金融时间序列的多重分形分析

金融时间序列的多重分形分析

MULTIFRACTAL ANALYSIS OF

FINANCIAL TIME SERIES

指 导 教 师：

申请学位级别：学 士

论文提交日期：2014年6月12日

摘 要

有效市场假说(EMH)是现代金融市场的基础理论，该理论认为市场的价格反映了市场的全部信息，市场价格的波动之间相互独立而且不可预测，收益率服从随机游走，收益率分布服从正态分布或对数正态分布.但是，现实中的种种限制

因素决定着这一传统的金融理论有着很大的局限性，实际的资本市场并不是传统

理论所描述的线性系统，而是一个非线性的系统，这也意味着分形理论开始应用

在金融市场.

分形理论则认为金融市场具有明显的分形结构和尖峰厚尾的分布特征，金融

时间序列在一定的标度范围内有着持续性与反持续性的特征，而且不同幅度的波

动能够表现出多重分形特征.分形理论比有效市场理论更能有效揭示金融市场的

波动本质，同时也能更有效地揭示出金融市场的基本规律.

本文选取上证综指（上海证券综合指数）和深证成指（深圳证券成分指数）

2005年1月5日至2014年5月22日的每日收盘价的股指收益数据位样本，分

别采取R/S、DFA、MF-DFA方法对我国股市的分形及多重分形特征进行实证研

究与分析.主要验证了两时间序列的分形及多重分形特征；分析比较了两时间序

列的市场有效性特征，通过计算并比较∆h的大小，得出了上海证券市场比深证

证券市场有效；分析比较了两时间序列的市场风险，通过计算并比较多重分形谱

的宽度∆α，得出了上海证券市场存在的风险比深证证券市场的要大.

关键词：分形； 多重分形； 广义Hurst指数；市场有效性； 市场风险

ABSTRACT

Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories have great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system. This also means the appearance and development of fractal theory.

The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal structure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital market theory, and can effectively reveal basic law of the finance market.

This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2005 to May 22, 2014 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S, DFA, MF-DFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fractal and multi fractal characteristics, by analysis the effectiveness of market of two time series, and give the result that the Shanghai stock market is more effective than the Shenzhen stock market, by analysis and compare the two time series of market risk, and give the result that the risk of Shanghai stock market is bigger than the Shenzhen stock market.

Key word: Fractal; multi-fractal; generalized hurst exponent; stock market efficiency; financial market risk

目 录

1 引言 ................................................... 1

1.1 研究背景与意义 ....................................... 1

1.2 国内外研究综述 ....................................... 2

1.3 研究内容 ............................................. 3

2 金融时间序列的相关分形理论与方法 ....................... 5

2.1 分形理论 ............................................. 5

2.2 多重分形理论 ......................................... 7

2.3 分形市场理论 ......................................... 8

3 几种分形方法理论研究 .................................. 10

3.1 单分形方法 .......................................... 10

3.2 MF-DFA方法 ........................................ 12

4 泸深股指分形特征的实例分析 ............................ 10

4.1 泸深股指的分形特征分析 .............................. 14

4.2 Hurst指数分析 ..................................... 14

4.3 泸深股指的多重分形特征的测度 ........................ 16

5 泸深股市的市场有效性、市场风险关系的分析 .............. 17

5.1 市场有效性分析与比较 ................................ 17

5.2 市场风险分析与比较 .................................. 18

6 总结与展望 ............................................ 20

6.1 研究成果总结 ........................................ 20

6.2 研究展望 ............................................ 20

参考文献 ................................................ 24

致 谢 .................................................. 25

附 录 .................................................. 26

1 引言

1.1 研究背景与意义

1.1.1 研究背景

中国的金融市场从20世纪90年代兴起以来，直到现在在中国的经济体系

中它已成为了一个重要的成分.金融在现代经济中处于核心的地位，它在促进生

产要素的重新组成以及建立一个不断完善的社会主义市场经济中，占据着越来

越重要的地位，同时金融市场在促进社会主义经济市场的发展与优化资源配置

等各个方面也起着很重要的作用.现在，股票市场更为投资者提供了投资的主要

渠道，而且股票价格的变动也为股票市场的变动提供了重要的信息，与此同时，

不断发展起来的股票市场更需要理论作为其坚实的后盾.

自形成以来，金融经济学一直以一个线性的范式为引导，由此而发展起来

的.有效市场假说成为了现代金融学的基石，有效市场假说（Efficient Markets

Hypothesis），简记为EMH，它是在1970年由尤金•法玛经过深刻研究并提出来

的.EMH的意义在于：在任何时刻证券的价格都是完全并正确地反映出所有可以

获取的信息.有效市场假说指的是一种理想状态，实际上它体现的是一种均衡、

平等竞争的思想.而在这样的假定下，价格能够反映出所有的相关信息，而且价

格的波动相互之间是独立的，是无法预测到未来价格变动的，价格的收益率服

从随机游走，收益率的分布呈现出正态或对数正态的分布.以经济学理论的观点

来看，在有效的市场中，要想连续不断地获取到超额的利润是几乎不可能实现

的.有效市场假说是当代金融经济学的支柱性理论之一，虽然该理论指的是理想

状态，没有考虑现实市场的各种因素影响，但金融市场的这种线性范式已经成

为了金融学进行研究的主流，之后的理论都是以它为基础发展起来的.

随着学者们的深入学习，发现了最近不断涌现一些反面的例子，这使人们

所熟知的有效市场假说遭遇了很大的冲击，有效市场理论无法对这些异象作出

合理的解释.比如：小公司效应，小市值的公司股票收益率并不小于大市值的公

司股票收益率；虽然小公司股票的相对风险比较大，但是，长期投资于小公司

的股票却获得了较高的收益；于1987年出现的异常“黑色星期一”现象，美国

的股市在这一年10月19日的股灾中的平均指数顿时暴跌；“一月效应”，也就

是每年的一月份，股票价格一般会有比较高的涨幅程度，从而可以获得到超额

的收益，而且，这几乎可以算得上是一种可以预测的现象.“输家－赢家效应”，

研究结果表明，前一期绝对的输方，也就是亏损者趋向于被低估，而前一期绝

对的赢方则会相反趋向于被高估.另外，金融市场的数据统计则开始出现了长记

忆性、尖峰厚尾等特征.

由于诸多异常现象的存在，越来越多的学者开始从不同的角度做出了深入

探索，研究成果也各不相同.他们开始将目光转移到非线性系统，并从非线性系

统的角度来分析和研究金融市场，分形理论作为非线性科学理论中的一个非常

重要的部分，也开始应运而生，它在金融市场的分析研究中占据着极其重要的

成分. 最初分形理论的研究比较集中在金融市场的单分形特征上，但是单分形

仅仅能够描述出股价波动的长期性的统计行为，适用于对全局的统计，对局部

过程的详细描述却不够全面，不能满足人们的研究需要.为了使价格的波动情况

能够更加的全面描述，学者们开始了对多重分形理论的相关分析与研究.随着研

究的不断深入，多重分形理论逐渐被接受，而且受到了各国学者广泛的关注，

它在复杂的金融系统中有着潜在的应用前景.为了更深入认识和理解中国的股

票市场，众多学者运用了各种方法，不断对金融市场多重分形的结构进行更加

深入的研究.

1.1.2 研究意义

本论文针对分形及多重分形理论，通过认真学习相关理论知识并将其运用

于金融领域，利用金融时间序列的具体实例进行分析研究，主要目的是判断并

研究金融时间序列中的分形及多重分形行为，通过数据的拟合，研究市场的长

程相关性和波动行为，并计算广义Hurst指数，度量并比较不同的市场有效性

市场的风险大小.

1.2 国内外研究综述

1.2.1 单分形相关的国外文献综述

1977年，Mandelbrot分析研究了在不同的时间标度上时间序列的动力学特

点[1]，之后经过多年的研究，提出了“分形”这一概念.Przekota G用Hurst指数

这一指标来识别资本市场的时间序列特征，考察并研究了金融市场时间序列的

长期相关性的统计方法[2].C.K. Peng等人[3] 于20世纪初，在分析研究DNA分

子链的单分形结构的时候，提出了用于解决非平稳的时间序列分形分析的方法，

称之为消除趋势波动方法( de-trended fluctuation analysis)，简记为DFA方法.

1.2.2 单分形相关的国内文献综述

国内的一些学者对单分形理论也有了一定程度的分析研究，牛淑珍运用了

R/S（重标极差）分析方法，来研究深圳和上海两地的股票市场的每周的收盘指

数的时间序列[4]，其结果显示，我国的股票市场的波动性呈现出非线性的特征.

庄新田用上海证券综合指数（上证综指）和深圳证券成分指数（深圳成指）每

日的收盘价格为样本，来研究上海和深圳两地的股票交易市场的分形特征[5]，

并认为两地的金融市场并不具有有效市场的特征，它们的股价指数显示出有偏

随机游走而非正态的特征，同时时间序列具有长记忆的特征.

