莫比乌斯圈
教学目标：
1.引导学生在对比探究中认识“莫比乌斯圈”，并学会将长方形纸条制成莫比乌斯圈。
2.引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯圈”的特征，体验“猜想-验证-探究”的数学思想方法，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。
3.在莫比乌斯圈魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。
教学过程：
一、 认识“莫比乌斯圈”
1. 谈话引入
师：同学们，知道刘谦吗？ 下面老师也给大家变个魔术。
看，这是一张普通的长方形纸条，把纸条这边折一下，那边再折一下，然后用回形针别在这边，再别这边，拉动纸条的两端，猜一猜，两枚回形针会怎样？ 请一位同学上来当小助手，验证一下，大家猜得对不对？（和学生一起拉） 下面是见证奇迹的时刻，一，二，三，拉。
请你说说两枚回形针怎样？
还想变其他魔术吗？接下来的这节课要认真听、看，想。
2、制作普通纸圈
（1）观察
师：这是一张普通的长方形纸条，看看它有几条边？几个面？
生：4条边，2个面。
师：（指一下）是的，4条边，2个面。
师：那你们能把它变成2条边，2个面吗？（提前渗透）
生：可以首尾相接围成一个圈。
师：你很聪明。把这张纸头尾相连围成一个圈，就变成了2条边，2个面。你能指一下是哪2条边，2个面吗？（生上来指）
师：是的，先确定一点，从一点出发又回到这起点，就是1条边，下面也是1条边，一共是两条边，里面、外面一共是2个面。我们一起数一数。上下两条边，里外两个面。
3、制作“莫比乌斯圈”
（1）思考
师：能不能再变一变，把它变成1条边，1个面？（稍微停一下）
师：看老师来变一变。
下面是见证奇迹的时刻，三、二、一（展示莫比乌斯圈）
（2）介绍制作方法
师：有谁看清老师是怎么变的？（停一下）下面跟老师一起来做一做。
师：先做一个普通的纸圈，现在左手捏住一端不动，右手将另一端扭转180度，再重合粘贴起来。（教师演示，学生学做）
（若还是有学生不会做，再重新演示一遍）
（3）验证
师：我们做的这个纸圈是不是真的只有1条边，1个面呢？怎么验证只有1条边？
生：从这一点出发，用笔做一下记号，沿着边走，绕一圈又回到了起点。
师：（师指一下）有没有经过所有的边呢？那说明确实只有1条边。（板书：1条边）
师：那么怎样验证只有1个面？
生：用手从一个起点一直饶到完，就可以验证只有一个面了。
师：好，我们一起用手指饶一圈，这是个好方法，可惜用手指饶不能留下痕迹，如果留下痕迹，就更容易判断了，怎么办？
生：用水彩笔。设立一个起点，沿着中间画下去，再回到起点。
师：好办法，我们用这个方法验证一下。师画一半：好，我们一起动手验证一下。 （投影展示：师演示，生完成，师再画完）
（4）小结
师：我们从起点出发，再回到起点，不仅画过蓝色的面，还画过白色的面，这说明我们画的这个纸圈只有几个面？
生：只有1个面。（板书：1个面）
