中学数学杂志㊀ ２０１５年第９期㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀
分段函数 ２０１５年高考中的热点题型
湖北省阳新县高级中学㊀ ㊀ ４３５２００㊀㊀ 邹生书
㊀ ㊀ 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的递增，且ｆ（ｘ）＞４，即ａ＞１且３＋ｌｏｇａ２ȡ ４，解得１＜ａɤ ２，故实数ａ的取值范围是（１，２］．
范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，
却经常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集．分段函数情形复杂㊁ 综合性强，能有效考查复杂函数的图象和性质，综合考查函数方程思想㊁ 数形结合思想㊁ 化归转化思想和分类讨论思想，因此分段函数倍受高考命题人青睐，是历年高考中的热点题型．在２０１５年高考的全国各省市１５份理科试卷中有８份试卷考查了分段函数，这８道题目均为客观题且大多为客观题中的压轴题，分段函数成为２０１５年高考中一道亮丽的风景线．下面对这８道考题一一加以解析，供参考．
例１㊀（浙江卷第１０题）已知函数ｆ（ｘ）＝
ìïï
íｘ＋２ïｘ－３，ｘȡ １，则ｆ（ｆ（－３））＝㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ；ｆ（ｘ）î的最小值是ｌｇ（ｘ２
＋１），ｘ＜１，
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
解㊀ 因为ｆ（－３）＝ｌｇ１０＝１，所以ｆ（ｆ（－３））＝
ｆ（１）＝０．
若ｘȡ １，则，ｆᶄ（ｘ）＝ｘ２－２
ｘ２
，当１＜ｘ＜
２时，
ｆᶄ（ｘ）＜０；当ｘ＞２时，ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）ｆ（）＝２－３．若ｘ＜１，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ２＋１）ȡ ｆｍｉｎ＝
（０）
＝０．
综上可知，ｆ（ｘ）的最小值是２－３．点评㊀
本题主要考查分段函数的求值和最值．
分段函数的最小（如果有最小值或最大值（大）值是各段函数最小例２㊀（福建卷第）１４中的最小题）若（大函）数者（．
大）值ｆ（ｘ）＝
{
－（ａ＞０，且ａʂ １）的值域是［４，＋
ɕ ３），＋ｘ＋ｌｏｇ６，ｘɤ ２，
ａｘ，ｘ＞２
解则实数㊀ 因为当ａ的取值范围是ｘɤ ２时，ｆ（ｘ）㊀ ＝㊀ －㊀ ｘ＋．
时６，ȡ ｆ（ｘ４，）而函数ｆ（ｘ）的值域是［４，＋ɕ ），故当ｘ＞２单调
点评㊀ 本题主要考查分段函数的单调性和值
域，根据函数的单调性和值域列不等式组是问题解
决的关键．
例３㊀（湖北卷第６题）已知符号函数ｓｇｎｘ＝
ìïï
í１，ï０，ｘｘ＝＞０，０，ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函数，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ïî
－１，ｘ＜０．ｆ（ａｘ）（ＡＢ．ａ＞１），则（㊀㊀ ）．
Ｃ．ｓｇｎ［ｓｇｎ［ｇｇ（（ｘｘ）］）］＝＝－ｓｇｎｓｇｎｘｘ
Ｄ．解．ｓｇｎ［ｓｇｎ［ｇ㊀ 因为ｇ（（ｘｘ）］）］＝ｆ（ｘ）＝是－ｓｇｎ［ｓｇｎ［ｆ（ｘ）］
Ｒ上的增函数ｆ（ｘ）］
，且ａ＞１，所以当０；当ｘ＞ｘ＝００时时，ｘ，ｘ＜＝ａｘａｘ，，则则ｆｆ（（ｘｘ））＝＜ｆ（ｆ（ａｘａｘ），），从而从而ｇ（ｇｘ（）ｘ）＝０；
＜当０．
ｘ由＜０符时，号ｘ＞函ａｘ数，则的ｆ（ｘ定）＞义ｆ（知ａｘ，ｓｇｎ［），从而ｇ（ｘ）＞ìïïìｇ（ｘ）］＝
