‘

四、力偶的性质 P11

性质1．力偶在其作用面上任一轴的投影恒等于零 组成力偶的两个力作用线所在的平面称为力偶作用面

‘

力偶F和F两力等值、反向、平行，两力与某一轴夹角a相同，在该轴投影绝对值相等，因两力方向相反，在一轴投影正负号相反。所以，两个力在其作用面上任一轴投影的代数和

性质2．力偶对其作用面上任一点的力矩恒等于其力偶矩 P11

‘

例，力偶的两力F和F，两力作用线之间的距离为d

计算两力对两力中间的A点的力矩，设A点到两力作用线的垂直距离为a和b，有a+b=d MA(F )+MA(F‘ )=-Fa-F‘b=-F(a+b)=-Fd “-”号表示顺时针转向

‘

再计算两力对两力之外的B点的力矩，设B点到F力作用线的垂直距离为c

MB(F)+MB(F)=-F(a+b+c)+ Fc=-F(a+b)=- Fd“-”号,说明也是顺时针转向 如果再计算这两力对C、D、……各点力矩代数和都是顺时针，力矩的代数和都是-Fd 再如P11图1-15十字形板手MC(F )+MC(F‘ )=+Fd，曲杆板手MD(F )+MD(F‘ )=+Fd

这说明,力偶两力对作用面任点力矩代数和等于其中一力Ｆ和两力作用线间垂直距离d乘积Fd，和矩心位置无关

‘ ‘

组成力偶的两个力作用线之间的垂直距离，称为力偶臂，用符号d表示

力偶的一个力和力偶臂的乘积，称为力偶矩，用符号M表示，即M=±Fd（所以性质2“…力偶矩”）

因力矩和矩心位置无关,不用写下标; 因不同力和不同力偶臂乘积的力偶矩可能相同,不用(什么力)

才有正负号 ③计算结果“-”号，说明合力矩顺时针方向转动

五、力的平行移动 P12

如图所示的轮轴，啮合力Fn作用在齿轮上的A点

在分析轴的承载能力时，往往需要将力Fn平行移动到圆轴上，使力作用线通过圆轴中心点O（图b）

显然，移动到圆轴中心点的力对转轴没有力矩，与原力的作用效果不同

为了使力平行移动后与原力的作用效果相同，必须附加一个力偶M

其作用面在O点和原力作用线组成的平面内，或在与该平面平行的平面内（图c） 附加力偶的力偶矩等于原力对平移点O的力矩，即 M=MO（Fn）=Fnd

无论原力是什么方向，无论平移的距离有多远，附加力偶的力偶矩都等于原力对平移点O的力矩

力偶

一、重心与形心的概念

任何物体可以看作由许多微小块粒组成，每一小块粒都受到地球的引力，称为重力 这些重力作用线汇交于地球中心，可以将汇交点视为在无穷远，这些引力视为空间平行力系 这些空间平行力系合力的数值大小就是该物体的重量，合力作用点就是该物体的重心 画图示矩形物体的受力图时，重力W，桌面支承力Fn，其中重力W的作用点位置就是物体的重心

画图示槽形物体的受力图时，就不知道重心在哪里，就要计算重心的位置

即使是矩形物体，如果它由不同材料组成，例左半铁右半木，也不知重心位置在哪里，也要计算重心

同一种材料组成的物体,称为“均质物体”,重心一定在其几何中心点,称为物体的形状中心,简称为形心

有的物体具有对称面（人体），有的物体具有对称轴线（等腰三角形），有的物体具有对称中心点（球）

具有对称要素的均质物体，重心一定在对称要素上，例矩形、平行四边形、三角形、圆轮、球的

具有对称要素的物体，不必计算就可以确定其重心位置，如矩形？平行四边形？三角形？圆轮？球？

形状不规则的物体，或由不同材料组成的物体，要用计算或实验测定的方法，确定其重心的位置

实验测定重心的方法在第二章讲，这是只讲计算重心的方法

为了描述物体重心空间位置，建立空间直角坐标系Ｏxyz？三坐标轴相互垂直，Ｏxy平面是水平面

设：物体的总重量为W、其重心Ｃ点的位置坐标为xC，yC，zC

假想将物体分割成n个微小部分，每一部分重力为W1、W2…Wn，任一Wi位置坐标为xi，yi，zi

则,作用在重心的重力W就是各微小部分重力Wi的合力，即 W=W1+W2+…=ΣWi (符号Σ意义、用法)

为计算重力对x轴的力矩，将各力投影到与x轴垂直的Ｏyz平面上，计算合力和分力对Ｏ点的力矩

根据合力矩定理，合力对Ｏ点的力矩等于各分力对Ｏ点的力矩的代数和，有

MO(W)MO(Wi)-Wyy



C

Σ-Wiy

i

i

ΣWiyW

C

同理，通过计算重力对y轴的力矩可以求得 xC

ΣWixW

i

把物体连同坐标系绕y轴（或x轴）旋转90°，使重力和z轴垂直，也可以求得

zC

ΣWizW

i

xC

ΣWx

i

i

wΣWy

i

i

得到物体重心位置的坐标公式 y

C



P14（1-6） 其中：y

xC? xi? W?

