细长杆的Cosserat动力学模型和变分原理

　应用数学和力学, 第30卷第9期Applied Mathematics and Mechanics 　

　2009年9月15日出版　　V ol. 30,N o. 9,Sep. 15,2009

文章编号:100020887(2009) 0921091209Ζ应用数学和力学编委会,ISS N 100020887

细长杆的Co sserat 动力学模型和变分原理

刘东生

, 　查尔斯・王

(1. 南京理工大学, 2. 阿伯丁大学, ()

摘要:　利用理论建立了细长杆的三维非线性动力学模型1　借助伪刚体法和变分原理得到了C osserat 杆的包括各种形变的三维空间运动方程1　关　键　词:　细长杆; 　变分原理; 　C osserat 理论中图分类号:　O33;O343. 5　　　文献标识码:　A

DOI:10. 3879/j. issn. 100020887. 2009. 09. 011

引　　言

三维空间的一根弹性的细长杆可以看成由一条空间曲线以及一些小的截面组成1　细长杆被广泛研究是因为它可以用于模拟很多实际问题, 譬如微电子系统的部件、活动机械臂甚至是DNA 链等1　这方面早期的工作可以追溯到K irchhoff 和Euler 关于弹性细长杆的形变在平衡状

态下的分析[1]1　Faulkner 和Steigmann [223]得到了弹性细长杆在三维空间的形变的传统的K irch 2hoff 2Clebsch 理论的改进形式1　传统的有限元方法提供了分析弹性细长杆的一般方法1　均匀形

变的细长杆可以看作伪刚体, 关于细长杆的变分原理由C ohen 和Muncaster 做了综述[4]1　Pa 2padopoulos [5]建立了高维伪刚体模型, 它可以用于分析形变梯度是线性变化的情形1　

在C osserat 理论中, 细长杆结构在三维空间的运动可由1条基准曲线和3条相互垂直的单位向量的行为来描述1　这条基准曲线叫做C osserat 曲线,3条相互垂直的单位向量称为方向1　C osserat 连续体和传统连续体的主要区别是传统连续体的每一个物质点只有位移向量场而在C osserat 连续体中每一个物质点同时还有转动向量场1　因此C osserat 细长杆的控制方程包括3

个转动自由度和3个通常的位移自由度1　除了有转动自由度,C osserat 细长杆还考虑了传统应力的耦合以及在本构模型中引进了内在长度变量1　

许多学者对C osserat 理论中细长杆的位形分析进行了研究1　G reen 等[627]发展了一套包括许多位形形变的细长杆的一般理论1　Naghdi 和Rubin [8]讨论了对这些位形附加了限制条件的情形1　Rubin [9210]研究了C osserat 理论下的一般的Bernoulli 2Euler 杆1　最近Zhang 等[11212]借助参数变分原理发展了一种对C osserat 连续体的弹塑性分析的算法1　Neff [13], Sans our 和Skatul 2

收稿日期:　2009203216; 修订日期:　2009208212

基金项目:　教育部留学回国人员科研启动基金资助项目

) , 男, 江苏泰州人, 教授, 博士(联系人. E 2mail :lds1@mail. njust. edu. cn ) . 作者简介:　刘东生(1962—

1091

1092刘　　东　　生　　　查尔斯・王

la [14215]在这方面也做了一些很好的工作1　Cao 等[16]和本文作者[17]建立了C osserat 杆元法和改

进的C osserat 杆元法, 可以有效地模拟一些动力系统中的细长结构1　

依赖于伪刚体法和C osserat 理论我们将建立一种杆的模拟的技巧方法1　我们假设细长杆的截面只改变位置和方向而不改变形状, 因此我们容易写出它的Lagrange 方程1　细长杆的动力学方程由熟知的作用原理而得到1　这样得到的细长杆的动力学方程是可靠的, 因为作用原理保证了基本的守恒定律1　

本文的目的是应用C osserat 1、伸长、扭曲、剪切等1　性1　, 我们只需将细长结构的部件分成少数几个C osserat , C osserat 杆元即可1　利用C osserat 杆单元及其合成在模拟有1　应用举例可见文献[17218]1　

本文中向量

e 1, e 2, e 组成固定的正交基1　求和符号有时被省略1　

1　预备知识

本节将对建立C osserat 杆元模型的方法技巧做一个概述1　在初始坐标系(e 1, e 2, e 3) 中取直角坐标(x , y , z ) 和Newton 时间t 1　一小段杆可以用C osserat 杆元来模拟, 它的运动状况由中

