济系统中预期自我实现与自我毁灭模型

1.1 一般简单社会经济系统中预期自我实现与自我毁灭模型

在社会经济系统中，预期的自我实现与自我毁灭共存的现象使系统演化变得扑朔迷离。人们的预期在什么情况下会自我实现？又在什么情况下会自我毁灭？究竟是哪些因素影响人们的预期走向自我实现或是自我毁灭？我们认为这种宏观层次的现象依赖于微观主体的预期模式及策略选择。本节通过一个简单的概念模型来探讨一般简单社会经济系统中预期自我实现与自我毁灭的影响因素。

1.1.1 模型结构

我们考虑一个由N个主体组成的社会经济系统，每个主体有两种行为{-1，1}可供选择，这里可以表示人们在社会经济系统中面临的二选一的很多情况，例如选择A或B哪条道路可以避免交通拥挤，去不去集市购物等等。在每一时刻t，主体i的选择与自己的行为策略和对下一时刻系统状态的预期有关，依从以下概率：

1⎧

1 with p=⎪ii

1+exp(-αβEt-1(At))at=⎨

⎪-1 with 1-p⎩ 式（1-1）

其中，α>0反映主体的预期和策略在多大程度上影响其行为选择，这是考虑到在现实中主体可能会受到的一些外在客观条件的制约，存在无法按照自己意愿行动的概率，此概率的大小由α控制。α越大，表示主体所受限制越小，从而更容易按照自己的意愿行动。主体的行为策略β是一个符号变量，取1或者-1。β=1意味着主体选择多数者策略，即：主体倾向于与自己预期的多数者的选择相一致；反之，β=-1意味着主体选择少数者策略，即：主体喜欢标新立异，倾向于与自己预期的多数者的选择相反。在现实中，主体的策略选择与系统的输赢规则（或系统结构）密切相关。例如在酒吧问题中，主体倾向于少数者策略，而在选美比赛中，主体倾向于多数者策略。本小节，我们只考虑最简单最一般的社会经济系统，即系统的输赢规则（或系统结构）是较为明确的，易于主体们达成共识，策略选择不包含异质性的因素，β要么等于1要么等于-1。较为复杂的没有明确输赢规则的系统，如金融市场，我们在后面的小节探讨。Eti-1(At)表示主体i在t-1时刻对下一时刻系统状态At的预期。其中，At代

表t时刻标准化的系统状态的实现值

At=

1N

N

∑

i=1

at

i

式（1-2）

而对于主体预期Eti-1(At)，我们考虑了主体的有限理性与主体之间的异质性，采用如下的简单表述

Eti-1(At)=(1-χi)At-1+χiAt-2 Eti-1(At)∈[-1,1] 式（1-3） 对上式进行简单变形

Et-1(At-At-1)=-χ(At-1-At-2) 式（1-4）

i

i

我们得到两类基本的预期模式：趋势追随型预期（χi0）。趋势追随型预期认为前期的趋势在短期内不会消失，乘势而追；趋势反转型预期认为系统状态会围绕其平均值上下波动，不会呈现明显的趋势，适可反转。这里，预期模式的选择可以采取多种形式，我们采用的这两类简单的预期模式是基于历史价格信息的预期形成的基本模式，其他模式都可以转化为该两类模式的不同组合。

到此，模型封闭。每一时期，在一定客观条件的约束下，主体依据行为策略和对下一时期系统状态的预期作出选择。当每个主体的选择结束后，系统的宏观状态揭示。在这样一个简单的框架下，我们希望通过比较系统宏观状态的实现值与微观主体预期值来探讨一般简单社会经济系统中的预期自我实现与自我毁灭的影响因素。

1.1.2 同质预期框架模型的理论分析及数值模拟

本小节针对同质预期（χi=χ）的基本框架模型进行了理论分析与数值模拟，以探讨不同的初始情况及各个参数特别是主体的行为策略β和预期模式χ对系统演化与主体预期一致性的影响。

在同质预期χi=χ下，依据大数定律（假设N>>1）

At=

1N

N

∑

i=1

at≈2p-1=

i

2

1+exp(-αβ((1-χ)At-1+χAt-2))

-1 式（1-5）

模型可以简化为（Eti-1(At)∈[-1,1]以条件的形式表示）：

⎧tanh[α'β((1-χ)At-1+χAt-2)] 若 -1≤(1-χ)At-1+χAt-2≤1

⎪'

At=⎨tanh(αβ) 若 (1-χ)At-1+χAt-2>1式（1-6）

⎪'tanh(-αβ) 若 (1-χ)At-1+χAt-2

其中，α'=

α

2

。令dt=At-[(1-χ)At-1+χAt-2]表示系统标准化的实现值与主

体预期值的差距。为方便作非线性动力学分析，令xt=At;yt=At-1，模型可变为：

若 -1

≤(1-χ)xt-1+χyt-1≤1

'

⎧⎪xt=tanh[αβ((1-χ)xt-1+χyt-1)] ⎨ ⎪⎩yt=xt-1

若 (1-

χ)xt-1+χyt-1>1

'

式（1-7）

xt=tanh(αβ)

若 (1-

χ)xt-1+χyt-1

'

xt=tanh(-αβ)

系统实现值与主体预期值的差距相应地表示为dt=xt-[(1-χ)xt-1+χyt-1]。 对模型进行非线性局部稳定性分析，有以下结论： 结论1：当β=1，即系统的输赢规则为多数者赢时，

对于0

1

'

α

12α

12

'

+

12α

'

时，定态解(0,0)局部稳定。

当χ>时，系统经历倍周期分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中

出现稳定的2-周期解(x1*,-x1*), (-x1*,x1*)，满足x1*=tanh(α'(2χ-1)x1*),x1*>0。

当χ

在α'=1时，系统经历Pitch-fork分岔，定态解(0,0)失去稳定性。

****

,x2), (-x2,-x2)，满足对于α'>1，系统出现另外两个相互对称的定态解(x2

1

α

'

时，系统经历Hopf分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中出现

x2=tanh(αx2) (x2>0)，其局部稳定性如下：

*'**

****

当χ*

****当χ>χ**时，系统经历倍周期分岔，定态解(x2,x2), (-x2,-x2)同时失去稳

***

定性，系统中出现稳定的2-周期解(x1*,-x1*),- (x1x,1，)满足x1>0, 且

x1=tanh(α(2χ-1)x1)。

*

'

