各种类型的微分方程及其相应解法
专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。
一、一阶微分方程的解法
1. 可分离变量的方程
dy =f (x ) g (y ) g (y ) dy =f (x ) dx , 或dx
其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。
例1. 求微分方程dx +xydy =y 2dx +ydy 的通解.
解 先合并dx 及dy 的各项, 得y (x -1) dy =(y 2-1) dx
设y 2-1≠0, x -1≠0, 分离变量得
两端积分y 1dy =dx x -1y 2-1⎰y dy =y 2-1⎰11dx 得 ln |y 2-1|=ln |x -1|+ln |C 1| x -12
于是 y 2-1=±C 12(x -1) 2记C =±C 12, 则得到题设方程的通解 y 2-1=C (x -1) 2.
2. 齐次方程
dy y =f () （1）dx x
dy =f (ax +by +c ) （a ，b 均不等于0） （2） dx
例2求解微分方程dx dy =. x 2-xy +y 22y 2-xy
2y ⎛y ⎫2 ⎪-2dy 2y -xy x ⎝x ⎭, =2=解 原方程变形为22dx x -xy +y y ⎛y ⎫1-+ ⎪x ⎝x ⎭
du 2u 2-u y dy du =, 令u =, 则=u +x , 方程化为u +x 2dx dx dx 1-u +u x
⎡1⎛11⎫21⎤dx -⎪-+分离变量得⎢ du =, ⎥x ⎣2⎝u -2u ⎭u -2u -1⎦
两边积分得
31ln(u -1) -ln(u -2) -ln u =ln x +ln C , 22
整理得 u -1
u (u -2) 3/2=Cx .
所求微分方程的解为 (y -x ) 2=Cy (y -2x ) 3.
3. 一阶线性微分方程
-p (x ) dx p (x ) dx dy +p (x ) y =Q (x ), 其通解为y =e ⎰[⎰Q (x ) e ⎰dx +C ] dx
dy 1+2y =sin x ， y (π) =； 例3. x dx π
dy 2sin x +y =解 将方程改写为 ， dx x x
2sin x 这里p (x ) =，q (x ) =，故由求解公式得 x x
22sin x ⎰x dx ⎤1⎰x dx ⎡y =e e dx ⎥=2(C +⎰x sin xdx ) ⎢C +⎰x ⎣⎦x -
=
由初值条件y (π) =C cos x sin x -+2. 2x x x 1
π，得C =0.
所以初值问题的解为 y =s i n x -x c o s x x 2
例4. 设非负函数f (x ) 具有一阶导数，且满足f (x ) =⎰x
0f (t ) dt +⎰t f 2(t ) dt ，求函数01
f (x ) ．
解：设A =⎰1
0t f (t ) dt ，则f (x ) =⎰f (t ) dt +A ，两边对x 求导，得 02x
x x f '(x ) =f (x ) ⇒f (x ) =Ce ，由已知f (0)=A ⇒C =A ⇒f (x ) =Ae
又 A =⎰1
0t f 2(t ) dt =⎰t (Ae t ) 2dt ⇒A =014，则 2e +1
f (x ) =4x e e 2+1
例5. 设F (x ) =f (x ) ⋅g (x ) ，其中f (x ), g (x ) 满足下列条件：
f '(x ) =g (x ) ，g '(x ) =f (x ) ，且f (0) =0，f (x ) +g (x ) =2e x ．
① 求F (x ) 满足的一阶方程； ② 求F (x ) 的表达式．
22解：(1) 由 F '(x ) =f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) =g (x ) +f (x )
22x =[f (x ) +g (x )]-2f (x ) g (x ) =4e -2F (x ) ,
可见，F (x ) 所满足的一阶微分方程为
⎧F '(x ) +2F (x ) =4e 2x
． ⎨⎩F (0)=0
(2) 由通解公式有
-2dx 2dx F (x ) =e ⎰[⎰4e 2x ⋅e ⎰dx +C ]=e -2x [⎰4e 4x dx +C ]=e 2x +Ce -2x ．
将F (0) =f (0) g (0) =0代入上式，得C =-1. 于是
F (x ) =e 2x -e -2x
4. 伯努利方程
dy +p (x ) y =Q (x ) y n , 同除以y n , 再令u =y n -1即可，其余同3dx
5. 全微分方程
p (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0, 左边恰好是某一个函数u =(x , y ) 的全微分，其为全微分方程的充分
∂P ∂Q 要条件是=在区域G 内恒成立，此时通解为u (x , y ) =⎰P (x , y ) dx +⎰Q (x , y ) dy =C , 其中∂y ∂x x 0y 0
x 0, y 0是区域G 内适当选定的点的坐标。
二、二阶线性微分方程的解法
1. 可降阶微分方程 x y
(1) y (n ) =f (x ) 型，求解方法：连续积分n 次