心轴线r (s , t ) (C osserat 曲线) 和3条相互垂直的向量d i (s , t ) , (i =1, 2, 3) (C osserat 方向) 来刻画1　这里s 和t 分别表示长度参数和时间1　我们假定在任何时间5s r ・d 3>0, 5s 表示对长

) 因为|5s r |>0, 中心轴线局部形变后的长度与原长度参数s 求微分1　由假设条件可知:(ⅰ) 杆的截面(s =s 0) 的形变不会退化为完全剪切, 详细说明可见文献度的比率不会为0; (ⅱ

[19]1　

在初始坐标系(e 1, e 2, e 3) 中记

　　r (s , t ) =r i (s , t ) e i =x (s , t ) e 1+y (s , t ) e 2+z (s , t ) e 31　

(1)

设d i (s , t ) =d ij (s , t ) e j 满足正交条件1　C osserat 杆的运动涉及到C osserat 曲线的速度5t r 和截面的角速度w =w i d i 满足5t d i =w ×d i 1　同样地, C osserat 杆的应变可以分成“线性应变”向量v =5s r =v i d i 和“角形应变”向量u =u i d i 满足5s d i =u ×d i 1　

类似于刚体动力系统, 杆的单位长度的动能可以写成:　　T =量1　

当应变较小时, 杆的单位长度的应变能可以通过应变向量u 和v 来表示:

(3) 　　U =J (u -^u , u -^u ) +K (v -^v , v -^v ) ,

这里, ^v 和^u 是杆在未发生形变时的应变向量, J =J ij d i d j 和K =K ij d i d j 是对称张量, 它们分别决定杆的位移和转动形变的刚度1　

上述动能和应变能的表示可用于定义Lagrange 密度:　　L =T -U 1　

从而通过变分原理得到C osserat 杆的动力学模型, 它的作用泛函是

(4)

μ5t r ・5t r +I (w , w )

(2)

这里, μ=ρA , ρ是杆的密度, A 是截面的面积1　I =I ij d i d j 表示杆的单位长度的惯性矩张

细长杆的C osserat 动力学模型和变分原理1093

　　S =L d s d t 1　

∫

(5)

2　角变分微商

设

　　d i (s , t ) =d ij (s , t ) e j 1　由方向向量的正交性得到

　　d ik d jk =δij , d ki d kj =δij , 这里δij 是K ronecker 数1　

记角速度w , u 1e 2, e d 1, d 2, d 中有如下的形式:

　　w =e i =w d i d i , 　　u =u i e i =u d i d i , 　　v =v i e i =v d 　i d i 1

由方向向量的正交性及上述记号我们得到

:d 5d , 2ijk lj t lk 　　w d :d 5d , i =-2ijk jl t kl

　　u i =:ijk d lj 5s d lk ,

2　　u d :d 5d , i =-2ijk jl s kl

(8) (9) (10) (6) (7)

　　w i =(11) (12) (13) (14) (15) (16)

　　v i =5s r i , 　　v d i =5s r j d ij ,

这里:ijk 满足:ijk =(e i ×e j ) ・e k 1　

我们用“・”表示变分微分1　由方向向量的正交性(7) 式, 有　　 d ia =-d ja d ib d jb , 令

　　D =(d 1, d 2, d 3) T 1　

显然D ∈SO (3) 1　S O (3) 是三维欧氏空间的旋转李群[20]1　并且

T 　　D =( d 1, d 2, d 3) 1　

(17) (18) (19) (20)

Ω:为简单起见, 我们引进“角变分微商”　　D =D ×D T ×D :=Ω×D

其中Ω=D ×D T 1　易见Ω∈so (3) , s o (3) 是和李群S O (3) 相对应的李代数1　由(19) 式和(20) 式, 我们有

　　 d i =Ω×d i , 　　i =1, 2, 3, 其分量为

　　Ωd :d d 1　i =-2ijk jl kl

(14) 式和(16) 式得到借助于(12) 式、

(21) (22)

