微分中值定理与导数的应用练习题

题型

1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题

2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算

3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程

内容

一．中值定理 1.罗尔定理

2.拉格朗日中值定理

二．洛比达法则



一些类型（0、、0、、、0、1等） 0



三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值

四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点

五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线

典型例题

题型I方程根的证明

题型II不等式（或等式）的证明

题型III利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV求函数的凹凸区间及拐点

自测题三

一．填空题 二．选择题 三．解答题

4月13日微分中值定理与导数应用练习题

基础题：

一．填空题

1．函数yx21在1,1上满足罗尔定理条件的 。 3．f(x)x2x1在区间1,1上满足拉格朗日中值定理的中值 4．函数ylnx1在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的。 5.函数f(x)arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 6.设f(x)(x1)(x2)(x3)(x5)，则f(x)0有 个实根，分别位于区间 中． 7. lim

x

cos5xcos3xln(1

1



2



53

8.lim

x

)x

 0

arctanx

9.lim(

x0

1x

2



1xtanx

x

)=

13

10.lim(sinx)1

x0

二． 选择题

1.罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点，使f()0成立的（ ）．

A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件

２．下列函数在[1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ ）．

A.

f(x)e

x

B.

f(x)|x|

C. f(x)1x

2

D.

1

xsin, x0

f(x) x

0, x0

３．若f(x)在(a,b)内可导，且x1、x2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ ）．

A． f(x2)f(x1)(x1x2)f()B． f(x1)f(x2)(x1x2)f()C． f(x1)f(x2)(x2x1)f()D． f(x2)f(x1)(x2x1)f()

(a,b) 在x1,x2之间

x1x2 x1x2

4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）

A． limB． lim

n

n

nen

lim

lnnn

enn1

1cosx1cosx



lim

1

xsinxxsinx

x0

 lim

x0

xsin

2

1xlim1e

x

2xsin

x0

1

C． lim

x0

sinxxe

x

x

cosx

cos

1x

不存在

D． lim

x0

=lim

x0

1

5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）

A． lim综合题：

x

2

x0



x0

sinx

B． lim()

x

1

tanx

C． lim

xsinx

x

x

D． lim

xe

nx

x

三．证明题

1．验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间



5

上的正确性。 

66

,

2．验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间0,1上的正确性。

3．试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。

3.证明方程1x

x

2

2



x

3

6

0有且仅有一个实根．

4．证明下列不得等式： ⑴arctanxarctanyxy

(3)当ab0

(5)当0x时，

sinxx

cosx．

aba

ln

ababb

⑵当x1时，eex

x

（4）当0x



2

时，sinxtanx2x

四．计算题

10．用洛必达法则求下列极限： ⑴lim

ln1xx

x

x

x0

⑵lim

ee

x0

sinx

1

ln1

xsinxsina

⑶lim ⑷lim

xaxa

1

⑸limx1x x1

1

⑺lim(cosx)x x0

⑼limsinxxcosx

x2

sinx

x0

⑾lim1xtanx1x

2

基础题： 一．填空题

xarctan

1x

⑹lim(cotx

1x0

x

)

⑻limx(x2

1x)x

⑽lim

1x0



2

x

e

2x

1 

tanx

⑿lim1

x0x

4月14日微分中值定理与导数应用练习题

1.函数y

104x9x6x

3

2

，则该函数的单调增区间区间是_________________

2.函数ylnxx2，则该函数的单调减区间是____________________ 3.函数yx35x23x5 ，则该函数的拐点是____________________ 4.函数yxex，则该函数的凹区间是________________________ 5.函数yx412lnx7的拐点是_______________________