（2）y ' ' =f (x , y ' ) 型，求解方法：令y ' =p , 则y ' ' =p '
‘y =p ，则y ' ' =（3）y ' ' =f (y , y ' ) 型，求解方法：令dp dp =p dx dy
例6. 方程x y ''+3y '=0的通解为 ． 解：xy ''+3y '=0⇒y ''=-
令y '=p , 3y ' x 3p x y ''=p '，原方程变为 p '=-⇒C 1dp 3dp 3=-dx ⇒⎰=⎰-dx ⇒ln p =-3ln x +ln C 1⇒p =y '=3 p x p x x
C 1C 1dx =-+C 2 32x 2x 所以y =⎰
2. 二阶齐次线性方程y ' ' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0......(1)
二阶非齐次线性方程y +P (x ) y +Q (x ) y =f (x ).......(2)
3. 二阶常系数齐次线性方程 ' ' '
y ' ' +py ' +qy =0, 其中p ，q 是常数，若特征方程r 2+pr +q =0
（1）有两个不相等的实根r 1, r 2, 则通解为y =C 1e r 1x +C 2e r 2x
(2）有两个相等的实根r ，则通解为y =(C 1+C 2x ) e rx
(3) 一对共轭复根r 1, 2=α±βi , 则通解为y =e ∂x (C 1cos βx +C 2sin βx )
例7. 解方程y ''+2y '+2y =0．
解：y ''+2y '+2y =0的特征方程为r +2r +2=0⇒r 1,2=-1±i
则方程的通解为y =e -x (C 1cos x +C 2sin x )
例8. 设2 f (x ) =sin x -⎰(x -t ) f (t ) dt 其中f (x ) 为连续函数，求f (x ) ． 0x
解：原方程整理得
两边求导 f (x ) =sin x -x ⎰f (t ) dt +⎰tf (t ) dt ， 00x
0x x f '(x ) =cos x -⎰f (t ) dt ，
f ''(x ) =-sin x -f (x ) ，
f (0)=0, f '(0)=1（初始条件到原方程中找） 再两边求导得 整理得 f ''(x ) +f (x ) =-sin x ,
1x sin x +cos x 22
有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以举一反三，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。 解得f (x ) =
各种类型的微分方程及其相应解法
专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。
一、一阶微分方程的解法
1. 可分离变量的方程
dy =f (x ) g (y ) g (y ) dy =f (x ) dx , 或dx
其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。
例1. 求微分方程dx +xydy =y 2dx +ydy 的通解.
解 先合并dx 及dy 的各项, 得y (x -1) dy =(y 2-1) dx
设y 2-1≠0, x -1≠0, 分离变量得
两端积分y 1dy =dx x -1y 2-1⎰y dy =y 2-1⎰11dx 得 ln |y 2-1|=ln |x -1|+ln |C 1| x -12
于是 y 2-1=±C 12(x -1) 2记C =±C 12, 则得到题设方程的通解 y 2-1=C (x -1) 2.
2. 齐次方程
dy y =f () （1）dx x
dy =f (ax +by +c ) （a ，b 均不等于0） （2） dx
例2求解微分方程dx dy =. x 2-xy +y 22y 2-xy
2y ⎛y ⎫2 ⎪-2dy 2y -xy x ⎝x ⎭, =2=解 原方程变形为22dx x -xy +y y ⎛y ⎫1-+ ⎪x ⎝x ⎭
du 2u 2-u y dy du =, 令u =, 则=u +x , 方程化为u +x 2dx dx dx 1-u +u x
⎡1⎛11⎫21⎤dx -⎪-+分离变量得⎢ du =, ⎥x ⎣2⎝u -2u ⎭u -2u -1⎦
两边积分得
31ln(u -1) -ln(u -2) -ln u =ln x +ln C , 22
整理得 u -1
u (u -2) 3/2=Cx .
所求微分方程的解为 (y -x ) 2=Cy (y -2x ) 3.
3. 一阶线性微分方程
-p (x ) dx p (x ) dx dy +p (x ) y =Q (x ), 其通解为y =e ⎰[⎰Q (x ) e ⎰dx +C ] dx
dy 1+2y =sin x ， y (π) =； 例3. x dx π
dy 2sin x +y =解 将方程改写为 ， dx x x
2sin x 这里p (x ) =，q (x ) =，故由求解公式得 x x
22sin x ⎰x dx ⎤1⎰x dx ⎡y =e e dx ⎥=2(C +⎰x sin xdx ) ⎢C +⎰x ⎣⎦x -
=
由初值条件y (π) =C cos x sin x -+2. 2x x x 1
π，得C =0.