1094

　　w i =-

刘　　东　　生　　　查尔斯・王

d d d

:ijk ( d jl 5t d kl +d jl 5t d kl ) =5t Ωi +:ijk w j Ωk , 2d d d d

　　 u i =-:ijk ( d jl 5s d kl +d jl 5s d kl ) =5s Ωi +:ijk u j Ωk ,

(5s r ×d i ) 1　　 v i =5s r ・d i -Ω・　

(23) (24) (25)

3　有剪切形变的C osserat 杆

我们知道r (s , t ) 是一个机械系统的运动形式, 0, 即

S =01　下面我们将直接计算C osserat 1・

:　　T t t +I , w )

μd d

5t r i 5t r i +I d i j w i w j , 2

(26)

其中μ=ρA , A 1　

每一单位薄片的应变能可以写成应变向量u 和v 的二次型:J (u -^u , u -^u ) +K (v -^v , v -^v ) =2d d d d d d d d d d

J i j (u i -^u i ) (u j -^u j ) +K i j (v i -^v i ) (v j -^v j ) 　　　　2

　　U =

(27) (28)

和

　　U :=U 1+U 21　得到同余全微分:

d d d d 　　T =μ5t r i ・5t r i +(5t Ωd i +:ikl w k Ωl ) I ij w j =

d d d d d d d d d

μ5tt r i -Ω1　　　　- r i ・[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]-d d d d d d d d d

Ω2　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]-d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ]1　

・

为方便起见, 我们假设初始杆没有变形1　因此I ij , J ij 和K ij 均为常数1　由(12) 式和(23) 式

(29)

进一步地, 由(24) 式和(25) 式得到同余全微分:

d d d d d d d d d d

　　U 1= u i J i j (u j -^u j ) =(5s Ωi +:ikl u k Ωl ) J i j (u j -^u j ) =d d d d d d d d d d d d 　　　　-Ω1[5s (J 1j (u j -^u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ) ]-d d d d d d d d d d d d

Ω2　　　　[5s (J 2j (u j -^u j ) ) +u 3J 1j (u j -^u j ) -u 1J 3j (u j -^u j ) ]-d d d d d d d d d d d d Ω3　　　　[5s (J 3j (u j -^u j ) ) -u 2J 1j (u j -^u j ) +u 1J 2j (u j -^u j ) ]

・

(30)

和

d d d d

　　U 2= v i K i j (v j -^v j ) =

(5s r ×d i ) ]K d 　　　　[5s r ・d i -Ω・v d i j (v j -^j ) =

d d d d d

　　　　- r ・5s [K d v j

) d i ]-Ω・[5s r ×K i j (v j -^v j ) d i ]1　

i j (v j -^

・

(31)

令

　　K (v -^v ) =

i =1

K i j (v j -^v j )

d d d

d i ,

(32) (33)

j =1

　　I (w ) =

i =1

I i j w j d i :=

j =1i =1

h i d i ,

细长杆的C osserat 动力学模型和变分原理1095

　　J (u -^u ) =则同余全微分为

・

i =1

J i j (u j -^u

j )

d d d

d i :=

j =1i =1

m i d i 1　(34)

d d d d d

μ5tt r -Ω5t (I d 　　L =- r ・r ・5s (K d v j ) d i ) +i j w j ) d i +w ×I i j w j d + i j (v j -^d d d d d d d d Ω5s (J d u j ) ) d i +u ×J i j (u j -^u j ) d i +5s r ×K i j (v j -^v j ) d i =　　　　i j (u j -^d d

　　　　- r ・[μ5tt r -5s (K d v j ) d i ) ) ]-i j (v j -^

d d d d d

Ω5t [(I d u j ) d i ) 5s r i j (^v j d i =　　　　i j w j ) d i ]-[5s ((J i j (u j -^

　　　　- r ・[μ5tt r -5s K (v -^v ) ]-

Ω・　　　　[5t I (w ) s (^u ) -) ]1　由于 r 和Ω, :　　μ5tt r s n ,

　　5t (h ) =5s m +5s r ×n , 其中

　　h =I (w ) 1　而

　　n =K (v -^v ) , 　　m =J (u -^u ) 则分别是接触力和力矩1　

(35) (36) (37) (38) (39) (40)

若设外力和外力矩分别是f (s , t ) 和l (s , t ) 1　则C osserat 杆的动力学方程可以写成下面的形式1　

　　μ5tt r =5s n +f ,

　　5t (h ) =5s m +5s r ×n +l 1　这和Newton 法则得到的结果一致1　

(41) (42)