师：通过刚才的验证我们发现这个纸圈只有1个面，1条边。
（6）介绍莫比乌斯圈
师：像这样，只有“1条边，1个面”的神奇的纸圈叫莫比乌斯圈。（板书：莫比乌斯圈）
它是德国数学家莫比乌斯在1858年做研究时不经意间发现的。（课件出示故事，指一个优秀的学生读一下）
进行思想教育
（7）比较普通纸圈和“莫比乌斯圈”的区别（拿出样品）
师：同是一张纸，是什么原因使“莫比乌斯圈”只有1条边，1个面呢？
师：（边操作边解释）其实道理很简单，你们看这个纸圈，外侧面是蓝色，内侧面是白色，本来蓝色和白色的面井水不犯河水，可现在我们把蓝色的面翻转到白色这面，粘在一起，这个时候原本一外一内的蓝白两面就合二为一了，所以它只有1个面。边也是这样。所以别看这小小的翻转。“莫比乌斯圈”就只有1条边，1个面了，神奇吧！
二、介绍莫比乌斯圈在生活中的应用
1、介绍生活中的“莫比乌斯圈”
师：莫比乌斯圈只有1条边，1个面有什么好处呢？（课件介绍）
2、延伸
师：原来莫比乌斯圈并不陌生，它就在我们身边，因为它的神奇魅力，后来很多人迷上了“莫比乌斯圈”，数学家们，科学家们通过对莫比乌斯圈的深入研究，就慢慢形成了一门新的学说---拓扑几何学。（板书：拓扑几何学）
三、研究“莫比乌斯圈”
师：其实“莫比乌斯圈”的神奇才刚刚开始呢。
1、 剪“莫比乌斯圈”（1/2）
（1） 猜一猜（投影展示）
师：如果沿着“莫比乌斯圈”中间的线也就是1/2的地方剪一圈，你们猜猜会变成什么样？（板书：大胆猜想）
生：
师：还有不同的猜法吗？
师：大家都认为会变成两个圈，真的是这样吗？我们得验证一下。（板书：小心验证）怎么验证呢？
生：剪
师：怎么剪？
师：能不能这样剪？
师：先对折，轻轻剪开一点，从小口处剪。（投影演示）
师：（边剪边问）沿着虚线一直剪，一直剪，（就差一刀了），接下来，究竟会变成什么样呢？见证奇迹的时刻，三、二、一！（突然停下剪刀）
师：这个奇迹就留给同学们见证吧！
（生动手验证）
（3）验证交流
师：变成什么样子啊？是两个圈吗？
师：为什么没有一分为二变成2个圈？而是变成1个大圈？
师：其实这和“莫比乌斯圈”的特点有关。普通的纸圈有2个面，剪时就会变成2个圈（拿普通圈剪）因为“莫比乌斯圈”只有1个面，所以不可能剪断。你们看，我们剪过白色这面又剪过蓝色这面，相当于剪过2个圈的长度。
师：这个2倍长的大圈还是“莫比乌斯圈”吗？我们用水彩笔用学过的方法验证一下。
（生验证得出结论“有2个面，不是莫比乌斯圈”）
师：哦，变成了1个普通的的纸圈，神奇吧！
2、 剪“莫比乌斯圈”（1/3）
师：刚才，沿着1/2的虚线一直剪下去，变成了1个普通的的纸圈。下面拿出画好了三等份的长方形纸条，一起再做一个莫比乌斯圈。现在虚线把这个莫比乌斯圈3等份，如果沿着1/3的虚线一直剪下去，会是什么样呢？（停顿一下）会不会还是1个普通的大圈？（投影演示，稍微剪一下）
师：请大家剪一剪验证一下，注意：沿左边1/3剪可以吗？右边呢？也就是一直从左边1/3处剪，要么从右边1/3处剪。要轻点，避免剪断，其次要一直剪。 师：变成什么样子了?
