n维随机变量独立性的一个充要条件

第33卷　第5期

　　

1998年10月JOURNAL

西　南　交　通　大　学　学　报Vol . 33　N o . 5

　　

Oct . 　1998OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSI TY

n 维随机变量独立性的一个充要条件

李裕奇　　赵　刊

(西南交通大学　应用数学系　成都　610031)

【摘　要】　给出了n 维随机变量的独立性的一个充要条件, 避开了求边缘概率密度函数的繁琐过

程, 使判定随机变量的独立性的工作变得异常简单。给出了利用这个充要条件的简单应用实例。

【关键词】　随机变量; 分布函数; 密度函数; 独立性【分类号】　O 211. 1

1　n 维随机变量独立性的概念

由概率论知道, n 维随机变量(X 1, X 2, …,X n ) 的分布函数为

F (x 1, x 2, …,x n )=P (X 1≤x 1, X 2≤x 2, …, X n ≤x n )

其中:x 1, x 2, …, x n 为任意实数。关于单个随机变量x i , i =1, 2, …,n 的边缘概率分布函数

为

F X i (x i )=F (+∞,…, +∞,X i , +∞,…,+∞) 　　i =1, 2, …,n (1) 关于(X i 1, X i 2, …, X i m ) (m

F X i 1, X i 2, …,X im (x i 1, x i 2, …,x i m )=F (+∞,…,+∞,x i 1, +∞,…, +∞,x i 2, +

∞,…,+∞,x im , +∞,…,+∞) 　　1≤i 1

例如(X 1, X 2) 的边缘分布函数为

F X 1X 2(x 1, x 2)=F (x 1, x 2, +∞,…, +∞)

　　关于n 个随机变量X 1, X 2, …,X n 之间的相互独立性, 有如下定义。

定义1　若X 1, X 2, …, X n 的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ) , X i 的边缘分布函数如式(1) , 且对于任意实数x 1, x 2, …,x n , 恒有

F (x 1, x 2, …,x n )=F X 1(x 1) F X 2(x 2) …F X n (x n ) (3) 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的随机变量。

若(X 1, X 2, …,X n ) 是连续型随机变量, 则存在联合概率密度函数f (x 1, x 2, …, x n ) , 其中单个随机变量的边缘概率密度函数为f X i (x i ) , i =1, 2, …,n , 则式(3) 等价于

f (x 1, x 2, …, x n )=f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n ) 　　a . s

(4)

　　类似地, 对于多个随机变量间的相互独立性有如下定义。

j ) (j ) (j )

定义2　若X 1, X 2, …,X n 的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ) , (X (, 1, X 2, …,X ij ) j =1, 2, …, k , 1≤i 1+i 2+…+i k ≤n , 的边缘分布函数由式(2) 给出, 且对于任意实数x 1,

01-　　:男, , 。

(j )

[1]

(2)

514　　　　　　　　西　南　交　通　大　学　学　报　　　　　　　　第33卷

j ) (j ) x (1, 2, …, k 恒有2, …, x ij , j =

1) (1) (2) (2) (k ) k )

F (x (, …, x (1, …,x i 1, x 1, …,x i 2, …, x 1i k )=

F

(1)

(x 1, …,x i 1) F

(1) (1) (2)

(x 1, …, x i 2) …F

(2) (2) (k )

(x 1, …,x i k )

(k ) (k )

(5)

1) (1) 2) (2) k ) k )

时, 则称随机变量(X (, (X (, …,(X (, …,X (相互独立。1, …,X i 1) 1, …, X i 2) 1i k )

特别地, 在式(5) 中令k =n , 此时i 1=i 2=…=i n =1, 即得式(3) 。同样地, 若(X 1, X 2, …,X n ) 为连续型随机变量时, 则式(5) 等价于[2]

f (x 1, …,x i 1, x 1, …,x i 2, …, x 1, …, x i k )=

1) (1) (2) (2) k ) (k )

f ((x 11) , …,x (f 2) (x (…f ((x 1k ) , …,x (i 1) 1, …, x i 2) i k )