4　没有剪切形变的C osserat 杆

剪切形变可以忽略的细长结构, 可以用抑制了剪切形变的C osserat 杆来模拟1　这相当于附加限制条件

　　d 3=

, v

(43)

这里v =|v |1　

这时应变能密度表达式(3) 可以简化成　　U =

J (u -^u , u -^u ) +K 33(v -1) 1　

(44)

然而由于此时 r 和Ω不再相互独立, 我们不能直接得到像(36) 式和(37) 式那样的动力学方程1　

由(43) 式, 我们有

　　 d 3=记

　　Ω=Ω⊥+Ω3,

(46)

|v |

v 1　(45)

1096刘　　东　　生　　　查尔斯・王

这里

　　Ω3=(Ω・d 3) d 3=Ω3d 3,

(47)

=2=|v ||v ||v |

　　Ω⊥=Ω-Ω3=d 3× d 3=此时

2　　U =

d d

d 　d α=Ω1d 1+Ω2d 212・|v |

(48)

　　U =

J (u -^u , u -^u ) +K 33(|v |-) , d J d u d u d i j (u i -^) ^j ) |(49) (50) (51)

和

　　U :=U 2利用(46) ～(48) 式, 我们得到同余全微分:

d d d d

　　T =μ5t r i ・5t r i +(5t Ωd i +:ikl w k Ωl ) I i j w j =

d d d d d d d d d

μ5tt r i -Ω1　　　　- r i ・[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]-d d d d d d d d d

Ω2　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]-d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ];

・

μ5tt r i -　　T =- r i ・・

d d d d d d d d

d 1[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]-2・|v |

d d d d d d d d

d 2[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]-2・|v |

-|v |

d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ];

d d d d d d d d

μ5tt r i + 　　T =- r i ・v ・[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d

　　　　 v ・[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]

・

d -|v |

|v |

d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ];

d d d d d d d d

μ5tt r - 　　T =- r ・r ・5s [5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d

　　　　 r ・5s [5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]d d d d d d d d d

Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ]1　

・

|v |

进一步地从(23) ～(25) 式和(46) ～(48) 式得到同余全微分:

d d d d d d d d d d d

　　U 1=- r ・5[5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ) ]j (u j -^d d d d d d d d 　　　　 r ・5s [5s (J 2u d u d u d j (u j -^j ) ) +u 3J 1j (u j -^j ) -u 1J 3j (u j -^j ) ]d d d d d d d d d

Ω3　　　　[5s (J 3u d u d u d j (u j -^j ) ) -u 2J 1j (u j -^j ) +u 1J 2j (u j -^j ) ]

・

v |-

|v |

(52)

和

・ v =- r ・5s

|v |

　　　　- r ・5s (K 33(|5s r |-1) d 3) 1　

　　U 2=K 33(|v |-1)

・

()

v =

|v |

(53)

细长杆的C osserat 动力学模型和变分原理1097

注意到 r 和Ω3是独立的, 由S =0得出动力学方程如下:

d d d d d d d d

μ5tt r - 　　- r ・r ・5s [5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d

　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]

-|v |

|v |

-|v |

d d d d d d d d d d d

　　　　- r ・5s [5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ]j (u j -^d d d d d d d 　　　　[5s (J 2u j ) ) +u 3J 1j (u j -^u j ) -j (u j -^d d d d 　　　　u 1J 3j (u j -^u j ) ]

[K |3, |(54)

d d d 　　5t (I j w j j 12j w j d d d d d d d d d 　　　　3u j ) -u 2J 1j (u j -^u j ) +u 1J 2j (u j -^u j ) 1　u j ^

(55) (56)

(54) 式可以写成下面的形式:

　　μ5tt r =5s n , 这里

d d d d d d d d 　　n =-[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d 　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]

+|v |

-|v |d d d d d d d d d d d

　　　　[5s (J 2u j ) ) +u 3J 1j (u j -^u j ) -u 1J 3j (u j -^u j ) ]+j (u j -^|v |　　　　[K 33(|5s r |-1) ]d 3

d d d d d d d d d d d

　　　　[5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ) ]j (u j -^

(57)

是接触力1　

如果记

　　n =n 1d 1+n 2d 2+n 3d 3, 则有

d d d d d d d d 　　n 1=5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j -d d d d d d d d d d d