C

wΣWz

i

i

? yi? Wi?

zC? zi?

zC

w

2

要确定这样物体的重心位置，只需要计算剖面图形形心位置的两个坐标，即平面图形的形心坐标

对于杆状、柱状和平板状的零件，重心位置都有这样的的特点，只要计算剖面图形的形心位置

图示等厚度均质物体，假设厚度为，材料的比重为

建立直角坐标系的x轴y轴组成的平面与物体上下底与平行，显然，重心形心均在其厚度一半/2处

只要在Ｏxy坐标平面上确定平面图形的形心位置（右图）

假想将总面积为A分成n部分，任一部分面积为Ai ，总面积A=A1+A2+…=ΣAi 小块重量

xC

Wixi

W

Wi＝



Ai，总重量

Aixi

A

W＝

A。代入重心的计算公式

Aixi

A

xC

Aixi

AAiyA

i

所以，平面图形形心的坐标公式是

y

C

P15（1-7）



xC

Wixi

W

Aixi

AAiyA

i



Aixi

A



Aixi

A

xC

y

C



解一 将平面图形假想分割成中图所示的三个矩形，每个矩形的面积Ai和形心坐标yi为：

A1=(50-10)×10=400mm, A2=100×10=1000

2

2

y1=yy

2

50-102

+10=30mm

mm,

2

=5mm

A3=A1=400mm,

3

=y1=30mm

y

C



AiyA

i



A1y1A2y

2

A3y

3

A1A2A3



400×30+1000×5+400×30

400+1000+400

16.1mm

解二 将图形分割成另外三个矩形，每个矩形的面积Ai和形心坐标yi为？

A1=50×10=500mm, A2=(100-210)×10=800mm, A3=A1=500mm,

2

2

2

y1=yy

23

502

=25mm

=5mm=y1=25mm

yC计算结果一定相同

解三 将图形视为由面积A1＝50 ³100 矩形切除A2＝40 ³80 后剩余的图形。两矩形Ai和yi分别为：

Ａ1＝50 ³100 ＝5000 mm2， y1＝25 mm Ａ2＝-40 ³80 ＝-3200 mm2， y2＝30 mm；

y

Aiy

A

i

C



A1y1A2y

A12

2



5000×25-3200×30

5000-3200

16.1mm

注意：①使用公式计算形心时，切除的面积为应为负值，形心坐标也可能是负值，例左矩形x1=-45 mm

②左右对称只算yC，上下对称只算xC(转90°)，另一坐标一定不算,也不要写xC ＝ ?非对称才要算两坐标

③计算式子中间不要写单位，最后要写。今后题目示图，凡没有单位的尺寸一律为毫米，考试不要问 P16 例1-6

已知：起重机机架重量W1＝500 kN

最大吊重W2＝250 kN 求：平衡配W3＝？

题目：塔式起重机机架重量W1＝500 kN不包括起重载荷W2和配重W3

形状Ｔ形,空架重心在两轮之外

空架W1重心在两轮之外会倾倒，右边吊起重载荷W2更会倾倒，为了平衡不倾倒，要加平衡配重W3

配重W3平衡配重W3=？

吊重可大、小、没,在0~250 间变化,重心位置也变化,不能倾倒,条件是重心坐标xC不超出左右两轨道Ａ、Ｂ范围

在以左轨Ａ为坐标原点建立的Ｏxy坐标系中

满载时，整体重心最右，应保证重心坐标xC ≤ 3 m；xC≥0

解 各部分的重量Ｗi及其重心坐标xi数据

机架： W1＝500 kN， x1＝3＋1.5＝4.5 m

吊重: W2＝250 kN， x2＝3＋10＝13 m 配重： W3未知， x3＝-6 m

满载时,上述三部分重量都存在。重心位置不得超出轨道Ｂ以右，整体重心坐标xC ≤ 3 m

xC

ΣWixi

W



W1x1W2x

2

W3x3

W1W2W3

≤3

≤3

xC

500×4.5+250×13+W3×(-6)

500+250+W3

解得 W3≥361 kN

空载时，没有吊重 W2，只有机架W1和配重W3，两部分合力的重心不得超出轨道Ａ以左，即xC≥0

xCxC

ΣWixW

i



W1x1W3xW1W3

3

≤3

500×4.5+W3×(-6)

500+W3



解得 W3≤375 kN

所以，配重W3的数值应为 361 kN≤W3≤375 kN 例W3=370 kN

§1-4 约束与约束力

讲述“约束与约束力”的目的，是为了画机械构件的受力图 物理课程画过受力图，例,平面上物体的受力图？斜面上物体的受力图？三绳挂物体,结点的受力图？

机械中的一个构件与周围其他构件联接关系是多种多样的，平面，曲面，孔、槽……怎样画受力图？

要使轮轴只转动不移动,必须把它安装在支座A、B上.轮轴运动被两支座限制，或支座约束了轮

轴的移动

就把这两个支座称为“约束”。在它们的接触处,轮轴受到支座的作用力FA、FN和FB称为“约束力”

