第9卷 第4期 2009年2月167121819(2009) 420969202
科 学 技 术 与 工 程
Science Technol ogy and Engineering
Vol 19 No 14 Feb . 2009
Ζ 2009 Sci 1Tech 1Engng 1
罗尔中值定理的推广
杨明顺
(渭南师范学院数学与信息科学系, 渭南)
摘 要 对罗尔中值定理进行了推广, 。关键词 罗尔中值定理 可导 存在 中图法分类号 O174. 11;
, 它是应用函数的导数研究函数整体性态的理论基础, 也是研究函数性质的重要工具, 现有格式为:
引理(罗尔中值定理) :若函数f (x ) 在闭区间
[a, b ]上连续, 在开区间(a, b ) 内可导, 且f (a ) =(ξ) f (b ) , 则在开区间(a, b ) 内至少有一点ξ, 使得f ′
(b -a ) t
证明 令b 0>max{a, 0}, 且x =, 于是
b 0-t
复合函数g (t ) =t →a
(b 0-a ) 在有限区间(a, b 0) 可
b 0-t
t →b 0
导, 且li m g (t ) =li m g (t ) , 利用定理1的结论, 在+-(a, b 0) 内至少存在一点t 0, 使得g ′(t 0) =f ′(ξ) b (b -a ) (b 0-t 0)
2
=0。本文试从多个方面对其作进一步的探讨, 并将
其进行推广。
定理1 设函数f (x ) 在有限区间(a, b ) 内可导, 且li m +f (x ) =li m f (x ) , 则在(a, b ) 内至少存在一点-x →a
x →b
=0, 其中ξ=
b 0(b 0-a ) (b 0-t 0)
2
(b -a ) t b 0-t 0
, 显然a
+∞。由于
(ξ) =0。≠0, 故f ′
ξ(ξ) =0。, 使得f ′
证明 作辅助函数F (x ) x →a
x →b
定理3 设函数f (x ) 在无穷区间(-∞, +∞) 内可导, 且li m f (x ) =li m f (x ) , 则在(-∞, +∞)
x →-∞
x →+∞
f (x ) , x ∈(a, b ) A, x =a 或b
,
(ξ) =0。内至少存在一点ξ, 使得f ′
其中A =li m +f (x ) =li m f (x ) 。显然F (x ) 在闭区间-[a, b ]上连续, 在开区间(a, b ) 内可导, 且F (a ) =F (b ) 。故由罗尔中值定理可知在开区间(a, b ) 内至(ξ) =0。而在(a, b ) 内F ′(x ) =少有一点ξ, 使得F ′(x ) , 所以f ′(ξ) =0。f ′
证明 令x =tan -
π
于x =tan t 组成的复合函数g (t ) =f (tan t ) 在有限区间
-
π, 可导, 且li 22t -2
+
g (t ) =
t -g (t ) , 利
2
定理2 设函数f (x ) 在无穷区间(a, +∞) 内可导, 且li m +f (x ) =li m f (x ) , 则在(a, +∞) 内至少
x →a
x →+∞
用定理1的结论, 在-
, 内至少存在一点t 0, 22
(t 0) =f ′(ξ) sec t 0=0, 其中ξ=tan t 0。由于使得g ′
(ξ) =0。存在一点ξ, 使得f ′
(ξ) =0。sec t 0≠0, 故f ′
2
定理4 设函数f (x ) 在有限区间(a, b ) 内可导, 且li m +f (x ) =li m f (x ) =-∞, 则在(a, b ) 内至少存-x →a
x →b
2008年11月5日收到国家自然科学基金项目(10671155) 、陕西省科技厅基金项目(SJ08A22) 、渭南师范学院基金项目(08YKS024) 资助
(ξ) =0。在一点ξ, 使得f ′
证明 取c =
(a +b ) , 若f (c ) >0, 由连续函2
作者简介:杨明顺(1964—) 陕西渭南人, 副教授, 研究方向:函数论。
数的介值性定理知, 在(a, c ) 内至少存在一点d, 使
970科 学 技 术 与 工 程9卷
得f (d ) =0, 在(c, b ) 内至少存在一点e, 使得f (e ) =0, 对f (x ) 在[d, e ]上应用罗尔中值定理, 则在(d,
(ξ) =0。若f (c ) ≤0, e )
参 考 文 献
1 刘玉莲, 傅沛仁. 数学分析讲义(第三版) . 北京:高等教育出版
构造函数F (x ) =f (x ) -f (c ) +1, 则F (c ) >0, 对
F (x ) 应用上面已经证明的结论可得:在(a, b ) 内至(ξ) =0, 从而f ′(ξ) =0。少存在一点ξ, 使得F ′
社, 1992
2 孙本旺. 数学分析中的例题和解题方法. 长沙:湖南科学技术出
版社, 1981
Genera lisi n g of M ing 2shun
(and I nf or mati on Science,W einan Teacher ’s University,W einan 714000, P . R. China )
[Abstract] Rolle Mean Mheore m is given the f or m of conditi on when it in li m ited secti on, infinite secti on and the functi on in for m of li m itless .