5s (J 2u j ) ) -u 3J 1j (u j -^u j ) +u 1J 3j (u j -

^u j ) ) /|v |; 　　　　j (u j -^d d d d d

　　n 1=5t (h 2) +w 3h 1-w 1h 3-5s (m 2) -u 3m 1+u 1m /v 3

(58)

(59) (60)

和

　　n 2=　　n 2=和

　　n 3=K 33(|5s r |-1) =K 33(v 3-1) 1　同样(55) 式可以写成下面的形式:

d d d d d d d d d d

　　5t (I 3u j ) ) -j w j ) =w 2I 1j w j -w 1I 2j w j +5s (J 3j (u j -^d d d d d d d d 　　　　u 2J 1j (u j -^u j ) +u 1J 2j (u j -^u j )

-5t (I 1j w j ) +w 3I 2j w j -w 2I 3j w j +

d d d d d d d d

d d d d d d d d d d d

5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ) /|v |; 　　　　j (u j ) -^

-5t (h 1) +w 3h 2-w 2h 3+5s (m 1) -u 3m 2+u 2m /v 3

(61) (62) (63)

(64)

或者

1098刘　　东　　生　　　查尔斯・王

d d d d

　　5t (h 3) =w 2h 1-w 1h 2+5s (m 3) -u 2m 1+u 1m 21　(65)

因此在没有外力和外力矩时, 剪切形变可以忽略的细长结构的动力学方程能够写成下面的形式:

　　μ5tt r =5s n =n 1d 1+n 2d 2+n 3d 3,

d d d d 　　5t (h 3) =w 2h 1-w 1h 2+5s (m 3) -u 2m 1+u 1m 2,

(62) 式和(63) 式定义1这里n i 由(60) 式、　

(66) (67)

5　结　　论

本文利用C osserat 1　借助伪刚体法和变分原理得到了C osserat 1　得到的结果与由Newton 法则得到的结果一致T ang 微型谐振器, 参见文献[17218]1　

[参　考　文　献]

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f or a Sp ecial Coss e ra t Rod

LIU Dong 2s heng , 　Charles H 2T WANG

Na nji ng 210094, P. R. Chi na ;

(1. Applied Mathematics Depa rtment , Na nji ng University of Science a nd Technology ,

2. School of Engi neeri ng &Physical Sciences , University of Aberdeen ,

Aberdeen AB 243U E , U K )

Abs t ract :Based on the Cosserat theory , the nonlinear models of a rod in 32dimensional space was described. Using pseudo 2rigid body method and variational principle the equations of motion of Cosserat rod including shear deformation were obtained. Key wor ds :rod ; variational principle ; Cosserat theory

　应用数学和力学, 第30卷第9期Applied Mathematics and Mechanics 　

　2009年9月15日出版　　V ol. 30,N o. 9,Sep. 15,2009

文章编号:100020887(2009) 0921091209Ζ应用数学和力学编委会,ISS N 100020887

细长杆的Co sserat 动力学模型和变分原理

刘东生

, 　查尔斯・王

(1. 南京理工大学, 2. 阿伯丁大学, ()

DOI:10. 3879/j. issn. 100020887. 2009. 09. 011

引　　言

个转动自由度和3个通常的位移自由度1　除了有转动自由度,C osserat 细长杆还考虑了传统应力的耦合以及在本构模型中引进了内在长度变量1　

收稿日期:　2009203216; 修订日期:　2009208212

基金项目:　教育部留学回国人员科研启动基金资助项目

) , 男, 江苏泰州人, 教授, 博士(联系人. E 2mail :lds1@mail. njust. edu. cn ) . 作者简介:　刘东生(1962—

1091

1092刘　　东　　生　　　查尔斯・王

la [14215]在这方面也做了一些很好的工作1　Cao 等[16]和本文作者[17]建立了C osserat 杆元法和改

进的C osserat 杆元法, 可以有效地模拟一些动力系统中的细长结构1　

本文中向量

e 1, e 2, e 组成固定的正交基1　求和符号有时被省略1　

1　预备知识

[19]1　

在初始坐标系(e 1, e 2, e 3) 中记

　　r (s , t ) =r i (s , t ) e i =x (s , t ) e 1+y (s , t ) e 2+z (s , t ) e 31　

(1)

