1(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎨
⎧x =4+5cos t ,
(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
⎩y =5+5sin t
坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π) ．
⎧x =4+5cos t , 22
解：(1)将⎨消去参数t ，化为普通方程(x －4) ＋(y －5) ＝25，
⎩y =5+5sin t
即C 1：x ＋y －8x －10y ＋16＝0. 将⎨
2
2
⎧x =ρcos θ, 222
代入x ＋y －8x －10y ＋16＝0得ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
⎩y =ρsin θ
所以C 1的极坐标方程为 2
ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
22
(2)C 2的普通方程为x ＋y －2y ＝0.
⎧x 2+y 2-8x -10y +16=0, 由⎨2 2
⎩x +y -2y =0⎧x =1, ⎧x =0, 解得⎨或⎨
⎩y =1⎩y =2.
π⎫⎛π⎫所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为⎪， 2, ⎪.
4⎭⎝2⎭
2.(2014全国卷1) （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =2+t x 2y 2
已知曲线C :（t 为参数） +=1，直线l :⎨
y =2-2t 49⎩
（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
3．在极坐标系中，点M 坐标是(3,
π
2
) ，曲线C 的方程为ρ=22sin(θ+
π
4
) ；以极点为坐
标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求|MA |⋅|MB |的值．
．解：（1）∵点M 的直角坐标是(0, 3) ，直线l 倾斜角是135 ， …………（1分）
⎧2x =-t ⎪⎧x =t cos 135 ⎪2
∴直线l 参数方程是⎨，即⎨， ………（3分）
⎪⎩y =3+t sin 135y =3+t ⎪2⎩
π
ρ=22sin(θ+) 即ρ=2(sinθ+cos θ) ，
4
两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ) ，曲线C 的直角坐标方程 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y =0；………………（5分）
⎧2
t ⎪x =-
⎪2（2）⎨代入x 2+y 2-2x -2y =0，得t 2+2t +3=0
2⎪
y =3+t ⎪2⎩
∵∆=6>0，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设t 2+32t +3=0的两个根是t 1、t 2，t 1t 2=3，
∴|MA |⋅|MB |=|t 1t 2|=3． ………………（10分）
⎧x =4cos α
⎨
y =sin α（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标
4．平面直角坐标系中，将曲线⎩
变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C 1 ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C 2的方程为ρ=4sin θ，求C 1和C 2公共弦的长度．
⎧x =4cos α⎨y =sin α
解：曲线⎩（α为参数）上的每一点纵坐标不变， ⎧x =2cos α
⎨y =sin α
横坐标变为原来的一半得到⎩，
⎧x =2cos α+1
⎨
然后整个图象向右平移1个单位得到⎩y =sin α，
⎧x =2cos α+1
⎨y =2sin α
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩，
2222
C C ρ=4sin θ(x -1) +y =4x +y =4y ， 12所以为， 又为，即
所以C 1和C 2公共弦所在直线为2x -4y +3=0， 所以(1, 0) 到2x -4y +3=0距离为
55
24-=42， 所以公共弦长为．
⎧x =3-t , ⎪⎪25．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎨(t 为参数) ．在极坐标系(与⎪y =⎪⎩2
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，圆C 的方程为ρ=25sin θ． (Ⅰ) 求圆C 的直角坐标方程；
B ．(Ⅱ) 设圆C 与直线l 交于点A ，若点P 的坐标为(3
，求P A +(Ⅰ) x 2+(y 2-2y +5) =5⇒x 2+(y -) 2=5． (Ⅱ) |PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=2+
22=32. PA -PB =
与PA -PB ．
．
【解析】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握
直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题
（I ）圆C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得A,B 坐标，进而得到结论。 解：(Ⅰ) 由ρ=
θ，得ρ=
sin θ，∴x +y =
,
2
2
2
所以x 2+(y 2-2y +5) =5⇒x 2+(y -) 2=5．
(Ⅱ) 直线的一般方程为x -3=y -5⇔x -y +5-3=0，容易知道P 在直线上，又
32+(5-5) 2>5，所以P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到：A (2, -1), B (1, -2) ，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=2+2=32.