(1)

(1)

(2)

(2)

(k )

(k )

(6)

　　但在实际中, 用上述定义来判断随机变量的相互独立性是十分繁杂且困难的, 故讨论这个

关于n 个随机变量相互独立性的充要条件是十分有意义的。

2　主要结果

定理1　设(X 1, X 2, …,X n ) 是连续型随机变量, 其联合概率密度函数为f (x 1, x 2, …, x n ) , 满足

f (x 1, x 2, …, x n >0　a i ≤x i ≤b i 　i =1, 2, …,n =0　其它

(7)

则随机变量X 1, X 2, …,X n 相互独立的充要条件为

①存在连续函数h i (x i ) , i =1, 2, …, n ; 满足

n

f (x 1, x 2, …,x n )=

i =1

x i ) ∏h i (

(8)

　　②a i , b i (1≤i ≤n ) 均为与x 1, x 2, …, x n 无关的实常数。证明　先证充分性。设f (x 1, x 2, …,x n ) 满足条件①与②,则可求得X i (1≤i ≤n ) 的边缘率密度函数为

d x , d x …d x d x …d x =∫…∫f (x , x , …, x )

h (x ) …h (x ) d x …d x d x …d x =∫…∫∫…∫

h (x ) d x …d x ∫h (x ) d x …h (x ) d x ∫h (x ) ∫h (x ) ∫

h (x ) ∏∫h (x ) d x 　　a ≤x ≤b

f X i (x i )=

b

1

+∞-∞

i -1

+∞-∞

12n 12i -1i +1n

b b

i +1

b

n

a 1a i -1a i +

1

1

a n

11n n 1i -1i n

a

1

b

i -1

b

i +1

b

n

i i

b 1

11

a i -1

i -1i -1b

i

i -1

a i +1j

i +1i +1i +1

a n

n n n

=

(9)

i i

1≤j ≠i ≤n a i

j j i i i

而当x i [a i , b i ]时, f i (x i ) =0, i =1, 2, …,n 。又因其中的a i , b i (1≤i ≤n ) 为与x 1, x 2, …, x n 无关的常数, 故上述积分数, 故记为

A j =

h (x ) d x j

h (x ) d x ∫

a

j

j

j

b j

j

　j =1, 2, …, n 分别是与x 1, x 2, …,x n 无关的常

b

a j j j

　　j =1, 2, …, n

第5期　　　　　　　李裕奇等:n 维随机变量独立性的一个充要条件　　　　　　　　515则当a i ≤x i ≤b i (1≤i ≤n ) 时, 有

n i =2

n i ≠2

n -1i =1

f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n )=h 1(x 1) ∏A i h 2(x 2) ∏A i …h n (x n ) ∏A i =

n

n

h 1(x 1) h 2(x 2) …h n (x n ) (∏A i )

i =1

n -1b

=f (x 1, x 2, …, x n ) (∏A i )

i =1

n -1

(10)

其中:∏A i =

i =1

n

∫

1

b

a 1

h 1(x 1) d x 1

∫

2

b

a 2

h 2(x 2) d x 2…

h (x ) d x ∫

n

a n

n n n

, 而a 1, …, a n , b 1, …,b n 均与x 1,

x 2, …, x n 无关, 故式(10) 可合并为n 重积分, 即

i =1

∏A i

b 1a

1

h (x ) …h (x ) d x …d x =∫∫

f (x , x , …, x ) d x d x , …d x =1∫…∫=

b n

n

1

n

b

a 1

…

1

b

n

a n

11n n 1n

a

2n 12n

因而有f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n ) =f (x 1, x 2, …,x n ) , 即X 1, X 2, …,X n 相互独立, 充分性得证。