*

****

当χ

性，系统中出现不变环线。 （其中，χ=-

*

1

αsech(αx)

'2'

*

2

; χ

**

=

1+αsech(αx2)2αsech(αx2)

'

2

'*

'2'*

）

结论2：当β=-1，即系统的输赢规则为少数者赢时， 系统中存在唯一的定态解(0,0)，其局部稳定性如图2所示： 当-

21

12α12

'

'

1

α

'

时，定态解(0,0)局部稳定。

当χ

-

时，系统经历倍周期分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中

*****'*,-x3）,x3）=-tanh(α(2χ-1)x3), 出现稳定的2-周期解（（x3，（-x3），满足x3

x3>0。

*

当χ>变环线。

1

α

'

时，系统经历Hopf分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中出现不

图1：β=1时，参数α'与χ对定态解(0,0)局部稳定性的影响。

图2：β=-1时，参数α'与χ对定态解(0,0)局部稳定性的影响。

在以上的局部稳定性分析中，系统中出现的非0定态解及周期解都涉及到方程x*=±tanh(cx*) (c>1)的求解，而该方程没有显式解只能求得其数值逼近解；并且在我们感兴趣的参数范围内，系统中会出现几类分岔边界相交的情况；再加上每步都受到限制条件(1-χ)xt-1+χyt-1≤1的约束，这使我们对框架模型做进一步的局部稳定性的探讨及全局稳定性的分析变得比较困难。接下来，我们在前面简单理论分析的基础上，进行了以下的数值模拟，希望对框架模型的特性有一个较为全面的认识和理解。

当β=1，即系统的输赢规则为多数者赢时，

对于0

α的大小会影响系统发生分岔的边界，α越大，系统收敛于定态解(0,0)的χ参

'

'

数空间越窄。当χ偏离分岔点较远时，系统动力行为会受到边界条件

(1-χ)xt-1+χyt-1≤1的限制而使A局限于[-tanh(α'),tanh(α')]；d局限于

[-1+tanh(α),1-tanh(α)]。

'

'

图3：β=1,α'=0.8时，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d随参数χ变化

的分岔图。

对于α'>1，系统的全局演化行为较为复杂, 具体分析如下。

随着α'逐渐增大趋进于1，定态解(0,0)的稳定性对参数χ的变化逐渐敏感，在α'=1附近，多重分岔边界发生碰撞，系统中会出现多个吸引子共存的情形。这样，对应于不同的初值，系统会表现出不同的演化行为。并且随着预期参数χ的变化，不同吸引子的稳定性会发生变化，其周围的流形和吸引域都会随之变化。 图4与图5分别展示了α'=1.1时，随着参数χ的正向增加和负向减小，不同吸引子吸引域的变化。其中，黄色和绿色分别代表Pitch-fork分岔后产生的两正、负对称定态解；橘黄色代表倍周期分岔后产生的2-周期解；白色代表没有吸引到黄、绿两定态解的区域。通过图4，我们可以看到随着参数χ的逐渐增大，正、负两定态解的吸引域随之变化。当χ超过+

21

12α

'

=0.955（定态解(0,0)

的倍周期分岔边界）后，2-周期解的吸引域出现并逐渐扩大，直到χ继续增大超过1+

2

12α

'

cosh(αx2)≈1.112（定态解(x2,x2), (-x2,-x2)的倍周期分岔边界）时，

2

'*

****

两定态解的局部稳定性亦遭到破坏，2-周期解的吸引域覆盖整个初值域，系统完全收敛于振荡的2周期。通过图5，我们可以看到随着参数χ的逐渐减小，正、负两定态解的吸引域发生着极不规则的变化，吸引域互换及不规则类似分形边缘的情形出现，暗示着此时两定态解的流形变得较为复杂且对参数χ的变

化极为敏感。当χ小于-

1

α

'

=-0.909（定态解(0,0)的Hopf分岔边界）后，边缘

区域开始不再收敛于两定态解，系统中出现类周期的不变环线并逐渐增长，直到χ继续减小至-

1

α

'

cosh(αx2)≈-1.218（定态解(x2,x2), (-x2,-x2)的

2

'*

*

*

*

*

Hopf分

岔边界）时，两定态解的局部稳定性亦遭到破坏，系统完全收敛于不变环线。对应于右下角χ=-1.138的情况，图7展示了从不同初值出发收敛到不同吸引子的轨线图。

α'继续增大, 多重吸引子共存的现象仍然存在，只是系统中开始出现2周期和不变环线所对应的χ值减小，即随着χ的正向增加，系统中较早地出现2周期；而随着χ的负向减小，系统中较迟地出现不变环线。且对于2周期的情形，随着χ的逐渐增大，其吸引域在整个初值域中的扩散变得更加缓慢。图6左上、右上及左中展示了α'=1.2时，χ分别为0.945,1.1和1.2的初值吸引域。较图4而言，系统在χ=0.945时便可以观察到2周期，而α'=1.1时，χ=0.956系统中还未出现2周期；当χ=1.1，α'=1.1所对应的2周期的吸引域已经扩散到0.5时，系统中2周期的吸引域才扩散到0.25；当χ=1.3，α'=1.1所对应的2周期的吸引域已经涵盖整个初值域时，系统吸引域刚过0.5。右中、左下与右下三幅图对应于χ分别为-1.138,-1.3和-1.38的初值吸引域。较图5而言，当

χ=-1.138，α=1.1所对应的两对称定态解的吸引域已经经历了复杂变化并开

'

始出现不变环线时，系统中两定态解的吸引域还较为规则。直到χ=-1.38，其吸引域才变得不规则且系统中出现不变环线。当α'增大到1.4左右时，在

χ∈[-2,2]的范围里，系统中已观察不到不变环线，即在α较大时，在我们感兴

'

趣的χ的变动范围里，不变环线已经消失，所以在这里对于较大的α'，我们对不变环线的情形不再做进一步分析。

对应于不同吸引子所引导的系统的不同演化行为，系统标准实现值与主体预期差值d的稳态演化状况也稍有不同。当系统收敛于定态解时，系统标准实

现值与主体预期差值d均会收敛到0，达到主体预期与系统实现完全一致的状态；当系统收敛于2-周期解时，在主体预期值未触及边界(1-χ)xt-1+χyt-1≤1时，系统标准实现值同主体预期差值d的大小与α',χ均有关：相同的χ，αd=±2(χ-1)x1(x1>0且满足x1*=tanh(α'(2χ-1)x1*))。