1.2.3 多重分形相关的国外文献综述

在金融股票市场上通过对分形理论的深入研究，分形理论不断取得新的成

果，并且学者们已经开始了从研究单分形理论过渡到多重分形理论的分析研究

阶段.Muniandy 通过研究马来西亚外汇的分形行为，用R/S分析方法、DFA方

法和相关系数的二阶矩等方法计算了全局的Hurst指数，并用多重分形的布朗

运动来分析金融时间序列的多重分形特征性[6].Norouzzdeh用MF-DFA分析方法

研究了伊朗的银币对美元的汇率波动的多重分形特征，他通过对广义Hurst指

数、标度指数、广义分形维以及奇异谱的研究，发现了产生多重分形的原因，

这一原因是与尖峰厚尾的分布特征和长程相关性相关的[7].Sadegh Movahed运用

了分形分析的MF-DFA方法来研究河流流量的波动，结果表示，存在着两个相

互交叉的时间标度，河流流量的Hurst指数显示出了长程相关性的特征，并逐

渐发现了多重分形的特性是因为概率密度函数的厚尾这一分布所造成的[8].

1.2.4 多重分形相关的国内文献综述

张永东和毕秋香在《 中国股票市场多标度行为的实证分析》一文[9]中， 通

过研究中国股指的时间序列，并分析研究不同时间跨度的指数增量序列和收益

率序列、广义的累积绝对收益序列的标准差，发现了标准差s与时间跨度t之

间满足一种幂律关系，而且幂指数并不是唯一的，它具有明显的多标度的特征.

常松和何建敏，他们运用多重分形特征理论来分析中国的股票市场[10]，验证了

中国股票市场的多重分形游走特征，而且通过进一步研究多重分形过程局部的

尺度特性，将这种局部尺度和多尺度之间的相关性联合建立了小波和神经网络

相互结合的对于股票价格的一种预测模型.庄新田和苑莹通过运用MF-DFA方

法（消除波动趋势的分析方法）对上证综指的日收益率进行多重分形特征的分

析，发现了出现多重分形的原因，这是由于非线性的长程相关性和概率分布函

数的尖峰厚尾分布所导致的，随后继续研究了股票价格的指数波动特征，发现

了当股票价格的指数波动相对较大时，广义Hurst指数具有非常显著的波动特

征，由此他提出了基于广义Hurst指数的两种不同的风险指标[11].

1.2.5 文献综述总结

从以上研究来看，现阶段，将分形理论应用到金融领域仍是一个热门的课

题，但却还不够完善，仍存在着大量的缺陷.目前来说，国内外对待金融市场中

多重分形理论的分析研究以及应用都还处于初级阶段，都还不成熟，很大部分

的相关研究成果都只是停留在对金融时间序列的多重分形特性的检验阶段，而

没有继续深入.尽管部分学者已经证明了多重分形谱的形态特征对金融时间序

列的波动、金融风险的预测及考察都具有一定的指示效果，但研究结果终究比

较零碎，不完善，现在还没有形成一个比较完整的体系.比如说实证方法和技术

多样缺乏标准的判别指标，对于分形结构存在的原因的分析各有不同，至于分

形及多重分形理论在金融市场上的预测等应用还在探索中，具体的应用还有待

于进一步研究，需要不断改进.

1.3 研究内容

1.3.1 研究思路及框架

基本思路：

本文将先介绍分形理论的一些基本知识点，简单介绍分形市场理论，然后

将分形理论应用到中国上证综指和深证综指的金融时间序列中，通过计算广义

Hurst指数，研究市场的长程相关性和波动行为，判断金融时间序列是否符合分

形及多重分形行为，并度量市场的风险和市场效率.

基本框架：

1.引言，包括：研究背景及意义、国内外文献综述、研究内容简述；

2.介绍金融时间序列的相关分形理论与方法，包括：

3.介绍各种研究方法，包括R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等；

4.用数据进行实证分析，做个各种方法的对比；

5.得出结论，并作出评价.

1.3.2 研究方式与方法

研究方式：

本论文通过查阅相关文献充分理解基本理论知识及方法，如R/S分析，

MF-DFA方法、MF-DMA方法等，主动请教指导老师，之后根据自己的想法及思

路，在matlab上实现相关程序，根据图形得出结论，最后总结、评价，找到不足，

并指出自己的一些展望.

具体研究方法有：

1. 在图书馆查阅相关书籍，进行相关方面知识的研究和探讨.

2. 借助网络媒介进行相关资料的搜索.

3. 查阅国内外期刊中与课题相关的文章，加以分析研究.

4. 就本课题向老师和同学们讨教，听取他们的意见和观点.

2 金融时间序列的相关分形理论与方法

2.1 分形理论

2.1.1 分形理论的形成

分形理论是由Mandelbrot首先提出来的，并在此基础上发展为一种系统

的理论，它起源于对海岸线长度测量的研究问题.Mandelbrot在研究英国的海

岸线的复杂边界时，发现了不同比例的地图上测量出来的海岸线长度是不同

的，这也正是欧几里德几何所无法解释的一点.大家都知道，海岸线是弯弯曲

曲的，不规则且极不光滑的一条曲线.如果要对它的长度进行测量，就必须要

选取一定的测量单位才可以.如果选作“公里”作为测量单位来测量海岸线，

很显然从几米直到几十米的弯曲程度就都被随之忽略掉了，此时测量的结果

我们记为 M1；如果选取“米”作为测量单位，测量的结果很明显要比上一

次的准确一些，几米直到几十米的弯曲程度都可以被包括在测量的范围内，

然而厘米量级的这样小的弯曲，却仍然被排除在计量长度范围之外，这时的

测量结果我们记为 M2，则一定有关系式 M2>M1；如果继续用更小的“毫

米”为单位来测量，其结果显然要比前两次精确的多了，但是仍存在微米量

级的小的弯曲被忽略掉了，此时的测量结果记为 M3，且存在关系式

M3>M2>M1.继续设想，如果继续把海岸线分解到“分子”、“原子”这样的尺

度标准，很显然测量得到的长度L4 会大到天文数字的级别.追究其原因则是

因为海岸线是一种具有各种层次且无穷多的细节的非常复杂的几何对象.

自然界中存在很多类似于海岸线这样的几何对象，它们都是一些极其不

规则而且支离破碎的片段的集合，如河流、山脉、血管、云团、树枝等

等.Mandelbrot 用“分形”这一概念，来描述这些十分复杂的几何对象.在研

究过程中，他将测量长度和放大尺度（比例）分别取其对数，发现所对应坐

标点之间存在着一种线性的关系，这表示，这类十分复杂的集合体都具有一

种共同的特征，即自相似性的特征，也就是说局部的形态与整体的形态是相

似的.后来，通过研究，Mandelbrot更进一步发展了分形几何理论，这一理论

不仅可以产生许多分形集曲线和图形，如Mandelbrot集、Koch曲线、Cantor

集、Sierpinski垫片等等，而且还可以用来描述复杂对象的几何特

性.Mandelbrot用“分形理论”这一定义，来反映这种表示这些复杂的图形特

征和复杂过程规律的性质.

2.1.2 分形理论的定义及特征

尽管至今为止，分形理论还是没有形成一个比较严格的定义，但是很多研

究者都根据自己的理解做出了自己的定义.最开始的时候，分形定义是由

Mandelbrot提出来的，他指出分形是这样的一种集合：它的维数严格意义上

是大于其拓扑维数的.但是这个定义还是不够严谨的，而且比较抽象，不能够

被人们所理解.接着他指出另一个定义，部分以某种形式与整体相似的这样的

一种形状叫“分形”，但是这个定义是仍然不够全面的，仍然不能够被大家所

认可.直到1990年，Edger指出，分形集合是这样的一种集合，它比传统的几

何学所研究的所有的集合还要更加不规则，不管是将它放大多少倍还是缩小

多少倍，甚至是更进一步地进行缩小，这种集合的不规则程度性仍然是十分

明显的.紧接着，英国数学家Kenneth J. Falconer出版了《Fractal Geometry》

一本书，对分形定义做了如下比较详尽的描述.

集合F如果满足以下条件，则认为它是是分形的：

（1）集合F具有很精细的结构.即它在任意小的尺度之下，它总是具有复

杂的细节的；

（2）集合F通常具有某种自相似性特征，这种自相似性可以有时是严格

相似的，但也可能是统计意义上的相似；

（3）传统意义上的的几何语言是无法对不规则的集合F进行局部与全局

特征的描述的；

（4）集合F的分形维数大多部分都是大于它的拓扑维数的；

分形集合总的来说是有以下的特征的：

（1）自相似性.也就是说，局部和整体之间是相似的，这既包括严格意义

上的自相似，还包括在一定的尺度范围内的近似意义上的自相似以及存在于

统计意义上的自相似性.

（2）标度不变性.也就是说无论放大多少倍或者是缩小多少倍，集合的不

规则特征、形态结构及其复杂程度等是都不会发生变化的.而且存在这种关

系：具有标度不变性特征的集合体一定具有自相似性的特征.