由此可知，机械零部件和其他物体接触，其自由运动受到这些物体的限制,这些物体就是约束，例支座

约束作用于机械零部件上的力称为约束力 ，例力FA、FN和FB 约束通过约束力的作用限制构件的自由运动，例在力FA、FN和FB的作用下,轮轴不能自由移动

使构件运动的力称为主动力.齿轮啮合力Fn使轮轴转动,是主动力。构件自身重量使之下落,也是主动力

约束力的作用点在构件与约束的接触处，其方向主要取决于约束的类型 机械工程常见的约束可以分为下述六种类型：

1．柔索约束

构成：由柔软的绳索、皮带、链条等非刚性物体所构成的约束 例 重物用绳索吊起，绳子是重物的约束，重物被绳子约束

因绳索不能受压,只能受拉,根据反作用？受柔索约束的构件,约束力方向一定和连接端绳索受力反向

所以，柔索约束力总是沿着绳索的中心线，使物体受到拉力。

其他例子:吊运钢梁,无论绳索捆扎钢梁底部何处,钢梁和吊钩受柔索约束力,总是沿绳索中心线拉力

带轮传动，无论轮子如何转向，带轮两边总是受到皮带拉力，其作用点在带与轮

缘的切点

注意：不能画施力，重物A点受绳索的拉力不能向下（画重物Ａ点受向下的力，错），只能离开物体

不能画压力，轮子圆周不能分布压力（右图错），无论轮子顺、逆时针转动，都是

切点处受拉

吊运钢梁，约束力不能画铅直方向，不能移到重心上（下图错），只能与绳索中心

光滑，没有摩擦力，两物体间没有接触面公切线方向的作用力，只有公法线（?）方向的相互压力

所以，光滑面的约束力方向总是沿着接触面的公法线，使物体受到压力

其他例子:曲面和平面、曲面和曲面、曲面和尖点、平面和尖点（画各类型光滑约束示图）

齿轮传动,齿廓曲线?公切线?公法线?力倾斜，力与轮周切线夹角称压力角a，斜线实质是法线

止推轴承底面（这里不一定讲，留§2-4再讲轴承约束力。但学生可以看懂这部分教材内容）

注意：不能画施力，重物受台面的压力不能向下（画错误的左下角示图），只能指向物体 曲面接触，法线方向即半径方向，法向压力作用线一定通过曲面圆弧的圆心

尖点接触，尖点即半径等零的圆弧,过尖点任一直线都是其法线,公法线即另一物体

表面法线

被支座约束

限制？杆件被销钉限制,不限制转动,能限制移动。任何方向移动都被限制,说明存在任何方向约束力

所以，固定铰链的约束力用通过铰链中心、互相垂直的两个分力FxFy来表示

①为什么通过铰链中心？

销钉圆孔实质是光滑面约束，光滑约束法向压力，接触面公法线即圆孔半径，一定通过圆心

②为什么用两个分力可以表示任何方向的约束力？

钉孔间隙小，接触点未知，力方向未知。两分力，后面计算其数值和±号，若++若+-…

③为什么两个分力互相垂直？

将铰链约束力分解为平行四边形与分解为矩形均可，矩形更容易计算，也容易合成

其他例子: ①门、窗活页就是铰链（前面已讲） ②两杆铰链连接（圆规，没有支座）

③三角支架（杆端钉墙，两杆钉孔联接） ④定滑轮中心支座（虽然支座在上，

符号在下）

⑤径向轴承的圆孔内壁（这里不一定讲，留§2-3再讲。学生可以看懂这部分教材内容）

注意：一个铰链只有一个约束力，两个分力不表示两个约束力，更不能画两分力和合力画成三个力

只有固定铰链，才画两分力。柔性约束和光滑面约束有确定的约束力方向，不能画

两个分力

传力： ， FN→FN 两分力FxFy →Fx Fy中间铰链FAxFAy →FAx F‘Ay

‘

‘

‘

‘

构造上和固定铰链完全一样,也是圆孔销钉。但铰链约束力方向未知,二力杆受力反向共线,方向可知

所以，二力杆约束力总是沿着二力杆件两端的铰链中心连线，指向待定。

①为什么沿二力杆两孔中心连线？

因为二力杆CD 受力等值,反向,共线，即沿两孔中心连线，所以反作用力也沿两孔中心连线

②为什么指向待定？

受力复杂时，计算之前未知二力杆受拉受压，任意画约束力，计算后，正值同画向,,②本身重量不计,③不受主动力（例

AB

②曲拱（提问:ＡＣ上的主动力移到BＣ上如何? ④用三角架固定的滑轮

前者两个分力，后者钉孔连线

CD是二力杆，AB杆受二

‘

传力：三角支架FＲC→F‘，FＲC→F‘C点的FＲC 力直接传到支座D） ＲC →FＲD→FＲDＲ（即水平杆 C

在受力图中，一般用字母FＲ或FＳ表示二力杆件的约束力

限制：由于支座和支承件间装滚子，不能限制构件沿支承面的移动，只能限制垂直于支承面的移动

所以，活动铰链的约束力总是通过铰链中心，垂直于支承平面的一个约束力，指向待定。

①铰链，圆孔销钉，光滑约束力法线仍半径方向，仍通过圆孔中心

②垂直于支座面，不能限制支承面切向移动，能限制垂直于支承面的移动，约束力垂直支承面

③指向待定，实际结构不允许支座离开支承面,有法向的连接固定，双向约束，计算可能正负值

其他例子: ①销钉和槽面之间的约束 ②横梁，端头接触一端视为固定铰链支座,另一端活动支座

③轴承支座(也是两端结构相同，但端部接触的一端视为固定铰链支座，另视

为活动支座)

(左下图所示) 图示符号 图滑槽

约束力偶 所以，约束力用通过杆件与固定端交界点、互相垂直的两个分力Fx、、Fy和一个约束力偶M来表示

①分布力向交界点平移,得汇交力和力偶系,两分力表示任意方向的合力,力偶表示合

成的力偶系

②类似铰链两分力，画任意方向两力和一力偶,计算正值画对了,负值说明实际方向与所画相反

③从限制运动功能看:限制任意方向移动说明有任意方向约束力,限制任意方向转动有约束力偶

其他例子: ①埋在地面的电线杆 ②嵌入墙壁的阳台

③固定在车床卡盘上的工件 ④安装在刀架上的车刀

注意：习题与考题，往往只写求固定端约束力，不能只画、只算两力，一定既要画力偶,又要算力偶

固定端约束可以简单地表示为下图的形式，注意它与光滑约束的区别——光滑约束的接触面较宽

在受力图中，一般用字母FFy和M表示固定端约束的一偶两力

约束类型与约束力记忆口诀： 柔索约束——绳带拉力；光滑约束——法向压 力； 固定铰链——两个分力； 二力杆件——钉孔连线；活动铰链——垂直一 力； 固定一端——一偶两

力。

图a所示的曲杆，画图b所示的受力图，似乎能平衡，因为没有考虑约束类型，是错误的

画机械零部件的轮廓外形，并在其上画全部的受力，包括主动力和约束力，这就是零部件的受力图

要注意以下几个问题：

1．要画隔离体

构件受其他件作用力,为明确力作用对象,要把它从机器分离出来,只画其轮廓形状,不画周围其他零件,这就是隔离体

一对齿轮啮合传动,要分析其中一轮受力,如在接触点画啮合力Fn,不明确是左轮还是右轮受力,错误!