*

*

'

越大对应的d

越大。固定α'，随着χ的逐渐增加，d逐渐递增（或递减）；当主体预期触及边界(1-χ)xt-1+χyt-1≤1后，系统标准实现值与主体预期差值d的大小取决于α'：

d=±(tanh(α)-1)。随着α

'

'

的增加，d逐渐减小，当α'足够大时，d趋于0，

主体预期与系统实现趋于一致。图8展示了β=1,α'分别为1.3,1.5与8，χ在0.6到1.6之间变化时，系统标准实现值与主体预期差值d的稳态图；当系统收敛于不变环线时，d值的演化也收敛于不变环线，在小范围内类周期振荡(最大振荡范围为[-1+tanh(α'),1-tanh(α')])，振幅随着α'的增加而减小。对应于系统中出现的以上三种演化行为，α'=1.1时系统标准实现值A及其与主体预期差值

d

的时间序列如图9和10所示。

图4：β=1,α=1.1时，针对不同的预期参数χ（-0.88(左上)；0(右上)；0.956(左中)；0.97(右中)；0.99(左下)；1.1(右下)），系统中共存吸引子所对应的吸引域（黄色代表定态解(x2,x2)的吸引域；绿色代表定态解(-x2,-x2)的吸引域；橘红色代表2-周期解

*

*

*

*

'

((x1*,-x1*),(-x1*,x1*))的吸引域

**'*

(x1*,x2）。

>0且分别满足x1*=tanh(α'(2χ-1)x1*); x2=tanh(αx2)）

图5：β=1,α=1.1时，针对不同的预期参数χ（-1(左上)；-1.1(右上)；-1.13(左中)；-1.135(右中)；-1.137(左下)；-1.138(右下)），系统中共存吸引子所对应的吸引域（黄色

*****

代表定态解(x2,x2)的吸引域，绿色代表定态解(-x2,-x2)的吸引域（x2>0且分别满

'

*'*

足x2）；白色代表由于系统中不变环线的出现而没有收敛到此两定态解=tanh(αx2)）

的区域。）

图6：β=1,α=1.2时，针对不同的预期参数χ（0.945(左上)；1.1(右上)；1.2 (左中)；-1.138(右中)；-1.3(左下)；-1.38(右下)），系统中共存吸引子所对应的吸引域（黄色代

'

****

表定态解(x2绿色代表定态解(-x2橘红色代表2-周期,x2)的吸引域；,-x2)的吸引域；

解((x1*,-x1*),(-x1*,x1*))的吸引域；白色代表由于系统中不变环线的出现而没有收敛到

此两定态解的区域。）

图7：β=1,α'=1.1,χ=-1.138时，从不同初值（0.1,0.1）,(-0.1,-0.1)与（0.1,-0.1）

出发收敛到不同吸引子的轨线图。

图8：β=1,α分别为1.3,1.5与8时，随χ变化，系统标准实现值与

主体预期差值d的稳态图，初值（-0.25,0.1）。

'

图9：β=1,α'=1.1,χ=0.99时，对应于不同初值（0.25,0.25），(-0.25,-0.25)与（-0.25,0.25），系统标准实现值A及其与主体预期的差值d的时间序列图。

'图10：对应于不同初值（0.1,0.1）,(-0.1,-0.1)与（-0.1,0.1），β=1,α=1.1,χ=-1.138时，

系统标准实现值A及其与主体预期的差值d的时间序列图。

当β=-1，即系统的输赢规则为少数者赢时，

系统始终只有唯一的定态解(0,0)，全局的演化行为与结论2中理论分析得出的局部演化行为一致。随着预期参数χ负向减小与正向增加，系统相应地经历了倍周期分岔与Hopf分岔，并且系统在经历了不变环线后，并没有走向混沌，而是出现规整的4周期。图11中上方两幅图展示了α'=2时，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d的分岔图。如图所示,当χ偏离分岔点较远时，系统动力行为会受到边界条件(1-χ)xt-1+χyt-1≤1的限制而使A局限于

[-tanh(α),tanh(α)]；d

'

'

局限于[-1-tanh(α'),1+tanh(α')]。同样地，α'的大小会

影响系统发生分岔的边界。随着α'的增大，系统收敛于定态解(0,0)的χ参数空间变窄。当α'=3时，Hopf分岔与倍周期分岔的边界相交，定态解(0,0)的稳定χ

域消失。α'>3后，随着χ的逐渐增加，系统分别经历了2周期、不变环线与4周期。关于2周期的稳定性，由于涉及到隐式解的问题，很难给出其失去局部稳定性条件的具体表式。故就系统中出现2周期与不变环线的边界这里不做详细探讨，只给出数值模拟结果。全局而言，系统中没有观察到周期解与不变环线两类吸引子共存的情形。随着α'的进一步增大，系统出现不变环线的χ域逐渐减小并趋于消失（比较图11中与下）。对于较大的α'（使得Hopf分岔发生在，在系统收敛于不变环线对应的χ参数区域中，当χ在0.5附近取值时，χ

系统中会产生2个共存的3周期，图12以α'=4为例，展示了系统在χ=0.495时对应的共存的3周期及其相应的吸引域。

对应于不同吸引子所引导的系统的不同演化行为，系统标准实现值与主体预期差值d的稳态演化状况也有所不同。当系统收敛于定态解(0,0)时，系统标准实现值与主体预期差值d也收敛到0，这是由于外界条件α'的较强限制，使主体行为不太明了（主体选择两类行为的概率均接近50%）所致。并且随着α'的逐渐增大，主体行为逐渐明了，此类情形消失；当系统收敛于2-周期解时，在主体预期值不触及边界(1-χ)xt-1+χyt-1≤1时，系统标准实现值同主体预期

*差值d的大小与α',χ均有关：d= 2(χ-1)x3(x3*

'*

=-tanh(α(2χ-1)x3)，x3>0

*

)。

随着α'的逐渐增加或χ的逐渐减小，d逐渐增加。至主体预期触及边界

(1-χ)xt-1+χyt-1≤1后，系统标准实现值与主体预期差值d的大小取决于α'：

d=±(tanh(α)+1)。随着α

'

