文汇报/2012年/5月/24日/第00A 版
文汇教育
数学猜想, 全世界能攻的不超100人
数学猜想——对于大多数人来说，意味着神秘浪漫，高深莫测。
破解数学猜想之人，从来也散发着深不可测的气息。
不久前，中南大学22岁的本科生刘路因为破解了“西塔潘”数学猜想，被破格晋升为教授级研究员。而复旦大学的本科生和博士生3年前联合破解了数学猜想——曼哈顿猜想，也曾引来学界侧目。
对更多国内的数学爱好者而言，数学猜想的概念普及始自上世纪70年代。其时，由报告文学家徐迟撰写的《哥德巴赫猜想》，不仅详实记录了我国著名数学家陈景润攻克世界级数学难题的过程，也一举让哥德巴赫猜想成为中国人最熟悉的数学猜想。
时至今日，还有多少未解的数学猜想，会引众多数学天才们“竞折腰”？
本报首席记者 姜澎
数学猜想年年都在破，也年年有新生
被认为重要性远超哥德巴赫猜想和费尔马猜想的黎曼猜想，即便被解决了，世界上最顶尖的数学家要消化这个猜想，还需要花上几年时间。
对于数学家来说，数学不是计算工具，而是一门浪漫的语言。投身数学的人，很多都是被它纯粹而简洁的美所倾倒。至于数学猜想，则是数学独特魅力的一种体现。
所谓猜想，就是你能够提出问题，也能够给出答案，但却无法完成推导论证过程。一旦提出了猜想，又完成了推导过程，有确信的答案，那么就称为定理。
至今尚未有解的黎曼猜想、哥德巴赫猜想莫不如此。这些数学界里的重量级猜想，让数学家们绞尽脑汁，但仍然悬置在那里。
而门外汉有所不知的是，当数学猜想不断被攻破的同时，新的猜想也在不断产生。近年来，各种数学猜想不断见诸报端。
“其实，任何人都可以提出数学猜想。关键在于，它们是不是能够引起数学界人士的关注。我们可以认为，这些猜想是不同层面的数学猜想。”一位数学家这样告诉记者，这就是为什么每有猜想被宣布破解时，最激动的发表意见者往往不是数学家。
在一些专业论坛上搜索“数学猜想”，会出现一长串结果。至于哥德巴赫猜想，一位数学家告诉记者，至今都能够在网上看到各路“民间高手”在孜孜不倦地研究。“我经常会接到民间数学爱好者的信，说自己已经解决了哥德巴赫猜想。”
谈及把数学猜想当爱好的业余人士，数学家有时不得不苦笑。对大部分猜想，数学家都需要假以时日才能搞明白，更不要说没受过数学训练的普通人。可另一方面，猜想之所以引人入胜，乃因为它们“浅显”的入口——不论是哥德巴赫猜想还是黎曼猜想，表述都非常简单。
哥德巴赫的猜想是：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。例如4=2+2，6=3+3，8=3+5。论猜想的内容，小学生也能看懂。很多人就此误以为，破解猜想也像解小学数学题那么简单，只要灵机一动，业余人士说不准也能取得重大突破。
“很多猜想，100年都解决不了。比如费尔马猜想，数学家们花了3个半世纪以上才解决，而哥德巴赫猜想历经两个半世纪，十几代人都试图证明，但仍然屹立不倒。著名的黎曼猜想花费了科学家们一个半世纪还未解决。”复旦大学数学系教授苏仰峰清楚，破解猜想绝非“门外汉”可以随便上手的“游戏”。
事实上，每年数学家都能证明几万条定理，而定理在成立之前，都可以被认为是猜想。那么，在这上万条定理里，多少是有意义的呢？
“很多猜想，在数学家们眼里并不能被称作猜想——这种小的猜想，充其量只能算是数学难题，比如中南大学本科生破解的那个猜想，虽然是一个有趣的猜想，但是需要的也就是‘灵机一动’而已，并不需要什么高深的数学工具。”一位数学专家坦言，动辄上万规模的数学猜想里，最多也就几十条对于数学的发展有价值。至于其他，“有它没它都可以，数学世界不会有任何反应。”
“那些重量级的猜想，比如被认为重要性远远超过哥德巴赫猜想和费尔马猜想的黎曼猜想，即便被解决了，世界最顶尖的数学家要消化这个猜想，还需要花上几年的时间。”
10个70分，也不可能超过1个90分
“全世界适合去攻克数学猜想的人不会超过100个。不是很有天分的人，根本就做不出什么结果。”
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”、“只要功夫深，铁杵磨成针”……耳熟能详的励志谚语在数学界失效。尤其是在研究数学猜想方面，“10个天分只有70分的人，不能产生叠加效应达到700分，而仍然只是个平均数70分而已，远远比不上一个90分。”一位名校数学系教授直言，数学猜想只适合那些极有数学天分的人研究，“大多数人去做数学猜想，只能凑个热闹。”
数学猜想也有高处不胜寒的危机。在数学界，它并不总是那么“招人喜欢”。和很多学科应用领域和基础领域总是相互“较劲”相同的是，数学的应用和纯理论研究也互相“较劲”，数学猜想则是体现这一差异的代表。
在应用数学界，很多老师并不支持学生去钻研数学猜想。苏仰峰解释，应用数学要解决的问题往往没有终极答案，永远有更好的解决方式；但像数学猜想这样的纯理论问题，往往具有唯一答案，而且是纯粹的数学游戏。
“数学猜想，从某种程度可以锻炼学生的思维能力，但是我并不鼓励学生把研究数学猜想作为终身事业，世界上需要用数学工具来解决的问题实在太多；数学猜想，全世界只要少数的很有天赋的数学家来做就可以了。”