6. 点1,3为曲线yax3bx2的拐点,则a=_________,b=___________ 7.函数fx

x

22



1x

，其极大值为_____________,极小值为___________

8.函数yxx，在区间[-5,1]上的最大值为__________,最小值为___________

2

9.函数y4x2ln(x)的单调增加区间是单调减少区

间 ．

10.若函数f(x)二阶导数存在，且f(x)0,f(0)0，则F(x)是单调 ．

11.函数yx2x取极小值的点是

2

2

1

f(x)x

在0x上

12.函数f(x)x3(x1)3在区间[0,2]上的最大值为，最小值为 ． 二．选择题

１下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数. A. y2

x

(,) B. ye (,0)

x

C. ylnx (0,) D. ysinx (0,) ２设f(x)(x1)(2x1)，则在区间(,1)内（ ）．

21

A. yf(x)单调增加，曲线yf(x)为凹的 B. yf(x) 单调减少，曲线yf(x)为凹的 C. yf(x)单调减少，曲线yf(x)为凸的 Ｄ．yf(x)单调增加，曲线yf(x)为凸的

３f(x)在(,)内可导, 且x1,x2,当 x1x2时, f(x1)f(x2),则( )

A. 任意x,f(x)0 B. 任意x,f(x)0 C. f(x)单调增 D. f(x)单调增

４设函数f(x)在[0,1]上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ ）

A. f(1)f(0)f(1)f(0) B. f(1)f(1)f(0)f(0) C. f(1)f(0)f(1)f(0) D. f(1)f(0)f(1)f(0)

5.设f(x)在(,)内有二阶导数，f(x0)0，问f(x)还要满足以下哪个条件，则

f(x0)必是f(x)的最大值？（ ）

A． xx0是f(x)的唯一驻点 B． xx0是f(x)的极大值点 C． f(x)在(,)内恒为负 D． f(x)不为零

6.已知f(x)对任意yf(x)满足xf(x)3x[f(x)]21ex，若f(x0)0 (x00)，则（ ）

A. f(x0)为f(x)的极大值 B. f(x0)为f(x)的极小值

（x0,f(x0))不是拐点 C. （x0,f(x0))为拐点 D. f(x0)不是极值点,

7.若f(x)在x0至少二阶可导, 且lim

f(x)f(x0)(xx0)

2

xx0

1,则函数f(x)在x0处( )

A． 取得极大值 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值

综合题：

三．求下列函数的单点区间

（1）ylnxx2

（２）y(2x 四．求下列函数的极值

（1）yxtanx （2）fxx五．求下列函数的最值

32

（1）yxx，5x1 （2）y2x3x12x14，[3,4]



32

x

2/3

六．求函数图形的凹或凸区间及拐点 （1）ye

arctanx

（2）yx

xx1

2

七．证明题

（1）利用函数的单调性，证明： 当x0时，1xlnxx2



2

x

（2）利用函数的凹凸性，证明不等式

ee2

x

y

xy

e

2

xy

八．试确定曲线yax3bx2cxd中的a、b、c、d，使得x2处曲线有水平切线，

(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上．

九．工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选在何处？

4月15日微分中值定理与导数的应用练习题

一、选择题

1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有（ ） A、y = x–7x+10[2,5]

2

B、y =

12x3

[0,2]

C、y = xe

x

2

x2

[0,1] D、y =

1

1x1x1

2、下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的有（ ） A、y

x1x

2

[－1,1] B、y

xx

[－1,1]

x1

C、y = | x| [－2,2] D、y2

x1

A、f (b)－f (a) =f()(b－a) ∈(a,b) B、f (b)－f (a) =f()(b－a) ∈(x1,x2)

1x00x1

3、设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，a

C、f (x2)－f (x1) =f()( x2－x1) ∈(a,b) D、f (x2)－f (x1) =f()( x2－x1) ∈(x1,x2)

4、函数yx

4x

的单调减少区间为（ ）

B、(-2,2)

D、(-2, 0)∪(0,2)

A、(-∞,-2)∪(2,+∞) C、(-∞,0)∪(0,+∞)

5、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且当x∈(a,b)时，有f(x)>0,又知f(a)

A、f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)>0 B、f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)

C、f(x)在[a,b]上单调减少，且f(b)

D、f(x)在[a,b]上单调增加，f(b)的符号无法确定 6、函数f(x)在x = x0处取得极小值，则必有（ ） A、f(x0)=0 B、f(x0)>0

C、f(x0)=0，且f(x0)>0 D、f(x0)=0或f(x0)不存在 7、设函数f(x)在x = x0处f(x)=0，且f(x)0，则f(x)在x = x0点（ ） A、一定有最大值 C、不一定有极值