'

的增加，d亦逐渐增加，当α'足够大时，d趋于最

大差距2或-2，即系统实现与主体预期完全相反；当系统收敛于不变环线时，d值的演化也收敛于不变环线，随χ的增加在[-1-tanh(α'),1+tanh(α')]范围内类周期振荡，振幅随着α'的增加而增大。当α'足够大时，最大振幅为2；当系统历经不变环线收敛于4周期时，d值的演化也收敛于4周期，随着χ的增加而触及边界[-1-tanh(α'),1+tanh(α')]。同样，当α'足够大时，d趋于最大差距4周期(2,2,-2,-2)。对应于系统中出现的以上四种演化行为（收敛于稳定吸引子，

不变环线和2、4周期振荡），α'=2时系统标准实现值与主体预期差值d的时间序列如图13所示。

图11：β=-1,α分别为2,3和10时，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d

随参数χ变化的分岔图。

'

图12：β=-1,α'=4时，对应于不同的初始值(0.25,0.1)与(-0.25,-0.1)，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d在χ=0.5附近变化的稳态图（上左、右）以及对应

于χ=0.495时系统中共存3周期的相图和吸引域。

图13：β=-1,α'=2时，对应于参数χ的不同取值（0.2（左上），0.3（右上），0.7

（左下），1.1（右下）），系统演化真实值与主体预期差值d的时间序列图。

1.1.3 异质预期模型的数值模拟

在以上同质预期框架模型的理论分析与数值模拟的基础上，本小节对异质主体预期的原始概率模型（大数定律近似前）进行了数值模拟。异质性体现为预期参数χ在主体中的不同分布，在此主要考察的是不同均值χ和方差σ组合的正态分布。每次模拟包含10000个相互作用的主体，运行5000步。得到的基本结论与框架模型的基本结论相吻合：多数者赢的输赢规则引导主体预期的自我实现，少数者赢的输赢规则导致主体预期的自我毁灭；主体预期的均值决定了系统的稳态演化行为：正态分布的异质主体预期参数均值χ所引导的系统演化行为与框架模型中相应χ值对应的系统演化行为相一致。需要注意的是当系统中会出现共存吸引子的吸引域边界较为模糊的情形，此时σβ=1,χ

的大小会影响系统的稳态演化行为。特别是吸引域边界类似分形情形出现时，极小的σ值便会引起系统在不同演化稳态中类似随机地无规则地跳转。相应于前面框架模型例子中的参数，具体模拟结果如下所示（本小节所有图形中，A代表系统真实实现值；M代表正态分布主体预期的均值）。

当β=1，即系统的输赢规则为多数者赢时，在绝大多数参数组合（α,χ,σ）下，系统的标准实现值与主体预期均值趋于一致。对应于正态分布的主体预期参数χi的均值χ和方差σ的不同组合，系统呈现出不同的演化状态。图14展示了α=2α'=2.2, χi~N(1,0.1)时，分别对应于初值(0.25,0.25),(-0.25,-0.25)与(-0.25,0.25)，系统呈现出的围绕正稳态值0.5上下波动，围绕负稳态值-0.5上下波动与2周期振荡的不同的演化形态。当χi的均值χ负向减小时，系统稳态演化围绕正负两定态解上下波动的幅度明显增大，如图15上方两幅图所示(α=2.2, χi~N(-1.1,0.1),初值分别为(-0.1,0.1)与(0.1,0.1))。随着χ的进一步减小，我们从上一小节框架模型的分析中得知系统中共存吸引子的吸引域会发生复杂变化甚至出现极其模糊类似分形的分界边缘。此时，系统的稳态演化行为对方差σ的大小敏感依赖。极小的σ便会引起系统在不同演化稳态间相互跳转；且随着σ的增加，其跳转越发地频繁与不规则。图15左下展示了

α=2.2, χ~N(-1.138,0.01)时，从(-0.1,0.1)出发，系统演化经历的其中一段不

i

同稳态间的跳转情形。继续减小主体预期参数均值χ（至两正负定态解亦失去稳定性），系统演化收敛于类周期的不变环线如图15右下所示(α=2.2, χi~N(-1.2,0.1))。

Time

Time

Time

图14：β=1,α=2α'=2.2, χi~N(1,0.1)时，对应于不同初值（0.25,0.25），(-0.25,-0.25)

与（-0.25,0.25），系统真实实现值A与主体预期均值M的稳态演化图。

Time

Time

TimeTime

图15：β=1,α=2.2, χ~N(-1.1,0.1)时，对应于不同初值（-0.1,0.1）（左上），(0.1,0.1)（右上），系统真实实现值A与主体预期均值M的稳态演化图。左下为χ~N(-1.138,0.01)

i

i

时，系统真实实现值A与主体预期均值M演化中经历的一段正负定态解与不变环线相互跳

转的情形。右下图为χi~N(-1.2,0.1)时，系统收敛于类周期的不变环线。

当β=-1，即系统的输赢规则为少数者赢时，在绝大多数参数组合（α,χ,σ）下，系统的标准实现值与主体预期均值存在显著差距（以下图形中，每期的系统真实实现值A与主体预期均值M的差距由两者之间的虚线表示）。同样地，对应于正态分布的主体预期参数χi的不同均值χ，系统呈现出不同的演化状态。类似于上小节框架模型分析得到的2-周期，定态解，不变环线与4-周期的系统演化状态，图16展示了相同参数下异质预期模型的相应结果。β=-1时，绝大多数情况下系统演化行为较为单一，不存在几类不同吸引子共存的情形，所以其稳态演化不受方差σ的影响。但是对于较大的α（使得Hopf分岔发生在χ

TimeTime

Time

Time

图16：β=-1,α=4, χi~N(χ,0.1)时，对应于预期参数均值χ的不同取值（0.2（左上），0.3（右上），0.7（左下），1.1（右下）），系统真实实现值A与主体预期均值M的

稳态演化图。

TimeTime

Time

图17：β=-1,α=4, χi~N(0.495,0.1)时，对应于不同初值（-0.1,0.1），(0.1,-0.1)，系统真实实现值A与主体预期均值M的稳态共存3-周期。下图为方差σ=0.3时，系统