（3）分数维.即分形维数不是以整数表示的，而是以分数的形式表示的，

而且一般来说分形维数是大于它的拓扑维数的.维数是空间理论和几何学里

的一个基本概念.我们现在已经习惯于欧几里德几何的整数维数了，比如：点

是零维的，线是一维的，面是二维的，而体积是三维的.在欧氏空间之中，物

体被认为是连续且光滑的，对称的而且同质的，因此我们通常可以用整数维

对其进行系统的描述.但是对于描述分形体，这种既不规则也不光滑的对象，

传统的欧氏维数是几乎无法做出回答的.分形维数是对几何体的不规则性程

度，复杂的程度，粗糙程度等性质的一个有效地测度.

（4）自放射性.自放射变换指的是整体的各个方向的变换比率是基本不一

样的，但是局部的随机性与整体的确定性是同时存在的.

最后，分形集其实可以说是这样的一类集合体，他的局部和整体之间存

在着结构、形态等方面的自相似性，而且这种相似性是不会随着测量尺度的

变化而改变的，同时观测尺度和相似比例之间满足着一定的指数关系形式.

所以说，分形能够从不同的标度指数来描述出集合的特征，能用分形维数的

概念来刻画分形结构的特征.

2.2 多重分形理论

2.2.1 多重分形定义

多重分形(Multi-fractal)，这一概念是定义在分形结构上的，它是由多个

不同的标度q和标度指数h(q)的分形测度来组成的这样的一个无限的集合.多

重分形理论是从集合的局部出发来进行研究整体特征的一种方法，它在直观

上可将多重分形很形象地看作是由众多的维数不同的单一分形进行交错叠加

而形成的.从几何的角度来看，组成分形集合的许多若干个子集的标度q及分

形维数都是互相不相同的，多重分形也被称为是称多标度分形.可以表征多重

分形的主要方法有：广义Hurst指数，或者可以使用奇异谱函数f(a).奇异谱

f(a)可以定量地刻画出来分形体在各个不同的局部条件下对应的概率分布

特征，其中奇异标度指数a规定了奇异性的强度，而f(a)则描述了分布的稠

密程度.

2.2.2 多重分形过程

Mandelbrot通过运用增量矩的尺度特性，来定义了多重分形过程：

如果一个连续的时间过程{X(t),t∈T}具有一个平稳的增量，并且满足：

q E⎛ X(t+∆t)-X(t)⎫⎪=c(q)∆tτ(q)+1 （2-1） ⎝⎭

则称X(t)为多重分形过程.其中∆t为时间增量，T和Q是实轴上的区间，它们

长度非零，并且0∈T,[0,1]⊆Q，c(q)和τ(q)均是Q域上的函数.

上式表示了多重分形过程的矩的一个幂律关系的性质.函数τ(q)是多重分

形过程中的尺度函数，通过运用序列增量的矩特性，从而刻画出来不同幅度的

增量的尺度特征，进而可以刻画出各个不同时点上的分形特征.其中，当τ(q)为

q的线性函数时，这一过程是单分形过程，比如当τ(q)=Hq-1时，τ(q)是由H

唯一决定的一个线性函数；而当τ(q)为q的非线性函数时，这时就称这一过程

是多重分形的过程.

通过对不同幅度的波动进行幂次方处理，这就相当于对波动的波幅放大几

倍或缩小几倍.所以，不同的q值对应的尺度函数τ(q)对应着不同的波动，从而

反映出了不同程度大小的价格波动信息，而且随着时间标度的取值变化，还可

以观察在不同时间标度上的价格波动信息.总之，多重分形分析能够更加清晰地

分析研究金融市场上的不同时间的标度，不同幅度变化的价格或者收益波动的

相关特征.

多重分形能够定量地刻画出十分复杂的几何对象在不同的层次的一个分形

特征，并且可以用多重分形谱的形式表达出来.因此，我们可以知道，通过运用

多重分形的相关理论去分析研究金融市场，能够更准确地对金融市场的波动性

进行更加细致的剖析和描述，进而可以得到有关于金融时间序列在不同的时间

标度以及不同幅度程度的波动信息.

2.2.3 广义Hurst指数

对于时间序列X(t)，根据公式(2-1)，来定义广义Hurst指数Hq=H(q)，

{1qqEX(t+∆t)-X(t=c(q)(∆t)H(q) ) （2-2）

函数H(q)描述了时间增量在∆t下的广义平均波动的相关信息.特别地，当q=1

时，H1即为前面单分形中的指数，也称为全局H指数，当H1>0.5时，序列表

现持续性，H1

广义Hurst指数H(q)与尺度函数τ(q)之间的关系为：

1 H(q)=[τ(q)+1]* （2-3） q

2.3 分形市场理论

2.3.1 分形时间序列

对于一个时间序列来说，只有在它受到许多等可能性事件的共同影响时才

是随机的.而且对于一个非随机的时间序列，构成序列的数据之间是具有内在相

关性的，也就是说时间序列是分形的.分形吋间序列也通常被称为是有偏随机的

游动，曼德勃罗特（ Mandelbrot）把这种随机游动称为是分数布朗运动.它表示

了时间序列的非随机特征，序列具有趋势叠加上噪声的这样的一种特性.趋势的

存在也导致了测出的观测值之间不是相互独立的，这个时候，序列的观测值就

具有长记忆性的特征.

通常来讲，分形时间序列具有下列的一些特点：

（1）分形时间序列具有着无限的精细结构.当观测的对象，即股票收益率序

列的尺度从年收益率改变到周收益率，继续改变到日收益率，再到分时这样的

逐渐变化时，大量结果表明，股票收益率序列的复杂细节是不会随尺度改变而

发生变化的.

（2）分形时间序列具有分形维数.分形维数是描述时间序列如何填充空间的

这样的一个参数.它表征了分形几何体的复杂程度以及粗糙程度.

（3）分形时间序列具有自相似性特征.复杂分形系统的整体与部分以及部分

与部分内部之间的精细的结构和性质是具有相似牲的或者是具有统计意义上的

相似性的.

2.3.2 分形市场理论

Peters在1994年开始将分形理论引入到了复杂的经济系统，提出了分形

市场理论，分形市场理论是分形理论在金融市场分析研究中的一个具体运用.

传统的有效市场理论认为市场的收益序列具有线性、独立以及有限方差的

这些特征，并且其分布是服从正态分布的，有效市场理论展现了一种理想的市

场结构.Peters则根据非线性的观点，在实际的金融市场中，提出了更符合资本

市场实际的基本理论，这一理论揭示出了不同的证券市场信息接受程度和不同

的投资时间尺度对不同投资者的投资决策所产生的不同影响，认为资本市场都

具有分形结构的特征，其收益率的分布也并不是服从正态分布的，而是具有明

显的尖峰厚尾特征，没有方差或方差无限大.

由于在资本市场中，存在许多偏好不同的投资者，加上投资者的理性有限，

投资者对信息的理解能力互不相同，导致投资者做出不同的投资决策.由于上述

实际资本市场的种种因素，决定了资产价格的变化不是随机游动的，而是具有

持续相关性的.

分形市场的特征有：

（1）标度不变性，也就是指不同的时间标度下具有相似的统计规律.

（2）长程相关性，即过去的相关信息对现在以及未来的事件不是相互独立

的，而且是能够产生着长期性影响的.

（3）如果预测的时间越长，那么预测的结果是越不可信的，不能够进行长

期准确地预测.

3 几种分形方法理论研究

3.1 单分形方法

3.1.1 R/S方法分析

R/S分析法，即重标极差分析法，它广泛用于研究时间序列的分形特征和

分析长期记忆过程，该方法最初是英国水文学家赫斯特(Hurst)在1951年研究尼

罗河水坝工程时经过研究提出来的，他发现了一个更一般的幂率形式（式3-1）

并同时提出来一个新的非参数统量，被称为Hurst指数，简称为H指数.此后，

R/S分析法被用在各种时间序列的分析当中.

(RS)n=CnH (3-1)

其中，对于一个时间序列{xt}，R/S是重标极差，S指序列{xt}每段的方差，

n表示每段区间的长度，C为常数.

R/S分析方法的基本步骤如下：

（1）对一个时间序列{xt}，把它分为k个长度为n的等长子区间，对于每

一个子区间，依次计算下面第2至第5步.

（2）计算各段数据的均值和标准差，以第j段的均值Ej和标准差Sj为例：

1n1n Ej=∑x((j-1)n+i)，Sj=∑x((j-1)n+i)-Ej2 （3-2） ni=1ni=1[]

（3）计算各段数据的累计离差和极差，以第j段的累积离差序列

{Dj(r)},r=1,2,...,n和极差Rj为例：

Dj(r)=∑x((j-1)n+i)-Ej，Rj=maxDj-minDj （3-3）

i=1r[]()()

（4）计算各段的重标极差，以第j段为例：

(S)j=RjSj （3-4）

（5）计算整个k段序列的平均重标极差(R/S)n：

1k (S)n=∑(RS)j （3-5） kj=1

（6）改变每段长度n，使n取值为从2到[N2]之间改变，对不同的n，重

复上述（2）-（5）步，得到散点对(n,(RS)n)

（7）绘制log((RS)n)~log(n)图形，并用最小二乘法进行线性拟合，如满

足下式，则说明序列{xt}是单分形，且所得到的直线的斜率就是Hurst指数.

lo( (S)n)~lo(ggn)+Hlo(gn) （3-6）

通过分析Hurst指数结果，可得出：当H>0.5时，说明序列具有持续性；

H

R/S分析法对短期记忆性比较敏感，因而由其不足，而消除趋势波动分析

方法（DFA）可以消去短期相关性并反映长记忆性及分形特征.