类似于刚体动力系统, 杆的单位长度的动能可以写成:　　T =量1　

当应变较小时, 杆的单位长度的应变能可以通过应变向量u 和v 来表示:

(3) 　　U =J (u -^u , u -^u ) +K (v -^v , v -^v ) ,

这里, ^v 和^u 是杆在未发生形变时的应变向量, J =J ij d i d j 和K =K ij d i d j 是对称张量, 它们分别决定杆的位移和转动形变的刚度1　

上述动能和应变能的表示可用于定义Lagrange 密度:　　L =T -U 1　

从而通过变分原理得到C osserat 杆的动力学模型, 它的作用泛函是

(4)

μ5t r ・5t r +I (w , w )

(2)

这里, μ=ρA , ρ是杆的密度, A 是截面的面积1　I =I ij d i d j 表示杆的单位长度的惯性矩张

细长杆的C osserat 动力学模型和变分原理1093

　　S =L d s d t 1　

∫

(5)

2　角变分微商

设

　　d i (s , t ) =d ij (s , t ) e j 1　由方向向量的正交性得到

　　d ik d jk =δij , d ki d kj =δij , 这里δij 是K ronecker 数1　

记角速度w , u 1e 2, e d 1, d 2, d 中有如下的形式:

　　w =e i =w d i d i , 　　u =u i e i =u d i d i , 　　v =v i e i =v d 　i d i 1

由方向向量的正交性及上述记号我们得到

:d 5d , 2ijk lj t lk 　　w d :d 5d , i =-2ijk jl t kl

　　u i =:ijk d lj 5s d lk ,

2　　u d :d 5d , i =-2ijk jl s kl

(8) (9) (10) (6) (7)

　　w i =(11) (12) (13) (14) (15) (16)

　　v i =5s r i , 　　v d i =5s r j d ij ,

这里:ijk 满足:ijk =(e i ×e j ) ・e k 1　

我们用“・”表示变分微分1　由方向向量的正交性(7) 式, 有　　 d ia =-d ja d ib d jb , 令

　　D =(d 1, d 2, d 3) T 1　

显然D ∈SO (3) 1　S O (3) 是三维欧氏空间的旋转李群[20]1　并且

T 　　D =( d 1, d 2, d 3) 1　

(17) (18) (19) (20)

Ω:为简单起见, 我们引进“角变分微商”　　D =D ×D T ×D :=Ω×D

其中Ω=D ×D T 1　易见Ω∈so (3) , s o (3) 是和李群S O (3) 相对应的李代数1　由(19) 式和(20) 式, 我们有

　　 d i =Ω×d i , 　　i =1, 2, 3, 其分量为

　　Ωd :d d 1　i =-2ijk jl kl

(14) 式和(16) 式得到借助于(12) 式、

(21) (22)

1094

　　w i =-

刘　　东　　生　　　查尔斯・王

d d d

:ijk ( d jl 5t d kl +d jl 5t d kl ) =5t Ωi +:ijk w j Ωk , 2d d d d

　　 u i =-:ijk ( d jl 5s d kl +d jl 5s d kl ) =5s Ωi +:ijk u j Ωk ,

(5s r ×d i ) 1　　 v i =5s r ・d i -Ω・　

(23) (24) (25)

3　有剪切形变的C osserat 杆

我们知道r (s , t ) 是一个机械系统的运动形式, 0, 即

S =01　下面我们将直接计算C osserat 1・

:　　T t t +I , w )

μd d

5t r i 5t r i +I d i j w i w j , 2

(26)

其中μ=ρA , A 1　

每一单位薄片的应变能可以写成应变向量u 和v 的二次型:J (u -^u , u -^u ) +K (v -^v , v -^v ) =2d d d d d d d d d d

J i j (u i -^u i ) (u j -^u j ) +K i j (v i -^v i ) (v j -^v j ) 　　　　2

　　U =

(27) (28)

和

　　U :=U 1+U 21　得到同余全微分:

d d d d 　　T =μ5t r i ・5t r i +(5t Ωd i +:ikl w k Ωl ) I ij w j =

d d d d d d d d d

μ5tt r i -Ω1　　　　- r i ・[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]-d d d d d d d d d

Ω2　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]-d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ]1　

・

为方便起见, 我们假设初始杆没有变形1　因此I ij , J ij 和K ij 均为常数1　由(12) 式和(23) 式

(29)