同理，可得PA -PB =
．
x 2y 2
+=1与坐标轴正半轴的两个交点. 6 已知A,B 两点是椭圆 94
(1)设y =2sin α, α为参数，求椭圆的参数方程；
(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大，并求此最大值.
解：（1）⎨
⎧x =3cos απ
（α为参数）；（2）当α= ，即
P 时，4⎩y =2sin α⎝(
S OAPB )m a x =。
【解析】本试题主要是考查了运用参数方程来求解最值的数学思想的运用。
x 24sin 2α
+=1， （1）把y =2sin α代入椭圆方程，得94
222
于是 x =91-sin α=9cos α， 即 x =±3cos α，那么可知参数方程的表示。
()
（2）由椭圆的参数方程，设P (3cos α,2sin α) 0
⎛⎝
π⎫
⎪ 2⎭
11π⎫⎛
S OAPB =S ∆OAP +S ∆OBP =⨯3⨯2sin α+⨯2⨯3cos α= α+⎪
224⎭⎝
结合三角函数的值域求解最值。
⎧⎪x =37．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎨。在极坐标系（与（t 为参数）
y ⎪⎩直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的
方程为ρ=θ。 （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P
的坐标为，求|PA|+|PB|。
⎧x =2cos α
(α为参数) ，M 是曲线C 1上
y =2+2sin α⎩
8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎨
的动点，点P 满足=2 (1)求点P 的轨迹方程C 2；
(2)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=点的A 、B 两点，求|AB|.
（1）x +(y -4) =16 （2）=2
【解析】(1)先求出曲线C 1的普通方程为x +(y -2) =4, 再根据OP =2OM , 结合代点法可求出点P 的轨迹方程.
2
2
π
3
与曲线C 1、C 2交于不同于极
22
（2
）因为两圆内切，切点为极点，然后再根据圆心到射线y =的距离，求出弦长，两个圆的弦长相减可得|AB|的值
9. 在平面直角坐标系中，曲线c
1的参数方程为
{
x y = (t 为参数) ，以O 为极点，
射线ox 为极轴的极坐标中，曲线c 2的方程为ρ求
=4sin θ，曲线c 1，c 2交于M , N ,
MN
1(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲已知函数f (x ) ＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x ) ＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x ) ＜g (x ) 的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈⎢-
⎡a 1⎫
, ⎪时，f (x )≤g (x ) ，求a 的取值范围 ⎣22⎭
解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x ) ＜g (x ) 化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
1⎧
-5x , x
1⎪
则y ＝⎨-x -2, ≤x ≤1,
2⎪
⎪3x -6, x >1. ⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.
所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎢-
⎡a 1⎫
, ⎪时，f (x ) ＝1＋a . ⎣22⎭
不等式f (x )≤g (x ) 化为1＋a ≤x ＋3.
⎡a 1⎫
, ⎪都成立． ⎣22⎭
a 4故-≥a －2，即a ≤.
23
4⎤⎛
从而a 的取值范围是 -1, ⎥.
3⎦⎝
所以x ≥a －2对x ∈⎢-
．
2.(2014课标全国Ⅰ，文24) （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a >0, b >0, 且
11
+=ab a b
（I ）求a 3+b 3的最小值；
（II ）是否存在a , b ，使得2a +3b =6？并说明理由.
3. 已知函数f (x ) =x +1-2x -3
（1）画出函数图像（
2）求不等式f (x ) >1的解集
4（16全国2卷）. 已知函数，M 为不等式f (x )
（2）证明 ：当a , b ∈M 时, a -b
5. （2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数（Ⅰ）若不等式
。 的解集为
，求实数的值；
对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若范围。
6【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 已知f (x ) =|ax +1|(a ∈R ) ，不等式f (x ) ≤3的解集为{x -2≤x ≤1}。 (Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 若f (x ) -2f () ≤k 恒成立，求k 的取值范围。
7【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x ，y 满足：
x
2
|x +y |
115
求证：|y |
3618
8（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，
等号成立。
9(2011年高考福建卷理科21) （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式2x -1的解集为M ．
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b的大小．
10.(2015.福建高考) 已知a>0，b>0，c>0，函数f (x ) =x +a +x -b +c 的最小值4 （1）求a+b+c (2)
12122
a +b +c的最小值 49
1(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎨
⎧x =4+5cos t ,
(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
⎩y =5+5sin t
坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π) ．
⎧x =4+5cos t , 22
解：(1)将⎨消去参数t ，化为普通方程(x －4) ＋(y －5) ＝25，
⎩y =5+5sin t
即C 1：x ＋y －8x －10y ＋16＝0. 将⎨
2
2
⎧x =ρcos θ, 222
代入x ＋y －8x －10y ＋16＝0得ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
⎩y =ρsin θ
所以C 1的极坐标方程为 2
ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
22
(2)C 2的普通方程为x ＋y －2y ＝0.
