圆之吻阿波罗尼斯圆
21. 已知A (-2,0)，P 是圆C :(x +4)+y =16上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得2PA 1= PB 2
? 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由
B (4,0)
22. 已知圆C :(x +4)+y =16，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有2
PA 1=? 若存在，求出A , B 坐标；若不存在，说明理由. PB 2
A (-6,0), B (-12,0)或A (-2,0), B (4,0)
3. （06四川卷）已知两定点A (-2,0), B (1,0)，如果动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹所包围的面积等于 4π
4. （08
江苏卷）满足条件AB =2, AC =的∆ABC 的面积的最大值是
5. （扬州2010）已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0) ，直线l ：x －2y ＝0.
(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
PB (2) 若在直线OA 上(O 为坐标原点) ，存在定点B (不同于点A ) ，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有P A
一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．
x 2y 26. （南京2010）在直角坐标系xOy 中，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶94
点．椭圆上的点P 在第一象限，PF 1⊥PF 2. ⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4.
(1) 求点P 坐标，并判断直线PF 2与⊙O 的位置关系；
MB (2) 是否存在不同于点A 的定点B ，对于⊙O 上任意一点M ，都有MA
条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由．
5. 解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0.
|－b |∵ 直线与圆相切，∴ 3，得b ＝±32＋1∴ 所求直线方程为y ＝－2x ±3分)
(2) 方法1：假设存在这样的点B (t, 0) ，
PB |t ＋3|当P 为圆C 与x 轴左交点(－3,0) 时，； P A 2
PB |t －3|当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，， P A 8
|t ＋3||t －3|9依题意，，解得t ＝－5(舍去) 或t ＝－.(8分) 285
9PB 下面证明点B (0) 对于圆C 上任一点P ，都有 5P A
22设P (x ，y ) ，则y ＝9－x ，
9222188118x ＋x ＋9－x 25x ＋17)2(x ＋)＋y 552525PB 9∴ ， P A (x ＋5)＋y x ＋10x ＋25＋9－x 2(5x ＋17)25
PB 3从而为常数．(15分) P A 5
PB 方法2：假设存在这样的点B (t, 0) ，使得λ，则PB 2＝λ2P A 2， P A
222222∴ (x －t ) ＋y ＝λ[(x ＋5) ＋y ]，将y ＝9－x 2代入上式，得
x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2) ，即
2(5λ2＋t ) x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立．(8分)
3λ2⎧⎧5⎪5λ＋t ＝0，⎪λ＝1∴ ⎨22解得或⎨(舍去) ， 9⎪⎪34λ－t －9＝0，t ＝－5⎩⎩t ＝－5
9PB 3所以存在点B (0) 对于圆C 上任一点P ，都有. 5P A 5
6 解：(1) 方法一：设点P 的坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0) ．
x 2y 2
则1. ① 94
因为F 1(－5，0) ，F 25，0) ，PF 1⊥PF 2，
所以x 2＋y 2＝5 ②(2分)
3545由①②联立方程组解得x ＝y ＝(4分) 55
3545所以点P 的坐标为() ．(5分) 55
所以直线PF 2的方程为2x ＋y －5＝0.(7分)
因为⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4，
25所以圆心O (0,0)到直线PF 2的距离为d ＝2.(9分) 5
所以PF 2与⊙O 相切．(10分)
方法二：设点P 的坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0) ．
22因为PF 1⊥PF 2，c 5，所以PF 21＋PF 2＝4c ＝20.(2分)
因为PF 1＋PF 2＝2a ＝6，所以PF 1·PF 2＝8.
因为2cy ＝PF 1·PF 2，所以2y ＝8. ⎧⎨⎩
43所以y ＝x ＝分) 55
3545所以点P 的坐标为() ．(5分) 55
所以PF 2的方程为2x ＋y －25＝0.(7分)
因为⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4，
25所以圆心O (0,0)到直线PF 2的距离为d ＝2.(9分) 5
所以PF 2与⊙O 相切．(10分)
(2) 设点M 的坐标为(x ，y ) ，则x 2＋y 2＝4.
MB 假设存在点B (m ，n ) ，对于⊙O 上任意一点M ，都有 MA
222222则MB ＝(x －m ) ＋(y －n ) ，MA ＝(x ＋3) ＋y ，
(x －m )2＋(y －n )2
所以＝λ(常数) 恒成立．(12分) (x ＋3)＋y 3λ＋m ＝0，⎧⎪可得(6λ＋2m ) x ＋2ny ＋13λ－m 2－n 2－4＝0，所以⎨2n ＝0，
⎪⎩13λ－m 2－n 2－4＝0.