如果分析右轮受力，必须先画出右齿轮的隔离体，再画啮合力Fn，就明确是右轮受力（今后可画圆）

2．要根据约束类型画约束力

如果要分析图1-48曲杆AB的受力，中图受力似乎能够平衡，但这样的画法是错误的 除了主动力F外，要根据约束类型画约束力：A端，固定铰链,两个分力；B端，活动铰链,垂直一力

受力似乎不平衡，因为根据约束类型画约束力，却是完全正确的 P26 例1-7，由三根直根用铰链连接成图示的梯子 主动力F作用在AB杆上，各杆件的重量不计 要求画出整个梯子、AB杆和AC杆的受力图

整个梯子：主动力F

约束力是地面对梯子的支承力，因为梯子没有运动的趋势，摩擦力等于零 根据约束类型画约束力：在B、C两处，光滑约束，法向压力FNB、FNC

AB杆：主动力F

如果要分析DE杆受力，应画出DE杆，它与左右两斜杆FD与FD，FE与FE 为作用力与反作用力

’’

4. 不画内约束力

在上例中，画整个梯子的受力图时，铰链A 、D、E的约束力是内约束力

内燃机的曲柄活塞机构示意图

在燃气推力FP的作用下，活塞B通过连杆AB推动曲柄OA转动，作用在曲柄上的力偶矩为M

各构件的自身重量不计。试画出活塞B和曲柄OA的受力图 活塞：主动力FP

在铰链B处，二力杆件,钉孔连线FS；在活塞和气缸内壁接触处，光滑约束,法向压力FN 活塞两侧都是气缸内壁的光滑约束,根据连杆推力FS方向,只与一侧内壁接触,只受气缸一侧约束力FN

图示的回转式起重机，圆柱形立柱的上下两端A、B安放在圆孔支座里 设起重机支架自身重量为W１，吊起重物的重量为W２ 试画出起重机的受力图

起重机，主动力为自身重力W１和吊重W２

支座A,立柱下端面受孔下底部光滑约束,法向压力FN；支座B,立柱上端面和孔上底没接触,没约束力

虽然上下支座圆孔也是铰链,但不画两个分力。因为主动力只有铅面内的重力，没有垂直于铅直面的力

所以，圆孔内壁也没有垂直于铅直面的约束分力，只有在铅直面内的约束力FAx、FBx 上下两支座的构造完全相同，因为下支座有FN、FAx两个约束力，上支座只有FBx

所以，起重机的受力图也可以画成右图的形式。A端两个分力Fx、Fy，B端垂直一力FB

为了研究在平面力系作用下构件的平衡问题，在外力作用线的平面内，任选择一点A作为简化中心

将n个外力都平移到简化中心上，可得到汇交于点A的平面力系F1、F2、…、Fn

和同一个作用面的附加力偶系M1、M2、…、Mn 构件平衡，汇交

FR

A点的平面力系合力为零，根据式（1-3）

2222

FRxFRyΣFx)(ΣFy)0（a）

根据§1-2力的平移定理，上述每一附加力偶矩Mi等于“原力对平移点的力矩”，即Mi=M（ AFi）而且构件平衡时，n 个附加力偶矩的代数和也等于零（省略证明过程），即ΣMi=ΣMA（Fi）=0 （b）

ΣMA（Fi）=0 FCx³0.15+FCy³1.14-W³(1.14+0.36)=0（注意使用合力矩定理列力矩平衡方程）

FC cos30°³0.15+FC sin30°³1.14-70³1.5=0 FC=150 kN ΣFx=0 FAx-FC cos30°=0 FAx=FC cos30°=150³0.866=130 kN ΣFy=0 FAy+FC sin30°-W=0 FAy=W-FC sin30°=70-150³0.5=-5 kN

计算结果的说明：

‘‘

①求得FC=150 kN是横梁AB在铰链C受力，根据反作用定律，拉杆CD受力FC’=FC=150 kN（方向?）

②FAy=-5 kN中的“－”号表示该力实际方向和画受力图假设方向相反（提问：实际应为什么方向?）

③凡是固定铰链求得的两个分力不必合成，例，只要FAx=130 kN，FAy=-5 kN，不必合成FA

解题三个步骤：

①选择研究对象，有已知力和未知力共同作用的物体

②画受力图，要画出全部的主动力和约束力，特别要根据约束类型画约束力 ③列平衡方程，一般先列力矩方程

矩心选择在几个未知力的交点上，可得一个未知数的平衡方程 注意使用合力矩定理列力矩平衡方程 解题要求：

每一个力的投影方程前面要写ΣFx=0或ΣFy=0。用下标x、y表明该方程的投影轴 每一个力矩平衡方程前面要写ΣMA=0，用下标A、B、C表明该方程的矩心位置

力矩平衡方程前面只要ΣMA=0，不一定要ΣMA（Fi）=0，即可以没有（Fi）

————————————————————————————————————————

‘

解二：分别以A、D、C点为矩心，列力矩平衡方程求解未知力

ΣMA=0 FCx³0.15+FCy³1.14-W³(1.14+0.36)=0 (只有FC未知数) FC=150 kN

ΣMD=0 FAx³(0.15+1.14³tg30°)-W³(1.14+0.36)=0 (只有FAx未知数) FAx=130 kN

ΣMC=0 -FAy³1.14+FAx³0.15-W³0.36=0 (只有FAy未知数) FAy=-5 kN 小结：平衡方程的三种形式：

Fx0

①一矩式， Fy0

MA(Fi)0MA(Fi)0

（2-1） 无限制条件

②二矩式 MB(Fi)0（2-2） 限制条件：投影轴x不能与矩心A、B的连线垂

Fx0

直

如以上例题中，列ΣMA=0方程，求得FC=150 kN；再列ΣMD=0方程，求得FAx=130 kN 如果再列ΣFx=0方程，因为x 轴和矩心A、D的连线垂直，方程中不含FAy，就不能求解FAy

