压缩映射原理及其应用
魏含玉，郭汉东
摘要：文章介绍了压缩映射原理，并给出了它在隐函数存在性，微分方程解的存
在唯一性，求方程的近似解和求数列的极限四个方面的重要应用。
关键词：压缩映射原理；隐函数；常微分方程；数列；
一、压缩映射原理
定义：设ｘ是度量空间，ｒ：ｘ＿ｘ，如果存在一个常数ａ（０＜Ｏｔ＜１），使得对所有的茗，ｙｅＸ成
因为ｏｓ嚣曼ｌ，记ａ＝１一面ｍ，则ｏｓ口≤ｌ，即有
Ｉ如２一琊１
Ｉｓａｌ９２—９ｌＩ
（３）
所以，ｒ是Ｃ［口，ｂ］上的压缩映射。从而存在唯一的弹Ｃ［口，ｂ］，使得八戈，妒（菇））＝Ｏ．
２．常微分方程解的存在与唯一性定理
立：ｄ（死，巧）ｓ副（茗，，，），则称ｒ为压缩映射。
压缩映射定理：设ｘ是完备的度量空间，Ｔ：Ｘ＿ｘ上的压缩映射，则ｒ有且只有一个不动点（即Ｔｘ－－Ｘ，有且只有一个解）。
推论１：设ｘ是完备的度量空间，ｒ：ｘ＿ｘ上的压缩映射，则ｒ（ｎｓ．Ｚ＋）也是压缩映射，但其逆命题不一定成立。
推论２：设八菇）在［４，ｂ］上连续，在（口，６）内可微，且存在０≤ａ＜１，若，Ｉ／（省）ｌｓａ，Ｖ艇（ａ，６），则八菇）是［口，ｂ］上的压缩映射。
＝、应用
定理．微分方程∞嚣∥。”
＋ｂ］上连续；
（ｔ，茹）一只ｔ，ｙ）Ｉ
ｓＫｌ茗一ｙｌ；
（４）
（１）’厂（ｆ，石）在Ｄ＝［ｔｏ—ｏｔｔｏ＋仪］×［Ｘ０一ｄ，茹ｏ
（２小ｔ，茗）≤肘，（ｔ，菇）胡且ｊＫ＞０，使得：Ｊｆ
则存在区间Ｊ＝［ｔｏ－１３，ｔｏ＋ＪＢ］上唯一的连续函数戈（ｆ）是上述初值问题的解，其中：
卢≤ｍ讥｛口，面ｂ，去｝
证明：Ｃ［ｔ。一ｐ，ｔｏ＋ＪＢ］是完备的度量空间令Ｃ＝｛茗（ｔ）ＥＣ［ｔｏ一卢，ｔｏ＋卢］ＩＩ石（ｔ）一菇ｏｓ＾够，
ｔｃＪ｝
．
１．隐函数存在定理
定理以石，Ｙ）在［口，ｂ］×（一∞，∞）上处处连续，且工’（戈，，，）处处存在，如果０＜ｍ＜工’（戈，Ｙ）５肘成立，则方程ｆ（ｘ，，，）＝０在［Ｄ，ｂ］上必有唯一的连续函数解Ｙ＝９（髫）．
证明：Ｃ［口，ｂ］在完备度量空间上作映射ｒ
（５）
’则Ｃ是Ｃ［ｔｏ－ｔ３，ｔｏ＋口］的闭子空间，所以Ｃ是完备的度量空间。
令（戥）（ｔ）＝ｘ０＝丁抓ｔ，茗（￡））出
‘则ｒ是Ｃ到Ｃ的映射。对于石（ｔ），移（ｔ）Ｅ
（６）
殛２妒一私菇，妒）祥ｃ［口，６］
ｌ（％：）（茗）一（孙。）（石）Ｉ
（１）
则ｒ是Ｃ［口，６］到自身的压缩映射。Ｖ妒，，９：ｅＣ［口，ｂ］，并由微分中值定理
ｌＴｘ（￡）一Ｔｖ（‘）Ｉ－∽叭ｔ，ｚ）一八ｔ，咎）］ｄｔＩ
＝Ｉｔ—ｔｏ
ｔＫ能Ｉｘ（ｆ）一ｔ，（ｔ）Ｉ
（７）
＝ｒｏｄ（茗，ｔ，）
＝Ｉ妒２（龙）一私茗，妒２）一妒Ｉ（菇）＋奶名确）Ｉｓ（１一嚣）ｌ妒：（菇）一９ｔ（搿）Ｉ
（２）
令ａ＝邸，则０＜Ｏｔ＜１且ｄ（Ｔｘ，而）ｓａｃｔ（算，ｔ，），所
以ｒ是压缩映射。由压缩映射定理，存在唯一的艇使得Ｔｘ－ｅ＿航
四
１１一
３・求方程的近似解
４・求数列的极限
．
．例则引）＝￡盏：５
连续解，使其误差不≤过１０－４０
连续，作
（８）。例：龇＝知＋ｌ＝半（ｏ＜口＜ｌｍ－ｌ，
解：令八舅）＝詈＋虿Ｘ２
…。”’２一”’２。
艇［ｏ，１２＋ｏｔ。］。则有，
法拂岔酌Ｋ２在懋謦’１０∞’１扯㈤ｍ１＋ｃｔ．］ｖ枷，．１＋ｃｔ。］ｃ［ｏ
１，］－，ｃ［ｏ，１］的映射Ｔ，使
９（‘）’鼍Ｉ
（１０’
半］蒜舵肌厉，且泛－ｌ－由于脓刈ｍＫ础＋Ｅ譬…譬ｓ÷，艇篇．～１…“。～一一。
２去警幔以州№”扩州ＩＩ：，
∞＇ｌ
设幻懈．：ｃ，贝ｉｃ是方程石：詈＋季在［ｏ，
Ｌ删“？删ｒｅ，Ｊ＜刘ｌ旷州ｌ