中呈现的两共存3-周期（如虚线框内所示）之间的跳转。

1.1.4 结论与探讨

1.1 一般简单社会经济系统中预期自我实现与自我毁灭模型

在社会经济系统中，预期的自我实现与自我毁灭共存的现象使系统演化变得扑朔迷离。人们的预期在什么情况下会自我实现？又在什么情况下会自我毁灭？究竟是哪些因素影响人们的预期走向自我实现或是自我毁灭？我们认为这种宏观层次的现象依赖于微观主体的预期模式及策略选择。本节通过一个简单的概念模型来探讨一般简单社会经济系统中预期自我实现与自我毁灭的影响因素。

1.1.1 模型结构

我们考虑一个由N个主体组成的社会经济系统，每个主体有两种行为{-1，1}可供选择，这里可以表示人们在社会经济系统中面临的二选一的很多情况，例如选择A或B哪条道路可以避免交通拥挤，去不去集市购物等等。在每一时刻t，主体i的选择与自己的行为策略和对下一时刻系统状态的预期有关，依从以下概率：

1⎧

1 with p=⎪ii

1+exp(-αβEt-1(At))at=⎨

⎪-1 with 1-p⎩ 式（1-1）

其中，α>0反映主体的预期和策略在多大程度上影响其行为选择，这是考虑到在现实中主体可能会受到的一些外在客观条件的制约，存在无法按照自己意愿行动的概率，此概率的大小由α控制。α越大，表示主体所受限制越小，从而更容易按照自己的意愿行动。主体的行为策略β是一个符号变量，取1或者-1。β=1意味着主体选择多数者策略，即：主体倾向于与自己预期的多数者的选择相一致；反之，β=-1意味着主体选择少数者策略，即：主体喜欢标新立异，倾向于与自己预期的多数者的选择相反。在现实中，主体的策略选择与系统的输赢规则（或系统结构）密切相关。例如在酒吧问题中，主体倾向于少数者策略，而在选美比赛中，主体倾向于多数者策略。本小节，我们只考虑最简单最一般的社会经济系统，即系统的输赢规则（或系统结构）是较为明确的，易于主体们达成共识，策略选择不包含异质性的因素，β要么等于1要么等于-1。较为复杂的没有明确输赢规则的系统，如金融市场，我们在后面的小节探讨。Eti-1(At)表示主体i在t-1时刻对下一时刻系统状态At的预期。其中，At代

表t时刻标准化的系统状态的实现值

At=

1N

N

∑

i=1

at

i

式（1-2）

而对于主体预期Eti-1(At)，我们考虑了主体的有限理性与主体之间的异质性，采用如下的简单表述

Eti-1(At)=(1-χi)At-1+χiAt-2 Eti-1(At)∈[-1,1] 式（1-3） 对上式进行简单变形

Et-1(At-At-1)=-χ(At-1-At-2) 式（1-4）

i

i

我们得到两类基本的预期模式：趋势追随型预期（χi0）。趋势追随型预期认为前期的趋势在短期内不会消失，乘势而追；趋势反转型预期认为系统状态会围绕其平均值上下波动，不会呈现明显的趋势，适可反转。这里，预期模式的选择可以采取多种形式，我们采用的这两类简单的预期模式是基于历史价格信息的预期形成的基本模式，其他模式都可以转化为该两类模式的不同组合。

到此，模型封闭。每一时期，在一定客观条件的约束下，主体依据行为策略和对下一时期系统状态的预期作出选择。当每个主体的选择结束后，系统的宏观状态揭示。在这样一个简单的框架下，我们希望通过比较系统宏观状态的实现值与微观主体预期值来探讨一般简单社会经济系统中的预期自我实现与自我毁灭的影响因素。

1.1.2 同质预期框架模型的理论分析及数值模拟

本小节针对同质预期（χi=χ）的基本框架模型进行了理论分析与数值模拟，以探讨不同的初始情况及各个参数特别是主体的行为策略β和预期模式χ对系统演化与主体预期一致性的影响。

在同质预期χi=χ下，依据大数定律（假设N>>1）

At=

1N

N

∑

i=1

at≈2p-1=

i

2

1+exp(-αβ((1-χ)At-1+χAt-2))

-1 式（1-5）

模型可以简化为（Eti-1(At)∈[-1,1]以条件的形式表示）：

⎧tanh[α'β((1-χ)At-1+χAt-2)] 若 -1≤(1-χ)At-1+χAt-2≤1

⎪'

At=⎨tanh(αβ) 若 (1-χ)At-1+χAt-2>1式（1-6）

⎪'tanh(-αβ) 若 (1-χ)At-1+χAt-2

其中，α'=

α

2

。令dt=At-[(1-χ)At-1+χAt-2]表示系统标准化的实现值与主

体预期值的差距。为方便作非线性动力学分析，令xt=At;yt=At-1，模型可变为：

若 -1

≤(1-χ)xt-1+χyt-1≤1

'

⎧⎪xt=tanh[αβ((1-χ)xt-1+χyt-1)] ⎨ ⎪⎩yt=xt-1

若 (1-

χ)xt-1+χyt-1>1

'

式（1-7）

xt=tanh(αβ)

若 (1-

χ)xt-1+χyt-1

'

xt=tanh(-αβ)

系统实现值与主体预期值的差距相应地表示为dt=xt-[(1-χ)xt-1+χyt-1]。 对模型进行非线性局部稳定性分析，有以下结论： 结论1：当β=1，即系统的输赢规则为多数者赢时，

对于0

1

'

α

12α

12

'

+

12α

'

时，定态解(0,0)局部稳定。

当χ>时，系统经历倍周期分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中

出现稳定的2-周期解(x1*,-x1*), (-x1*,x1*)，满足x1*=tanh(α'(2χ-1)x1*),x1*>0。

当χ

在α'=1时，系统经历Pitch-fork分岔，定态解(0,0)失去稳定性。

****

,x2), (-x2,-x2)，满足对于α'>1，系统出现另外两个相互对称的定态解(x2

1

α

'

时，系统经历Hopf分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中出现

x2=tanh(αx2) (x2>0)，其局部稳定性如下：

*'**

****

当χ*

****当χ>χ**时，系统经历倍周期分岔，定态解(x2,x2), (-x2,-x2)同时失去稳

***

定性，系统中出现稳定的2-周期解(x1*,-x1*),- (x1x,1，)满足x1>0, 且

x1=tanh(α(2χ-1)x1)。

*

'