[Key words] Rolle Mean Mheore m can derivative existent generalize
(上接第968页)
参 考 文 献
1 Fountain J B Abundant sem igr oup s . Pr o Lond Math Soc, 1982; 3
(44) :103—129
2 Qallali E . Abundant se m igr oup with multi p licative type A transver 2
sals . Se m igr oup Forum, 1993; 47:327—340
3 Howie J M. An intr oducti on t o se m igr oup s . London Acade m ic Press,
1976; 13—50
4 卢占化, 冯秀峰. TypeA 2半群的表示。河南师范大学学报, 2007;
35(1) :40—41
Abundan t Sem i groups w ith Cancell a ti ve M ono i d Tran svers a ls
LU Zhan 2hua
(College of Mathe matics and I nf or mati on Science, Henan Nor mal University , Xinxiang 453007, P . R. China )
[Abstract] The p r opoties of abundant se m igr oup s with cancellative monoid transversals are discussed . And the structure of these se m igr oup s is obtanied .
[Key words] type 2A se m igr oup s cancellative monoid relati on abundant se m igr oup s
第9卷 第4期 2009年2月167121819(2009) 420969202
科 学 技 术 与 工 程
Science Technol ogy and Engineering
Vol 19 No 14 Feb . 2009
Ζ 2009 Sci 1Tech 1Engng 1
罗尔中值定理的推广
杨明顺
(渭南师范学院数学与信息科学系, 渭南)
摘 要 对罗尔中值定理进行了推广, 。关键词 罗尔中值定理 可导 存在 中图法分类号 O174. 11;
, 它是应用函数的导数研究函数整体性态的理论基础, 也是研究函数性质的重要工具, 现有格式为:
引理(罗尔中值定理) :若函数f (x ) 在闭区间
[a, b ]上连续, 在开区间(a, b ) 内可导, 且f (a ) =(ξ) f (b ) , 则在开区间(a, b ) 内至少有一点ξ, 使得f ′
(b -a ) t
证明 令b 0>max{a, 0}, 且x =, 于是
b 0-t
复合函数g (t ) =t →a
(b 0-a ) 在有限区间(a, b 0) 可
b 0-t
t →b 0
导, 且li m g (t ) =li m g (t ) , 利用定理1的结论, 在+-(a, b 0) 内至少存在一点t 0, 使得g ′(t 0) =f ′(ξ) b (b -a ) (b 0-t 0)
2
=0。本文试从多个方面对其作进一步的探讨, 并将
其进行推广。
定理1 设函数f (x ) 在有限区间(a, b ) 内可导, 且li m +f (x ) =li m f (x ) , 则在(a, b ) 内至少存在一点-x →a
x →b
=0, 其中ξ=
b 0(b 0-a ) (b 0-t 0)
2
(b -a ) t b 0-t 0
, 显然a
+∞。由于
(ξ) =0。≠0, 故f ′
ξ(ξ) =0。, 使得f ′
证明 作辅助函数F (x ) x →a
x →b
定理3 设函数f (x ) 在无穷区间(-∞, +∞) 内可导, 且li m f (x ) =li m f (x ) , 则在(-∞, +∞)
x →-∞
x →+∞
f (x ) , x ∈(a, b ) A, x =a 或b
,
(ξ) =0。内至少存在一点ξ, 使得f ′
其中A =li m +f (x ) =li m f (x ) 。显然F (x ) 在闭区间-[a, b ]上连续, 在开区间(a, b ) 内可导, 且F (a ) =F (b ) 。故由罗尔中值定理可知在开区间(a, b ) 内至(ξ) =0。而在(a, b ) 内F ′(x ) =少有一点ξ, 使得F ′(x ) , 所以f ′(ξ) =0。f ′
证明 令x =tan -
π