再证必要性。设X 1, X 2, …,X n 相互独立, 则由式(4) 知应有f (x 1, x 2, …, x n ) =f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n ) 成立, 此时只须取h i (x i ) =f X i (x i ) i =1, 2, …,n , 则知条件①成立。

现假定条件②不成立, 则a i , b i , i =1, 2, …,n 中至少有一个是与x 1, x 2, …, x n 有关的函数, 不妨设a 1=a 1(x 1, x 2, …, x n ) 。由于f X 1(x 1) =h 1(x 1) 是关于X 1的边缘概率密度函数, 则必有

∫

1

b

a 1

h 1(x 1) d x 1≡

∫f

1

b

a 1

X

1

(x 1) d x 1=1(11)

而此时

∫

1

b 1

a (x , x , …,x )

1

2

n

f X 1(x 1) d x 1 A 1(x 1, x 2, …, x n ) 是关于x 1, x 2, …,x n 的函数, 并非恒

等于1, 这与式(11) 相矛盾, 因而必有a 1与x 1, x 2, …,x n 无关。同理证得a i , i =2, 3, …,n , b i , i =1, 2, …, n 均与x 1, x 2, …,x n 无关。再则, 据边缘分布函数性质知, a i , b i 同时也将与x 1, x 2, …, x n 无关。从而条件②满足, 此即必要性得证。从上述定理容易得到下述推论。

推论1　在上述定理1中, 如果a i , i =1, 2, …,n 中有若干个为-∞,b i , i =1, 2, …, n 中有若干个为+∞时, 则定理1的结果依然成立。

推论2　若定理1的条件成立, 则f X i (x i ) 与h i (x i ) 成正比例关系, i =1, 2, …,n 。实际上, 推论2容易从定理1的证明过程中看到。

推论3　当n =2时, 定理1即为:连续型随机变量X 1, X 2, 相互独立的充要条件为①f (x 1, x 2)=f X 1(x 1) f X 2(x 2) 　　a i ≤x i ≤b i 　　i =1, 2

②a 1, b 1, a 2, b 2均为x 1, x 2无关的实常数。此即文献[3]中讨论的结果。

用上述证明定理1的方法, 可将判别单个随机变量间的独立性问题推广到判别多个随机变量间的相互独立性的问题中, 容易得到下述定理。

定理2　设随机变量(X 1, X 2, …,X 1) , (X 1, X 2, …, X 2) , …, (X 1

X i (k )

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(k )

, X 2

(k )

, …,

516　　　　　　　　西　南　交　通　大　学　学　报　　　　　　　　第33卷

1) (1) (1) (2) (2) (2) (k ) (k ) k )

f (x (, …,x (1, x 2, …, x i 1, x 1, x 2, …,x i 2, …, x 1, x 2i k )

边缘概率密度函数为

j ) (j ) (j ) f (j ) (x (　　j =1, 2, …,k 1≤i 1+i 2+…+i k ≤n 1, x 2, …,x i j )

则这些随机变量相互独立的充要条件是

①存在连续函数h j (x 1, x 2, …,x i j ) , j =1, 2, …,k 满足条件

1) (1) (1) (2) (2) (2) (k ) (k ) k ) f (x (, …,x (=1, x 2, …, x i 1, x 1, x 2, …,x i 2, …, x 1, x 2i k

1) (1) (1) (2) (2) (2) (k ) (k ) (k ) h 1(x (h x …h x , x , …, x 1, x 2, …,x i ) 2(1, x 2, …,x i ) k (1) 2) i ) 12k

(j )

(j )

(j )

a i

(j )

≤x i

(j )

≤b i 　　i =1, 2, …i j 　　j =1, 2, …, k

(j )

j ) (j ) j )

②上述a (1, 2, …,i j ; j =1, 2, …, k 均为与x (1, 2, …,i j ; j =1, 2, …, k i , b i , i =i , i =