ïí１，ｇ（ｘ）＞０，ì１，ｘ＜０，ï
－１，ｘ＜０，ïíïî０，＝ïï
í－ｇ１，（ｘｇ）（ｘ＝）０，
＜０，ｘ＝０，＝－ïïｓｇｎ［ｇî
０，１，ｘｘ＝＞０，０，即点评（ｘ）］０，ïïî
－１，ｘ＞０，㊀ ＝本题主要考查符号函数－ｓｇｎｘ，故选Ｂ．
㊁ 函数的单调
性，考查考生运用新概念解决问题的能力和继续学习潜能．
例４㊀（山东卷第１０题）设函数ｆ（ｘ）＝
{
２３ｘ
ｘ，ｘ－ȡ １，１，
ｘ＜１，
则满足ｆ（ｆ（ａ））＝２ｆ（ａ）的ａ的取值范
围是（㊀㊀ ２
）．
Ａ．［Ｃ．［
２
３
，１］㊀㊀ ㊀ ㊀ ㊀ Ｂ．［０，１］解㊀ ３
，＋ɕ ）㊀㊀ ㊀ Ｄ．［１，＋ɕ ）
①因为当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝３ｘ－１单调递增，且ｆ（ｘ）＜ｆ（１）＝２；当ｘȡ １时，ｆ（ｘ）＝２ｘ单调递
５７
㊀ ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 增，且ｆ（ｘ）ȡ ｆ（１）＝２，所以ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增．由函数解析式和上述性质知，当且仅当ｘȡ １时，ｆ（ｘ）＝２ｘ．由ｆ（ｆ（ａ））＝２ｆ（ａ）可得ｆ（ａ）ȡ １，而ｆ（＝１，且ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，所以ａȡ
点评㊀ 关键．
２）３
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 中学数学杂志㊀ ２０１５年第９期
法２㊀当ａȡ １时，作出ｆ（ｘ）的图象如图２所示．要使ｆ（ｘ）恰有２个零点，则其图象与ｘ轴有２个交点，当且仅当２－ａɤ ０，即ａȡ ２．
当ａ＜１时，作出ｆ（ｘ）的图象如图３所示．ｆ（ｘ）恰有２个零点，
则当且仅当
函数单调性的运用是本题获得简解的
２
，故选Ｃ．３
{
２－ａ＞０，
ａ＜１ɤ ２ａ，
㊀ 解得
１
ɤ ａ＜１．２
{
４（ｘ－ａ）（ｘ－２ａ），ｘȡ １．
２ｘ－ａ，ｘ＜１，
例５㊀（北京卷第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝
①若ａ＝１，则ｆ（ｘ）的最
ɕ ）．
综上，实数ａ的取值范围是［
１
，１）ɣ ［２，＋２
例６㊀（湖南卷第１５题）函数ｆ（ｘ）＝
小值为㊀ ；②若ｆ（ｘ）恰有２个零点，则实数ａ的取值范围是㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
解㊀ ①若ａ＝１，则ｆ（ｘ）＝
{
作４（２ｘ－ｆ（ｘ１，ｘ＜１，
ｘ－）的图象如图１）（ｘ－２），１ｘ所示ȡ １，
．由图可得ｆ（ｘ）的最小值为
图１
－１．
０⇔ｘ②＝ｌｏｇ法１㊀
２ａ＜注意到１⇔０，＜当ａｘ＜＜２．
１时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－ａ＝
无零点（１）；而当若ａｘɤ ȡ ０，１由上知时，ｆ（ｘ），当＝４（ｘｘ＜－１ａ时）（，ｘｆ（－ｘ）２ａ＝）２ｘ－ａ
无零点．
＝０有一个零点（２）若０＜ｘａ＝＜ｌｏｇ２，则当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－ａ
则当ｘȡ １时，ｆ（ｘ）＝４（２ａ．于是要ｆ（ｘ）恰有２个零点，
ｘ－ａ）（ｘ－２ａ）恰有一个零点，则ａ＜１ɤ ２ａ，解得１
（３）若ａȡ ２，由上知２
ɤ ａ＜１．
无零点；而当ｘȡ １时，ｆ（ｘ），当＝４（ｘｘ＜－１ａ时）（，ｘｆ（－ｘ）２ａ＝）２ｘ－ａ
恰有两个零点ａ，２ａ，故ａȡ ２满足条件．
综上，实数ａ的取值范围是［１
，１）ɣ ［２，