所以初值问题的解为 y =s i n x -x c o s x x 2
例4. 设非负函数f (x ) 具有一阶导数，且满足f (x ) =⎰x
0f (t ) dt +⎰t f 2(t ) dt ，求函数01
f (x ) ．
解：设A =⎰1
0t f (t ) dt ，则f (x ) =⎰f (t ) dt +A ，两边对x 求导，得 02x
x x f '(x ) =f (x ) ⇒f (x ) =Ce ，由已知f (0)=A ⇒C =A ⇒f (x ) =Ae
又 A =⎰1
0t f 2(t ) dt =⎰t (Ae t ) 2dt ⇒A =014，则 2e +1
f (x ) =4x e e 2+1
例5. 设F (x ) =f (x ) ⋅g (x ) ，其中f (x ), g (x ) 满足下列条件：
f '(x ) =g (x ) ，g '(x ) =f (x ) ，且f (0) =0，f (x ) +g (x ) =2e x ．
① 求F (x ) 满足的一阶方程； ② 求F (x ) 的表达式．
22解：(1) 由 F '(x ) =f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) =g (x ) +f (x )
22x =[f (x ) +g (x )]-2f (x ) g (x ) =4e -2F (x ) ,
可见，F (x ) 所满足的一阶微分方程为
⎧F '(x ) +2F (x ) =4e 2x
． ⎨⎩F (0)=0
(2) 由通解公式有
-2dx 2dx F (x ) =e ⎰[⎰4e 2x ⋅e ⎰dx +C ]=e -2x [⎰4e 4x dx +C ]=e 2x +Ce -2x ．
将F (0) =f (0) g (0) =0代入上式，得C =-1. 于是
F (x ) =e 2x -e -2x
4. 伯努利方程
dy +p (x ) y =Q (x ) y n , 同除以y n , 再令u =y n -1即可，其余同3dx
5. 全微分方程
p (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0, 左边恰好是某一个函数u =(x , y ) 的全微分，其为全微分方程的充分
∂P ∂Q 要条件是=在区域G 内恒成立，此时通解为u (x , y ) =⎰P (x , y ) dx +⎰Q (x , y ) dy =C , 其中∂y ∂x x 0y 0
x 0, y 0是区域G 内适当选定的点的坐标。
二、二阶线性微分方程的解法
1. 可降阶微分方程 x y
(1) y (n ) =f (x ) 型，求解方法：连续积分n 次
（2）y ' ' =f (x , y ' ) 型，求解方法：令y ' =p , 则y ' ' =p '
‘y =p ，则y ' ' =（3）y ' ' =f (y , y ' ) 型，求解方法：令dp dp =p dx dy
例6. 方程x y ''+3y '=0的通解为 ． 解：xy ''+3y '=0⇒y ''=-
令y '=p , 3y ' x 3p x y ''=p '，原方程变为 p '=-⇒C 1dp 3dp 3=-dx ⇒⎰=⎰-dx ⇒ln p =-3ln x +ln C 1⇒p =y '=3 p x p x x
C 1C 1dx =-+C 2 32x 2x 所以y =⎰
2. 二阶齐次线性方程y ' ' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0......(1)
二阶非齐次线性方程y +P (x ) y +Q (x ) y =f (x ).......(2)
3. 二阶常系数齐次线性方程 ' ' '
y ' ' +py ' +qy =0, 其中p ，q 是常数，若特征方程r 2+pr +q =0
（1）有两个不相等的实根r 1, r 2, 则通解为y =C 1e r 1x +C 2e r 2x
(2）有两个相等的实根r ，则通解为y =(C 1+C 2x ) e rx
(3) 一对共轭复根r 1, 2=α±βi , 则通解为y =e ∂x (C 1cos βx +C 2sin βx )
例7. 解方程y ''+2y '+2y =0．
解：y ''+2y '+2y =0的特征方程为r +2r +2=0⇒r 1,2=-1±i
则方程的通解为y =e -x (C 1cos x +C 2sin x )
例8. 设2 f (x ) =sin x -⎰(x -t ) f (t ) dt 其中f (x ) 为连续函数，求f (x ) ． 0x
解：原方程整理得
两边求导 f (x ) =sin x -x ⎰f (t ) dt +⎰tf (t ) dt ， 00x
0x x f '(x ) =cos x -⎰f (t ) dt ，
f ''(x ) =-sin x -f (x ) ，
f (0)=0, f '(0)=1（初始条件到原方程中找） 再两边求导得 整理得 f ''(x ) +f (x ) =-sin x ,
1x sin x +cos x 22
有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以举一反三，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。 解得f (x ) =