可知ａ
尚‰，－烹惜要估尘掣＜ｌＯ一，则ｎ：４，于是
击（石一等）＋寺（詈一等＋刍）
。。擘‰＿０＇旷飘掣误差圳＂州ｓ毒愁蝴械函分槲姒帆北¨匕京
～一
。
。
２丽Ｉ＜１，故ｒ有唯一不动点。
ｎ¨理还喜磊掌姜蓑雾詈鬻麓原
麓主≥＝数＝＝纛二：。。；教；：ｂ麓轰，２００３．‘
（责任缡校：王彩红，陈强）
（作者单位：１．周口师范学院数学与信息科学系；
删确－２乩０”。＋南∽跏２，…吲搿黜？腿舫削…煎高
＋土一上２＋丽ｘ一面＋夏丽＋—１２００—００一—７２００—００
（１２）
”一１９４引Ｘ２而Ｘ４１
驴４
２篙羞篡蒹学萎；
压缩映射原理及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
魏含玉， 郭汉东
魏含玉(周口师范学院数学与信息科学系)， 郭汉东(郑州大学西亚斯国际学院)管理工程师
MANAGEMENT ENGINEER2009(5)
参考文献(3条)
1. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 20062. 程其襄 实变函数与泛函分析基础 20033. 张恭庆;林源渠 泛函分析讲义(上) 2001
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_glgcs200905012.aspx
压缩映射原理及其应用
魏含玉，郭汉东
摘要：文章介绍了压缩映射原理，并给出了它在隐函数存在性，微分方程解的存
在唯一性，求方程的近似解和求数列的极限四个方面的重要应用。
关键词：压缩映射原理；隐函数；常微分方程；数列；
一、压缩映射原理
定义：设ｘ是度量空间，ｒ：ｘ＿ｘ，如果存在一个常数ａ（０＜Ｏｔ＜１），使得对所有的茗，ｙｅＸ成
因为ｏｓ嚣曼ｌ，记ａ＝１一面ｍ，则ｏｓ口≤ｌ，即有
Ｉ如２一琊１
Ｉｓａｌ９２—９ｌＩ
（３）
所以，ｒ是Ｃ［口，ｂ］上的压缩映射。从而存在唯一的弹Ｃ［口，ｂ］，使得八戈，妒（菇））＝Ｏ．
２．常微分方程解的存在与唯一性定理
立：ｄ（死，巧）ｓ副（茗，，，），则称ｒ为压缩映射。
压缩映射定理：设ｘ是完备的度量空间，Ｔ：Ｘ＿ｘ上的压缩映射，则ｒ有且只有一个不动点（即Ｔｘ－－Ｘ，有且只有一个解）。
推论１：设ｘ是完备的度量空间，ｒ：ｘ＿ｘ上的压缩映射，则ｒ（ｎｓ．Ｚ＋）也是压缩映射，但其逆命题不一定成立。
推论２：设八菇）在［４，ｂ］上连续，在（口，６）内可微，且存在０≤ａ＜１，若，Ｉ／（省）ｌｓａ，Ｖ艇（ａ，６），则八菇）是［口，ｂ］上的压缩映射。
＝、应用
定理．微分方程∞嚣∥。”
＋ｂ］上连续；
（ｔ，茹）一只ｔ，ｙ）Ｉ
ｓＫｌ茗一ｙｌ；
（４）
（１）’厂（ｆ，石）在Ｄ＝［ｔｏ—ｏｔｔｏ＋仪］×［Ｘ０一ｄ，茹ｏ
（２小ｔ，茗）≤肘，（ｔ，菇）胡且ｊＫ＞０，使得：Ｊｆ
则存在区间Ｊ＝［ｔｏ－１３，ｔｏ＋ＪＢ］上唯一的连续函数戈（ｆ）是上述初值问题的解，其中：
卢≤ｍ讥｛口，面ｂ，去｝
证明：Ｃ［ｔ。一ｐ，ｔｏ＋ＪＢ］是完备的度量空间令Ｃ＝｛茗（ｔ）ＥＣ［ｔｏ一卢，ｔｏ＋卢］ＩＩ石（ｔ）一菇ｏｓ＾够，
ｔｃＪ｝
．
１．隐函数存在定理
定理以石，Ｙ）在［口，ｂ］×（一∞，∞）上处处连续，且工’（戈，，，）处处存在，如果０＜ｍ＜工’（戈，Ｙ）５肘成立，则方程ｆ（ｘ，，，）＝０在［Ｄ，ｂ］上必有唯一的连续函数解Ｙ＝９（髫）．
证明：Ｃ［口，ｂ］在完备度量空间上作映射ｒ
（５）
’则Ｃ是Ｃ［ｔｏ－ｔ３，ｔｏ＋口］的闭子空间，所以Ｃ是完备的度量空间。
令（戥）（ｔ）＝ｘ０＝丁抓ｔ，茗（￡））出