＋ɕ ）．
２
图２㊀㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀
图３
５８
{
ｘ３ｘ２，，ｘｘɤ ＞ａａ
若存在实数ｂ，使函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｂ有两
个零点，则ａ的取值范围是㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
解㊀ 函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｂ有两个零点，等价于方程ｆ（ｘ）－ｂ＝０有两个不等实根，等价于直线ｙ＝ｂ与函数连续且单调递增（１）ｙ＝若ｆ（ａｘ＝）０的图象有两个公共点，或与直线ａ＝１，ｙ易知函数＝ｂ只有一个交点ｙ．
＝ｆ（ｘ），的图象不合题意．
递增（２）；当ｘ若＞ａａ＜时０，，ｆ当（ｘｘ）ɤ ＝ｘａ２时，ｆ（ｘ）＝ｘ３＜０且单调
可知，当０＜ｂ＜ａ２时，直线ȡ ｙ＝０ｂ且先减后增与函数ｙ＝．ｆ由图象（ｘ）的图象有两个公共点（３）若０＜ａ＜．
１，当ｘɤ ａ时，ｆ（ｘ）＝ｘ３当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）＝ｘ２＞ａ２且单调递增ɤ ａ３且
单调递增；．又因为０＜ａ＜１，所以ａ２＞ａ３递增且在点ａ处不连续，其图象与直线，故函数ｙｙ＝＝ｆ（ｂｘ最多只）单调有一个交点（４）；当若，ｘａ不合题意＞＞ａ１，时当．
，ｆ（ｘｘ）ɤ ＝ａｘ２时＞，ｆａ（２ｘ且单调递增）＝ｘ３ɤ ａ３且单
调递增ａ．又因为ａ＞１，所以ａ２＜ａ３２＜ｂɤ ａ３时，
直线ｙ＝ｂ与函数ｙ＝，ｆ（由图象知ｘ）的图象有两个公共点，当．０）ɣ 综上，ａ的取值范围是ａ＜０或ａ＞１，即（－ɕ ，
点评（１，㊀
＋ɕ 本题主要考查分段函数的最小值和零
）．
点问题，综合考查分类讨论思想㊁ 数形结合思想㊁ 函数方程思想和化归转化思想，其中分类讨论和数形结合是解决本题的基本方法．
例７㊀（天津卷第８题）已知函数ｆ（ｘ）＝
{
（２ｘ－－２）ｘ，２，ｘｘɤ ＞２
２
函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ｆ（２－ｘ），其中ｂɪ
Ｒ，若函数ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）恰有４个零点，则ｂ的取
中学数学杂志㊀ ２０１５年第９期㊀ ㊀ 值范围是（㊀㊀ ）．
Ａ．（
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
㊀
Ｃ．（０，解㊀
７７
，＋ɕ ）㊀㊀ Ｂ．（－ɕ ，）㊀㊀ ４４７７
）㊀㊀ Ｄ．（，２）４４
因为ｆ（ｘ）＝
{
ｘ＋２，ｘ＜０ìïï
í－ｘ＋２，０ɤ ｘɤ ２㊀ ïï－２î
（ｘ－２），ｘ＞２
２
２－ｘ，ｘɤ ２
㊀ －
即ｆ（ｘ）＝ｘ）
＝
所以ｆ（２
ｌｎｘȡ ０且单调递减；当１＜ｘ＜２时，ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ２＋２单调递减，ｈ（２）＜ｈ（ｘ）＜ｈ（１），即ｌｎ２－２＜ìï０，０＜ｘɤ １，ï
ｇ（ｘ）＝í－ｘ２＋２，１＜ｘ＜２，
ïïｘ２－６，ｘȡ ２．î
－ìïｌｎｘ，０＜ｘɤ １，ï
于是ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝íｌｎｘ－ｘ２＋２，１＜ｘ＜２，
ïïｌｎｘ＋ｘ２－６，ｘȡ ２．î
设ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），当０＜ｘɤ １时，ｈ（ｘ）＝－
ì（ïï
－ｘｘ＋２）４，ｘ，ｘ＞＞２２íïｘ，０ɤ ｘɤ ２ïî