3.1.2 DFA方法分析

C.K.Peng等物理学家和生物学家在1994年研究DNA分子的时候，发现

NDA分子顺序在其分子个数大于104时，会呈现出一种长记忆性的、幂指数分

布，之后他们提出了DFA(de-trended fluctuation analysis)方法.DFA方法可以消除

短期的波动趋势，用来检测非平稳时间序列的长记忆性，并且得到Hurst指数.

DFA方法的步骤如下：

（1）根据时间序列{xt},i=1,2,...,N，得出累积离差序列{y(k)}：

y(k)=∑(xi-),k=1,2,..N ., （3-7）

i=1k

其中，是序列{xi}的平均值，=∑xi*

i=1N1 N

（2）将（1）中得到的序列{y(k)}分成Ns=int(Ns)个连续的不重复的区间

段，其中s为每个区间段的长度.因为N不一定被s整除，为了防止末尾数据丢

失，可以从序列{y(k)}末端开始反方向再重复分割一次，这样子就会得到一共

2Ns个长度为s的区间段.

（3）在每个区间段内，如第j段，用最小二乘法回归拟合趋势多项式

Pjm(k)：

Pjm(k)=bj0+bj1k+⋅⋅⋅+bj(m-1)km-1+bjmkm,m=1,2,.. . , （3-8）

其中，m称为回归趋势阶数.不同的阶DFA的比较结果能够估计时间序列里的

趋势的强度.于是计算出各个区间段消除趋势后的序列yj(k)=y(k)-Pjm(k)，并

分别对这2Ns个区间段计算出方差：

1s2 F(j,s)=∑y[(j-1)s+i]-Pjm(i),j=1,2,...,Ns （3-9） si=1{}2

1sm2 F(j,s)=∑y[N-(j-N)s+i]-Pj(i),j=Ns+1,..2.N ,s （3-10）si=12{}

（4）对所有区间段的方差求平均值，再计算方根得到DFA波动函数F(s)：

⎡12Ns2 F(s)=⎢∑F(j,s)⎥ （3-11） ⎢⎥⎣2Nsj=i⎦

（5）对不同s，重复上述（2）-（4）步，并计算出相对应的F(s).如果F(s)

与s的对数函数之间存在存在线性关系：

log F(s)=logC+Hlo(gs) （3-12）

则存在幂率形式的波动：

F(s)=CsH （3-13）

其中，H即为Hurst指数.

3.2 MF-DFA方法

Kantelhardt等人2002年在原来DFA方法的基础上，提出了MF-DFA方法，

也就是多重分形消除趋势分析方法，它是在验证单分形的方法DFA的基础上提

出来的，用来验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形特征的有效方法.

基本步骤如下：

MF-DFA方法的前三步与DFA分析方法步骤的（1）-（3）步是基本一样

的.

第四步：对所有区间段的方差求平均值，给定q（任意实数），计算得到q

阶消除趋势波动函数Fq(s)：

1

q⎫q⎧12k⎪⎪22()Fq(s)=⎨Fj,s∑⎬2kj=1⎪⎪⎩⎭1⎤2 [ ，q≠0 （3-14）

⎧⎫⎪12Ns⎪2当q=0时，Fq(s)=exp⎨∑lnF(j,s)⎬；特别的，q=2时，即为标⎪⎪⎩4Nsj=1⎭[]

准的DFA方法.

[N2]]中的各个整数后，根据幂律关系 第五步：当分割的长度s取遍[2，

Fq(s)~sh(q) （3-15）

对log(s),logFq(s)的散点图做线性回归拟合，斜率即为对应于q的h(q).

第六步：改变q的值，重复上述前五步，得到关于q的函数h(q)，我们称

为广义Hurst指数.

第七步：分析h(q)~q的关系及图形，并判断出序列是否符合多重分形特征.

当h(q)数值大小与阶数q无关时，即为一常数，则时间序列是单分形的；

当h(q)与q有关时，此时时间序列是多重分形的.当q

取决于小波动偏差F2(j,s)的大小，h(q)描述了小幅度波动的标度行为，当q>0

时，Fq(s)大小主要取决于大波动偏差F2(j,s)的大小，此时h(q)描述了大幅度

波动的标度行为.于是，不同的q值也就描述了不同程度的波动对波动函数Fq(s)

的影响.

(())

4 沪深股指分形特征的实例分析

4.1 沪深股指的分形特征分析

本文以中国上海证券市场综合指数(上证综指)和深圳证券市场成分指数

（深证成指）为代表研究中国金融时间序列的分形特征.选取了上证综指和深圳

成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盘价格作为样本，样本数

都是3160个，通过对数差分计算，得到相应的收益率序列而作为研究对象.

也就是说，为了消除原始数据自相关的影响，我们需要对原始数据事先做

处理，用于消除或者有效降低线性依赖性程度.由于我们选取的原始数据所构成

的时间序列以{pt}表示，则得到的对数收益序列为：

St=ln(pt-pt-1)， （4-1）

其中，St表示t时的对数收益，Pt表示t时刻的股价指数.

以St-1作为自变量，St作为因变量，进行回归分析，得到St的残差序列

Xt=St-(a+bSt-1) （4-2）

这时Xt的长度为N-1，那么问题就转化为对序列{Xt}进行分析.

4.2 Hurst指数分析

Hurst指数主要应用于单分形时间序列，它的的大小可以度量金融时间序列

的持续性和反持续性特征.当0.5

而且H的值越接近1，则此时表示序列持续性程度越强；当0

时就表示时间序列具有反持续的特征，而且H越接近0的时候反持续性程度就

会越强；当H=0.5时，此时时间序列既不表现持续性也不表现反持续性，处于

一种随机状态，而且H越接近0.5时，随机游走特征就会越明显.

下面两图是分别运用R/S分析方法和DFA分析方法，以上证指数和深证成

指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盘价格（分别为3160个数据）

作为样本，在Matlab软件上进行拟合而成的，主要用来计算Hurst指数.

(a) (b)

图4-1 上证综指(a)和深证成指(b)的R/S分析图

(c) (d)

图4-2 上证综指(c)和深证成指(d)的DFA分析图

各方法的结果显示：

表4-1 Hurst指数数值比较

该结果表明了，虽然两种方法计算后所得到H指数互不不同，但都是明显

大于0.5的，由此可以知道，我们所研究得到的沪深指数收益序列的波动特征

是明显不同于布朗运动的，而且两种波动均呈现出持续性的特征，并且深证证

券市场的持续性强度较大.

这就表示，这两个序列是具有分形特征的. 4.3 沪深股指的多重分形特征的测度

下面是运用MF-DFA分析方法得到的拟合图形：

(e) (f)

图4-3 上证综指的MF-DFA分析图,(e)图表示q值分别取-5,0,5时，波动函数Fq(s)~s的

图形，（f）图表示h(q)~q的图形

(g) (h)

图4-4 上证综指的MF-DFA分析图，(g)图表示q值分别取-5,0,5时，波动函数Fq(s)~s的

图形，（h）图表示h(q)~q的图形

以上结果表示，对于（e）、（g）图，不同的q值，波动函数Fq

(s)的波动程度

也是在改变的，而且，对于每一个给定的q值，所对应的Hurst指数（即直线

的斜率）是各不相同的.（f）、（h）图则给出了Hurst指数随着q的变化而变化的关系图.这就表明，泸深股市都符合多重分形特征.

5 沪深股市的市场有效性、市场风险关系的分析

5.1 市场有效性分析与比较 5.1.1 相关理论

对于金融市场的分形特征，我们大多时候都采用广义Hurst指数来测量金融市场的有效性.由于广义Hurst指数h(q)与q的取值有关，于是我们采用∆h来定量比较市场效率问题.

1

∆h=[H(-10)-0.5+H(10)-0.5] （5-1）

2

当∆h=0.5时，表明市场是最有效的；∆h越接近0.5，则表示市场是越有效的，相反∆h越远离0.5时，表明市场是越无效的.

由于现实金融市场的种种因素的限制，导致∆h不可能取0.5，也就是现实金融市场中，是不可能会有市场是完全有效的，只能比较不同市场之间的相对有效程度.所以，针对金融市场的分形特征，是可以利用广义Hurst指数的∆h距离0.5的远近程度来衡量有效性的程度的.

具体来讲就是，如果某市场是相对较有效的，则该市场的广义Hurst指数的∆h更趋近于0.5，而如果∆h离0.5越远的话，这就表明这个市场是越无效的. 5.1.2 有效性分析

下面分别是上证指数和深证综指的h(q)~q的关系图

(a) (b)

图5-1 上证综指(a)和深证成指(b)h(q)~q的关系图

以上结果显示，上海证券市场的∆h1=0.10492，而深证证券市场的

∆h2=0.10477，因此∆h1>∆h2，∆h1更接近0.5，因此我们认为，上海证券市场

是较有效的.同时，图（a）中知，q=2时，图（b）中，h1(2)=0.5134，h2(2)=0.5194，此时的h(2)即指Hurst指数，且h1(2)

用于描述金融时间序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形谱

f(a).多重分形谱是用来描述奇异指数变化的这样一种图形，如果序列式单分形

特征，则只是通过唯一的一个奇异指数来刻画时间序列在不同的时刻以及不同的时间尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，则是通过不断改变的奇异指数a来衡量整个复杂过程的一个局部规则特性，来进行描述价格波动在不同时间区间的的一种不均匀性.