B、一定有极小值 D、一定没有极值

8、点（1,2）是曲线y = ax3 + bx2的拐点，则（ ） A、a =－1,b=3 B、a =0,b=1 C、a为任意数, b=3 9、曲线y

D、a =－1,b为任意数

x

e

1x

（ ）

B、有二个拐点 D、无拐点

A、有一个拐点 C、有三个拐点 10、曲线y

x3x

2

的渐近线（ ）

A、无水平渐近线，也无斜渐近线 B、x

3为垂直渐近线，无水平渐近线

C、有水平渐近线，也有垂直渐近线 D、只有水平渐近线 11、曲线y

1e1e

xx

2

2

( )

A、没有渐近线； B、仅有水平渐近线

C、仅有铅直渐近线 D、既有水平渐近线又有铅直渐近线

二、填空题

1、曲线y = x3－3x+1的拐点是

3 2

2、要使点（1,3）是曲线y = ax+ bx的拐点，则a = ；b = 3、曲线y

x

4

123x



2

x

2

2

x1的凹区间为2

4、曲线f (x) =

x

22

1

的斜渐近线为

x

5、曲线y

1

，其垂直渐近线方程是 ，斜渐近线方程是

(x3)

4

2

4(x1)

6、函数f (x)= x－2x+5在[－2,2]的最小值为 7、函数f (x)=－3x4+6x2－1在[－2,2]的最小值为 8、函数f (x)=x

2(x

2

1)

在[0,2]的最大值为 ，最小值为

9、函数f (x)=

x

2

2x1x

2

在(－∞,+∞)的最大值为 ，最小值为

1

在[0,4]的最大值为 ，最小值为

10、函数f (x)=

x1x1

三、计算题

1、求下列极限 （1）lim

xsinxx

3

x0

（2）lim

e

x

2

1

x0

cosx1

2

（3） lim

2x1

2

tgxx



x0xsinx



1x1

)

（4）lim

sin3x

 xtg5x

（5）limxctg2x

x0

（6）lim(

x1

（7）lim

ee

xx

x0

sinx

（8）lim

x1

xx

mn

aa

mn

x

（9lim

x0

1x

2



1sin

2





 x

x

（10）lim

x0

x

2

1lnxe

x

（11）lim

ln(1e)x

2

（12）lim(cosx)2

x

e

x



2

0

（13）lim

x0

lnx



ctgx

（14）lim(

x1

xlnx



1lnx

) （15）lim

xxcosx



x0

xsinx

axbx

（16）lim(1sinx) （17）lim

x0x0xx1 （18）limx2lnx x0

2、求下列函数的增减区间

（1）y = x+ x

2 2

（2）y =13x-4x 3（3）y =2x–ln x （5）y =（4）y = arctg x–x （6）y = (x–2)2(2x+1)4 x21 （7）y = xe –x （8）y =2x

lnx

3、求下列函数的极值点与极值

（1）y =1

3x3-4x

（2）y =2x2 –ln x （3）y = x–2sin x

（5）y =（4）y = ln (x4–1) (1x)3

2 （6）y =2xx2 (3x2)

（7）y =x2

1x （8）y = x+x2

4.求下列函数的渐近线

（1）求曲线y1

x12的渐近线 （2）求曲线yx

23x2x3的渐近

（3）求曲线y136x

(x3)2的渐近线 （4）求曲线f(x)2(x2)(x3)x1的渐近线

四、证明题：

（1）验证罗尔定理对函数yx4x7x10在区间1,2上的正确性

5（2）验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间,上的正确性 6632

（3）验证拉格朗日定理对函数yarctgx在区间0,1上的正确性

（4）证明：若0ba，则



2abalnababb （5）证明：若0，则

cos2tgtgcos2

（6）证明：sinxx

五、应用题

1、将已知正数a分成两数之和使其乘积为最大；

2、欲用长6米的木料加工成一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗框的面积最大；最大面积是多少？