可以再列ΣFy=0方程，即可求得FAy=-5 kN

MA(Fi)0

③三矩式 MB(Fi)0（2-3） 限制条件：矩心A、B、C三点不能共线

MC(Fi)0

如以上例题中，列ΣMA=0方程，求得FC=150 kN；再列ΣMD=0方程，求得FAx=130 kN 如果再选择与A、D共线的任一点K为矩心，方程中不含FAy，就不能求解FAy 以上解二中，分别以A、D、C三点为矩心，这三点不共线，可以求解三个未知数 特别要注意：使用各种形式平衡方程时，一个研究对象只能列三个独立的方程，只能求解三个未知量

‘

W=3.2 k N砂土，是分因为0.8 m长度上堆放重量3.2 kN ，所以，每米长度上堆放4 kN 4 kN/m

所以,载荷集度q单位是kN/m 或N/m ,其合力=载荷集度q³分布段长度，作用点在分布段中点

题目：已知：分布载荷集度q=4 kN/m

分布段长度l=0.8 m，分布段左端距梁左端0.8 m，分布段右端距梁右端0.4 m 求：支座A和B的约束力

选择AB梁为研究对象

画受力图 （已知力为分布载荷q，A点固定铰链两个分力，B点活动铰链垂直一力） ΣMA=0 FB³2-q³0.8³(0.8+0.4)=0 （分布载荷q的合力q³0.8，对A点的力臂0.8+0.4） FB³2-4³0.8³1.2=0 FB=1.92 kN ΣFy=0 FAy-q³0.8+FB=0 FAy-4³0.8+1.92 =0 FAy=1.28 kN

ΣFx=0 FAx=0

小结 ①在受力图中，均布载荷用端部连线的一组箭头表示

②在力的投影方程中，均布载荷合力的大小=载荷集度q³分布段长度 ③在力矩的平衡方程中，因为均布载荷合力的作用点在载荷分布段的中点

所以，力矩=载荷集度q³分布段长度³矩心至载荷分布段中点合力作用线的垂直距离

P35 例2-3

B点固定铰链,’Bx=0 FAx=F’Bx=7.5 N FAy-F’By=0 Ay-(-8)=0 FAy=-8 N A-F’By³1.6=0 A-(-8)³1.6=0 MA=-12.8 N²m

③固定端画受力图一偶两力,要画约束力偶。求其约束力,不是只计算两个分力,一定还要计算约束力偶

④两个构件在联接处各自的约束力是作用力与反作用力，受力图画的方向？名称？方程中的数值正负？

如, 在BC杆的受力图中FBx、FBy方向？平衡方程中这两力的数值 FBx=+7.5 N，FBy=-8 N

’

在AB杆的受力图中F’F’F’Bx、By方向？平衡方程中这两力的数值FBx=+7.5 N，By=-8 N

§2-2 平面特殊力系的平衡方程及其应用

平面一般力系：力作用线在同一平面的力系

平面一般力系的平衡方程即§2-1节一矩式（2-1）、二矩式（2-2）、三矩式（2-3） 一矩式的意义：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任一点力矩的代数和也等于零

平面汇交力系：力作用线在同一平面上，且汇交于一点的力系

以汇交点A为矩心时，无论是否平衡,都有ΣMA≡0，力矩方程不能说明力系是否平衡 平面汇交力系的平衡方程只剩下：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零 平面平行力系：力作用线在同一平面上，且互相平行的力系

倾角a=15°称重，即在前轮下加垫板，使飞机机头抬高，前后轮中心连线与水平线夹角a=15°

‘

飞机倾斜，重心后移，使得后面两磅称的读数增大，由FB=90 kN变为FB=100 kN

求飞机重心的前后和高度位置，即以前轮中心为坐标原点的x、y坐标系中，确定重心的xC，yC坐标

解：水平称重，前后轮下磅称读数是飞机前后轮受磅称约束力FA=30 kN，FB=90 kN，方向铅直向上

可知飞机总重W=FA+FB=120 kN，其作用点在飞机重心，方向铅直向下 FA、FB、W三力构成平面平行力系，使用平行力系的两个平衡方程： ΣFy=0 FA+FB-W=0 倾斜称重：

‘

30 +90-W=0 飞机倾斜后，后轮FB变化

W=30 +90=120 kN 总重W不变，重心位置坐标xC=3 m不变，yC未知

‘

ΣMA=0 FBa-WxC=0 ΣMA=0 F〃xC-Wsina〃yC=0 Bacosa-Wcosa 90³4-120xC=0 100³4³cos15°-120³cos15°³3-120³sin15°³yC=0

xC

y

C

90×4120

3m

1.244m



100×4×0.9659-120×0.9659×3

120×0.2588

力作用点位置

P38 例2-5

已知：F=1 kN，a=8° 求：FAB 、FBC、工件受力 题目：已知：F=1 kN，a=8° 求：FAB 、FBC、工件受力

因为已知力F=1 kN作用在铰接点B上，择销钉B为对象 销钉B

受力图：主动力F与两个二力杆的约束F1 、F2构成平面汇交力系，用汇交力系的两个平衡方程：

ΣFx=0 F1cosa-F2 cosa=0 F1 =F2

ΣFy=0 F1sina+F2 sina-F=0

2F1³sin8°-1=0

F1F2

12×sin8°

=

12×0.1392

3.59

kN

根据作用与反作用定律，直杆AB和BC的受力F’1=F’2=3.59 kN 滑块Ｃ

受力图，二力杆作用力F2与工件、地面的光滑约束力FN1、FN2构成汇交力系，用两个平衡方程：

ΣFx=0 F’2 cosa-FN2=0

FN2=F2cos8°=3.59³0.9903=3.56 kN 根据作用与反作用定律，工件受力F’N2=3.56 kN

’

’