生：一个大圈套着一个小圈。
师：这个莫比乌斯圈怎么老是和我们做对啊！刚才沿着1/2的地方剪，变成1个2倍长的大圈，现在沿着1/3的地方剪，又变成1个大圈套着1个小圈。
那么如果沿着1/4、1/5„„的宽度剪开“莫比乌斯圈”，它又会带给我们什么新的惊喜呢？请大家拿出4等份或5等份的长方形纸条，再做一个莫比乌斯圈，沿着 1/4或1/5，剪一剪，发现了什么？（大圆套小圆）
3、剪连环圈
四、课堂小结
师：这节课，我们把一张普通的长方形纸条，变成了多么神奇的莫比乌斯圈。我们沿着1/2，1/3的地方剪开莫比乌斯圈，感受到它的魅力。师：希望这节课能给同学们有所启发，平时多留心观察，像今天这样大胆猜测，小心验证，凡事多问为什么，说不定下一个伟大的发现会在同学们身上诞生！
莫比乌斯圈
教学目标：
1.引导学生在对比探究中认识“莫比乌斯圈”，并学会将长方形纸条制成莫比乌斯圈。
2.引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯圈”的特征，体验“猜想-验证-探究”的数学思想方法，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。
3.在莫比乌斯圈魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。
教学过程：
一、 认识“莫比乌斯圈”
1. 谈话引入
师：同学们，知道刘谦吗？ 下面老师也给大家变个魔术。
看，这是一张普通的长方形纸条，把纸条这边折一下，那边再折一下，然后用回形针别在这边，再别这边，拉动纸条的两端，猜一猜，两枚回形针会怎样？ 请一位同学上来当小助手，验证一下，大家猜得对不对？（和学生一起拉） 下面是见证奇迹的时刻，一，二，三，拉。
请你说说两枚回形针怎样？
还想变其他魔术吗？接下来的这节课要认真听、看，想。
2、制作普通纸圈
（1）观察
师：这是一张普通的长方形纸条，看看它有几条边？几个面？
生：4条边，2个面。
师：（指一下）是的，4条边，2个面。
师：那你们能把它变成2条边，2个面吗？（提前渗透）
生：可以首尾相接围成一个圈。
师：你很聪明。把这张纸头尾相连围成一个圈，就变成了2条边，2个面。你能指一下是哪2条边，2个面吗？（生上来指）
师：是的，先确定一点，从一点出发又回到这起点，就是1条边，下面也是1条边，一共是两条边，里面、外面一共是2个面。我们一起数一数。上下两条边，里外两个面。
3、制作“莫比乌斯圈”
（1）思考
师：能不能再变一变，把它变成1条边，1个面？（稍微停一下）
师：看老师来变一变。
下面是见证奇迹的时刻，三、二、一（展示莫比乌斯圈）
（2）介绍制作方法
师：有谁看清老师是怎么变的？（停一下）下面跟老师一起来做一做。
师：先做一个普通的纸圈，现在左手捏住一端不动，右手将另一端扭转180度，再重合粘贴起来。（教师演示，学生学做）
（若还是有学生不会做，再重新演示一遍）
（3）验证
师：我们做的这个纸圈是不是真的只有1条边，1个面呢？怎么验证只有1条边？
生：从这一点出发，用笔做一下记号，沿着边走，绕一圈又回到了起点。
师：（师指一下）有没有经过所有的边呢？那说明确实只有1条边。（板书：1条边）
师：那么怎样验证只有1个面？
生：用手从一个起点一直饶到完，就可以验证只有一个面了。
师：好，我们一起用手指饶一圈，这是个好方法，可惜用手指饶不能留下痕迹，如果留下痕迹，就更容易判断了，怎么办？
生：用水彩笔。设立一个起点，沿着中间画下去，再回到起点。
师：好办法，我们用这个方法验证一下。师画一半：好，我们一起动手验证一下。 （投影展示：师演示，生完成，师再画完）
（4）小结
师：我们从起点出发，再回到起点，不仅画过蓝色的面，还画过白色的面，这说明我们画的这个纸圈只有几个面？
生：只有1个面。（板书：1个面）