式子f(a)中，其中a指的是奇异指数，它是用来描述复杂系统在中各个区间不同的奇异程度，它的取值范围的大小则可以表示出不同的奇异强度分布范围的大小.f(a)则是为多重分形谱，它主要用于表征奇异指数的变化程度.如果研究的时间序列是单分形的，则函数f(a)的值是一定的，那么如果时间序列是多重分形时，则此时函数f(a)的图像呈现的是单峰钟形图形.

多重分形谱的宽度∆a则刻画出了资产价格的涨跌幅度大小，它的大小则可以定量表示出金融市场中的波动强度，同时可以用来刻画市场风险的大小.如果

∆a越大，则表示时间序列分布是越不均匀的，这也就预示着该多重分形蕴含的波动程度越大，则该市场的风险就会越大.如果∆a=0，则表示市场处于完全均匀分布的状况，不过这只是理想状态而已. 5.2.2 风险分析

下面是对两市场的多重分形谱的绘制图形：

图5-1 上海证券市场的多重分形谱

(d)

图5-2 深证证券市场的多重分形谱

从上图可以看出，上海证券市场的多重分形谱宽度∆α1=0.38897，深证证券市场的多重分形谱宽度∆α2=0.38189，由此知，∆α1>∆α2，但差别不大，故上海证券市场的风险是略大于深证证券市场的风险的.

6 总结与展望

6.1 研究成果总结

本文对分形及多重分形理论进行了系统的研究，对几种多重分形方法的优劣进行了分析.由于MF-DMA方法的估计效果较好，在分析多重分形时釆用了该方法进行分析.并且选用了具有代表性的上证综指和深证成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盘价格（分别为3160个数据）作为样本，进行了分析，以此探讨了上海金融市场和深圳金融市场的多重分形特征.主要研究成果：

（1）通过对两时间序列进行基本的统计分析，发现了上证综指和证成指的收益率序列的分布都不服从正态分布，而是具有尖峰厚尾的特征的.

（2）通过R/S和DFA分析方法计算得到的上证综指和深证成指收益率序列的Hurst指数，发现两时间序列都符合分形特征，而且两种时间序列波动均呈现出持续性的特征，并且深证证券市场的持续性强度较大.

（3）接着通过进一步运用MF-DFA方法计算上证综指和深证成指的收益率序列的广义Hurst指数h(q)，发现了广义Hurst指数h(q)是随着q值的变化而改变的，说明，两时间序列符合多重分形特征.

（4）通过计算并比较上证综指和深证成指的收益率序列的∆h的大小，得出上海市场是比深证市场更有效的.

（5）通过计算并比较上证综指和深证成指的收益率序列的多重分形谱宽度

∆α的大小，得出上海证券市场的风险是略大于深证证券市场的风险的.

6.2 研究展望

尽管本文得出了一些研究成果，但是这些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理论还是在实践方面都是需要进一步的研究.

（1）本文只是对股指的日收益率序列做了分析，而对其他的时间间隔的收益率序列，比如每周数据、每月数据等的多重分形结构以及它们之间的关系还有待进一步研究.

（2）本文只是用R/S、DFA、MF-DFA三种方法对两时间序列进行分析，而没有运用其他一些方法，不够广泛.

（3）如何利用广义Hurst指数、多重分形谱等多重分形的特性对金融市场的收益率进行建模和预测，是多重分形分析研究的一个发展方向，需进一步进行探讨.

参考文献

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[2] Przekota G. Estimation and Interpretation of Hurst's Index For Stock-Exchange Data [D]. Badania Operacyjne, 2002, 3: 109-117.

[3] C.K. Peng , S.V. Budyrev, M. Simons, H. E. Stanley, A. L Golclberger, Mosaic organization of DNA nucleotides[M], Physical Review K, 1994,49, 1685-1689.

[4] 牛淑珍.R/S分析在我国股票市场上的应用[J].石家庄经济学院学报,2001(8):382-387. [5] 庄新田,庄新路,田莹.Hurst指数及股市的分形结构[J].东北大学学报(自然科学版),2003(9):862一865.

[6] Muniandy s V, Lima S C, MurUgan R.lnhomogeneous scaling behaviors in Malaysian foreign currency exchange rates[J].PhysicaA,2001,301:407-428.

[7] Norouzzadeh P,Rahmani B.A multi-fractal de-trended fluctuation description of lranlan rial-US dollar exchange rate[J].Physical A 2006,367:328-336.

[8] Sadegh Movahed M,Evalds Hennanis. Fractal analysis of river flow fluctuations[J].Physical A,2008,387:915一932.

[9] 张永东,毕秋香.中国股票市场多标度行为的实证分析[J].2002,21(4)，56-59.

[10] 何建敏,常松.中国股票市场多重分形游走及其预测[J].中国管理科学,2002,10(3):11-17. [11] 苑莹,庄新田.中国股票市场的长记性与市场发展状态[J].数理统计与管理,2008,27(1):14-19.

[11] 胡雪明,宋学锋.深沪股票市场的多重分形分析[J].数量经济技术经济研究,2003(S):124-127.

[13] 施锡锉,艾克凤.股票市场风险的多重分形分析[J].统计研究,2004(9):33-36. [14] 徐龙炳,陆蓉.R/S分析探索中国股票市场的非线性[J].预测,1999(2):59-62.

[15] 叶中行,杨利平. 上证指数的混沌特性分析[J].上海交通大学学报, 1998, 32(3)：129-132. [16] 李道叶.论证券市场的分形与混沌伍海华[J].世界经济.2001.N7：32-37.

致 谢

本论文的工作是在我的指导教师老师的悉心教导下完成的，从论文的选题，到资料的收集以及最终的定稿，王老师给予了我无私的指导和帮助.王洪武老师在工作中的严格要求也使我对科学的态度有了更深层次的认识.因此，我要对导师的辛勤工作表示由衷的感谢和敬意！

感谢院里的所有领导和老师，感谢你们给予我帮助和关怀，感谢你们为我在天津科技大学学习和生活提供了良好的环境.

还要感谢我的同窗好友，感谢你们的支持和陪伴，因为你们，我的学生生活才会如此的丰富多彩！

最后，我还要深深地感谢我的父母，感谢你们二十多年的养育之情，并为我无私的付出！我会用自己的优异的成绩，回报父母，让父母为我骄傲！

由于本人学识有限，文中不免有错误和待改进之处，真诚欢迎各位师长提出宝贵的意见与指导.同时还要感谢老师在百忙之中审阅我的论文，谢谢！

附 录

上证综指和深证成指日收益价的部分数据：

金融时间序列的多重分形分析

MULTIFRACTAL ANALYSIS OF

FINANCIAL TIME SERIES

指 导 教 师：

申请学位级别：学 士

论文提交日期：2014年6月12日

摘 要

有效市场假说(EMH)是现代金融市场的基础理论，该理论认为市场的价格反映了市场的全部信息，市场价格的波动之间相互独立而且不可预测，收益率服从随机游走，收益率分布服从正态分布或对数正态分布.但是，现实中的种种限制

因素决定着这一传统的金融理论有着很大的局限性，实际的资本市场并不是传统

理论所描述的线性系统，而是一个非线性的系统，这也意味着分形理论开始应用

在金融市场.

分形理论则认为金融市场具有明显的分形结构和尖峰厚尾的分布特征，金融

时间序列在一定的标度范围内有着持续性与反持续性的特征，而且不同幅度的波

动能够表现出多重分形特征.分形理论比有效市场理论更能有效揭示金融市场的

波动本质，同时也能更有效地揭示出金融市场的基本规律.

本文选取上证综指（上海证券综合指数）和深证成指（深圳证券成分指数）

2005年1月5日至2014年5月22日的每日收盘价的股指收益数据位样本，分

别采取R/S、DFA、MF-DFA方法对我国股市的分形及多重分形特征进行实证研

究与分析.主要验证了两时间序列的分形及多重分形特征；分析比较了两时间序

列的市场有效性特征，通过计算并比较∆h的大小，得出了上海证券市场比深证

证券市场有效；分析比较了两时间序列的市场风险，通过计算并比较多重分形谱

的宽度∆α，得出了上海证券市场存在的风险比深证证券市场的要大.

关键词：分形； 多重分形； 广义Hurst指数；市场有效性； 市场风险

ABSTRACT

Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories have great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system. This also means the appearance and development of fractal theory.

The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal structure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital market theory, and can effectively reveal basic law of the finance market.

This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2005 to May 22, 2014 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S, DFA, MF-DFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fractal and multi fractal characteristics, by analysis the effectiveness of market of two time series, and give the result that the Shanghai stock market is more effective than the Shenzhen stock market, by analysis and compare the two time series of market risk, and give the result that the risk of Shanghai stock market is bigger than the Shenzhen stock market.