§2-3 简单轮轴类部件的受力问题

轮轴类部件，轮子、轴、轴承构成的部件

简单轮轴类部件，轮子只是皮带轮或直齿轮，没有斜齿轮或圆锥齿轮 简单轮轴类部件的受力问题，计算皮带轮或直齿轮的轮轴部件的主动力与轴承支座的约束力 P39 例2-6

F=W

题目：带轮:D1=400 mm，两边皮带拉力都是水平方向，紧边FT=2000 N,松边Ft=1000 N 齿轮C：D2=200 mm，啮合力Fn作用点在轮心同一水平线上（见侧视图），压力角a=20°（回

顾压力角）

求：齿轮C的啮合力Fn，轴承A、B的约束力FA、FB

轴承A、B的约束力FA、FB就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个

分力

为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz？y轮轴线，z轴铅直，Ｏxy是水平面，三轴垂直

轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz方向，用FAx、FAz和FBx、FBz，或XA、ZA和XB、ZB 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz平面上)

受力图，没有画轴承A、B的约束力，因为没有解除这两个轴承约束

MB=0 FT

D12

-Ft

D12

-Fncosa

D22

0

2000³200-1000³200-Fncos20°³100=0 Fn=2130 N

主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz平面上)

受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130³0.9396=2000 N 因主动力Fnz=2000 N作用点到A、B两个支座距离相同，方向向上

显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以

Z

A

Z

B

-

Fnz2

-

2000

2

N

-1000

N

俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130³0.3420=729 N ΣMA=0 -(FT+Ft)³0.15+Fnx³0.25-XB³0.5=0

-(2000+1000)³0.15+729³0.25-XB³0.5=0 XB=-536 N

ΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0

-2000-1000+XA-729+(-536)=0

XA=4265 N

结论：Fn=2130 N

XA=4265 N； B=-536 N ZA=-1000 N； B=-1000 N

①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力

在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力

②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径

齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力³cosa³半径（啮合力³cosa=

圆周方向分力）

③侧视图上没有画轴承A、B的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA、ZA和XB、ZB四力）

不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn，因为在x方向，实际上还有XA、XB两力的投影

*§2-4 斜齿轮和锥齿轮的轮轴类部件的受力问题 P42

齿轮的啮合力都是齿面啮合点的法线方向，也就是与轮齿的齿面垂直的方向

直齿轮齿向平行轴线,啮合力与轴线垂直,无轴向分力;斜齿轮、锥齿轮啮合力与轴线不垂直,有轴向分力

在本课程、后续课程及工程实际应用中，都需要将轮齿的啮合力分解为轴向、径向和圆周切向的分力

一、斜齿轮啮合力的分解

斜齿轮的轮齿呈螺旋形,螺纹线在与轮轴线重合平面上的投影与轴线的夹角为螺旋角b（图2-15 b、a）

轮齿上的啮合力Fn是齿面的法线方向，即与齿面垂直

啮合力Fn与啮合点所在圆柱面切平面的夹角为压力角a（图2-15a、c）

过啮合力Fn作用点作与轮轴线垂直的平面、与轮轴线重合的平面、与啮合点所在圆柱面相切的平面

再过表示啮合力Fn线段长度的另一端点作与上述平面平行的三个平面 这六个平面围成直角六面体，其棱边分别平行于齿轮轴线、过啮合点齿轮半径、啮合点所在圆周的切线

其中，过啮合点与轮轴线平行的边长，表示啮合力Fn的轴向分力，用Fa表示 过啮合点与齿轮半径重合的边长，表示啮合力Fn的径向分力，用Fr表示 过啮合点与齿轮圆柱面相切的边长，表示啮合力Fn的切向分力，用Ft表示

这是因为：在Fn所在abcd平面（图c），Fn分解为径向力Fr和切平面分力F’，矢量式

'

FnFrF ①

在啮合点的切平面上（图b），分力F’又分解为切向分力Ft和轴向分力Fa ， 矢量式

'

FFtFa ②

式②代①，有FnFrFtFa，所以Fn分解为直角六面体所示的径向力Fr,轴向力Fa,切向力Ft

在abcd平面（图2-15c）， Fr=Fnsina F=Fncosa

在啮合点的切平面上（图2-15b），Ft=F’cosb Fa=F’sinb

所以，径向分力 Fr=Fnsina （a）

’

切向分力 Ft=Fcosb=Fncosacosb P42式（b）

’’

二、锥齿轮啮合力的分解 P43

圆锥齿轮轮齿和轴线的夹角称为锥顶角 （图2-16b、a）

啮合力Fn和啮合点所在圆周切线的夹角为压力角a（图2-16a、c） (注意：不是与切平面的夹角)

以表示啮合力Fn线段为对角线,作直角六面体,其各平面与轴线垂直、与轴线平行、与啮合点所在圆周相切

通过啮合点半径的棱边表示径向分力,与轴线平行的棱边表示轴向分力,与圆周相切的棱边表示切向分力

在Fn所在abcd斜平面（图c），Fn分解为切向力Ft和斜平面上的分力F’： Ft=Fncosa F’=Fnsina 在过啮合点与轮轴重合的平面上（图b），F’又分解为径向力Fr和轴向力Fa ：Fr=F’cos Fa=F’sin

所以，切向分力 Ft=Fncosa （d） 径向分力 Fr=F’cos=Fnsinacos P43式（e） 轴向分力 Fa=F’sin=Fnsinasin （f）