*

****

当χ

性，系统中出现不变环线。 （其中，χ=-

*

1

αsech(αx)

'2'

*

2

; χ

**

=

1+αsech(αx2)2αsech(αx2)

'

2

'*

'2'*

）

结论2：当β=-1，即系统的输赢规则为少数者赢时， 系统中存在唯一的定态解(0,0)，其局部稳定性如图2所示： 当-

21

12α12

'

'

1

α

'

时，定态解(0,0)局部稳定。

当χ

-

时，系统经历倍周期分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中

*****'*,-x3）,x3）=-tanh(α(2χ-1)x3), 出现稳定的2-周期解（（x3，（-x3），满足x3

x3>0。

*

当χ>变环线。

1

α

'

时，系统经历Hopf分岔，定态解(0,0)失去稳定性，系统中出现不

图1：β=1时，参数α'与χ对定态解(0,0)局部稳定性的影响。

图2：β=-1时，参数α'与χ对定态解(0,0)局部稳定性的影响。

在以上的局部稳定性分析中，系统中出现的非0定态解及周期解都涉及到方程x*=±tanh(cx*) (c>1)的求解，而该方程没有显式解只能求得其数值逼近解；并且在我们感兴趣的参数范围内，系统中会出现几类分岔边界相交的情况；再加上每步都受到限制条件(1-χ)xt-1+χyt-1≤1的约束，这使我们对框架模型做进一步的局部稳定性的探讨及全局稳定性的分析变得比较困难。接下来，我们在前面简单理论分析的基础上，进行了以下的数值模拟，希望对框架模型的特性有一个较为全面的认识和理解。

当β=1，即系统的输赢规则为多数者赢时，

对于0

α的大小会影响系统发生分岔的边界，α越大，系统收敛于定态解(0,0)的χ参

'

'

数空间越窄。当χ偏离分岔点较远时，系统动力行为会受到边界条件

(1-χ)xt-1+χyt-1≤1的限制而使A局限于[-tanh(α'),tanh(α')]；d局限于

[-1+tanh(α),1-tanh(α)]。

'

'

图3：β=1,α'=0.8时，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d随参数χ变化

的分岔图。

对于α'>1，系统的全局演化行为较为复杂, 具体分析如下。

随着α'逐渐增大趋进于1，定态解(0,0)的稳定性对参数χ的变化逐渐敏感，在α'=1附近，多重分岔边界发生碰撞，系统中会出现多个吸引子共存的情形。这样，对应于不同的初值，系统会表现出不同的演化行为。并且随着预期参数χ的变化，不同吸引子的稳定性会发生变化，其周围的流形和吸引域都会随之变化。 图4与图5分别展示了α'=1.1时，随着参数χ的正向增加和负向减小，不同吸引子吸引域的变化。其中，黄色和绿色分别代表Pitch-fork分岔后产生的两正、负对称定态解；橘黄色代表倍周期分岔后产生的2-周期解；白色代表没有吸引到黄、绿两定态解的区域。通过图4，我们可以看到随着参数χ的逐渐增大，正、负两定态解的吸引域随之变化。当χ超过+

21

12α

'

=0.955（定态解(0,0)

的倍周期分岔边界）后，2-周期解的吸引域出现并逐渐扩大，直到χ继续增大超过1+

2

12α

'

cosh(αx2)≈1.112（定态解(x2,x2), (-x2,-x2)的倍周期分岔边界）时，

2

'*

****

两定态解的局部稳定性亦遭到破坏，2-周期解的吸引域覆盖整个初值域，系统完全收敛于振荡的2周期。通过图5，我们可以看到随着参数χ的逐渐减小，正、负两定态解的吸引域发生着极不规则的变化，吸引域互换及不规则类似分形边缘的情形出现，暗示着此时两定态解的流形变得较为复杂且对参数χ的变

化极为敏感。当χ小于-

1

α

'

=-0.909（定态解(0,0)的Hopf分岔边界）后，边缘

区域开始不再收敛于两定态解，系统中出现类周期的不变环线并逐渐增长，直到χ继续减小至-

1

α

'

cosh(αx2)≈-1.218（定态解(x2,x2), (-x2,-x2)的

2

'*

*

*

*

*

Hopf分

岔边界）时，两定态解的局部稳定性亦遭到破坏，系统完全收敛于不变环线。对应于右下角χ=-1.138的情况，图7展示了从不同初值出发收敛到不同吸引子的轨线图。

α'继续增大, 多重吸引子共存的现象仍然存在，只是系统中开始出现2周期和不变环线所对应的χ值减小，即随着χ的正向增加，系统中较早地出现2周期；而随着χ的负向减小，系统中较迟地出现不变环线。且对于2周期的情形，随着χ的逐渐增大，其吸引域在整个初值域中的扩散变得更加缓慢。图6左上、右上及左中展示了α'=1.2时，χ分别为0.945,1.1和1.2的初值吸引域。较图4而言，系统在χ=0.945时便可以观察到2周期，而α'=1.1时，χ=0.956系统中还未出现2周期；当χ=1.1，α'=1.1所对应的2周期的吸引域已经扩散到0.5时，系统中2周期的吸引域才扩散到0.25；当χ=1.3，α'=1.1所对应的2周期的吸引域已经涵盖整个初值域时，系统吸引域刚过0.5。右中、左下与右下三幅图对应于χ分别为-1.138,-1.3和-1.38的初值吸引域。较图5而言，当

χ=-1.138，α=1.1所对应的两对称定态解的吸引域已经经历了复杂变化并开

'

始出现不变环线时，系统中两定态解的吸引域还较为规则。直到χ=-1.38，其吸引域才变得不规则且系统中出现不变环线。当α'增大到1.4左右时，在

χ∈[-2,2]的范围里，系统中已观察不到不变环线，即在α较大时，在我们感兴

'

趣的χ的变动范围里，不变环线已经消失，所以在这里对于较大的α'，我们对不变环线的情形不再做进一步分析。

对应于不同吸引子所引导的系统的不同演化行为，系统标准实现值与主体预期差值d的稳态演化状况也稍有不同。当系统收敛于定态解时，系统标准实

现值与主体预期差值d均会收敛到0，达到主体预期与系统实现完全一致的状态；当系统收敛于2-周期解时，在主体预期值未触及边界(1-χ)xt-1+χyt-1≤1时，系统标准实现值同主体预期差值d的大小与α',χ均有关：相同的χ，αd=±2(χ-1)x1(x1>0且满足x1*=tanh(α'(2χ-1)x1*))。