无关的实常数。

3　应用实例

文中给出的定理避开了求边缘概率密度函数的繁琐过程, 使判定随机变量的独立性的工作转化为检查联合概率密度是否为可分离变量的概率密度之积, 以及其定义域边界是否为常数的简单工作, 这给判定n 个随机变量间的相互独立性问题提供了一个新的途径与简捷的方法。

例1　设(X 1, X 2, …, X n ) 的联合概率密度为

f (x 1, x 2, …, x n (x 1+2x 2+…+nx n )

n ! x 1e -　　x i >0　i =1, 2, …,n

0　　其它i

试讨论X 1, X 2, …,X n 的相互独立性。

解　设

h 1(x 1h i (x i n

x 1e -x 1　　x 1>00　　x 1≤0

　　i =2, 3, …, n

i e

-ix

i

　　x i >0

0　　x i ≤0x

则有f (x 1, x 2, …, x n )=

i =1

又因为a i ∏h i (x i ) 。

=0, b i =+∞,i =1, 2, …,n , 则由推论1知

X 1, X 2, …,X n 必相互独立。

例2　设(X 1, X 2, …,X m ) 与(Y 1, Y 2, …,Y n ) 的联合概率密度为

m n

0≤x i

(∑x i ) (n +1-∑y i ) 　

0≤y j ≤2　j =1, 2, …, n i =1f (x 1, x 2, …,x n , y 1, y 2, …,y n 4m i =1

0　　其它

试讨论(X 1, X 2, …,X m ) 与(Y 1, Y 2, …, Y n ) 的相互独立性。

第5期　　　　　　　李裕奇等:n 维随机变量独立性的一个充要条件　　　　　　　　51722

x 2　　0≤x i ≤1　　i =1, 2, …,m 1+x 2+…+x m )

h (x 1, x 2, …, x m m

0　　其它1n +1-y 1-y 2-…-y n ) 　0≤y j ≤2　j =1, 2, …,n

g (y 1, y 2, …,y n 4

0　　其它

则有f (x 1, x 2, …, x m , y 1, y 2, …, y n ) =h (x 1, x 2, …,x m ) g (y 1, y 2, …, y n ) , 且a i =0, b i =1, c j =0, d j =2, i =1, 2, …, m , j =1, 2, …, n 均与x i , y j , i =1, 2, …,m , j =1, 2, …,n 无关, 故由定理2知,(X 1, X 2, …, X m ) 与(Y 1, Y 2…,Y n ) 相互独立。

例3　设(X 1, X 2, …, X n ) 的联合概率密度为0　　其它试讨论X 1, X 2, …,X n 的相互独立性。

n -1

解　由边界条件0≤x n ≤…≤x n ≤1知, 边界为x 1, x 2, …,x n 的函数, 而非常数, 1≤x 2

n -1n -1

Cx n …x n 　　0≤x n ≤…≤x n ≤11x 21≤x 2

f (x 1, x 2, …,x n 故由定理1结果知, X 1, X 2, …,X n 不是相互独立的。

参　考　文　献

1　盛骤, 谢式干, 潘承毅. 概率论与数理统计. 北京:高等教育出版社, 1989:84—852　唐鸿玲, 张元林, 陈浩球. 应用概率. 南京:南京工学院出版社, 1998:18—203　佟毅. 随机向量独立性的一个充要条件. 工科数学, 1995; (1) :54—57

A Sufficient and Necessary Condition for

Independence of n -Dimensional Random Variables

Li Y uqi 　　Zhao Kan

(Dept . of Appl . M athematics , Southw est Jiao tong University , Cheng du 610031, China )

【Abstract 】　To avoid solving trouble -some marginal density functions , a sufficient and

necessary condition for independence of n -dimensional random variables

is established in this paper , making it very easy to recognize independence of random variables . Examples of employing the condition

are presented .