三、齿轮啮合力对转轴的力矩 P43~44

根据§1-2节合力矩定理，计算齿轮啮合力上述三个分力对转轴力矩代数和就是啮合力对转

轴的力矩

径向力Fr和转动轴线相交，对转轴的力矩等于零

轴向力Fa和转轴平行。与转轴平行的力不使物体转动，如门自重不能使门转动，所以其力矩也为零

切向分力Ft在与转轴垂直平面上，两图d，切向力对轴线与平面交点Ｏ力矩就是啮合力对转轴的力矩：

My(Fn)Mo(Ft)Ft

D2

P44 （2-7）

所以，齿轮的啮合力对转轴的力矩等于其圆周的切向分力和齿轮半径的乘积

P44 例2-7

已知：带轮D1＝300 mm，F1＝2F2，锥齿轮D2＝200 mm，Fn＝700 N，a＝20°，＝34°

FFFAx、Ay、Az

径向滑动轴承B通孔，孔内壁铰链约束，画约束力FFBx、Bz 侧视图 俯视图 ΣMD=0 Ft

D22-F1

D12F2

D12

-（F1+F2）³0.2-FBx³0.36-Ft³0 ΣMA=0

0.52=0

658³100-2F2³150+F2³150=0 -（878+439）³0.2-FBx³0.36-658³0.52=0

F2＝439 N FBx=-1682 N

F1＝2F2＝878 N ΣFx=0 FAz+F1+F2+FBz+Ft=0

主视图 FAz+878 +439-1682+658=0 ΣMA=0 FBz0.36-Fr0.52Fa

D22

0 FAz=-293 N

FBz³0.36-198³0.52+134³0.1=0 FBz=249 N

ΣFz=0 FAz+FBz-Fr=0 小结：

FAz+249 -198=0 锥齿轮或斜齿轮啮合力分解为切向、径向、轴向三分力

FAz=-51 N 与直齿轮不同的是存在轴向分力，需要一个止推轴承

ΣFy=0 FAy-Fa=0 存在轴向约束力，需用ΣFy=0平衡方程求轴向约束力

FAy-134=0

FAy=134 N P46 例2-8

已知：斜齿轮D＝200 mm 切向力Ft= 1000 N 径向力Fr=400 N 轴向力Fa=300 N 求：电机力矩M， 约束力 FA、FB

题目：电机带动斜齿轮轴匀速转动，斜齿轮有轴向力，轴承B是止推滑动轴承，轴承A径向滑动轴承

建立空间直角坐标系Axyz，其中y轴和轮轴的轴线重合，Axy是水平面

画径向滑动轴承A的约束力FAx、FAz，止推滑动轴承B的约束力FBx、FBy、FBz 侧视图

ΣMB=0 Ft

D2

-M0

1000³0.1-M=0 M=100 N²m 主视图

ΣMA=0 FBz0.6-Fr0.3Fa

D20

FBz³0.6-400³0.3-300³0.1=0 FBz=250 N ΣFz=0 FAz-Fr+FBz=0 FAz-400 +250=0 FAz=150 N ΣFy=0 Fa-FBy=0 300-FBy=0 FBy=300 N 俯视图

FAxFBx-Ft2-10002

-500N

Fr2

注意：在主视图中，因为轴向力Fa的投影与轴线不重合，FAzFBz小结：斜齿轮或锥齿轮啮合力分解为切向、径向、轴向三个分力 与直齿轮不同的是存在轴向分力，需要一个止推轴承

止推轴承可以提供轴向约束力，需用ΣFy=0平衡方程求轴向约束力

*§2-5 摩擦与自锁 P48

前面几节,认为两物体间的接触面是绝对光滑的

两物体间的作用力只有法向压力没有切向摩擦力

如果①摩擦力很小,对运动影响很少,或②物体静止,而且没有滑动趋势,可以认为没有摩擦力

实际情况,绝对光滑的接触面是不存在的

只要相互接触的物体有①相对滑动或②相对滑动的趋势时,两者接触面之间就有摩擦力

当摩擦力对物体的平衡状态或运动状态有较大影响时,必须考虑摩擦力

摩擦有利方面：加工零件的夹具:卡盘、压板。动力传动:带轮传动，地面有摩擦车辆才能启动、

用较小推力FP推不动桌子，说明平衡，ΣF=0，必定有FP-F=0, 说明存在滑动摩擦力F=FP 物理学过F=mFN,不一定都如此,例桌子、地面间很粗糙,可以有F=mFN 存在,但没有推拉桌子，F=0

例桌子重W=100N,m=0.5,FN=100N,可有F=mFN=50N。但FP=10、20…49.99N逐增过程F≠

mFN

FP≤mFN=50N推不动桌子，说明平衡F=FP，随FP=10、20…增大，F=10、20…以相同数值增大

推力FP可以80、90…不断增大，摩擦力F不会无限制增大，到50 N之后桌子被推动 如果桌子被推动之后继续滑动，比从静止起动时的50 N略要省力，说明滑动之后的摩擦力略小一点

所以，在摩擦力F和推力FP的纵横坐标系中，F~FP关系曲线如图2-21所示：

45°斜线，表示这一阶段一定有F=FP，摩擦力F随推力FP以相同数值增大，称为滑动趋势阶段

该摩擦力是由平衡方程ΣF=0，即F=FP计算，其大小是在0

在这一阶段，决不能用F=mFN计算摩擦力

曲线的最高点，表示物体处于将动未动的临界状态

该摩擦力的大小Fmax=msFN，是定值，称为最大静摩擦力

ms称静摩擦因数，与材料、粗糙度有关，几种ms数值P49表2-1。FN物体摩擦接触面上的法向压力

临界状态后的水平线，表示物体滑动阶段

该摩擦力的大小Fd也是定值，其计算方法是Fd=mFN，Fd略小于Fmax，称为动摩擦力 系数m称为动摩擦因数，几种材料m数值见P49表2-1，m略小于ms 所以，摩擦力计算方法应区分三种不同状态，不能一概使用F=mFN计算摩擦力

应懂得摩擦力存在三个状态名称?三摩擦力F、Fmax、Fd名称?三者计算方法?两种摩擦因数ms、m名称?

其中最重要的是临界状态最大静摩擦力Fmax=msFN，它决定保持平衡的最大受力,使之运动至少受力

无论用Fmax=msFN 或Fd=mFN 计算,其中FN接触面法向压力不一定等于物体重量,例平面?斜面?

