第六章 实数
知识网络：
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如7, 2等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π3+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001„等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如π0不是无理数。
3、有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即
，那么这个正数x 叫做a 的算术平方
根。
（2）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）
。如果
，那么x 叫做a 的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果
，那么x 叫做a 的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号
（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。 （2）a(a≥0) 的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式
4、开方规律小结
（1）若a ≥0，则a
的平方根是a
它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；
1
负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a
。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数
（1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值
（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。
（2）若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0，零的绝对值是它本身。
⎧⎨
a (a ≥0) （3）
⎩-a (a
3、倒数
（1）如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a（a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式
（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即
≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 () 。
3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．
考点六、实数的运算
（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。
（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1.
1169的算术平方根为（ ） （A ）111113 （B ）－13 （C ）±13 （D ）（169）2
算术平方根的定义： 2.
1
169
的算术平方根可表示为 ，即 = 2
算术平方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 3. －
1
169
有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立
4、已知5+的小数部分为m ，5-的小数部分为n ，则m +n =
跟踪练习： ① 式子
x +3有意义，x 的取值范围
② 已知：y=x -5+-x +3,求xy 的值
③ 3-a +b -4=0，求a+b的值
知识点2：平方根
1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ； 2、
9的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1
9
⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2
16
平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a 的式子表示） 平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是a +1和2a -7，求这个数
5. 用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2
=81 ⑵4x 2
-225=0
6、下列说法正确的是( ) A 、
的平方根是±4 B、-6表示6的算术平方根的相反数
C 、 任何数都有平方根 D、-a 2
一定没有平方根 知识点3：立方根
1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：
立方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 2. 说出下列各式表示的意义并求值： ⑴
-0. 512= ⑵－-729= ⑶(-2) 3
= ⑷（
）3
=
3. 如果
x -2有意义，x 的取值范围为
立方根的性质： 4. 用立方根的定义解方程
⑴x 3
-27 =0 ⑵2（x+3）3
=512
拓展提高： 1、已知
3≈1. 732，≈5. 477，
（1）≈ ；（2）. 3≈ ； （3）0.03的平方根约为 ；（4）若
x ≈54. 77，则x =
3
2、已知
3≈1. 442，30≈3. 107，300≈6. 694，求（1）. 3≈ ；
（2）3000的立方根约为 ；（3）x ≈31. 07，则x =
知识点4：重要公式
公式一: ∵
22
=
32
=
42
=
(-2)
2
=
(-3)
2
=
(-4)
2
=
∴
a 2
=
有关练习： 1.
(-1
) 2= 2
7
=
2. 如果(a -3) 2=a-3，则a 的取值范围是 ； 如果
(a -3) 2
=3-a,则a 的取值范围是3. 数a,b 在数轴上的位置如图：
化简：(a b ) 2
+|c+a|
公式二：
∵（
4）2
= （9）2
= （25）2
=
∴(
a ) 2= (a≥0)
综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，
a 2=(a ) 2
公式三： ∵ 23
33
43
(-2) 3
= (-3) 3
= (-4) 3
=
∴
a 3
= ；
随堂练习：化简：当1＜a ＜3时，
(1-a ) 2
+(a -3) 3
公式四： ∵ （
）3
= （）3
= （）3
=
∴(a ) 3=
综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，
a 3=(a ) 3
公式五：
-a =
知识点五：实数定义及分类
无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的
1、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ）（2）无限小数都是无理数。 （（3）无理数都是无限小数。 （ ）（4）根号的数都是无理数。 （
）4
）
第六章 实数
知识网络：
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如7, 2等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π3+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001„等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如π0不是无理数。
3、有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即
，那么这个正数x 叫做a 的算术平方
根。
（2）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）
。如果
，那么x 叫做a 的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果
，那么x 叫做a 的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号
（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。 （2）a(a≥0) 的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式
4、开方规律小结
（1）若a ≥0，则a
的平方根是a
它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；
1
负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a
。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数
（1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值
（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。
（2）若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0，零的绝对值是它本身。
⎧⎨
a (a ≥0) （3）
⎩-a (a
3、倒数
（1）如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a（a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式
（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即
≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 () 。
3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．
考点六、实数的运算
（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。
（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1.
1169的算术平方根为（ ） （A ）111113 （B ）－13 （C ）±13 （D ）（169）2
算术平方根的定义： 2.
1
169
的算术平方根可表示为 ，即 = 2
算术平方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 3. －
1
169
有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立
4、已知5+的小数部分为m ，5-的小数部分为n ，则m +n =
跟踪练习： ① 式子
x +3有意义，x 的取值范围
② 已知：y=x -5+-x +3,求xy 的值
③ 3-a +b -4=0，求a+b的值
知识点2：平方根
1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ； 2、
9的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1
9
⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2
16
平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a 的式子表示） 平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是a +1和2a -7，求这个数
5. 用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2
=81 ⑵4x 2
-225=0
6、下列说法正确的是( ) A 、
的平方根是±4 B、-6表示6的算术平方根的相反数
C 、 任何数都有平方根 D、-a 2
一定没有平方根 知识点3：立方根
1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：
立方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 2. 说出下列各式表示的意义并求值： ⑴
-0. 512= ⑵－-729= ⑶(-2) 3
= ⑷（
）3
=
3. 如果
x -2有意义，x 的取值范围为
立方根的性质： 4. 用立方根的定义解方程
⑴x 3
-27 =0 ⑵2（x+3）3
=512
拓展提高： 1、已知
3≈1. 732，≈5. 477，
（1）≈ ；（2）. 3≈ ； （3）0.03的平方根约为 ；（4）若
x ≈54. 77，则x =
3
2、已知
3≈1. 442，30≈3. 107，300≈6. 694，求（1）. 3≈ ；
（2）3000的立方根约为 ；（3）x ≈31. 07，则x =
知识点4：重要公式
公式一: ∵
22
=
32
=
42
=
(-2)
2
=
(-3)
2
=
(-4)
2
=
∴
a 2
=
有关练习： 1.
(-1
) 2= 2
7
=
2. 如果(a -3) 2=a-3，则a 的取值范围是 ； 如果
(a -3) 2
=3-a,则a 的取值范围是3. 数a,b 在数轴上的位置如图：
化简：(a b ) 2
+|c+a|
公式二：
∵（
4）2
= （9）2
= （25）2
=
∴(
a ) 2= (a≥0)
综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，
a 2=(a ) 2
公式三： ∵ 23
33
43
(-2) 3
= (-3) 3
= (-4) 3
=
∴
a 3
= ；
随堂练习：化简：当1＜a ＜3时，
(1-a ) 2
+(a -3) 3
公式四： ∵ （
）3
= （）3
= （）3
=
∴(a ) 3=
综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，
a 3=(a ) 3
公式五：
-a =
知识点五：实数定义及分类
无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的
1、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ）（2）无限小数都是无理数。 （（3）无理数都是无限小数。 （ ）（4）根号的数都是无理数。 （
）4
）