如何找等量关系
山东 李其明
列方程解应用题的关键是找相等关系，有些同学在学习列方程解应用题时，不知如何从问题中抽象出相等关系，下面介绍一些找等量关系的方法，供同学们参考．
一、抓关键词
例1．甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？
分析：在本题中抓住“2倍”便可发现相等关系：抽调后甲队人数=抽调后乙队人数×2． 评注：在解答应用时，若题目中出现诸如“几倍、共、多、少、快、慢、提前、超过、增加、相差”等关键词语时，应抓住它们进行分析，以使相等关系显现出来．
二、抓不变量
例2．某企业生产一种产品，每件成本是400元，销售价为510元，本季度销售m件．为了进一步扩大市场，该企业决定下季度销售价降低4%，预计销售数量提高10%，要使总的销售利润（销售利润=销售价—成本价）保持不变，该产品的成本价应降低多少？ 分析：降低前与降低后的销售利润不变，这就是本题的相等关系．
评注：在解答应用题时，要注意分析找出不变量，即相等关系，如：两人由两地同时出发相向而行，相遇前的时间相等；等体积变形中的体积不变．
三、根据事理
例3．某项工作，甲单独完成需12天，乙单独完成需15天；若甲、乙合作若干天后，再由乙单独作6天完成，若再由甲单独完成需几天？
分析：这件工作是怎样完成的，就是相等关系．根据题意，甲、乙合作若干天后，乙单独作，等量关系为：甲乙合作的工作量+乙单独的工作量=工作总量．
评注：解答某些应用题时，可以根据题目叙述的事理确定相等关系．
四、利用公式
例4．商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少元？
分析：根据公式，商品利润率=商品利润调价后的利润，可得相等关系：10%=． 1600商品进价
评注：解答应用题时，要注意分析各种量是否符合某个公式，如：路程=时间×速度，工作总量=工作时间×工作效率，矩形面积=长×宽，利息=本金×利率．
五、借助图表
例5．《中华人民共和国个人所得税》规定：公民月工资、薪金所得不超过800元部分
（纳税款=应纳税所得额×对应的税率）．
某人本月纳税150.1元，求他本月的工薪收入．
分析：全月纳税所得额如上图所示：
税率10% 税率15% 税率5%
0 500 2000 5000
纳税所得额
由于某人本月纳税15０.1元，可知他的纳税所得额超过500元，而未达到2000元．根据图示有相等关系：500元的纳税额+超过500元部分的纳税额=150.1元．
评注：某些应用题中的相等关系较隐蔽，不易被发现时，可以借助图示、用列表的方式，将抽象的问题具体化，进而挖掘出相等关系．
六、利用参数
例6．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度是固定的若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
分析：这是一道动态型应用题，涉及未知量不少；许多学生阅读题目后，不知所措，分不清数量间的关系，如果用增设参数的方法，很容易理顺题目中的数量关系，问题便可迎刃而解．设χ是检票开始后每分钟新增加旅客人数；y为每个检票口每分钟检票人数，n是在5分钟内检票完毕需同时开始的检票口数，则有：
a+30χ=30y
①
a+10χ=20y ②
a+5χ≤5ny ③
aa，y= 1530
aaaa21 从而有a+5×≤5n×，∴a+≤n× ∴n≥，n取最小正整数为4． 1563306 由①②易得χ=
即至少同时开放4个检票口．
评注：对于较复杂的问题，由于数量关系较多，不易梳理，这时可以借助增设参数的方法来寻找相等关系，从而解决问题．
七、借助实物图的特征
例5．某农具厂用直径为6㎝的圆钢 锻造半径为3㎝钢球毛坯，问圆钢应截
多长？ 分析：如图，设圆钢的长为x㎝，可锻造 的毛坯在锻造过程中，体积没有变化，
所以有：π×(643)x=π×3 23
评注：即通过实物图示来找出题目中的数量关系,从而列出方程．
