求连续自然数平方和的公式
前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：
n (n +1)(2n +1)
12＋22＋32„＋n 2＝
6
这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： „„
1＋2＋3＋„＋ 15 21 „„ 12＋22＋32＋„＋n 2 30 „„
然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数
12+22+32+ +n 2
A n ＝，
1+2+3+ +n 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表：
„„
571113
A n „„
33332n +1
观察发现，A n 的通项公式是。
3
2n +112+22+32+ +n 2
既然A n ＝，而它的通项公式是，于是大胆猜想
31+2+3+ +n
2n +112+22+32+ +n 2
＝。
31+2+3+ +n
n (n +1)
因为分母1＋2＋3＋„＋n ＝， 所以
2
12+22+32+ +n 22n +1
＝。
n (n +1) 32由此得到
1＋2＋3„＋n ＝
即
12＋22＋32„＋n 2＝
n (n +1)(2n +1)
。
6
2
2
2
2
n (n +1) 2n +1n (n +1)(2n +1)
×＝。 236
求连续自然数平方和的公式
前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：
n (n +1)(2n +1)
12＋22＋32„＋n 2＝
6
这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： „„
1＋2＋3＋„＋ 15 21 „„ 12＋22＋32＋„＋n 2 30 „„
然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数
12+22+32+ +n 2
A n ＝，
1+2+3+ +n 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表：
„„
571113
A n „„
33332n +1
观察发现，A n 的通项公式是。
3
2n +112+22+32+ +n 2
既然A n ＝，而它的通项公式是，于是大胆猜想
31+2+3+ +n
2n +112+22+32+ +n 2
＝。
31+2+3+ +n
n (n +1)
因为分母1＋2＋3＋„＋n ＝， 所以
2
12+22+32+ +n 22n +1
＝。
n (n +1) 32由此得到
1＋2＋3„＋n ＝
即
12＋22＋32„＋n 2＝
n (n +1)(2n +1)
。
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2
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n (n +1) 2n +1n (n +1)(2n +1)
×＝。 236