进一步地, 由(24) 式和(25) 式得到同余全微分:

d d d d d d d d d d

Ω2　　　　[5s (J 2j (u j -^u j ) ) +u 3J 1j (u j -^u j ) -u 1J 3j (u j -^u j ) ]-d d d d d d d d d d d d Ω3　　　　[5s (J 3j (u j -^u j ) ) -u 2J 1j (u j -^u j ) +u 1J 2j (u j -^u j ) ]

・

(30)

和

d d d d

　　U 2= v i K i j (v j -^v j ) =

(5s r ×d i ) ]K d 　　　　[5s r ・d i -Ω・v d i j (v j -^j ) =

d d d d d

　　　　- r ・5s [K d v j

) d i ]-Ω・[5s r ×K i j (v j -^v j ) d i ]1　

i j (v j -^

・

(31)

令

　　K (v -^v ) =

i =1

K i j (v j -^v j )

d d d

d i ,

(32) (33)

j =1

　　I (w ) =

i =1

I i j w j d i :=

j =1i =1

h i d i ,

细长杆的C osserat 动力学模型和变分原理1095

　　J (u -^u ) =则同余全微分为

・

i =1

J i j (u j -^u

j )

d d d

d i :=

j =1i =1

m i d i 1　(34)

d d d d d

　　　　- r ・[μ5tt r -5s (K d v j ) d i ) ) ]-i j (v j -^

d d d d d

Ω5t [(I d u j ) d i ) 5s r i j (^v j d i =　　　　i j w j ) d i ]-[5s ((J i j (u j -^

　　　　- r ・[μ5tt r -5s K (v -^v ) ]-

Ω・　　　　[5t I (w ) s (^u ) -) ]1　由于 r 和Ω, :　　μ5tt r s n ,

　　5t (h ) =5s m +5s r ×n , 其中

　　h =I (w ) 1　而

　　n =K (v -^v ) , 　　m =J (u -^u ) 则分别是接触力和力矩1　

(35) (36) (37) (38) (39) (40)

若设外力和外力矩分别是f (s , t ) 和l (s , t ) 1　则C osserat 杆的动力学方程可以写成下面的形式1　

　　μ5tt r =5s n +f ,

　　5t (h ) =5s m +5s r ×n +l 1　这和Newton 法则得到的结果一致1　

(41) (42)

4　没有剪切形变的C osserat 杆

剪切形变可以忽略的细长结构, 可以用抑制了剪切形变的C osserat 杆来模拟1　这相当于附加限制条件

　　d 3=

, v

(43)

这里v =|v |1　

这时应变能密度表达式(3) 可以简化成　　U =

J (u -^u , u -^u ) +K 33(v -1) 1　

(44)

然而由于此时 r 和Ω不再相互独立, 我们不能直接得到像(36) 式和(37) 式那样的动力学方程1　

由(43) 式, 我们有

　　 d 3=记

　　Ω=Ω⊥+Ω3,

(46)

|v |

v 1　(45)

1096刘　　东　　生　　　查尔斯・王

这里

　　Ω3=(Ω・d 3) d 3=Ω3d 3,

(47)

=2=|v ||v ||v |

　　Ω⊥=Ω-Ω3=d 3× d 3=此时

2　　U =

d d

d 　d α=Ω1d 1+Ω2d 212・|v |

(48)

　　U =

J (u -^u , u -^u ) +K 33(|v |-) , d J d u d u d i j (u i -^) ^j ) |(49) (50) (51)

和

　　U :=U 2利用(46) ～(48) 式, 我们得到同余全微分:

d d d d

　　T =μ5t r i ・5t r i +(5t Ωd i +:ikl w k Ωl ) I i j w j =

d d d d d d d d d

μ5tt r i -Ω1　　　　- r i ・[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]-d d d d d d d d d

Ω2　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]-d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ];

・

μ5tt r i -　　T =- r i ・・

d d d d d d d d

d 1[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]-2・|v |

d d d d d d d d

d 2[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]-2・|v |

-|v |

d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ];

d d d d d d d d

μ5tt r i + 　　T =- r i ・v ・[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d

　　　　 v ・[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]