于x =tan t 组成的复合函数g (t ) =f (tan t ) 在有限区间
-
π, 可导, 且li 22t -2
+
g (t ) =
t -g (t ) , 利
2
定理2 设函数f (x ) 在无穷区间(a, +∞) 内可导, 且li m +f (x ) =li m f (x ) , 则在(a, +∞) 内至少
x →a
x →+∞
用定理1的结论, 在-
, 内至少存在一点t 0, 22
(t 0) =f ′(ξ) sec t 0=0, 其中ξ=tan t 0。由于使得g ′
(ξ) =0。存在一点ξ, 使得f ′
(ξ) =0。sec t 0≠0, 故f ′
2
定理4 设函数f (x ) 在有限区间(a, b ) 内可导, 且li m +f (x ) =li m f (x ) =-∞, 则在(a, b ) 内至少存-x →a
x →b
2008年11月5日收到国家自然科学基金项目(10671155) 、陕西省科技厅基金项目(SJ08A22) 、渭南师范学院基金项目(08YKS024) 资助
(ξ) =0。在一点ξ, 使得f ′
证明 取c =
(a +b ) , 若f (c ) >0, 由连续函2
作者简介:杨明顺(1964—) 陕西渭南人, 副教授, 研究方向:函数论。
数的介值性定理知, 在(a, c ) 内至少存在一点d, 使
970科 学 技 术 与 工 程9卷
得f (d ) =0, 在(c, b ) 内至少存在一点e, 使得f (e ) =0, 对f (x ) 在[d, e ]上应用罗尔中值定理, 则在(d,
(ξ) =0。若f (c ) ≤0, e )
参 考 文 献
1 刘玉莲, 傅沛仁. 数学分析讲义(第三版) . 北京:高等教育出版
构造函数F (x ) =f (x ) -f (c ) +1, 则F (c ) >0, 对
F (x ) 应用上面已经证明的结论可得:在(a, b ) 内至(ξ) =0, 从而f ′(ξ) =0。少存在一点ξ, 使得F ′
社, 1992
2 孙本旺. 数学分析中的例题和解题方法. 长沙:湖南科学技术出
版社, 1981
Genera lisi n g of M ing 2shun
(and I nf or mati on Science,W einan Teacher ’s University,W einan 714000, P . R. China )
[Abstract] Rolle Mean Mheore m is given the f or m of conditi on when it in li m ited secti on, infinite secti on and the functi on in for m of li m itless .
[Key words] Rolle Mean Mheore m can derivative existent generalize
(上接第968页)
参 考 文 献
1 Fountain J B Abundant sem igr oup s . Pr o Lond Math Soc, 1982; 3
(44) :103—129
2 Qallali E . Abundant se m igr oup with multi p licative type A transver 2
sals . Se m igr oup Forum, 1993; 47:327—340
3 Howie J M. An intr oducti on t o se m igr oup s . London Acade m ic Press,
1976; 13—50
4 卢占化, 冯秀峰. TypeA 2半群的表示。河南师范大学学报, 2007;
35(1) :40—41
Abundan t Sem i groups w ith Cancell a ti ve M ono i d Tran svers a ls
LU Zhan 2hua
(College of Mathe matics and I nf or mati on Science, Henan Nor mal University , Xinxiang 453007, P . R. China )
[Abstract] The p r opoties of abundant se m igr oup s with cancellative monoid transversals are discussed . And the structure of these se m igr oup s is obtanied .
[Key words] type 2A se m igr oup s cancellative monoid relati on abundant se m igr oup s