学界有个说法：全世界适合去攻克数学猜想的人不超过100个，那都是具有百分百天赋的数学家。
不过，大多数接受采访的数学系教授们称，“无论是什么样的猜想，作为一个本科生来说，解决这些猜想，毫无疑问体现了他们对数学的热爱，至于外界对于他们的评论，已经属于传播的n 次方传播效应了，超越了这件事情本身的意义。”
“无用”的猜想，有着令人垂涎的副产品
在世界著名的数学家哈代等人看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学则是丑陋和无趣的。
数学猜想究竟有什么用？这问题不仅在当下，在古代西方国家，也曾经倍受质疑。只不过，即便受到质疑，也有人趋之若鹜。实际上，世界级数学猜想大多都没什么用，即便是著名的费马大定理，科学家尚未发现实用之处。
“大多数时候，数学猜想只是一种思想的工具。那些重大的数学猜想产生的原因，一是因为数学发展内部的矛盾所需要解决的问题，二是外部原因需要数学解决问题所产生的猜想。”上海交通大学研究数学史的纪志刚教授说，前一种情况要比后者多得多。现在尚未解决的猜想大部分属于纯数学，而纯数学是不考虑是否有实际用途的。“也许它未来会适宜于应用领域，或产生新的数学研究工具，但目前为止，对于那些尚未完成的猜想，不要问有什么应用价值。”
在数学界，应用和纯数学在很长一段时间里相处并不融洽。在著名数学家哈代等人看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学是丑陋、无趣的。
非欧几何的创始人之一、俄国数学家罗巴切夫斯基曾经说过：“没有哪个数学分支有一天会不被用于解决现实世界的问题，不管它是多么抽象。”在当时非欧几何还只是抽象的数学游戏，后来却被爱因斯坦用在了广义相对论，罗巴切夫斯基的预言至少在他开创的领域应验了。
类似的例子举不胜举。当初纯之又纯的数论，在密码学中获得应用；欧氏几何在2000年前备受质疑，认为欧氏几何的作用就是丈量土地。当时，欧几里德在讲课，有学生站起来问他，“学几何有什么用？”欧几里德沉默片刻对自己的仆人说：“请给这位先生3块金币，看来没有钱他是不愿学习的。”后来的故事广为人知，如果没有欧氏几何，微积分不可能诞生。
也正因此，数学界认为，纯数学研究在此时此刻无用，但是50年、100年后，谁也无法预测它的作用。基础学科的核心优越感也正在这里——很多时候，技术应用不过是它的副产品而已。
【相关链接一】七大世纪数学猜想
2000年5月，美国克雷数学研究所在还未解决的数学难题中选出了七个最重大的，称为“七大世纪数学猜想”，并为每道题悬赏百万美元求解。
黎曼(Riemann)猜想
现状：很多人攻关，尚未看到希望
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826-1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一大重要问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部分数学家也相信黎曼猜想是正确的。约翰・恩瑟・李特尔伍德与塞尔伯格曾对此猜想提出怀疑，但是，塞尔伯格晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。
霍奇(Hodge)猜想
现状：进展不大
霍奇猜想是代数几何中一个重大的、悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇著述的一个结果中出现，主要内容是，在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
庞加莱(Poincare)猜想
现状：已在2006年被俄罗斯数学家佩雷尔曼破解，佩雷尔曼因此获得当年的菲尔兹奖，但并没有现身领奖。
每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。 NP 完全问题
现状：尚未有进展
NP 就是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。
简单来说，有些计算问题是确定性的，比如加减乘除，你只要按照公式推导，就可以得到结果。但有些问题是无法按部就班地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，一套用就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？没有这样的公式。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们就猜想，是否这类问题存在一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。
杨－米尔(Yang-Mills)存在性和质量缺口
现状：难度太大，几乎没有人做
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波等全世界实验室所履行的高能实验中得到证实。
尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。
纳威厄－斯托克斯(Navier-Stokes)方程
现状：尚未解决
起伏的波浪跟随着正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳威厄－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。
纳威厄－斯托克斯方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S 方程。虽然这些方程是19世纪写下的，但迄今为止，对它们的理解仍然极少。
波奇(Birch)和斯维纳顿－戴雅(Swinnerton-Dyer)猜想
现状：尚未破解
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维纳顿－戴雅猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0, 那么存在无限多个有理点(解) ；相反，如果z(1)不等于0, 那么只存在有限多个这样的点。
【相关链接二】数学界的厄多斯传说
对数学猜想感兴趣的人，很多是出于纯粹的学术兴趣，近现代著名的数学家保罗・厄多斯就是一个数学痴。
厄多斯抛出过很多数学猜想，并给每个数学猜想都标上价格，从50美元到1万美元，只要能解出来，厄多斯从不赖账。对于一个以数学为终生职业的人来说，玩这类猜想游戏是有趣的。他一辈子发表了1000多篇论文，平均一年要写或回答1500多封有关数学问题的信。他每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据说多数的情形是人们把一些长期解决不了的问题和他讨论，他可以很快给出解决方法或答案，于是人们赶快把结果写下来，发表时加上他的名字，厄多斯的新论文就这样诞生了。
在数学界有一个关于厄多斯的著名传说，就是厄多斯数。厄多斯自己的厄多斯数是0，和厄多斯直接合作的人，厄多斯数是1；而和厄多斯数为1的人合作的人，厄多斯数为2……依次类推，爱因斯坦的厄多斯数为2，比尔盖茨的厄多斯数为4。而现在全世界数学界顶尖的数学家中有90%以上的数学家，厄多斯数为3。菲尔兹奖得主的厄多斯数大多不超过5，奈望林纳奖得主的厄多斯数不超过3，沃尔夫数学奖得主的厄多斯数不超过6，斯蒂尔奖终身成就奖得主的厄多斯数不超过4。
文汇报/2012年/5月/24日/第00A 版
文汇教育
数学猜想, 全世界能攻的不超100人
数学猜想——对于大多数人来说，意味着神秘浪漫，高深莫测。
破解数学猜想之人，从来也散发着深不可测的气息。
不久前，中南大学22岁的本科生刘路因为破解了“西塔潘”数学猜想，被破格晋升为教授级研究员。而复旦大学的本科生和博士生3年前联合破解了数学猜想——曼哈顿猜想，也曾引来学界侧目。
对更多国内的数学爱好者而言，数学猜想的概念普及始自上世纪70年代。其时，由报告文学家徐迟撰写的《哥德巴赫猜想》，不仅详实记录了我国著名数学家陈景润攻克世界级数学难题的过程，也一举让哥德巴赫猜想成为中国人最熟悉的数学猜想。
时至今日，还有多少未解的数学猜想，会引众多数学天才们“竞折腰”？
本报首席记者 姜澎
数学猜想年年都在破，也年年有新生
被认为重要性远超哥德巴赫猜想和费尔马猜想的黎曼猜想，即便被解决了，世界上最顶尖的数学家要消化这个猜想，还需要花上几年时间。
对于数学家来说，数学不是计算工具，而是一门浪漫的语言。投身数学的人，很多都是被它纯粹而简洁的美所倾倒。至于数学猜想，则是数学独特魅力的一种体现。
所谓猜想，就是你能够提出问题，也能够给出答案，但却无法完成推导论证过程。一旦提出了猜想，又完成了推导过程，有确信的答案，那么就称为定理。
至今尚未有解的黎曼猜想、哥德巴赫猜想莫不如此。这些数学界里的重量级猜想，让数学家们绞尽脑汁，但仍然悬置在那里。
而门外汉有所不知的是，当数学猜想不断被攻破的同时，新的猜想也在不断产生。近年来，各种数学猜想不断见诸报端。
“其实，任何人都可以提出数学猜想。关键在于，它们是不是能够引起数学界人士的关注。我们可以认为，这些猜想是不同层面的数学猜想。”一位数学家这样告诉记者，这就是为什么每有猜想被宣布破解时，最激动的发表意见者往往不是数学家。
在一些专业论坛上搜索“数学猜想”，会出现一长串结果。至于哥德巴赫猜想，一位数学家告诉记者，至今都能够在网上看到各路“民间高手”在孜孜不倦地研究。“我经常会接到民间数学爱好者的信，说自己已经解决了哥德巴赫猜想。”
谈及把数学猜想当爱好的业余人士，数学家有时不得不苦笑。对大部分猜想，数学家都需要假以时日才能搞明白，更不要说没受过数学训练的普通人。可另一方面，猜想之所以引人入胜，乃因为它们“浅显”的入口——不论是哥德巴赫猜想还是黎曼猜想，表述都非常简单。