ｘ２函数，ｘｙ＜＝ｆ０（ｘ）－ｇ（ｘ）恰有４个零点，即方程ｆ（ｘ）－ｂ＋ｆ（２－ｘ）＝０也就是方程ｆ（ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝ｂ有４个不等实根．
ìïｘ２
＋ｘ＋２，ｘ＜０，令ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝ï
íï
ïî
２，０ｘ２－ɤ ５ｘｘ＋ɤ ８，２，
ｘ＞２，画出函数ｙ＝ｈ（ｘ）
的图象和直线ｙ＝ｂ如图４所示．
７
由图知，当且仅当
ｂ４
＜ｂ＜２时，直线ｙ＝与曲线ｙ＝ｈ（ｘ）有４个公共点，从而方程
图４
ｆ（ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝ｂ有４个不等实根７
．
故所求ｂ的取值范围是＜点评㊀
这是一道含有绝对值的分段函数的零
４
ｂ＜２，所以选Ｄ．点问题，关键是去掉绝对值符号化为无绝对值符号的分段函数，然后根据图象求解．
例８㊀（江苏卷第１３题）若函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，ｇ（ｘ）
＝
{
０，０ｘ２
－＜４ｘɤ －２，１，
ｘ＞１，
则方程
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝１实根的个数为㊀ ㊀ ㊀ ．解㊀ 因为ｇ（ｘ）＝
{
０，０２
＜ｘｆ（ɤ ｘ）＝１，
ｌｎｘ，
ｘ－４－２，ｘ＞１，
所以ｆ（ｘ）＝
{
－ｌｎｘｌｎ，ｘｘ，０＞１，
＜ｘɤ １，
ｈ（ｘ）＜１；当ｘȡ ２时，ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ２－６单调递增，ｈ（ｘ）ȡ ｈ（２）＝ｌｎ２－２．据此先画出函数ｙ＝ｈ（ｘ）的图象如图５所示，再将其图象在ｘ轴下方的部分翻折到ｘ轴上方，即得函数ｙ＝ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）的图象如图６所示．作直线ｙ＝１，由图知直线与函数ｙ＝ｈ（ｘ）的图象有４个公共点，从而方程
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝１有４个实根
．
图５㊀㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀
图６
点评㊀
本题是一道有关绝对值的函数与方程
的综合性问题，是一道难度较大的分段函数试题，将方程实根的个数问题转化为函数零点问题是解决这类问题的通法，这里运用图象翻折画出函数ｙ＝ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）的图象是解决本题的难点和关键．
综上所述，对于分段函数问题，先研究分段函数在各段内的单调性㊁ 最值和断点处的函数值，再据此画出分段函数的图象，然后数形结合解决问题．分段函数的图象和性质是解题的关键，是否需要画出函数图象因题而异，若函数图象简单图在心中则不需要画出图象；若函数图象复杂则需要画出图象；对于含有参数的分段函数其图象是动态变化的，为了解决问题的需要往往要画几个图象分类讨论．由此可见，研究分段函数在各段内的性质，画出函数图象是解决分段函数问题的基本方法．
作者简介㊀ 邹生书，男，湖北阳新县人，１９６２年１２月出生，中学高级教师，黄石市骨干教师．主要研究高中数学教学㊁ 高考试题㊁ 数学竞赛㊁ 探究性学习等，在‘ 中学数学杂志“ 等二十多种数学期刊上发表文章２００余篇．
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中学数学杂志㊀ ２０１５年第９期㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀
分段函数 ２０１５年高考中的热点题型
湖北省阳新县高级中学㊀ ㊀ ４３５２００㊀㊀ 邹生书
㊀ ㊀ 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的递增，且ｆ（ｘ）＞４，即ａ＞１且３＋ｌｏｇａ２ȡ ４，解得１＜ａɤ ２，故实数ａ的取值范围是（１，２］．
范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，
却经常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集．分段函数情形复杂㊁ 综合性强，能有效考查复杂函数的图象和性质，综合考查函数方程思想㊁ 数形结合思想㊁ 化归转化思想和分类讨论思想，因此分段函数倍受高考命题人青睐，是历年高考中的热点题型．在２０１５年高考的全国各省市１５份理科试卷中有８份试卷考查了分段函数，这８道题目均为客观题且大多为客观题中的压轴题，分段函数成为２０１５年高考中一道亮丽的风景线．下面对这８道考题一一加以解析，供参考．
例１㊀（浙江卷第１０题）已知函数ｆ（ｘ）＝
ìïï
íｘ＋２ïｘ－３，ｘȡ １，则ｆ（ｆ（－３））＝㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ；ｆ（ｘ）î的最小值是ｌｇ（ｘ２
＋１），ｘ＜１，
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
解㊀ 因为ｆ（－３）＝ｌｇ１０＝１，所以ｆ（ｆ（－３））＝
ｆ（１）＝０．
若ｘȡ １，则，ｆᶄ（ｘ）＝ｘ２－２
ｘ２
，当１＜ｘ＜
２时，
ｆᶄ（ｘ）＜０；当ｘ＞２时，ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）ｆ（）＝２－３．若ｘ＜１，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ２＋１）ȡ ｆｍｉｎ＝
（０）
＝０．
综上可知，ｆ（ｘ）的最小值是２－３．点评㊀
本题主要考查分段函数的求值和最值．
分段函数的最小（如果有最小值或最大值（大）值是各段函数最小例２㊀（福建卷第）１４中的最小题）若（大函）数者（．
大）值ｆ（ｘ）＝
{
－（ａ＞０，且ａʂ １）的值域是［４，＋
ɕ ３），＋ｘ＋ｌｏｇ６，ｘɤ ２，
ａｘ，ｘ＞２
解则实数㊀ 因为当ａ的取值范围是ｘɤ ２时，ｆ（ｘ）㊀ ＝㊀ －㊀ ｘ＋．
时６，ȡ ｆ（ｘ４，）而函数ｆ（ｘ）的值域是［４，＋ɕ ），故当ｘ＞２单调
点评㊀ 本题主要考查分段函数的单调性和值
域，根据函数的单调性和值域列不等式组是问题解
决的关键．
例３㊀（湖北卷第６题）已知符号函数ｓｇｎｘ＝
ìïï
í１，ï０，ｘｘ＝＞０，０，ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函数，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ïî
－１，ｘ＜０．ｆ（ａｘ）（ＡＢ．ａ＞１），则（㊀㊀ ）．
Ｃ．ｓｇｎ［ｓｇｎ［ｇｇ（（ｘｘ）］）］＝＝－ｓｇｎｓｇｎｘｘ
Ｄ．解．ｓｇｎ［ｓｇｎ［ｇ㊀ 因为ｇ（（ｘｘ）］）］＝ｆ（ｘ）＝是－ｓｇｎ［ｓｇｎ［ｆ（ｘ）］
Ｒ上的增函数ｆ（ｘ）］
，且ａ＞１，所以当０；当ｘ＞ｘ＝００时时，ｘ，ｘ＜＝ａｘａｘ，，则则ｆｆ（（ｘｘ））＝＜ｆ（ｆ（ａｘａｘ），），从而从而ｇ（ｇｘ（）ｘ）＝０；
＜当０．
ｘ由＜０符时，号ｘ＞函ａｘ数，则的ｆ（ｘ定）＞义ｆ（知ａｘ，ｓｇｎ［），从而ｇ（ｘ）＞ìïïìｇ（ｘ）］＝
ïí１，ｇ（ｘ）＞０，ì１，ｘ＜０，ï
－１，ｘ＜０，ïíïî０，＝ïï