摩擦力的方向？沿接触面的公法线，指向与滑动方向或滑动趋势方向相反

对于有滑动或有滑动趋势的物体，应首先考虑滑动方向或滑动趋势的方向，其相反方向是摩擦力方向

例斜面上的物体滑动趋势向下,摩擦力向上；行人？自行车后轮摩擦力向前,前轮摩擦力向后；汽车？

对于不存在滑动或滑动趋势的物体，应考虑两相接触物体之间的滑动摩擦力是作用与反作用关系

例斜面受的摩擦力向下；与车辆前轮接触的地面受的摩擦力向前，后轮地面受的摩擦力向后：人脚地？

即：两物体相接触所产生的一对摩擦力，是作用力与反作用力，一定等值、反向、共线 摩擦力要画在其作用点处──与其他物体的接触面处

二、摩擦角 P50

放置在支承面上的物体，在推力FP的作用下，物体处于滑动趋势阶段，摩擦力 F

正压力FN和滑动摩擦力F合成的合力称为全约束力，用符号FR表示，它和接触面公法线的夹角为f

增大推力FP，滑动摩擦力F也随之增大。在临界状态，摩擦力为最大静摩擦力Fmax=msFN时

正压力FN和临界状态摩擦力Fmax合成的合力仍然称为全约束力，符号仍然是FR表示 在临界状态，全约束力和接触面公法线的夹角称为摩擦角，用符号fm表示

注意：无论是临界状态还是非临界状态，正压力FN和摩擦力F的合力都称为全约束力，都用符号FR

在非临界状态，全约束力和接触面法线的夹角没有名称，不称为摩擦角，用符号f表示 只有在临界状态，全约束力和接触面法线的夹角才称为摩擦角，才用符号fm表示 由图示三角关系可知 tanf因数

对比左右两图可知 tanfFmsFNmstanf

FN

FN

m

m



FmaxFN



msFNFN

ms

即，摩擦角的正切等于静摩擦

即，f≤fm，FR和法线夹角f

不大于fm

上式说明,在存在滑动摩擦力的任何阶段,全约束力作用线一定在摩擦角fm范围之内，最多

mm重力W作用线和接触面法线夹角a＞fm，下方，全约束力作用线一定在摩擦角fm范围内，最多在其边缘

同理，位于平面上的物体的自锁条件是：主动力合力作用线和支承面法线的夹角不超过接触

螺纹可以看作由长条状材料旋绕在圆柱体表面的零件，展开的螺纹就是斜面，其倾斜角就是螺纹升角

相配合的内外螺纹可以视为位于斜面上的长条形物体，其受力有自身重力W和内外螺纹的全约束力FR

图2-25所示夹具，夹紧后要求不能回松，螺纹升角要小于内外螺纹材料的摩擦角a≤fm

P51 例2-9

面

夹紧工件时，给楔块右端面向左敲击力FP，楔块左移，立柱上移，工件夹紧

要求停止敲击FP=0后，不能松脱，即楔块不能右移，所以应以楔块为研究对象，其受力要平衡

楔块

受力图：上接触面全约束力FR1作用线与其法线夹角为f1，下接触面FR2与法线夹角为f2 分析楔的自锁条件：

上下两个全约束力FR1、FR2作用线一定在摩擦角fm范围之内，即它与法线夹角均小于摩擦角

f1≤fm （a） f2≤fm （b）

要使楔块处于平衡状态，全约束力FR1、FR2必须在同一条直线上，二力共线对顶角相等，有

f2=b=a1-f1=a-f1 （c）

即 a=f1+f2 （d） 用式（a）、（b）代入式（d）得 a=f1+f2≤2fm （e）

2

NsNsNsN将2msFN乘进括号 2msFNe-msFNd-FNb+msFNd≤0

消去FN 2ms e - msd - b + msd ≤ 0 消去±msd 2mse - b ≤ 0 得

讨论 ①减小尺寸e，②增大尺寸b，即增大齿轮的宽度

③减小摩擦因数ms，①既减小或消除推力偏心e的尺寸，

滑动

P53 例2-11

已知：楔形滑块槽面夹角f，ms 求：当量静摩擦因数mSv

题目：楔形滑块底部和楔形滑槽上部的夹角相同为f

滑块有重量或铅直载荷FQ，两接触斜面有正压力FN，推力FP使之滑动或趋势时，接触斜面有摩擦力

这摩擦力与平面滑块不同，求：

因数mSv

①计算楔形滑块斜面上的法向压力

画楔形滑块没有受到推力FP Fy=0 2FNsiFQ0

2f

FN

FQ2sin

f2

②计算槽面的最大摩擦力Fmax

楔形滑块受到推力FP作用时（左图） Fmax2msFN③计算当量静摩擦因数mSv

msV

FmaxFQ



msFQf

siFQ

2



msfsi2

f2si2

fsi2

讨论：由于sin

f2

1,

1sin

f2

1, 所以msVms。与平面摩擦相比，槽面摩擦的当量静摩擦

因数较大

W

临界状态

①选择两轮为研究对象

受力图，其中摩擦力FN是根据与滑动趋势相反的方向确定 ΣMO=0 FR-Wr=0 F FNmsFP）

②选择制动杆为研究对象

受力图，其中FN＝FN＝250 N，F＝FN＝150 N，均根据轮子相应两力的反作用方向确定

‘

ΣMA=0 F‘N³0.6 -F³0.3-FP³(0.6+0.8)=0

250³0.6 -150³0.3-FP³1.4=0 FP

2500.61500.3

1.4

75N

‘

‘

WrR



3000.20.4

150

N

Fmaxms



1500.6

250N （临界状态，摩擦力就是最大静摩擦力Fmax＝

小结：解题步骤仍是①选择研究对象②画受力图③列平衡方程

①选择研究对象，有已知力作用的物体，未知力少的物体

②画受力图，摩擦力方向？与运动或运动趋势的方向相反，或由作用反作用关系确

定的方向

③列平衡方程，平面任意力系三个方程，汇交力系两个方程，平行力系两个方程