【Keywords 】　random variable ; distribution function ; density function ; independenc e

第33卷　第5期

　　

1998年10月JOURNAL

西　南　交　通　大　学　学　报Vol . 33　N o . 5

　　

Oct . 　1998OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSI TY

n 维随机变量独立性的一个充要条件

李裕奇　　赵　刊

(西南交通大学　应用数学系　成都　610031)

【摘　要】　给出了n 维随机变量的独立性的一个充要条件, 避开了求边缘概率密度函数的繁琐过

程, 使判定随机变量的独立性的工作变得异常简单。给出了利用这个充要条件的简单应用实例。

【关键词】　随机变量; 分布函数; 密度函数; 独立性【分类号】　O 211. 1

1　n 维随机变量独立性的概念

由概率论知道, n 维随机变量(X 1, X 2, …,X n ) 的分布函数为

F (x 1, x 2, …,x n )=P (X 1≤x 1, X 2≤x 2, …, X n ≤x n )

其中:x 1, x 2, …, x n 为任意实数。关于单个随机变量x i , i =1, 2, …,n 的边缘概率分布函数

为

F X i (x i )=F (+∞,…, +∞,X i , +∞,…,+∞) 　　i =1, 2, …,n (1) 关于(X i 1, X i 2, …, X i m ) (m

F X i 1, X i 2, …,X im (x i 1, x i 2, …,x i m )=F (+∞,…,+∞,x i 1, +∞,…, +∞,x i 2, +

∞,…,+∞,x im , +∞,…,+∞) 　　1≤i 1

例如(X 1, X 2) 的边缘分布函数为

F X 1X 2(x 1, x 2)=F (x 1, x 2, +∞,…, +∞)

　　关于n 个随机变量X 1, X 2, …,X n 之间的相互独立性, 有如下定义。

定义1　若X 1, X 2, …, X n 的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ) , X i 的边缘分布函数如式(1) , 且对于任意实数x 1, x 2, …,x n , 恒有

F (x 1, x 2, …,x n )=F X 1(x 1) F X 2(x 2) …F X n (x n ) (3) 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的随机变量。

若(X 1, X 2, …,X n ) 是连续型随机变量, 则存在联合概率密度函数f (x 1, x 2, …, x n ) , 其中单个随机变量的边缘概率密度函数为f X i (x i ) , i =1, 2, …,n , 则式(3) 等价于

f (x 1, x 2, …, x n )=f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n ) 　　a . s

(4)

　　类似地, 对于多个随机变量间的相互独立性有如下定义。

j ) (j ) (j )

定义2　若X 1, X 2, …,X n 的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ) , (X (, 1, X 2, …,X ij ) j =1, 2, …, k , 1≤i 1+i 2+…+i k ≤n , 的边缘分布函数由式(2) 给出, 且对于任意实数x 1,

01-　　:男, , 。

(j )

[1]

(2)

514　　　　　　　　西　南　交　通　大　学　学　报　　　　　　　　第33卷

j ) (j ) x (1, 2, …, k 恒有2, …, x ij , j =

1) (1) (2) (2) (k ) k )

F (x (, …, x (1, …,x i 1, x 1, …,x i 2, …, x 1i k )=

F

(1)

(x 1, …,x i 1) F

(1) (1) (2)

(x 1, …, x i 2) …F

(2) (2) (k )

(x 1, …,x i k )

(k ) (k )

(5)

1) (1) 2) (2) k ) k )

时, 则称随机变量(X (, (X (, …,(X (, …,X (相互独立。1, …,X i 1) 1, …, X i 2) 1i k )

特别地, 在式(5) 中令k =n , 此时i 1=i 2=…=i n =1, 即得式(3) 。同样地, 若(X 1, X 2, …,X n ) 为连续型随机变量时, 则式(5) 等价于[2]

f (x 1, …,x i 1, x 1, …,x i 2, …, x 1, …, x i k )=

1) (1) (2) (2) k ) (k )

f ((x 11) , …,x (f 2) (x (…f ((x 1k ) , …,x (i 1) 1, …, x i 2) i k )