í－ｇ１，（ｘｇ）（ｘ＝）０，
＜０，ｘ＝０，＝－ïïｓｇｎ［ｇî
０，１，ｘｘ＝＞０，０，即点评（ｘ）］０，ïïî
－１，ｘ＞０，㊀ ＝本题主要考查符号函数－ｓｇｎｘ，故选Ｂ．
㊁ 函数的单调
性，考查考生运用新概念解决问题的能力和继续学习潜能．
例４㊀（山东卷第１０题）设函数ｆ（ｘ）＝
{
２３ｘ
ｘ，ｘ－ȡ １，１，
ｘ＜１，
则满足ｆ（ｆ（ａ））＝２ｆ（ａ）的ａ的取值范
围是（㊀㊀ ２
）．
Ａ．［Ｃ．［
２
３
，１］㊀㊀ ㊀ ㊀ ㊀ Ｂ．［０，１］解㊀ ３
，＋ɕ ）㊀㊀ ㊀ Ｄ．［１，＋ɕ ）
①因为当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝３ｘ－１单调递增，且ｆ（ｘ）＜ｆ（１）＝２；当ｘȡ １时，ｆ（ｘ）＝２ｘ单调递
５７
㊀ ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 增，且ｆ（ｘ）ȡ ｆ（１）＝２，所以ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增．由函数解析式和上述性质知，当且仅当ｘȡ １时，ｆ（ｘ）＝２ｘ．由ｆ（ｆ（ａ））＝２ｆ（ａ）可得ｆ（ａ）ȡ １，而ｆ（＝１，且ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，所以ａȡ
点评㊀ 关键．
２）３
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 中学数学杂志㊀ ２０１５年第９期
法２㊀当ａȡ １时，作出ｆ（ｘ）的图象如图２所示．要使ｆ（ｘ）恰有２个零点，则其图象与ｘ轴有２个交点，当且仅当２－ａɤ ０，即ａȡ ２．
当ａ＜１时，作出ｆ（ｘ）的图象如图３所示．ｆ（ｘ）恰有２个零点，
则当且仅当
函数单调性的运用是本题获得简解的
２
，故选Ｃ．３
{
２－ａ＞０，
ａ＜１ɤ ２ａ，
㊀ 解得
１
ɤ ａ＜１．２
{
４（ｘ－ａ）（ｘ－２ａ），ｘȡ １．
２ｘ－ａ，ｘ＜１，
例５㊀（北京卷第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝
①若ａ＝１，则ｆ（ｘ）的最
ɕ ）．
综上，实数ａ的取值范围是［
１
，１）ɣ ［２，＋２
例６㊀（湖南卷第１５题）函数ｆ（ｘ）＝
小值为㊀ ；②若ｆ（ｘ）恰有２个零点，则实数ａ的取值范围是㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
解㊀ ①若ａ＝１，则ｆ（ｘ）＝
{
作４（２ｘ－ｆ（ｘ１，ｘ＜１，
ｘ－）的图象如图１）（ｘ－２），１ｘ所示ȡ １，
．由图可得ｆ（ｘ）的最小值为
图１
－１．
０⇔ｘ②＝ｌｏｇ法１㊀
２ａ＜注意到１⇔０，＜当ａｘ＜＜２．
１时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－ａ＝
无零点（１）；而当若ａｘɤ ȡ ０，１由上知时，ｆ（ｘ），当＝４（ｘｘ＜－１ａ时）（，ｘｆ（－ｘ）２ａ＝）２ｘ－ａ
无零点．
＝０有一个零点（２）若０＜ｘａ＝＜ｌｏｇ２，则当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－ａ
则当ｘȡ １时，ｆ（ｘ）＝４（２ａ．于是要ｆ（ｘ）恰有２个零点，
ｘ－ａ）（ｘ－２ａ）恰有一个零点，则ａ＜１ɤ ２ａ，解得１
（３）若ａȡ ２，由上知２
ɤ ａ＜１．
无零点；而当ｘȡ １时，ｆ（ｘ），当＝４（ｘｘ＜－１ａ时）（，ｘｆ（－ｘ）２ａ＝）２ｘ－ａ
恰有两个零点ａ，２ａ，故ａȡ ２满足条件．
综上，实数ａ的取值范围是［１
，１）ɣ ［２，
＋ɕ ）．
２