⎧x 2+y 2-8x -10y +16=0, 由⎨2 2
⎩x +y -2y =0⎧x =1, ⎧x =0, 解得⎨或⎨
⎩y =1⎩y =2.
π⎫⎛π⎫所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为⎪， 2, ⎪.
4⎭⎝2⎭
2.(2014全国卷1) （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =2+t x 2y 2
已知曲线C :（t 为参数） +=1，直线l :⎨
y =2-2t 49⎩
（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
3．在极坐标系中，点M 坐标是(3,
π
2
) ，曲线C 的方程为ρ=22sin(θ+
π
4
) ；以极点为坐
标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求|MA |⋅|MB |的值．
．解：（1）∵点M 的直角坐标是(0, 3) ，直线l 倾斜角是135 ， …………（1分）
⎧2x =-t ⎪⎧x =t cos 135 ⎪2
∴直线l 参数方程是⎨，即⎨， ………（3分）
⎪⎩y =3+t sin 135y =3+t ⎪2⎩
π
ρ=22sin(θ+) 即ρ=2(sinθ+cos θ) ，
4
两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ) ，曲线C 的直角坐标方程 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y =0；………………（5分）
⎧2
t ⎪x =-
⎪2（2）⎨代入x 2+y 2-2x -2y =0，得t 2+2t +3=0
2⎪
y =3+t ⎪2⎩
∵∆=6>0，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设t 2+32t +3=0的两个根是t 1、t 2，t 1t 2=3，
∴|MA |⋅|MB |=|t 1t 2|=3． ………………（10分）
⎧x =4cos α
⎨
y =sin α（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标
4．平面直角坐标系中，将曲线⎩
变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C 1 ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C 2的方程为ρ=4sin θ，求C 1和C 2公共弦的长度．
⎧x =4cos α⎨y =sin α
解：曲线⎩（α为参数）上的每一点纵坐标不变， ⎧x =2cos α
⎨y =sin α
横坐标变为原来的一半得到⎩，
⎧x =2cos α+1
⎨
然后整个图象向右平移1个单位得到⎩y =sin α，
⎧x =2cos α+1
⎨y =2sin α
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩，
2222
C C ρ=4sin θ(x -1) +y =4x +y =4y ， 12所以为， 又为，即
所以C 1和C 2公共弦所在直线为2x -4y +3=0， 所以(1, 0) 到2x -4y +3=0距离为
55
24-=42， 所以公共弦长为．
⎧x =3-t , ⎪⎪25．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎨(t 为参数) ．在极坐标系(与⎪y =⎪⎩2
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，圆C 的方程为ρ=25sin θ． (Ⅰ) 求圆C 的直角坐标方程；
B ．(Ⅱ) 设圆C 与直线l 交于点A ，若点P 的坐标为(3
，求P A +(Ⅰ) x 2+(y 2-2y +5) =5⇒x 2+(y -) 2=5． (Ⅱ) |PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=2+
22=32. PA -PB =
与PA -PB ．
．
【解析】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握
直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题
（I ）圆C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得A,B 坐标，进而得到结论。 解：(Ⅰ) 由ρ=
θ，得ρ=
sin θ，∴x +y =
,
2
2
2
所以x 2+(y 2-2y +5) =5⇒x 2+(y -) 2=5．
(Ⅱ) 直线的一般方程为x -3=y -5⇔x -y +5-3=0，容易知道P 在直线上，又
32+(5-5) 2>5，所以P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到：A (2, -1), B (1, -2) ，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=2+2=32.