(1)

(1)

(2)

(2)

(k )

(k )

(6)

　　但在实际中, 用上述定义来判断随机变量的相互独立性是十分繁杂且困难的, 故讨论这个

关于n 个随机变量相互独立性的充要条件是十分有意义的。

2　主要结果

定理1　设(X 1, X 2, …,X n ) 是连续型随机变量, 其联合概率密度函数为f (x 1, x 2, …, x n ) , 满足

f (x 1, x 2, …, x n >0　a i ≤x i ≤b i 　i =1, 2, …,n =0　其它

(7)

则随机变量X 1, X 2, …,X n 相互独立的充要条件为

①存在连续函数h i (x i ) , i =1, 2, …, n ; 满足

n

f (x 1, x 2, …,x n )=

i =1

x i ) ∏h i (

(8)

　　②a i , b i (1≤i ≤n ) 均为与x 1, x 2, …, x n 无关的实常数。证明　先证充分性。设f (x 1, x 2, …,x n ) 满足条件①与②,则可求得X i (1≤i ≤n ) 的边缘率密度函数为

d x , d x …d x d x …d x =∫…∫f (x , x , …, x )

h (x ) …h (x ) d x …d x d x …d x =∫…∫∫…∫

h (x ) d x …d x ∫h (x ) d x …h (x ) d x ∫h (x ) ∫h (x ) ∫

h (x ) ∏∫h (x ) d x 　　a ≤x ≤b

f X i (x i )=

b

1

+∞-∞

i -1

+∞-∞

12n 12i -1i +1n

b b

i +1

b

n

a 1a i -1a i +

1

1

a n

11n n 1i -1i n

a

1

b

i -1

b

i +1

b

n

i i

b 1

11

a i -1

i -1i -1b

i

i -1

a i +1j

i +1i +1i +1

a n

n n n

=

(9)

i i

1≤j ≠i ≤n a i

j j i i i

而当x i [a i , b i ]时, f i (x i ) =0, i =1, 2, …,n 。又因其中的a i , b i (1≤i ≤n ) 为与x 1, x 2, …, x n 无关的常数, 故上述积分数, 故记为

A j =

h (x ) d x j

h (x ) d x ∫

a

j

j

j

b j

j

　j =1, 2, …, n 分别是与x 1, x 2, …,x n 无关的常

b

a j j j

　　j =1, 2, …, n

第5期　　　　　　　李裕奇等:n 维随机变量独立性的一个充要条件　　　　　　　　515则当a i ≤x i ≤b i (1≤i ≤n ) 时, 有

n i =2

n i ≠2

n -1i =1

f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n )=h 1(x 1) ∏A i h 2(x 2) ∏A i …h n (x n ) ∏A i =

n

n

h 1(x 1) h 2(x 2) …h n (x n ) (∏A i )

i =1

n -1b

=f (x 1, x 2, …, x n ) (∏A i )

i =1

n -1

(10)

其中:∏A i =

i =1

n

∫

1

b

a 1

h 1(x 1) d x 1

∫

2

b

a 2

h 2(x 2) d x 2…

h (x ) d x ∫

n

a n

n n n

, 而a 1, …, a n , b 1, …,b n 均与x 1,

x 2, …, x n 无关, 故式(10) 可合并为n 重积分, 即

i =1

∏A i

b 1a

1

h (x ) …h (x ) d x …d x =∫∫

f (x , x , …, x ) d x d x , …d x =1∫…∫=

b n

n

1

n

b

a 1

…

1

b

n

a n

11n n 1n

a

2n 12n

因而有f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n ) =f (x 1, x 2, …,x n ) , 即X 1, X 2, …,X n 相互独立, 充分性得证。