图２㊀㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀
图３
５８
{
ｘ３ｘ２，，ｘｘɤ ＞ａａ
若存在实数ｂ，使函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｂ有两
个零点，则ａ的取值范围是㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
解㊀ 函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｂ有两个零点，等价于方程ｆ（ｘ）－ｂ＝０有两个不等实根，等价于直线ｙ＝ｂ与函数连续且单调递增（１）ｙ＝若ｆ（ａｘ＝）０的图象有两个公共点，或与直线ａ＝１，ｙ易知函数＝ｂ只有一个交点ｙ．
＝ｆ（ｘ），的图象不合题意．
递增（２）；当ｘ若＞ａａ＜时０，，ｆ当（ｘｘ）ɤ ＝ｘａ２时，ｆ（ｘ）＝ｘ３＜０且单调
可知，当０＜ｂ＜ａ２时，直线ȡ ｙ＝０ｂ且先减后增与函数ｙ＝．ｆ由图象（ｘ）的图象有两个公共点（３）若０＜ａ＜．
１，当ｘɤ ａ时，ｆ（ｘ）＝ｘ３当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）＝ｘ２＞ａ２且单调递增ɤ ａ３且
单调递增；．又因为０＜ａ＜１，所以ａ２＞ａ３递增且在点ａ处不连续，其图象与直线，故函数ｙｙ＝＝ｆ（ｂｘ最多只）单调有一个交点（４）；当若，ｘａ不合题意＞＞ａ１，时当．
，ｆ（ｘｘ）ɤ ＝ａｘ２时＞，ｆａ（２ｘ且单调递增）＝ｘ３ɤ ａ３且单
调递增ａ．又因为ａ＞１，所以ａ２＜ａ３２＜ｂɤ ａ３时，
直线ｙ＝ｂ与函数ｙ＝，ｆ（由图象知ｘ）的图象有两个公共点，当．０）ɣ 综上，ａ的取值范围是ａ＜０或ａ＞１，即（－ɕ ，
点评（１，㊀
＋ɕ 本题主要考查分段函数的最小值和零
）．
点问题，综合考查分类讨论思想㊁ 数形结合思想㊁ 函数方程思想和化归转化思想，其中分类讨论和数形结合是解决本题的基本方法．
例７㊀（天津卷第８题）已知函数ｆ（ｘ）＝
{
（２ｘ－－２）ｘ，２，ｘｘɤ ＞２
２
函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ｆ（２－ｘ），其中ｂɪ
Ｒ，若函数ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）恰有４个零点，则ｂ的取
中学数学杂志㊀ ２０１５年第９期㊀ ㊀ 值范围是（㊀㊀ ）．
Ａ．（
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
㊀
Ｃ．（０，解㊀
７７
，＋ɕ ）㊀㊀ Ｂ．（－ɕ ，）㊀㊀ ４４７７
）㊀㊀ Ｄ．（，２）４４
因为ｆ（ｘ）＝
{
ｘ＋２，ｘ＜０ìïï
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（ｘ－２），ｘ＞２
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＝
所以ｆ（２
ｌｎｘȡ ０且单调递减；当１＜ｘ＜２时，ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ２＋２单调递减，ｈ（２）＜ｈ（ｘ）＜ｈ（１），即ｌｎ２－２＜ìï０，０＜ｘɤ １，ï
ｇ（ｘ）＝í－ｘ２＋２，１＜ｘ＜２，
ïïｘ２－６，ｘȡ ２．î
－ìïｌｎｘ，０＜ｘɤ １，ï
于是ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝íｌｎｘ－ｘ２＋２，１＜ｘ＜２，
ïïｌｎｘ＋ｘ２－６，ｘȡ ２．î
设ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），当０＜ｘɤ １时，ｈ（ｘ）＝－