哥德巴赫的猜想是：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。例如4=2+2，6=3+3，8=3+5。论猜想的内容，小学生也能看懂。很多人就此误以为，破解猜想也像解小学数学题那么简单，只要灵机一动，业余人士说不准也能取得重大突破。
“很多猜想，100年都解决不了。比如费尔马猜想，数学家们花了3个半世纪以上才解决，而哥德巴赫猜想历经两个半世纪，十几代人都试图证明，但仍然屹立不倒。著名的黎曼猜想花费了科学家们一个半世纪还未解决。”复旦大学数学系教授苏仰峰清楚，破解猜想绝非“门外汉”可以随便上手的“游戏”。
事实上，每年数学家都能证明几万条定理，而定理在成立之前，都可以被认为是猜想。那么，在这上万条定理里，多少是有意义的呢？
“很多猜想，在数学家们眼里并不能被称作猜想——这种小的猜想，充其量只能算是数学难题，比如中南大学本科生破解的那个猜想，虽然是一个有趣的猜想，但是需要的也就是‘灵机一动’而已，并不需要什么高深的数学工具。”一位数学专家坦言，动辄上万规模的数学猜想里，最多也就几十条对于数学的发展有价值。至于其他，“有它没它都可以，数学世界不会有任何反应。”
“那些重量级的猜想，比如被认为重要性远远超过哥德巴赫猜想和费尔马猜想的黎曼猜想，即便被解决了，世界最顶尖的数学家要消化这个猜想，还需要花上几年的时间。”
10个70分，也不可能超过1个90分
“全世界适合去攻克数学猜想的人不会超过100个。不是很有天分的人，根本就做不出什么结果。”
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”、“只要功夫深，铁杵磨成针”……耳熟能详的励志谚语在数学界失效。尤其是在研究数学猜想方面，“10个天分只有70分的人，不能产生叠加效应达到700分，而仍然只是个平均数70分而已，远远比不上一个90分。”一位名校数学系教授直言，数学猜想只适合那些极有数学天分的人研究，“大多数人去做数学猜想，只能凑个热闹。”
数学猜想也有高处不胜寒的危机。在数学界，它并不总是那么“招人喜欢”。和很多学科应用领域和基础领域总是相互“较劲”相同的是，数学的应用和纯理论研究也互相“较劲”，数学猜想则是体现这一差异的代表。
在应用数学界，很多老师并不支持学生去钻研数学猜想。苏仰峰解释，应用数学要解决的问题往往没有终极答案，永远有更好的解决方式；但像数学猜想这样的纯理论问题，往往具有唯一答案，而且是纯粹的数学游戏。
“数学猜想，从某种程度可以锻炼学生的思维能力，但是我并不鼓励学生把研究数学猜想作为终身事业，世界上需要用数学工具来解决的问题实在太多；数学猜想，全世界只要少数的很有天赋的数学家来做就可以了。”
学界有个说法：全世界适合去攻克数学猜想的人不超过100个，那都是具有百分百天赋的数学家。
不过，大多数接受采访的数学系教授们称，“无论是什么样的猜想，作为一个本科生来说，解决这些猜想，毫无疑问体现了他们对数学的热爱，至于外界对于他们的评论，已经属于传播的n 次方传播效应了，超越了这件事情本身的意义。”
“无用”的猜想，有着令人垂涎的副产品
在世界著名的数学家哈代等人看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学则是丑陋和无趣的。
数学猜想究竟有什么用？这问题不仅在当下，在古代西方国家，也曾经倍受质疑。只不过，即便受到质疑，也有人趋之若鹜。实际上，世界级数学猜想大多都没什么用，即便是著名的费马大定理，科学家尚未发现实用之处。
“大多数时候，数学猜想只是一种思想的工具。那些重大的数学猜想产生的原因，一是因为数学发展内部的矛盾所需要解决的问题，二是外部原因需要数学解决问题所产生的猜想。”上海交通大学研究数学史的纪志刚教授说，前一种情况要比后者多得多。现在尚未解决的猜想大部分属于纯数学，而纯数学是不考虑是否有实际用途的。“也许它未来会适宜于应用领域，或产生新的数学研究工具，但目前为止，对于那些尚未完成的猜想，不要问有什么应用价值。”
在数学界，应用和纯数学在很长一段时间里相处并不融洽。在著名数学家哈代等人看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学是丑陋、无趣的。
非欧几何的创始人之一、俄国数学家罗巴切夫斯基曾经说过：“没有哪个数学分支有一天会不被用于解决现实世界的问题，不管它是多么抽象。”在当时非欧几何还只是抽象的数学游戏，后来却被爱因斯坦用在了广义相对论，罗巴切夫斯基的预言至少在他开创的领域应验了。
类似的例子举不胜举。当初纯之又纯的数论，在密码学中获得应用；欧氏几何在2000年前备受质疑，认为欧氏几何的作用就是丈量土地。当时，欧几里德在讲课，有学生站起来问他，“学几何有什么用？”欧几里德沉默片刻对自己的仆人说：“请给这位先生3块金币，看来没有钱他是不愿学习的。”后来的故事广为人知，如果没有欧氏几何，微积分不可能诞生。
也正因此，数学界认为，纯数学研究在此时此刻无用，但是50年、100年后，谁也无法预测它的作用。基础学科的核心优越感也正在这里——很多时候，技术应用不过是它的副产品而已。
【相关链接一】七大世纪数学猜想
2000年5月，美国克雷数学研究所在还未解决的数学难题中选出了七个最重大的，称为“七大世纪数学猜想”，并为每道题悬赏百万美元求解。