⎧⎪4解得⎨m ＝－3⎪⎩n ＝0，
4λ9 λ＝1，⎧⎪或⎨m ＝－3，(舍)⎪⎩n ＝0. (15分) 4所以存在满足条件的点B ，它的坐标为(，0) ．(16分) 3
圆之吻阿波罗尼斯圆
21. 已知A (-2,0)，P 是圆C :(x +4)+y =16上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得2PA 1= PB 2
? 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由
B (4,0)
22. 已知圆C :(x +4)+y =16，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有2
PA 1=? 若存在，求出A , B 坐标；若不存在，说明理由. PB 2
A (-6,0), B (-12,0)或A (-2,0), B (4,0)
3. （06四川卷）已知两定点A (-2,0), B (1,0)，如果动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹所包围的面积等于 4π
4. （08
江苏卷）满足条件AB =2, AC =的∆ABC 的面积的最大值是
5. （扬州2010）已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0) ，直线l ：x －2y ＝0.
(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
PB (2) 若在直线OA 上(O 为坐标原点) ，存在定点B (不同于点A ) ，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有P A
一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．
x 2y 26. （南京2010）在直角坐标系xOy 中，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶94
点．椭圆上的点P 在第一象限，PF 1⊥PF 2. ⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4.
(1) 求点P 坐标，并判断直线PF 2与⊙O 的位置关系；
MB (2) 是否存在不同于点A 的定点B ，对于⊙O 上任意一点M ，都有MA
条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由．
5. 解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0.
|－b |∵ 直线与圆相切，∴ 3，得b ＝±32＋1∴ 所求直线方程为y ＝－2x ±3分)
(2) 方法1：假设存在这样的点B (t, 0) ，
PB |t ＋3|当P 为圆C 与x 轴左交点(－3,0) 时，； P A 2
PB |t －3|当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，， P A 8
|t ＋3||t －3|9依题意，，解得t ＝－5(舍去) 或t ＝－.(8分) 285
9PB 下面证明点B (0) 对于圆C 上任一点P ，都有 5P A
22设P (x ，y ) ，则y ＝9－x ，
9222188118x ＋x ＋9－x 25x ＋17)2(x ＋)＋y 552525PB 9∴ ， P A (x ＋5)＋y x ＋10x ＋25＋9－x 2(5x ＋17)25
PB 3从而为常数．(15分) P A 5
PB 方法2：假设存在这样的点B (t, 0) ，使得λ，则PB 2＝λ2P A 2， P A
222222∴ (x －t ) ＋y ＝λ[(x ＋5) ＋y ]，将y ＝9－x 2代入上式，得
x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2) ，即
2(5λ2＋t ) x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立．(8分)
3λ2⎧⎧5⎪5λ＋t ＝0，⎪λ＝1∴ ⎨22解得或⎨(舍去) ， 9⎪⎪34λ－t －9＝0，t ＝－5⎩⎩t ＝－5
9PB 3所以存在点B (0) 对于圆C 上任一点P ，都有. 5P A 5
6 解：(1) 方法一：设点P 的坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0) ．
x 2y 2
则1. ① 94
因为F 1(－5，0) ，F 25，0) ，PF 1⊥PF 2，
所以x 2＋y 2＝5 ②(2分)
3545由①②联立方程组解得x ＝y ＝(4分) 55
3545所以点P 的坐标为() ．(5分) 55
所以直线PF 2的方程为2x ＋y －5＝0.(7分)
因为⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4，
25所以圆心O (0,0)到直线PF 2的距离为d ＝2.(9分) 5
所以PF 2与⊙O 相切．(10分)
方法二：设点P 的坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0) ．
22因为PF 1⊥PF 2，c 5，所以PF 21＋PF 2＝4c ＝20.(2分)
因为PF 1＋PF 2＝2a ＝6，所以PF 1·PF 2＝8.
因为2cy ＝PF 1·PF 2，所以2y ＝8. ⎧⎨⎩
43所以y ＝x ＝分) 55
3545所以点P 的坐标为() ．(5分) 55
所以PF 2的方程为2x ＋y －25＝0.(7分)
因为⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4，
25所以圆心O (0,0)到直线PF 2的距离为d ＝2.(9分) 5
所以PF 2与⊙O 相切．(10分)
(2) 设点M 的坐标为(x ，y ) ，则x 2＋y 2＝4.
MB 假设存在点B (m ，n ) ，对于⊙O 上任意一点M ，都有 MA
222222则MB ＝(x －m ) ＋(y －n ) ，MA ＝(x ＋3) ＋y ，
(x －m )2＋(y －n )2
所以＝λ(常数) 恒成立．(12分) (x ＋3)＋y 3λ＋m ＝0，⎧⎪可得(6λ＋2m ) x ＋2ny ＋13λ－m 2－n 2－4＝0，所以⎨2n ＝0，
⎪⎩13λ－m 2－n 2－4＝0.
⎧⎪4解得⎨m ＝－3⎪⎩n ＝0，
4λ9 λ＝1，⎧⎪或⎨m ＝－3，(舍)⎪⎩n ＝0. (15分) 4所以存在满足条件的点B ，它的坐标为(，0) ．(16分) 3