同理，可得PA -PB =
．
x 2y 2
+=1与坐标轴正半轴的两个交点. 6 已知A,B 两点是椭圆 94
(1)设y =2sin α, α为参数，求椭圆的参数方程；
(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大，并求此最大值.
解：（1）⎨
⎧x =3cos απ
（α为参数）；（2）当α= ，即
P 时，4⎩y =2sin α⎝(
S OAPB )m a x =。
【解析】本试题主要是考查了运用参数方程来求解最值的数学思想的运用。
x 24sin 2α
+=1， （1）把y =2sin α代入椭圆方程，得94
222
于是 x =91-sin α=9cos α， 即 x =±3cos α，那么可知参数方程的表示。
()
（2）由椭圆的参数方程，设P (3cos α,2sin α) 0
⎛⎝
π⎫
⎪ 2⎭
11π⎫⎛
S OAPB =S ∆OAP +S ∆OBP =⨯3⨯2sin α+⨯2⨯3cos α= α+⎪
224⎭⎝
结合三角函数的值域求解最值。
⎧⎪x =37．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎨。在极坐标系（与（t 为参数）
y ⎪⎩直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的
方程为ρ=θ。 （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P
的坐标为，求|PA|+|PB|。
⎧x =2cos α
(α为参数) ，M 是曲线C 1上
y =2+2sin α⎩
8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎨
的动点，点P 满足=2 (1)求点P 的轨迹方程C 2；
(2)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=点的A 、B 两点，求|AB|.
（1）x +(y -4) =16 （2）=2
【解析】(1)先求出曲线C 1的普通方程为x +(y -2) =4, 再根据OP =2OM , 结合代点法可求出点P 的轨迹方程.
2
2
π
3
与曲线C 1、C 2交于不同于极
22
（2
）因为两圆内切，切点为极点，然后再根据圆心到射线y =的距离，求出弦长，两个圆的弦长相减可得|AB|的值
9. 在平面直角坐标系中，曲线c
1的参数方程为
{
x y = (t 为参数) ，以O 为极点，
射线ox 为极轴的极坐标中，曲线c 2的方程为ρ求
=4sin θ，曲线c 1，c 2交于M , N ,
MN
1(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲已知函数f (x ) ＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x ) ＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x ) ＜g (x ) 的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈⎢-
⎡a 1⎫
, ⎪时，f (x )≤g (x ) ，求a 的取值范围 ⎣22⎭
解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x ) ＜g (x ) 化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
1⎧
-5x , x
1⎪
则y ＝⎨-x -2, ≤x ≤1,
2⎪
⎪3x -6, x >1. ⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.
所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎢-
⎡a 1⎫
, ⎪时，f (x ) ＝1＋a . ⎣22⎭
不等式f (x )≤g (x ) 化为1＋a ≤x ＋3.
⎡a 1⎫
, ⎪都成立． ⎣22⎭
a 4故-≥a －2，即a ≤.
23
4⎤⎛
从而a 的取值范围是 -1, ⎥.
3⎦⎝
所以x ≥a －2对x ∈⎢-
．
2.(2014课标全国Ⅰ，文24) （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a >0, b >0, 且
11
+=ab a b
（I ）求a 3+b 3的最小值；
（II ）是否存在a , b ，使得2a +3b =6？并说明理由.
3. 已知函数f (x ) =x +1-2x -3
（1）画出函数图像（
2）求不等式f (x ) >1的解集
4（16全国2卷）. 已知函数，M 为不等式f (x )
（2）证明 ：当a , b ∈M 时, a -b
5. （2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数（Ⅰ）若不等式
。 的解集为
，求实数的值；
对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若范围。
6【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 已知f (x ) =|ax +1|(a ∈R ) ，不等式f (x ) ≤3的解集为{x -2≤x ≤1}。 (Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 若f (x ) -2f () ≤k 恒成立，求k 的取值范围。
7【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x ，y 满足：
x
2
|x +y |
115
求证：|y |
3618
8（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，
等号成立。
9(2011年高考福建卷理科21) （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式2x -1的解集为M ．
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b的大小．
10.(2015.福建高考) 已知a>0，b>0，c>0，函数f (x ) =x +a +x -b +c 的最小值4 （1）求a+b+c (2)
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a +b +c的最小值 49