再证必要性。设X 1, X 2, …,X n 相互独立, 则由式(4) 知应有f (x 1, x 2, …, x n ) =f X 1(x 1) f X 2(x 2) …f X n (x n ) 成立, 此时只须取h i (x i ) =f X i (x i ) i =1, 2, …,n , 则知条件①成立。

现假定条件②不成立, 则a i , b i , i =1, 2, …,n 中至少有一个是与x 1, x 2, …, x n 有关的函数, 不妨设a 1=a 1(x 1, x 2, …, x n ) 。由于f X 1(x 1) =h 1(x 1) 是关于X 1的边缘概率密度函数, 则必有

∫

1

b

a 1

h 1(x 1) d x 1≡

∫f

1

b

a 1

X

1

(x 1) d x 1=1(11)

而此时

∫

1

b 1

a (x , x , …,x )

1

2

n

f X 1(x 1) d x 1 A 1(x 1, x 2, …, x n ) 是关于x 1, x 2, …,x n 的函数, 并非恒

等于1, 这与式(11) 相矛盾, 因而必有a 1与x 1, x 2, …,x n 无关。同理证得a i , i =2, 3, …,n , b i , i =1, 2, …, n 均与x 1, x 2, …,x n 无关。再则, 据边缘分布函数性质知, a i , b i 同时也将与x 1, x 2, …, x n 无关。从而条件②满足, 此即必要性得证。从上述定理容易得到下述推论。

推论1　在上述定理1中, 如果a i , i =1, 2, …,n 中有若干个为-∞,b i , i =1, 2, …, n 中有若干个为+∞时, 则定理1的结果依然成立。

推论2　若定理1的条件成立, 则f X i (x i ) 与h i (x i ) 成正比例关系, i =1, 2, …,n 。实际上, 推论2容易从定理1的证明过程中看到。

推论3　当n =2时, 定理1即为:连续型随机变量X 1, X 2, 相互独立的充要条件为①f (x 1, x 2)=f X 1(x 1) f X 2(x 2) 　　a i ≤x i ≤b i 　　i =1, 2

②a 1, b 1, a 2, b 2均为x 1, x 2无关的实常数。此即文献[3]中讨论的结果。

用上述证明定理1的方法, 可将判别单个随机变量间的独立性问题推广到判别多个随机变量间的相互独立性的问题中, 容易得到下述定理。

定理2　设随机变量(X 1, X 2, …,X 1) , (X 1, X 2, …, X 2) , …, (X 1

X i (k )

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(k )

, X 2

(k )

, …,

516　　　　　　　　西　南　交　通　大　学　学　报　　　　　　　　第33卷

1) (1) (1) (2) (2) (2) (k ) (k ) k )

f (x (, …,x (1, x 2, …, x i 1, x 1, x 2, …,x i 2, …, x 1, x 2i k )

边缘概率密度函数为

j ) (j ) (j ) f (j ) (x (　　j =1, 2, …,k 1≤i 1+i 2+…+i k ≤n 1, x 2, …,x i j )

则这些随机变量相互独立的充要条件是

①存在连续函数h j (x 1, x 2, …,x i j ) , j =1, 2, …,k 满足条件

1) (1) (1) (2) (2) (2) (k ) (k ) k ) f (x (, …,x (=1, x 2, …, x i 1, x 1, x 2, …,x i 2, …, x 1, x 2i k

1) (1) (1) (2) (2) (2) (k ) (k ) (k ) h 1(x (h x …h x , x , …, x 1, x 2, …,x i ) 2(1, x 2, …,x i ) k (1) 2) i ) 12k

(j )

(j )

(j )

a i

(j )

≤x i

(j )

≤b i 　　i =1, 2, …i j 　　j =1, 2, …, k

(j )

j ) (j ) j )

②上述a (1, 2, …,i j ; j =1, 2, …, k 均为与x (1, 2, …,i j ; j =1, 2, …, k i , b i , i =i , i =