*

*

'

越大对应的d

越大。固定α'，随着χ的逐渐增加，d逐渐递增（或递减）；当主体预期触及边界(1-χ)xt-1+χyt-1≤1后，系统标准实现值与主体预期差值d的大小取决于α'：

d=±(tanh(α)-1)。随着α

'

'

的增加，d逐渐减小，当α'足够大时，d趋于0，

主体预期与系统实现趋于一致。图8展示了β=1,α'分别为1.3,1.5与8，χ在0.6到1.6之间变化时，系统标准实现值与主体预期差值d的稳态图；当系统收敛于不变环线时，d值的演化也收敛于不变环线，在小范围内类周期振荡(最大振荡范围为[-1+tanh(α'),1-tanh(α')])，振幅随着α'的增加而减小。对应于系统中出现的以上三种演化行为，α'=1.1时系统标准实现值A及其与主体预期差值

d

的时间序列如图9和10所示。

图4：β=1,α=1.1时，针对不同的预期参数χ（-0.88(左上)；0(右上)；0.956(左中)；0.97(右中)；0.99(左下)；1.1(右下)），系统中共存吸引子所对应的吸引域（黄色代表定态解(x2,x2)的吸引域；绿色代表定态解(-x2,-x2)的吸引域；橘红色代表2-周期解

*

*

*

*

'

((x1*,-x1*),(-x1*,x1*))的吸引域

**'*

(x1*,x2）。

>0且分别满足x1*=tanh(α'(2χ-1)x1*); x2=tanh(αx2)）

图5：β=1,α=1.1时，针对不同的预期参数χ（-1(左上)；-1.1(右上)；-1.13(左中)；-1.135(右中)；-1.137(左下)；-1.138(右下)），系统中共存吸引子所对应的吸引域（黄色

*****

代表定态解(x2,x2)的吸引域，绿色代表定态解(-x2,-x2)的吸引域（x2>0且分别满

'

*'*

足x2）；白色代表由于系统中不变环线的出现而没有收敛到此两定态解=tanh(αx2)）

的区域。）

图6：β=1,α=1.2时，针对不同的预期参数χ（0.945(左上)；1.1(右上)；1.2 (左中)；-1.138(右中)；-1.3(左下)；-1.38(右下)），系统中共存吸引子所对应的吸引域（黄色代

'

****

表定态解(x2绿色代表定态解(-x2橘红色代表2-周期,x2)的吸引域；,-x2)的吸引域；

解((x1*,-x1*),(-x1*,x1*))的吸引域；白色代表由于系统中不变环线的出现而没有收敛到

此两定态解的区域。）

图7：β=1,α'=1.1,χ=-1.138时，从不同初值（0.1,0.1）,(-0.1,-0.1)与（0.1,-0.1）

出发收敛到不同吸引子的轨线图。

图8：β=1,α分别为1.3,1.5与8时，随χ变化，系统标准实现值与

主体预期差值d的稳态图，初值（-0.25,0.1）。

'

图9：β=1,α'=1.1,χ=0.99时，对应于不同初值（0.25,0.25），(-0.25,-0.25)与（-0.25,0.25），系统标准实现值A及其与主体预期的差值d的时间序列图。

'图10：对应于不同初值（0.1,0.1）,(-0.1,-0.1)与（-0.1,0.1），β=1,α=1.1,χ=-1.138时，

系统标准实现值A及其与主体预期的差值d的时间序列图。

当β=-1，即系统的输赢规则为少数者赢时，

系统始终只有唯一的定态解(0,0)，全局的演化行为与结论2中理论分析得出的局部演化行为一致。随着预期参数χ负向减小与正向增加，系统相应地经历了倍周期分岔与Hopf分岔，并且系统在经历了不变环线后，并没有走向混沌，而是出现规整的4周期。图11中上方两幅图展示了α'=2时，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d的分岔图。如图所示,当χ偏离分岔点较远时，系统动力行为会受到边界条件(1-χ)xt-1+χyt-1≤1的限制而使A局限于

[-tanh(α),tanh(α)]；d

'

'

局限于[-1-tanh(α'),1+tanh(α')]。同样地，α'的大小会

影响系统发生分岔的边界。随着α'的增大，系统收敛于定态解(0,0)的χ参数空间变窄。当α'=3时，Hopf分岔与倍周期分岔的边界相交，定态解(0,0)的稳定χ

域消失。α'>3后，随着χ的逐渐增加，系统分别经历了2周期、不变环线与4周期。关于2周期的稳定性，由于涉及到隐式解的问题，很难给出其失去局部稳定性条件的具体表式。故就系统中出现2周期与不变环线的边界这里不做详细探讨，只给出数值模拟结果。全局而言，系统中没有观察到周期解与不变环线两类吸引子共存的情形。随着α'的进一步增大，系统出现不变环线的χ域逐渐减小并趋于消失（比较图11中与下）。对于较大的α'（使得Hopf分岔发生在，在系统收敛于不变环线对应的χ参数区域中，当χ在0.5附近取值时，χ

系统中会产生2个共存的3周期，图12以α'=4为例，展示了系统在χ=0.495时对应的共存的3周期及其相应的吸引域。

对应于不同吸引子所引导的系统的不同演化行为，系统标准实现值与主体预期差值d的稳态演化状况也有所不同。当系统收敛于定态解(0,0)时，系统标准实现值与主体预期差值d也收敛到0，这是由于外界条件α'的较强限制，使主体行为不太明了（主体选择两类行为的概率均接近50%）所致。并且随着α'的逐渐增大，主体行为逐渐明了，此类情形消失；当系统收敛于2-周期解时，在主体预期值不触及边界(1-χ)xt-1+χyt-1≤1时，系统标准实现值同主体预期

*差值d的大小与α',χ均有关：d= 2(χ-1)x3(x3*

'*

=-tanh(α(2χ-1)x3)，x3>0

*

)。

随着α'的逐渐增加或χ的逐渐减小，d逐渐增加。至主体预期触及边界

(1-χ)xt-1+χyt-1≤1后，系统标准实现值与主体预期差值d的大小取决于α'：

d=±(tanh(α)+1)。随着α

'