题型

1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题

2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算

3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程

内容

一．中值定理 1.罗尔定理

2.拉格朗日中值定理

二．洛比达法则



一些类型（0、、0、、、0、1等） 0



三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值

四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点

五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线

典型例题

题型I方程根的证明

题型II不等式（或等式）的证明

题型III利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV求函数的凹凸区间及拐点

自测题三

一．填空题 二．选择题 三．解答题

4月13日微分中值定理与导数应用练习题

基础题：

一．填空题

1．函数yx21在1,1上满足罗尔定理条件的 。 3．f(x)x2x1在区间1,1上满足拉格朗日中值定理的中值 4．函数ylnx1在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的。 5.函数f(x)arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 6.设f(x)(x1)(x2)(x3)(x5)，则f(x)0有 个实根，分别位于区间 中． 7. lim

x

cos5xcos3xln(1

1



2



53

8.lim

x

)x

 0

arctanx

9.lim(

x0

1x

2



1xtanx

x

)=

13

10.lim(sinx)1

x0

二． 选择题

1.罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点，使f()0成立的（ ）．

A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件

２．下列函数在[1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ ）．

A.

f(x)e

x

B.

f(x)|x|

C. f(x)1x

2

D.

1

xsin, x0

f(x) x

0, x0

３．若f(x)在(a,b)内可导，且x1、x2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ ）．

A． f(x2)f(x1)(x1x2)f()B． f(x1)f(x2)(x1x2)f()C． f(x1)f(x2)(x2x1)f()D． f(x2)f(x1)(x2x1)f()

(a,b) 在x1,x2之间

x1x2 x1x2

4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）

A． limB． lim

n

n

nen

lim

lnnn

enn1

1cosx1cosx



lim

1

xsinxxsinx

x0

 lim

x0

xsin

2

1xlim1e

x

2xsin

x0

1

C． lim

x0

sinxxe

x

x

cosx

cos

1x

不存在

D． lim

x0

=lim

x0

1

5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）

A． lim综合题：

x

2

x0



x0

sinx

B． lim()

x

1

tanx

C． lim

xsinx

x

x

D． lim

xe

nx

x

三．证明题

1．验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间



5

上的正确性。 

66

,

2．验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间0,1上的正确性。

3．试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。

3.证明方程1x

x

2

2



x

3

6

0有且仅有一个实根．

4．证明下列不得等式： ⑴arctanxarctanyxy

(3)当ab0

(5)当0x时，

sinxx

cosx．

aba

ln

ababb

⑵当x1时，eex

x

（4）当0x



2

时，sinxtanx2x

四．计算题

10．用洛必达法则求下列极限： ⑴lim

ln1xx

x

x

x0

⑵lim

ee

x0

sinx

1

ln1

xsinxsina

⑶lim ⑷lim

xaxa

1

⑸limx1x x1

1

⑺lim(cosx)x x0

⑼limsinxxcosx

x2

sinx

x0

⑾lim1xtanx1x

2

基础题： 一．填空题

xarctan

1x

⑹lim(cotx

1x0

x

)

⑻limx(x2

1x)x

⑽lim

1x0



2

x

e

2x

1 

tanx

⑿lim1

x0x

4月14日微分中值定理与导数应用练习题

1.函数y

104x9x6x

3

2

，则该函数的单调增区间区间是_________________

2.函数ylnxx2，则该函数的单调减区间是____________________ 3.函数yx35x23x5 ，则该函数的拐点是____________________ 4.函数yxex，则该函数的凹区间是________________________ 5.函数yx412lnx7的拐点是_______________________