‘则ｒ是Ｃ到Ｃ的映射。对于石（ｔ），移（ｔ）Ｅ
（６）
殛２妒一私菇，妒）祥ｃ［口，６］
ｌ（％：）（茗）一（孙。）（石）Ｉ
（１）
则ｒ是Ｃ［口，６］到自身的压缩映射。Ｖ妒，，９：ｅＣ［口，ｂ］，并由微分中值定理
ｌＴｘ（￡）一Ｔｖ（‘）Ｉ－∽叭ｔ，ｚ）一八ｔ，咎）］ｄｔＩ
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（７）
＝ｒｏｄ（茗，ｔ，）
＝Ｉ妒２（龙）一私茗，妒２）一妒Ｉ（菇）＋奶名确）Ｉｓ（１一嚣）ｌ妒：（菇）一９ｔ（搿）Ｉ
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令ａ＝邸，则０＜Ｏｔ＜１且ｄ（Ｔｘ，而）ｓａｃｔ（算，ｔ，），所
以ｒ是压缩映射。由压缩映射定理，存在唯一的艇使得Ｔｘ－ｅ＿航
四
１１一
３・求方程的近似解
４・求数列的极限
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连续解，使其误差不≤过１０－４０
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（８）。例：龇＝知＋ｌ＝半（ｏ＜口＜ｌｍ－ｌ，
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…。”’２一”’２。
艇［ｏ，１２＋ｏｔ。］。则有，
法拂岔酌Ｋ２在懋謦’１０∞’１扯㈤ｍ１＋ｃｔ．］ｖ枷，．１＋ｃｔ。］ｃ［ｏ
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（１０’
半］蒜舵肌厉，且泛－ｌ－由于脓刈ｍＫ础＋Ｅ譬…譬ｓ÷，艇篇．～１…“。～一一。
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设幻懈．：ｃ，贝ｉｃ是方程石：詈＋季在［ｏ，
Ｌ删“？删ｒｅ，Ｊ＜刘ｌ旷州ｌ
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尚‰，－烹惜要估尘掣＜ｌＯ一，则ｎ：４，于是
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２丽Ｉ＜１，故ｒ有唯一不动点。
ｎ¨理还喜磊掌姜蓑雾詈鬻麓原
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（作者单位：１．周口师范学院数学与信息科学系；
删确－２乩０”。＋南∽跏２，…吲搿黜？腿舫削…煎高
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压缩映射原理及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
魏含玉， 郭汉东
魏含玉(周口师范学院数学与信息科学系)， 郭汉东(郑州大学西亚斯国际学院)管理工程师
MANAGEMENT ENGINEER2009(5)
参考文献(3条)
1. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 20062. 程其襄 实变函数与泛函分析基础 20033. 张恭庆;林源渠 泛函分析讲义(上) 2001
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_glgcs200905012.aspx