无关的实常数。

3　应用实例

文中给出的定理避开了求边缘概率密度函数的繁琐过程, 使判定随机变量的独立性的工作转化为检查联合概率密度是否为可分离变量的概率密度之积, 以及其定义域边界是否为常数的简单工作, 这给判定n 个随机变量间的相互独立性问题提供了一个新的途径与简捷的方法。

例1　设(X 1, X 2, …, X n ) 的联合概率密度为

f (x 1, x 2, …, x n (x 1+2x 2+…+nx n )

n ! x 1e -　　x i >0　i =1, 2, …,n

0　　其它i

试讨论X 1, X 2, …,X n 的相互独立性。

解　设

h 1(x 1h i (x i n

x 1e -x 1　　x 1>00　　x 1≤0

　　i =2, 3, …, n

i e

-ix

i

　　x i >0

0　　x i ≤0x

则有f (x 1, x 2, …, x n )=

i =1

又因为a i ∏h i (x i ) 。

=0, b i =+∞,i =1, 2, …,n , 则由推论1知

X 1, X 2, …,X n 必相互独立。

例2　设(X 1, X 2, …,X m ) 与(Y 1, Y 2, …,Y n ) 的联合概率密度为

m n

0≤x i

(∑x i ) (n +1-∑y i ) 　

0≤y j ≤2　j =1, 2, …, n i =1f (x 1, x 2, …,x n , y 1, y 2, …,y n 4m i =1

0　　其它

试讨论(X 1, X 2, …,X m ) 与(Y 1, Y 2, …, Y n ) 的相互独立性。

第5期　　　　　　　李裕奇等:n 维随机变量独立性的一个充要条件　　　　　　　　51722

x 2　　0≤x i ≤1　　i =1, 2, …,m 1+x 2+…+x m )

h (x 1, x 2, …, x m m

0　　其它1n +1-y 1-y 2-…-y n ) 　0≤y j ≤2　j =1, 2, …,n

g (y 1, y 2, …,y n 4

0　　其它

则有f (x 1, x 2, …, x m , y 1, y 2, …, y n ) =h (x 1, x 2, …,x m ) g (y 1, y 2, …, y n ) , 且a i =0, b i =1, c j =0, d j =2, i =1, 2, …, m , j =1, 2, …, n 均与x i , y j , i =1, 2, …,m , j =1, 2, …,n 无关, 故由定理2知,(X 1, X 2, …, X m ) 与(Y 1, Y 2…,Y n ) 相互独立。

例3　设(X 1, X 2, …, X n ) 的联合概率密度为0　　其它试讨论X 1, X 2, …,X n 的相互独立性。

n -1

解　由边界条件0≤x n ≤…≤x n ≤1知, 边界为x 1, x 2, …,x n 的函数, 而非常数, 1≤x 2

n -1n -1

Cx n …x n 　　0≤x n ≤…≤x n ≤11x 21≤x 2

f (x 1, x 2, …,x n 故由定理1结果知, X 1, X 2, …,X n 不是相互独立的。

参　考　文　献

1　盛骤, 谢式干, 潘承毅. 概率论与数理统计. 北京:高等教育出版社, 1989:84—852　唐鸿玲, 张元林, 陈浩球. 应用概率. 南京:南京工学院出版社, 1998:18—203　佟毅. 随机向量独立性的一个充要条件. 工科数学, 1995; (1) :54—57

A Sufficient and Necessary Condition for

Independence of n -Dimensional Random Variables

Li Y uqi 　　Zhao Kan

(Dept . of Appl . M athematics , Southw est Jiao tong University , Cheng du 610031, China )

【Abstract 】　To avoid solving trouble -some marginal density functions , a sufficient and

necessary condition for independence of n -dimensional random variables

is established in this paper , making it very easy to recognize independence of random variables . Examples of employing the condition

are presented .

【Keywords 】　random variable ; distribution function ; density function ; independenc e