6. 点1,3为曲线yax3bx2的拐点,则a=_________,b=___________ 7.函数fx

x

22



1x

，其极大值为_____________,极小值为___________

8.函数yxx，在区间[-5,1]上的最大值为__________,最小值为___________

2

9.函数y4x2ln(x)的单调增加区间是单调减少区

间 ．

10.若函数f(x)二阶导数存在，且f(x)0,f(0)0，则F(x)是单调 ．

11.函数yx2x取极小值的点是

2

2

1

f(x)x

在0x上

12.函数f(x)x3(x1)3在区间[0,2]上的最大值为，最小值为 ． 二．选择题

１下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数. A. y2

x

(,) B. ye (,0)

x

C. ylnx (0,) D. ysinx (0,) ２设f(x)(x1)(2x1)，则在区间(,1)内（ ）．

21

A. yf(x)单调增加，曲线yf(x)为凹的 B. yf(x) 单调减少，曲线yf(x)为凹的 C. yf(x)单调减少，曲线yf(x)为凸的 Ｄ．yf(x)单调增加，曲线yf(x)为凸的

３f(x)在(,)内可导, 且x1,x2,当 x1x2时, f(x1)f(x2),则( )

A. 任意x,f(x)0 B. 任意x,f(x)0 C. f(x)单调增 D. f(x)单调增

４设函数f(x)在[0,1]上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ ）

A. f(1)f(0)f(1)f(0) B. f(1)f(1)f(0)f(0) C. f(1)f(0)f(1)f(0) D. f(1)f(0)f(1)f(0)

5.设f(x)在(,)内有二阶导数，f(x0)0，问f(x)还要满足以下哪个条件，则

f(x0)必是f(x)的最大值？（ ）

A． xx0是f(x)的唯一驻点 B． xx0是f(x)的极大值点 C． f(x)在(,)内恒为负 D． f(x)不为零

6.已知f(x)对任意yf(x)满足xf(x)3x[f(x)]21ex，若f(x0)0 (x00)，则（ ）

A. f(x0)为f(x)的极大值 B. f(x0)为f(x)的极小值

（x0,f(x0))不是拐点 C. （x0,f(x0))为拐点 D. f(x0)不是极值点,

7.若f(x)在x0至少二阶可导, 且lim

f(x)f(x0)(xx0)

2

xx0

1,则函数f(x)在x0处( )

A． 取得极大值 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值

综合题：

三．求下列函数的单点区间

（1）ylnxx2

（２）y(2x 四．求下列函数的极值

（1）yxtanx （2）fxx五．求下列函数的最值

32

（1）yxx，5x1 （2）y2x3x12x14，[3,4]



32

x

2/3

六．求函数图形的凹或凸区间及拐点 （1）ye

arctanx

（2）yx

xx1

2

七．证明题

（1）利用函数的单调性，证明： 当x0时，1xlnxx2



2

x

（2）利用函数的凹凸性，证明不等式

ee2

x

y

xy

e

2

xy

八．试确定曲线yax3bx2cxd中的a、b、c、d，使得x2处曲线有水平切线，

(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上．

九．工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选在何处？

4月15日微分中值定理与导数的应用练习题

一、选择题

1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有（ ） A、y = x–7x+10[2,5]

2

B、y =

12x3

[0,2]

C、y = xe

x

2

x2

[0,1] D、y =

1

1x1x1

2、下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的有（ ） A、y

x1x

2

[－1,1] B、y

xx

[－1,1]

x1

C、y = | x| [－2,2] D、y2

x1

A、f (b)－f (a) =f()(b－a) ∈(a,b) B、f (b)－f (a) =f()(b－a) ∈(x1,x2)

1x00x1

3、设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，a

C、f (x2)－f (x1) =f()( x2－x1) ∈(a,b) D、f (x2)－f (x1) =f()( x2－x1) ∈(x1,x2)

4、函数yx

4x

的单调减少区间为（ ）

B、(-2,2)

D、(-2, 0)∪(0,2)

A、(-∞,-2)∪(2,+∞) C、(-∞,0)∪(0,+∞)

5、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且当x∈(a,b)时，有f(x)>0,又知f(a)

A、f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)>0 B、f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)

C、f(x)在[a,b]上单调减少，且f(b)

D、f(x)在[a,b]上单调增加，f(b)的符号无法确定 6、函数f(x)在x = x0处取得极小值，则必有（ ） A、f(x0)=0 B、f(x0)>0

C、f(x0)=0，且f(x0)>0 D、f(x0)=0或f(x0)不存在 7、设函数f(x)在x = x0处f(x)=0，且f(x)0，则f(x)在x = x0点（ ） A、一定有最大值 C、不一定有极值