・

d -|v |

|v |

d d d d d d d d d Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ];

d d d d d d d d

μ5tt r - 　　T =- r ・r ・5s [5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d

　　　　 r ・5s [5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]d d d d d d d d d

Ω3　　　　[5t (I 3j w j ) -w 2I 1j w j +w 1I 2j w j ]1　

・

|v |

进一步地从(23) ～(25) 式和(46) ～(48) 式得到同余全微分:

d d d d d d d d d d d

Ω3　　　　[5s (J 3u d u d u d j (u j -^j ) ) -u 2J 1j (u j -^j ) +u 1J 2j (u j -^j ) ]

・

v |-

|v |

(52)

和

・ v =- r ・5s

|v |

　　　　- r ・5s (K 33(|5s r |-1) d 3) 1　

　　U 2=K 33(|v |-1)

・

()

v =

|v |

(53)

细长杆的C osserat 动力学模型和变分原理1097

注意到 r 和Ω3是独立的, 由S =0得出动力学方程如下:

d d d d d d d d

μ5tt r - 　　- r ・r ・5s [5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d

　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]

-|v |

|v |

-|v |

d d d d d d d d d d d

　　　　- r ・5s [5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ]j (u j -^d d d d d d d 　　　　[5s (J 2u j ) ) +u 3J 1j (u j -^u j ) -j (u j -^d d d d 　　　　u 1J 3j (u j -^u j ) ]

[K |3, |(54)

d d d 　　5t (I j w j j 12j w j d d d d d d d d d 　　　　3u j ) -u 2J 1j (u j -^u j ) +u 1J 2j (u j -^u j ) 1　u j ^

(55) (56)

(54) 式可以写成下面的形式:

　　μ5tt r =5s n , 这里

d d d d d d d d 　　n =-[5t (I 1j w j ) -w 3I 2j w j +w 2I 3j w j ]d d d d d d d d 　　　　[5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j ]

+|v |

-|v |d d d d d d d d d d d

　　　　[5s (J 2u j ) ) +u 3J 1j (u j -^u j ) -u 1J 3j (u j -^u j ) ]+j (u j -^|v |　　　　[K 33(|5s r |-1) ]d 3

d d d d d d d d d d d

　　　　[5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ) ]j (u j -^

(57)

是接触力1　

如果记

　　n =n 1d 1+n 2d 2+n 3d 3, 则有

d d d d d d d d 　　n 1=5t (I 2j w j ) +w 3I 1j w j -w 1I 3j w j -d d d d d d d d d d d

5s (J 2u j ) ) -u 3J 1j (u j -^u j ) +u 1J 3j (u j -

^u j ) ) /|v |; 　　　　j (u j -^d d d d d

　　n 1=5t (h 2) +w 3h 1-w 1h 3-5s (m 2) -u 3m 1+u 1m /v 3

(58)

(59) (60)

和

　　n 2=　　n 2=和

　　n 3=K 33(|5s r |-1) =K 33(v 3-1) 1　同样(55) 式可以写成下面的形式:

d d d d d d d d d d

　　5t (I 3u j ) ) -j w j ) =w 2I 1j w j -w 1I 2j w j +5s (J 3j (u j -^d d d d d d d d 　　　　u 2J 1j (u j -^u j ) +u 1J 2j (u j -^u j )

-5t (I 1j w j ) +w 3I 2j w j -w 2I 3j w j +

d d d d d d d d

d d d d d d d d d d d

5s (J 1u j ) ) -u 3J 2j (u j -^u j ) +u 2J 3j (u j -^u j ) /|v |; 　　　　j (u j ) -^

-5t (h 1) +w 3h 2-w 2h 3+5s (m 1) -u 3m 2+u 2m /v 3

(61) (62) (63)

(64)

或者

1098刘　　东　　生　　　查尔斯・王

d d d d

　　5t (h 3) =w 2h 1-w 1h 2+5s (m 3) -u 2m 1+u 1m 21　(65)

因此在没有外力和外力矩时, 剪切形变可以忽略的细长结构的动力学方程能够写成下面的形式:

　　μ5tt r =5s n =n 1d 1+n 2d 2+n 3d 3,

d d d d 　　5t (h 3) =w 2h 1-w 1h 2+5s (m 3) -u 2m 1+u 1m 2,

(62) 式和(63) 式定义1这里n i 由(60) 式、　

(66) (67)

5　结　　论

本文利用C osserat 1　借助伪刚体法和变分原理得到了C osserat 1　得到的结果与由Newton 法则得到的结果一致T ang 微型谐振器, 参见文献[17218]1　

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