Key word: Fractal; multi-fractal; generalized hurst exponent; stock market efficiency; financial market risk

目 录

1 引言 ................................................... 1

1.1 研究背景与意义 ....................................... 1

1.2 国内外研究综述 ....................................... 2

1.3 研究内容 ............................................. 3

2 金融时间序列的相关分形理论与方法 ....................... 5

2.1 分形理论 ............................................. 5

2.2 多重分形理论 ......................................... 7

2.3 分形市场理论 ......................................... 8

3 几种分形方法理论研究 .................................. 10

3.1 单分形方法 .......................................... 10

3.2 MF-DFA方法 ........................................ 12

4 泸深股指分形特征的实例分析 ............................ 10

4.1 泸深股指的分形特征分析 .............................. 14

4.2 Hurst指数分析 ..................................... 14

4.3 泸深股指的多重分形特征的测度 ........................ 16

5 泸深股市的市场有效性、市场风险关系的分析 .............. 17

5.1 市场有效性分析与比较 ................................ 17

5.2 市场风险分析与比较 .................................. 18

6 总结与展望 ............................................ 20

6.1 研究成果总结 ........................................ 20

6.2 研究展望 ............................................ 20

参考文献 ................................................ 24

致 谢 .................................................. 25

附 录 .................................................. 26

1 引言

1.1 研究背景与意义

1.1.1 研究背景

中国的金融市场从20世纪90年代兴起以来，直到现在在中国的经济体系

中它已成为了一个重要的成分.金融在现代经济中处于核心的地位，它在促进生

产要素的重新组成以及建立一个不断完善的社会主义市场经济中，占据着越来

越重要的地位，同时金融市场在促进社会主义经济市场的发展与优化资源配置

等各个方面也起着很重要的作用.现在，股票市场更为投资者提供了投资的主要

渠道，而且股票价格的变动也为股票市场的变动提供了重要的信息，与此同时，

不断发展起来的股票市场更需要理论作为其坚实的后盾.

自形成以来，金融经济学一直以一个线性的范式为引导，由此而发展起来

的.有效市场假说成为了现代金融学的基石，有效市场假说（Efficient Markets

Hypothesis），简记为EMH，它是在1970年由尤金•法玛经过深刻研究并提出来

的.EMH的意义在于：在任何时刻证券的价格都是完全并正确地反映出所有可以

获取的信息.有效市场假说指的是一种理想状态，实际上它体现的是一种均衡、

平等竞争的思想.而在这样的假定下，价格能够反映出所有的相关信息，而且价

格的波动相互之间是独立的，是无法预测到未来价格变动的，价格的收益率服

从随机游走，收益率的分布呈现出正态或对数正态的分布.以经济学理论的观点

来看，在有效的市场中，要想连续不断地获取到超额的利润是几乎不可能实现

的.有效市场假说是当代金融经济学的支柱性理论之一，虽然该理论指的是理想

状态，没有考虑现实市场的各种因素影响，但金融市场的这种线性范式已经成

为了金融学进行研究的主流，之后的理论都是以它为基础发展起来的.

随着学者们的深入学习，发现了最近不断涌现一些反面的例子，这使人们

所熟知的有效市场假说遭遇了很大的冲击，有效市场理论无法对这些异象作出

合理的解释.比如：小公司效应，小市值的公司股票收益率并不小于大市值的公

司股票收益率；虽然小公司股票的相对风险比较大，但是，长期投资于小公司

的股票却获得了较高的收益；于1987年出现的异常“黑色星期一”现象，美国

的股市在这一年10月19日的股灾中的平均指数顿时暴跌；“一月效应”，也就

是每年的一月份，股票价格一般会有比较高的涨幅程度，从而可以获得到超额

的收益，而且，这几乎可以算得上是一种可以预测的现象.“输家－赢家效应”，

研究结果表明，前一期绝对的输方，也就是亏损者趋向于被低估，而前一期绝

对的赢方则会相反趋向于被高估.另外，金融市场的数据统计则开始出现了长记

忆性、尖峰厚尾等特征.

由于诸多异常现象的存在，越来越多的学者开始从不同的角度做出了深入

探索，研究成果也各不相同.他们开始将目光转移到非线性系统，并从非线性系

统的角度来分析和研究金融市场，分形理论作为非线性科学理论中的一个非常

重要的部分，也开始应运而生，它在金融市场的分析研究中占据着极其重要的

成分. 最初分形理论的研究比较集中在金融市场的单分形特征上，但是单分形

仅仅能够描述出股价波动的长期性的统计行为，适用于对全局的统计，对局部

过程的详细描述却不够全面，不能满足人们的研究需要.为了使价格的波动情况

能够更加的全面描述，学者们开始了对多重分形理论的相关分析与研究.随着研

究的不断深入，多重分形理论逐渐被接受，而且受到了各国学者广泛的关注，

它在复杂的金融系统中有着潜在的应用前景.为了更深入认识和理解中国的股

票市场，众多学者运用了各种方法，不断对金融市场多重分形的结构进行更加

深入的研究.

1.1.2 研究意义

本论文针对分形及多重分形理论，通过认真学习相关理论知识并将其运用

于金融领域，利用金融时间序列的具体实例进行分析研究，主要目的是判断并

研究金融时间序列中的分形及多重分形行为，通过数据的拟合，研究市场的长

程相关性和波动行为，并计算广义Hurst指数，度量并比较不同的市场有效性

市场的风险大小.

1.2 国内外研究综述

1.2.1 单分形相关的国外文献综述

1977年，Mandelbrot分析研究了在不同的时间标度上时间序列的动力学特

点[1]，之后经过多年的研究，提出了“分形”这一概念.Przekota G用Hurst指数

这一指标来识别资本市场的时间序列特征，考察并研究了金融市场时间序列的

长期相关性的统计方法[2].C.K. Peng等人[3] 于20世纪初，在分析研究DNA分

子链的单分形结构的时候，提出了用于解决非平稳的时间序列分形分析的方法，

称之为消除趋势波动方法( de-trended fluctuation analysis)，简记为DFA方法.

1.2.2 单分形相关的国内文献综述

国内的一些学者对单分形理论也有了一定程度的分析研究，牛淑珍运用了

R/S（重标极差）分析方法，来研究深圳和上海两地的股票市场的每周的收盘指

数的时间序列[4]，其结果显示，我国的股票市场的波动性呈现出非线性的特征.

庄新田用上海证券综合指数（上证综指）和深圳证券成分指数（深圳成指）每

日的收盘价格为样本，来研究上海和深圳两地的股票交易市场的分形特征[5]，

并认为两地的金融市场并不具有有效市场的特征，它们的股价指数显示出有偏

随机游走而非正态的特征，同时时间序列具有长记忆的特征.

1.2.3 多重分形相关的国外文献综述

在金融股票市场上通过对分形理论的深入研究，分形理论不断取得新的成

果，并且学者们已经开始了从研究单分形理论过渡到多重分形理论的分析研究

阶段.Muniandy 通过研究马来西亚外汇的分形行为，用R/S分析方法、DFA方

法和相关系数的二阶矩等方法计算了全局的Hurst指数，并用多重分形的布朗

运动来分析金融时间序列的多重分形特征性[6].Norouzzdeh用MF-DFA分析方法

研究了伊朗的银币对美元的汇率波动的多重分形特征，他通过对广义Hurst指

数、标度指数、广义分形维以及奇异谱的研究，发现了产生多重分形的原因，

这一原因是与尖峰厚尾的分布特征和长程相关性相关的[7].Sadegh Movahed运用

了分形分析的MF-DFA方法来研究河流流量的波动，结果表示，存在着两个相

互交叉的时间标度，河流流量的Hurst指数显示出了长程相关性的特征，并逐

渐发现了多重分形的特性是因为概率密度函数的厚尾这一分布所造成的[8].

1.2.4 多重分形相关的国内文献综述

张永东和毕秋香在《 中国股票市场多标度行为的实证分析》一文[9]中， 通

过研究中国股指的时间序列，并分析研究不同时间跨度的指数增量序列和收益

率序列、广义的累积绝对收益序列的标准差，发现了标准差s与时间跨度t之

间满足一种幂律关系，而且幂指数并不是唯一的，它具有明显的多标度的特征.

常松和何建敏，他们运用多重分形特征理论来分析中国的股票市场[10]，验证了

中国股票市场的多重分形游走特征，而且通过进一步研究多重分形过程局部的

尺度特性，将这种局部尺度和多尺度之间的相关性联合建立了小波和神经网络

相互结合的对于股票价格的一种预测模型.庄新田和苑莹通过运用MF-DFA方

法（消除波动趋势的分析方法）对上证综指的日收益率进行多重分形特征的分

析，发现了出现多重分形的原因，这是由于非线性的长程相关性和概率分布函

数的尖峰厚尾分布所导致的，随后继续研究了股票价格的指数波动特征，发现

了当股票价格的指数波动相对较大时，广义Hurst指数具有非常显著的波动特

征，由此他提出了基于广义Hurst指数的两种不同的风险指标[11].