B、一定有极小值 D、一定没有极值

8、点（1,2）是曲线y = ax3 + bx2的拐点，则（ ） A、a =－1,b=3 B、a =0,b=1 C、a为任意数, b=3 9、曲线y

D、a =－1,b为任意数

x

e

1x

（ ）

B、有二个拐点 D、无拐点

A、有一个拐点 C、有三个拐点 10、曲线y

x3x

2

的渐近线（ ）

A、无水平渐近线，也无斜渐近线 B、x

3为垂直渐近线，无水平渐近线

C、有水平渐近线，也有垂直渐近线 D、只有水平渐近线 11、曲线y

1e1e

xx

2

2

( )

A、没有渐近线； B、仅有水平渐近线

C、仅有铅直渐近线 D、既有水平渐近线又有铅直渐近线

二、填空题

1、曲线y = x3－3x+1的拐点是

3 2

2、要使点（1,3）是曲线y = ax+ bx的拐点，则a = ；b = 3、曲线y

x

4

123x



2

x

2

2

x1的凹区间为2

4、曲线f (x) =

x

22

1

的斜渐近线为

x

5、曲线y

1

，其垂直渐近线方程是 ，斜渐近线方程是

(x3)

4

2

4(x1)

6、函数f (x)= x－2x+5在[－2,2]的最小值为 7、函数f (x)=－3x4+6x2－1在[－2,2]的最小值为 8、函数f (x)=x

2(x

2

1)

在[0,2]的最大值为 ，最小值为

9、函数f (x)=

x

2

2x1x

2

在(－∞,+∞)的最大值为 ，最小值为

1

在[0,4]的最大值为 ，最小值为

10、函数f (x)=

x1x1

三、计算题

1、求下列极限 （1）lim

xsinxx

3

x0

（2）lim

e

x

2

1

x0

cosx1

2

（3） lim

2x1

2

tgxx



x0xsinx



1x1

)

（4）lim

sin3x

 xtg5x

（5）limxctg2x

x0

（6）lim(

x1

（7）lim

ee

xx

x0

sinx

（8）lim

x1

xx

mn

aa

mn

x

（9lim

x0

1x

2



1sin

2





 x

x

（10）lim

x0

x

2

1lnxe

x

（11）lim

ln(1e)x

2

（12）lim(cosx)2

x

e

x



2

0

（13）lim

x0

lnx



ctgx

（14）lim(

x1

xlnx



1lnx

) （15）lim

xxcosx



x0

xsinx

axbx

（16）lim(1sinx) （17）lim

x0x0xx1 （18）limx2lnx x0

2、求下列函数的增减区间

（1）y = x+ x

2 2

（2）y =13x-4x 3（3）y =2x–ln x （5）y =（4）y = arctg x–x （6）y = (x–2)2(2x+1)4 x21 （7）y = xe –x （8）y =2x

lnx

3、求下列函数的极值点与极值

（1）y =1

3x3-4x

（2）y =2x2 –ln x （3）y = x–2sin x

（5）y =（4）y = ln (x4–1) (1x)3

2 （6）y =2xx2 (3x2)

（7）y =x2

1x （8）y = x+x2

4.求下列函数的渐近线

（1）求曲线y1

x12的渐近线 （2）求曲线yx

23x2x3的渐近

（3）求曲线y136x

(x3)2的渐近线 （4）求曲线f(x)2(x2)(x3)x1的渐近线

四、证明题：

（1）验证罗尔定理对函数yx4x7x10在区间1,2上的正确性

5（2）验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间,上的正确性 6632

（3）验证拉格朗日定理对函数yarctgx在区间0,1上的正确性

（4）证明：若0ba，则



2abalnababb （5）证明：若0，则

cos2tgtgcos2

（6）证明：sinxx

五、应用题

1、将已知正数a分成两数之和使其乘积为最大；

2、欲用长6米的木料加工成一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗框的面积最大；最大面积是多少？