ì（ïï
－ｘｘ＋２）４，ｘ，ｘ＞＞２２íïｘ，０ɤ ｘɤ ２ïî
ｘ２函数，ｘｙ＜＝ｆ０（ｘ）－ｇ（ｘ）恰有４个零点，即方程ｆ（ｘ）－ｂ＋ｆ（２－ｘ）＝０也就是方程ｆ（ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝ｂ有４个不等实根．
ìïｘ２
＋ｘ＋２，ｘ＜０，令ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝ï
íï
ïî
２，０ｘ２－ɤ ５ｘｘ＋ɤ ８，２，
ｘ＞２，画出函数ｙ＝ｈ（ｘ）
的图象和直线ｙ＝ｂ如图４所示．
７
由图知，当且仅当
ｂ４
＜ｂ＜２时，直线ｙ＝与曲线ｙ＝ｈ（ｘ）有４个公共点，从而方程
图４
ｆ（ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝ｂ有４个不等实根７
．
故所求ｂ的取值范围是＜点评㊀
这是一道含有绝对值的分段函数的零
４
ｂ＜２，所以选Ｄ．点问题，关键是去掉绝对值符号化为无绝对值符号的分段函数，然后根据图象求解．
例８㊀（江苏卷第１３题）若函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，ｇ（ｘ）
＝
{
０，０ｘ２
－＜４ｘɤ －２，１，
ｘ＞１，
则方程
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝１实根的个数为㊀ ㊀ ㊀ ．解㊀ 因为ｇ（ｘ）＝
{
０，０２
＜ｘｆ（ɤ ｘ）＝１，
ｌｎｘ，
ｘ－４－２，ｘ＞１，
所以ｆ（ｘ）＝
{
－ｌｎｘｌｎ，ｘｘ，０＞１，
＜ｘɤ １，
ｈ（ｘ）＜１；当ｘȡ ２时，ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ２－６单调递增，ｈ（ｘ）ȡ ｈ（２）＝ｌｎ２－２．据此先画出函数ｙ＝ｈ（ｘ）的图象如图５所示，再将其图象在ｘ轴下方的部分翻折到ｘ轴上方，即得函数ｙ＝ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）的图象如图６所示．作直线ｙ＝１，由图知直线与函数ｙ＝ｈ（ｘ）的图象有４个公共点，从而方程
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝１有４个实根
．
图５㊀㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀
图６
点评㊀
本题是一道有关绝对值的函数与方程
的综合性问题，是一道难度较大的分段函数试题，将方程实根的个数问题转化为函数零点问题是解决这类问题的通法，这里运用图象翻折画出函数ｙ＝ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）的图象是解决本题的难点和关键．
综上所述，对于分段函数问题，先研究分段函数在各段内的单调性㊁ 最值和断点处的函数值，再据此画出分段函数的图象，然后数形结合解决问题．分段函数的图象和性质是解题的关键，是否需要画出函数图象因题而异，若函数图象简单图在心中则不需要画出图象；若函数图象复杂则需要画出图象；对于含有参数的分段函数其图象是动态变化的，为了解决问题的需要往往要画几个图象分类讨论．由此可见，研究分段函数在各段内的性质，画出函数图象是解决分段函数问题的基本方法．
作者简介㊀ 邹生书，男，湖北阳新县人，１９６２年１２月出生，中学高级教师，黄石市骨干教师．主要研究高中数学教学㊁ 高考试题㊁ 数学竞赛㊁ 探究性学习等，在‘ 中学数学杂志“ 等二十多种数学期刊上发表文章２００余篇．
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