1.2.5 文献综述总结

从以上研究来看，现阶段，将分形理论应用到金融领域仍是一个热门的课

题，但却还不够完善，仍存在着大量的缺陷.目前来说，国内外对待金融市场中

多重分形理论的分析研究以及应用都还处于初级阶段，都还不成熟，很大部分

的相关研究成果都只是停留在对金融时间序列的多重分形特性的检验阶段，而

没有继续深入.尽管部分学者已经证明了多重分形谱的形态特征对金融时间序

列的波动、金融风险的预测及考察都具有一定的指示效果，但研究结果终究比

较零碎，不完善，现在还没有形成一个比较完整的体系.比如说实证方法和技术

多样缺乏标准的判别指标，对于分形结构存在的原因的分析各有不同，至于分

形及多重分形理论在金融市场上的预测等应用还在探索中，具体的应用还有待

于进一步研究，需要不断改进.

1.3 研究内容

1.3.1 研究思路及框架

基本思路：

本文将先介绍分形理论的一些基本知识点，简单介绍分形市场理论，然后

将分形理论应用到中国上证综指和深证综指的金融时间序列中，通过计算广义

Hurst指数，研究市场的长程相关性和波动行为，判断金融时间序列是否符合分

形及多重分形行为，并度量市场的风险和市场效率.

基本框架：

1.引言，包括：研究背景及意义、国内外文献综述、研究内容简述；

2.介绍金融时间序列的相关分形理论与方法，包括：

3.介绍各种研究方法，包括R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等；

4.用数据进行实证分析，做个各种方法的对比；

5.得出结论，并作出评价.

1.3.2 研究方式与方法

研究方式：

本论文通过查阅相关文献充分理解基本理论知识及方法，如R/S分析，

MF-DFA方法、MF-DMA方法等，主动请教指导老师，之后根据自己的想法及思

路，在matlab上实现相关程序，根据图形得出结论，最后总结、评价，找到不足，

并指出自己的一些展望.

具体研究方法有：

1. 在图书馆查阅相关书籍，进行相关方面知识的研究和探讨.

2. 借助网络媒介进行相关资料的搜索.

3. 查阅国内外期刊中与课题相关的文章，加以分析研究.

4. 就本课题向老师和同学们讨教，听取他们的意见和观点.

2 金融时间序列的相关分形理论与方法

2.1 分形理论

2.1.1 分形理论的形成

分形理论是由Mandelbrot首先提出来的，并在此基础上发展为一种系统

的理论，它起源于对海岸线长度测量的研究问题.Mandelbrot在研究英国的海

岸线的复杂边界时，发现了不同比例的地图上测量出来的海岸线长度是不同

的，这也正是欧几里德几何所无法解释的一点.大家都知道，海岸线是弯弯曲

曲的，不规则且极不光滑的一条曲线.如果要对它的长度进行测量，就必须要

选取一定的测量单位才可以.如果选作“公里”作为测量单位来测量海岸线，

很显然从几米直到几十米的弯曲程度就都被随之忽略掉了，此时测量的结果

我们记为 M1；如果选取“米”作为测量单位，测量的结果很明显要比上一

次的准确一些，几米直到几十米的弯曲程度都可以被包括在测量的范围内，

然而厘米量级的这样小的弯曲，却仍然被排除在计量长度范围之外，这时的

测量结果我们记为 M2，则一定有关系式 M2>M1；如果继续用更小的“毫

米”为单位来测量，其结果显然要比前两次精确的多了，但是仍存在微米量

级的小的弯曲被忽略掉了，此时的测量结果记为 M3，且存在关系式

M3>M2>M1.继续设想，如果继续把海岸线分解到“分子”、“原子”这样的尺

度标准，很显然测量得到的长度L4 会大到天文数字的级别.追究其原因则是

因为海岸线是一种具有各种层次且无穷多的细节的非常复杂的几何对象.

自然界中存在很多类似于海岸线这样的几何对象，它们都是一些极其不

规则而且支离破碎的片段的集合，如河流、山脉、血管、云团、树枝等

等.Mandelbrot 用“分形”这一概念，来描述这些十分复杂的几何对象.在研

究过程中，他将测量长度和放大尺度（比例）分别取其对数，发现所对应坐

标点之间存在着一种线性的关系，这表示，这类十分复杂的集合体都具有一

种共同的特征，即自相似性的特征，也就是说局部的形态与整体的形态是相

似的.后来，通过研究，Mandelbrot更进一步发展了分形几何理论，这一理论

不仅可以产生许多分形集曲线和图形，如Mandelbrot集、Koch曲线、Cantor

集、Sierpinski垫片等等，而且还可以用来描述复杂对象的几何特

性.Mandelbrot用“分形理论”这一定义，来反映这种表示这些复杂的图形特

征和复杂过程规律的性质.

2.1.2 分形理论的定义及特征

尽管至今为止，分形理论还是没有形成一个比较严格的定义，但是很多研

究者都根据自己的理解做出了自己的定义.最开始的时候，分形定义是由

Mandelbrot提出来的，他指出分形是这样的一种集合：它的维数严格意义上

是大于其拓扑维数的.但是这个定义还是不够严谨的，而且比较抽象，不能够

被人们所理解.接着他指出另一个定义，部分以某种形式与整体相似的这样的

一种形状叫“分形”，但是这个定义是仍然不够全面的，仍然不能够被大家所

认可.直到1990年，Edger指出，分形集合是这样的一种集合，它比传统的几

何学所研究的所有的集合还要更加不规则，不管是将它放大多少倍还是缩小

多少倍，甚至是更进一步地进行缩小，这种集合的不规则程度性仍然是十分

明显的.紧接着，英国数学家Kenneth J. Falconer出版了《Fractal Geometry》

一本书，对分形定义做了如下比较详尽的描述.

集合F如果满足以下条件，则认为它是是分形的：

（1）集合F具有很精细的结构.即它在任意小的尺度之下，它总是具有复

杂的细节的；

（2）集合F通常具有某种自相似性特征，这种自相似性可以有时是严格

相似的，但也可能是统计意义上的相似；

（3）传统意义上的的几何语言是无法对不规则的集合F进行局部与全局

特征的描述的；

（4）集合F的分形维数大多部分都是大于它的拓扑维数的；

分形集合总的来说是有以下的特征的：

（1）自相似性.也就是说，局部和整体之间是相似的，这既包括严格意义

上的自相似，还包括在一定的尺度范围内的近似意义上的自相似以及存在于

统计意义上的自相似性.

（2）标度不变性.也就是说无论放大多少倍或者是缩小多少倍，集合的不

规则特征、形态结构及其复杂程度等是都不会发生变化的.而且存在这种关

系：具有标度不变性特征的集合体一定具有自相似性的特征.

（3）分数维.即分形维数不是以整数表示的，而是以分数的形式表示的，

而且一般来说分形维数是大于它的拓扑维数的.维数是空间理论和几何学里

的一个基本概念.我们现在已经习惯于欧几里德几何的整数维数了，比如：点

是零维的，线是一维的，面是二维的，而体积是三维的.在欧氏空间之中，物

体被认为是连续且光滑的，对称的而且同质的，因此我们通常可以用整数维

对其进行系统的描述.但是对于描述分形体，这种既不规则也不光滑的对象，

传统的欧氏维数是几乎无法做出回答的.分形维数是对几何体的不规则性程

度，复杂的程度，粗糙程度等性质的一个有效地测度.

（4）自放射性.自放射变换指的是整体的各个方向的变换比率是基本不一

样的，但是局部的随机性与整体的确定性是同时存在的.

最后，分形集其实可以说是这样的一类集合体，他的局部和整体之间存

在着结构、形态等方面的自相似性，而且这种相似性是不会随着测量尺度的

变化而改变的，同时观测尺度和相似比例之间满足着一定的指数关系形式.

所以说，分形能够从不同的标度指数来描述出集合的特征，能用分形维数的

概念来刻画分形结构的特征.

2.2 多重分形理论

2.2.1 多重分形定义

多重分形(Multi-fractal)，这一概念是定义在分形结构上的，它是由多个

不同的标度q和标度指数h(q)的分形测度来组成的这样的一个无限的集合.多

重分形理论是从集合的局部出发来进行研究整体特征的一种方法，它在直观

上可将多重分形很形象地看作是由众多的维数不同的单一分形进行交错叠加

而形成的.从几何的角度来看，组成分形集合的许多若干个子集的标度q及分

形维数都是互相不相同的，多重分形也被称为是称多标度分形.可以表征多重

分形的主要方法有：广义Hurst指数，或者可以使用奇异谱函数f(a).奇异谱

f(a)可以定量地刻画出来分形体在各个不同的局部条件下对应的概率分布

特征，其中奇异标度指数a规定了奇异性的强度，而f(a)则描述了分布的稠

密程度.

2.2.2 多重分形过程

Mandelbrot通过运用增量矩的尺度特性，来定义了多重分形过程：

如果一个连续的时间过程{X(t),t∈T}具有一个平稳的增量，并且满足：

q E⎛ X(t+∆t)-X(t)⎫⎪=c(q)∆tτ(q)+1 （2-1） ⎝⎭

则称X(t)为多重分形过程.其中∆t为时间增量，T和Q是实轴上的区间，它们

长度非零，并且0∈T,[0,1]⊆Q，c(q)和τ(q)均是Q域上的函数.