'

的增加，d亦逐渐增加，当α'足够大时，d趋于最

大差距2或-2，即系统实现与主体预期完全相反；当系统收敛于不变环线时，d值的演化也收敛于不变环线，随χ的增加在[-1-tanh(α'),1+tanh(α')]范围内类周期振荡，振幅随着α'的增加而增大。当α'足够大时，最大振幅为2；当系统历经不变环线收敛于4周期时，d值的演化也收敛于4周期，随着χ的增加而触及边界[-1-tanh(α'),1+tanh(α')]。同样，当α'足够大时，d趋于最大差距4周期(2,2,-2,-2)。对应于系统中出现的以上四种演化行为（收敛于稳定吸引子，

不变环线和2、4周期振荡），α'=2时系统标准实现值与主体预期差值d的时间序列如图13所示。

图11：β=-1,α分别为2,3和10时，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d

随参数χ变化的分岔图。

'

图12：β=-1,α'=4时，对应于不同的初始值(0.25,0.1)与(-0.25,-0.1)，系统标准实现值A及其与主体预期的差值d在χ=0.5附近变化的稳态图（上左、右）以及对应

于χ=0.495时系统中共存3周期的相图和吸引域。

图13：β=-1,α'=2时，对应于参数χ的不同取值（0.2（左上），0.3（右上），0.7

（左下），1.1（右下）），系统演化真实值与主体预期差值d的时间序列图。

1.1.3 异质预期模型的数值模拟

在以上同质预期框架模型的理论分析与数值模拟的基础上，本小节对异质主体预期的原始概率模型（大数定律近似前）进行了数值模拟。异质性体现为预期参数χ在主体中的不同分布，在此主要考察的是不同均值χ和方差σ组合的正态分布。每次模拟包含10000个相互作用的主体，运行5000步。得到的基本结论与框架模型的基本结论相吻合：多数者赢的输赢规则引导主体预期的自我实现，少数者赢的输赢规则导致主体预期的自我毁灭；主体预期的均值决定了系统的稳态演化行为：正态分布的异质主体预期参数均值χ所引导的系统演化行为与框架模型中相应χ值对应的系统演化行为相一致。需要注意的是当系统中会出现共存吸引子的吸引域边界较为模糊的情形，此时σβ=1,χ

的大小会影响系统的稳态演化行为。特别是吸引域边界类似分形情形出现时，极小的σ值便会引起系统在不同演化稳态中类似随机地无规则地跳转。相应于前面框架模型例子中的参数，具体模拟结果如下所示（本小节所有图形中，A代表系统真实实现值；M代表正态分布主体预期的均值）。

当β=1，即系统的输赢规则为多数者赢时，在绝大多数参数组合（α,χ,σ）下，系统的标准实现值与主体预期均值趋于一致。对应于正态分布的主体预期参数χi的均值χ和方差σ的不同组合，系统呈现出不同的演化状态。图14展示了α=2α'=2.2, χi~N(1,0.1)时，分别对应于初值(0.25,0.25),(-0.25,-0.25)与(-0.25,0.25)，系统呈现出的围绕正稳态值0.5上下波动，围绕负稳态值-0.5上下波动与2周期振荡的不同的演化形态。当χi的均值χ负向减小时，系统稳态演化围绕正负两定态解上下波动的幅度明显增大，如图15上方两幅图所示(α=2.2, χi~N(-1.1,0.1),初值分别为(-0.1,0.1)与(0.1,0.1))。随着χ的进一步减小，我们从上一小节框架模型的分析中得知系统中共存吸引子的吸引域会发生复杂变化甚至出现极其模糊类似分形的分界边缘。此时，系统的稳态演化行为对方差σ的大小敏感依赖。极小的σ便会引起系统在不同演化稳态间相互跳转；且随着σ的增加，其跳转越发地频繁与不规则。图15左下展示了

α=2.2, χ~N(-1.138,0.01)时，从(-0.1,0.1)出发，系统演化经历的其中一段不

i

同稳态间的跳转情形。继续减小主体预期参数均值χ（至两正负定态解亦失去稳定性），系统演化收敛于类周期的不变环线如图15右下所示(α=2.2, χi~N(-1.2,0.1))。

Time

Time

Time

图14：β=1,α=2α'=2.2, χi~N(1,0.1)时，对应于不同初值（0.25,0.25），(-0.25,-0.25)

与（-0.25,0.25），系统真实实现值A与主体预期均值M的稳态演化图。

Time

Time

TimeTime

图15：β=1,α=2.2, χ~N(-1.1,0.1)时，对应于不同初值（-0.1,0.1）（左上），(0.1,0.1)（右上），系统真实实现值A与主体预期均值M的稳态演化图。左下为χ~N(-1.138,0.01)

i

i

时，系统真实实现值A与主体预期均值M演化中经历的一段正负定态解与不变环线相互跳

转的情形。右下图为χi~N(-1.2,0.1)时，系统收敛于类周期的不变环线。

当β=-1，即系统的输赢规则为少数者赢时，在绝大多数参数组合（α,χ,σ）下，系统的标准实现值与主体预期均值存在显著差距（以下图形中，每期的系统真实实现值A与主体预期均值M的差距由两者之间的虚线表示）。同样地，对应于正态分布的主体预期参数χi的不同均值χ，系统呈现出不同的演化状态。类似于上小节框架模型分析得到的2-周期，定态解，不变环线与4-周期的系统演化状态，图16展示了相同参数下异质预期模型的相应结果。β=-1时，绝大多数情况下系统演化行为较为单一，不存在几类不同吸引子共存的情形，所以其稳态演化不受方差σ的影响。但是对于较大的α（使得Hopf分岔发生在χ

TimeTime

Time

Time

图16：β=-1,α=4, χi~N(χ,0.1)时，对应于预期参数均值χ的不同取值（0.2（左上），0.3（右上），0.7（左下），1.1（右下）），系统真实实现值A与主体预期均值M的

稳态演化图。

TimeTime

Time

图17：β=-1,α=4, χi~N(0.495,0.1)时，对应于不同初值（-0.1,0.1），(0.1,-0.1)，系统真实实现值A与主体预期均值M的稳态共存3-周期。下图为方差σ=0.3时，系统

中呈现的两共存3-周期（如虚线框内所示）之间的跳转。

1.1.4 结论与探讨