师：通过刚才的验证我们发现这个纸圈只有1个面，1条边。
（6）介绍莫比乌斯圈
师：像这样，只有“1条边，1个面”的神奇的纸圈叫莫比乌斯圈。（板书：莫比乌斯圈）
它是德国数学家莫比乌斯在1858年做研究时不经意间发现的。（课件出示故事，指一个优秀的学生读一下）
进行思想教育
（7）比较普通纸圈和“莫比乌斯圈”的区别（拿出样品）
师：同是一张纸，是什么原因使“莫比乌斯圈”只有1条边，1个面呢？
师：（边操作边解释）其实道理很简单，你们看这个纸圈，外侧面是蓝色，内侧面是白色，本来蓝色和白色的面井水不犯河水，可现在我们把蓝色的面翻转到白色这面，粘在一起，这个时候原本一外一内的蓝白两面就合二为一了，所以它只有1个面。边也是这样。所以别看这小小的翻转。“莫比乌斯圈”就只有1条边，1个面了，神奇吧！
二、介绍莫比乌斯圈在生活中的应用
1、介绍生活中的“莫比乌斯圈”
师：莫比乌斯圈只有1条边，1个面有什么好处呢？（课件介绍）
2、延伸
师：原来莫比乌斯圈并不陌生，它就在我们身边，因为它的神奇魅力，后来很多人迷上了“莫比乌斯圈”，数学家们，科学家们通过对莫比乌斯圈的深入研究，就慢慢形成了一门新的学说---拓扑几何学。（板书：拓扑几何学）
三、研究“莫比乌斯圈”
师：其实“莫比乌斯圈”的神奇才刚刚开始呢。
1、 剪“莫比乌斯圈”（1/2）
（1） 猜一猜（投影展示）
师：如果沿着“莫比乌斯圈”中间的线也就是1/2的地方剪一圈，你们猜猜会变成什么样？（板书：大胆猜想）
生：
师：还有不同的猜法吗？
师：大家都认为会变成两个圈，真的是这样吗？我们得验证一下。（板书：小心验证）怎么验证呢？
生：剪
师：怎么剪？
师：能不能这样剪？
师：先对折，轻轻剪开一点，从小口处剪。（投影演示）
师：（边剪边问）沿着虚线一直剪，一直剪，（就差一刀了），接下来，究竟会变成什么样呢？见证奇迹的时刻，三、二、一！（突然停下剪刀）
师：这个奇迹就留给同学们见证吧！
（生动手验证）
（3）验证交流
师：变成什么样子啊？是两个圈吗？
师：为什么没有一分为二变成2个圈？而是变成1个大圈？
师：其实这和“莫比乌斯圈”的特点有关。普通的纸圈有2个面，剪时就会变成2个圈（拿普通圈剪）因为“莫比乌斯圈”只有1个面，所以不可能剪断。你们看，我们剪过白色这面又剪过蓝色这面，相当于剪过2个圈的长度。
师：这个2倍长的大圈还是“莫比乌斯圈”吗？我们用水彩笔用学过的方法验证一下。
（生验证得出结论“有2个面，不是莫比乌斯圈”）
师：哦，变成了1个普通的的纸圈，神奇吧！
2、 剪“莫比乌斯圈”（1/3）
师：刚才，沿着1/2的虚线一直剪下去，变成了1个普通的的纸圈。下面拿出画好了三等份的长方形纸条，一起再做一个莫比乌斯圈。现在虚线把这个莫比乌斯圈3等份，如果沿着1/3的虚线一直剪下去，会是什么样呢？（停顿一下）会不会还是1个普通的大圈？（投影演示，稍微剪一下）
师：请大家剪一剪验证一下，注意：沿左边1/3剪可以吗？右边呢？也就是一直从左边1/3处剪，要么从右边1/3处剪。要轻点，避免剪断，其次要一直剪。 师：变成什么样子了?
生：一个大圈套着一个小圈。
师：这个莫比乌斯圈怎么老是和我们做对啊！刚才沿着1/2的地方剪，变成1个2倍长的大圈，现在沿着1/3的地方剪，又变成1个大圈套着1个小圈。
那么如果沿着1/4、1/5„„的宽度剪开“莫比乌斯圈”，它又会带给我们什么新的惊喜呢？请大家拿出4等份或5等份的长方形纸条，再做一个莫比乌斯圈，沿着 1/4或1/5，剪一剪，发现了什么？（大圆套小圆）
3、剪连环圈
四、课堂小结
师：这节课，我们把一张普通的长方形纸条，变成了多么神奇的莫比乌斯圈。我们沿着1/2，1/3的地方剪开莫比乌斯圈，感受到它的魅力。师：希望这节课能给同学们有所启发，平时多留心观察，像今天这样大胆猜测，小心验证，凡事多问为什么，说不定下一个伟大的发现会在同学们身上诞生！