黎曼(Riemann)猜想
现状：很多人攻关，尚未看到希望
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826-1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一大重要问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部分数学家也相信黎曼猜想是正确的。约翰・恩瑟・李特尔伍德与塞尔伯格曾对此猜想提出怀疑，但是，塞尔伯格晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。
霍奇(Hodge)猜想
现状：进展不大
霍奇猜想是代数几何中一个重大的、悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇著述的一个结果中出现，主要内容是，在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
庞加莱(Poincare)猜想
现状：已在2006年被俄罗斯数学家佩雷尔曼破解，佩雷尔曼因此获得当年的菲尔兹奖，但并没有现身领奖。
每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。 NP 完全问题
现状：尚未有进展
NP 就是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。
简单来说，有些计算问题是确定性的，比如加减乘除，你只要按照公式推导，就可以得到结果。但有些问题是无法按部就班地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，一套用就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？没有这样的公式。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们就猜想，是否这类问题存在一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。
杨－米尔(Yang-Mills)存在性和质量缺口
现状：难度太大，几乎没有人做
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波等全世界实验室所履行的高能实验中得到证实。
尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。
纳威厄－斯托克斯(Navier-Stokes)方程
现状：尚未解决
起伏的波浪跟随着正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳威厄－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。
纳威厄－斯托克斯方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S 方程。虽然这些方程是19世纪写下的，但迄今为止，对它们的理解仍然极少。
波奇(Birch)和斯维纳顿－戴雅(Swinnerton-Dyer)猜想
现状：尚未破解
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维纳顿－戴雅猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0, 那么存在无限多个有理点(解) ；相反，如果z(1)不等于0, 那么只存在有限多个这样的点。
【相关链接二】数学界的厄多斯传说
对数学猜想感兴趣的人，很多是出于纯粹的学术兴趣，近现代著名的数学家保罗・厄多斯就是一个数学痴。
厄多斯抛出过很多数学猜想，并给每个数学猜想都标上价格，从50美元到1万美元，只要能解出来，厄多斯从不赖账。对于一个以数学为终生职业的人来说，玩这类猜想游戏是有趣的。他一辈子发表了1000多篇论文，平均一年要写或回答1500多封有关数学问题的信。他每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据说多数的情形是人们把一些长期解决不了的问题和他讨论，他可以很快给出解决方法或答案，于是人们赶快把结果写下来，发表时加上他的名字，厄多斯的新论文就这样诞生了。
在数学界有一个关于厄多斯的著名传说，就是厄多斯数。厄多斯自己的厄多斯数是0，和厄多斯直接合作的人，厄多斯数是1；而和厄多斯数为1的人合作的人，厄多斯数为2……依次类推，爱因斯坦的厄多斯数为2，比尔盖茨的厄多斯数为4。而现在全世界数学界顶尖的数学家中有90%以上的数学家，厄多斯数为3。菲尔兹奖得主的厄多斯数大多不超过5，奈望林纳奖得主的厄多斯数不超过3，沃尔夫数学奖得主的厄多斯数不超过6，斯蒂尔奖终身成就奖得主的厄多斯数不超过4。