如何找等量关系
山东 李其明
列方程解应用题的关键是找相等关系，有些同学在学习列方程解应用题时，不知如何从问题中抽象出相等关系，下面介绍一些找等量关系的方法，供同学们参考．
一、抓关键词
例1．甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？
分析：在本题中抓住“2倍”便可发现相等关系：抽调后甲队人数=抽调后乙队人数×2． 评注：在解答应用时，若题目中出现诸如“几倍、共、多、少、快、慢、提前、超过、增加、相差”等关键词语时，应抓住它们进行分析，以使相等关系显现出来．
二、抓不变量
例2．某企业生产一种产品，每件成本是400元，销售价为510元，本季度销售m件．为了进一步扩大市场，该企业决定下季度销售价降低4%，预计销售数量提高10%，要使总的销售利润（销售利润=销售价—成本价）保持不变，该产品的成本价应降低多少？ 分析：降低前与降低后的销售利润不变，这就是本题的相等关系．
评注：在解答应用题时，要注意分析找出不变量，即相等关系，如：两人由两地同时出发相向而行，相遇前的时间相等；等体积变形中的体积不变．
三、根据事理
例3．某项工作，甲单独完成需12天，乙单独完成需15天；若甲、乙合作若干天后，再由乙单独作6天完成，若再由甲单独完成需几天？
分析：这件工作是怎样完成的，就是相等关系．根据题意，甲、乙合作若干天后，乙单独作，等量关系为：甲乙合作的工作量+乙单独的工作量=工作总量．
评注：解答某些应用题时，可以根据题目叙述的事理确定相等关系．
四、利用公式
例4．商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少元？
分析：根据公式，商品利润率=商品利润调价后的利润，可得相等关系：10%=． 1600商品进价
评注：解答应用题时，要注意分析各种量是否符合某个公式，如：路程=时间×速度，工作总量=工作时间×工作效率，矩形面积=长×宽，利息=本金×利率．
五、借助图表
例5．《中华人民共和国个人所得税》规定：公民月工资、薪金所得不超过800元部分
（纳税款=应纳税所得额×对应的税率）．
某人本月纳税150.1元，求他本月的工薪收入．
分析：全月纳税所得额如上图所示：
税率10% 税率15% 税率5%
0 500 2000 5000
纳税所得额
由于某人本月纳税15０.1元，可知他的纳税所得额超过500元，而未达到2000元．根据图示有相等关系：500元的纳税额+超过500元部分的纳税额=150.1元．
评注：某些应用题中的相等关系较隐蔽，不易被发现时，可以借助图示、用列表的方式，将抽象的问题具体化，进而挖掘出相等关系．
六、利用参数
例6．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度是固定的若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
分析：这是一道动态型应用题，涉及未知量不少；许多学生阅读题目后，不知所措，分不清数量间的关系，如果用增设参数的方法，很容易理顺题目中的数量关系，问题便可迎刃而解．设χ是检票开始后每分钟新增加旅客人数；y为每个检票口每分钟检票人数，n是在5分钟内检票完毕需同时开始的检票口数，则有：
a+30χ=30y
①
a+10χ=20y ②
a+5χ≤5ny ③
aa，y= 1530
aaaa21 从而有a+5×≤5n×，∴a+≤n× ∴n≥，n取最小正整数为4． 1563306 由①②易得χ=
即至少同时开放4个检票口．
评注：对于较复杂的问题，由于数量关系较多，不易梳理，这时可以借助增设参数的方法来寻找相等关系，从而解决问题．
七、借助实物图的特征
例5．某农具厂用直径为6㎝的圆钢 锻造半径为3㎝钢球毛坯，问圆钢应截
多长？ 分析：如图，设圆钢的长为x㎝，可锻造 的毛坯在锻造过程中，体积没有变化，
所以有：π×(643)x=π×3 23
评注：即通过实物图示来找出题目中的数量关系,从而列出方程．