上式表示了多重分形过程的矩的一个幂律关系的性质.函数τ(q)是多重分

形过程中的尺度函数，通过运用序列增量的矩特性，从而刻画出来不同幅度的

增量的尺度特征，进而可以刻画出各个不同时点上的分形特征.其中，当τ(q)为

q的线性函数时，这一过程是单分形过程，比如当τ(q)=Hq-1时，τ(q)是由H

唯一决定的一个线性函数；而当τ(q)为q的非线性函数时，这时就称这一过程

是多重分形的过程.

通过对不同幅度的波动进行幂次方处理，这就相当于对波动的波幅放大几

倍或缩小几倍.所以，不同的q值对应的尺度函数τ(q)对应着不同的波动，从而

反映出了不同程度大小的价格波动信息，而且随着时间标度的取值变化，还可

以观察在不同时间标度上的价格波动信息.总之，多重分形分析能够更加清晰地

分析研究金融市场上的不同时间的标度，不同幅度变化的价格或者收益波动的

相关特征.

多重分形能够定量地刻画出十分复杂的几何对象在不同的层次的一个分形

特征，并且可以用多重分形谱的形式表达出来.因此，我们可以知道，通过运用

多重分形的相关理论去分析研究金融市场，能够更准确地对金融市场的波动性

进行更加细致的剖析和描述，进而可以得到有关于金融时间序列在不同的时间

标度以及不同幅度程度的波动信息.

2.2.3 广义Hurst指数

对于时间序列X(t)，根据公式(2-1)，来定义广义Hurst指数Hq=H(q)，

{1qqEX(t+∆t)-X(t=c(q)(∆t)H(q) ) （2-2）

函数H(q)描述了时间增量在∆t下的广义平均波动的相关信息.特别地，当q=1

时，H1即为前面单分形中的指数，也称为全局H指数，当H1>0.5时，序列表

现持续性，H1

广义Hurst指数H(q)与尺度函数τ(q)之间的关系为：

1 H(q)=[τ(q)+1]* （2-3） q

2.3 分形市场理论

2.3.1 分形时间序列

对于一个时间序列来说，只有在它受到许多等可能性事件的共同影响时才

是随机的.而且对于一个非随机的时间序列，构成序列的数据之间是具有内在相

关性的，也就是说时间序列是分形的.分形吋间序列也通常被称为是有偏随机的

游动，曼德勃罗特（ Mandelbrot）把这种随机游动称为是分数布朗运动.它表示

了时间序列的非随机特征，序列具有趋势叠加上噪声的这样的一种特性.趋势的

存在也导致了测出的观测值之间不是相互独立的，这个时候，序列的观测值就

具有长记忆性的特征.

通常来讲，分形时间序列具有下列的一些特点：

（1）分形时间序列具有着无限的精细结构.当观测的对象，即股票收益率序

列的尺度从年收益率改变到周收益率，继续改变到日收益率，再到分时这样的

逐渐变化时，大量结果表明，股票收益率序列的复杂细节是不会随尺度改变而

发生变化的.

（2）分形时间序列具有分形维数.分形维数是描述时间序列如何填充空间的

这样的一个参数.它表征了分形几何体的复杂程度以及粗糙程度.

（3）分形时间序列具有自相似性特征.复杂分形系统的整体与部分以及部分

与部分内部之间的精细的结构和性质是具有相似牲的或者是具有统计意义上的

相似性的.

2.3.2 分形市场理论

Peters在1994年开始将分形理论引入到了复杂的经济系统，提出了分形

市场理论，分形市场理论是分形理论在金融市场分析研究中的一个具体运用.

传统的有效市场理论认为市场的收益序列具有线性、独立以及有限方差的

这些特征，并且其分布是服从正态分布的，有效市场理论展现了一种理想的市

场结构.Peters则根据非线性的观点，在实际的金融市场中，提出了更符合资本

市场实际的基本理论，这一理论揭示出了不同的证券市场信息接受程度和不同

的投资时间尺度对不同投资者的投资决策所产生的不同影响，认为资本市场都

具有分形结构的特征，其收益率的分布也并不是服从正态分布的，而是具有明

显的尖峰厚尾特征，没有方差或方差无限大.

由于在资本市场中，存在许多偏好不同的投资者，加上投资者的理性有限，

投资者对信息的理解能力互不相同，导致投资者做出不同的投资决策.由于上述

实际资本市场的种种因素，决定了资产价格的变化不是随机游动的，而是具有

持续相关性的.

分形市场的特征有：

（1）标度不变性，也就是指不同的时间标度下具有相似的统计规律.

（2）长程相关性，即过去的相关信息对现在以及未来的事件不是相互独立

的，而且是能够产生着长期性影响的.

（3）如果预测的时间越长，那么预测的结果是越不可信的，不能够进行长

期准确地预测.

3 几种分形方法理论研究

3.1 单分形方法

3.1.1 R/S方法分析

R/S分析法，即重标极差分析法，它广泛用于研究时间序列的分形特征和

分析长期记忆过程，该方法最初是英国水文学家赫斯特(Hurst)在1951年研究尼

罗河水坝工程时经过研究提出来的，他发现了一个更一般的幂率形式（式3-1）

并同时提出来一个新的非参数统量，被称为Hurst指数，简称为H指数.此后，

R/S分析法被用在各种时间序列的分析当中.

(RS)n=CnH (3-1)

其中，对于一个时间序列{xt}，R/S是重标极差，S指序列{xt}每段的方差，

n表示每段区间的长度，C为常数.

R/S分析方法的基本步骤如下：

（1）对一个时间序列{xt}，把它分为k个长度为n的等长子区间，对于每

一个子区间，依次计算下面第2至第5步.

（2）计算各段数据的均值和标准差，以第j段的均值Ej和标准差Sj为例：

1n1n Ej=∑x((j-1)n+i)，Sj=∑x((j-1)n+i)-Ej2 （3-2） ni=1ni=1[]

（3）计算各段数据的累计离差和极差，以第j段的累积离差序列

{Dj(r)},r=1,2,...,n和极差Rj为例：

Dj(r)=∑x((j-1)n+i)-Ej，Rj=maxDj-minDj （3-3）

i=1r[]()()

（4）计算各段的重标极差，以第j段为例：

(S)j=RjSj （3-4）

（5）计算整个k段序列的平均重标极差(R/S)n：

1k (S)n=∑(RS)j （3-5） kj=1

（6）改变每段长度n，使n取值为从2到[N2]之间改变，对不同的n，重

复上述（2）-（5）步，得到散点对(n,(RS)n)

（7）绘制log((RS)n)~log(n)图形，并用最小二乘法进行线性拟合，如满

足下式，则说明序列{xt}是单分形，且所得到的直线的斜率就是Hurst指数.

lo( (S)n)~lo(ggn)+Hlo(gn) （3-6）

通过分析Hurst指数结果，可得出：当H>0.5时，说明序列具有持续性；

H

R/S分析法对短期记忆性比较敏感，因而由其不足，而消除趋势波动分析

方法（DFA）可以消去短期相关性并反映长记忆性及分形特征.

3.1.2 DFA方法分析

C.K.Peng等物理学家和生物学家在1994年研究DNA分子的时候，发现

NDA分子顺序在其分子个数大于104时，会呈现出一种长记忆性的、幂指数分

布，之后他们提出了DFA(de-trended fluctuation analysis)方法.DFA方法可以消除

短期的波动趋势，用来检测非平稳时间序列的长记忆性，并且得到Hurst指数.

DFA方法的步骤如下：

（1）根据时间序列{xt},i=1,2,...,N，得出累积离差序列{y(k)}：

y(k)=∑(xi-),k=1,2,..N ., （3-7）

i=1k

其中，是序列{xi}的平均值，=∑xi*

i=1N1 N

（2）将（1）中得到的序列{y(k)}分成Ns=int(Ns)个连续的不重复的区间

段，其中s为每个区间段的长度.因为N不一定被s整除，为了防止末尾数据丢

失，可以从序列{y(k)}末端开始反方向再重复分割一次，这样子就会得到一共

2Ns个长度为s的区间段.

（3）在每个区间段内，如第j段，用最小二乘法回归拟合趋势多项式

Pjm(k)：

Pjm(k)=bj0+bj1k+⋅⋅⋅+bj(m-1)km-1+bjmkm,m=1,2,.. . , （3-8）

其中，m称为回归趋势阶数.不同的阶DFA的比较结果能够估计时间序列里的

趋势的强度.于是计算出各个区间段消除趋势后的序列yj(k)=y(k)-Pjm(k)，并

分别对这2Ns个区间段计算出方差：

1s2 F(j,s)=∑y[(j-1)s+i]-Pjm(i),j=1,2,...,Ns （3-9） si=1{}2

1sm2 F(j,s)=∑y[N-(j-N)s+i]-Pj(i),j=Ns+1,..2.N ,s （3-10）si=12{}

（4）对所有区间段的方差求平均值，再计算方根得到DFA波动函数F(s)：

⎡12Ns2 F(s)=⎢∑F(j,s)⎥ （3-11） ⎢⎥⎣2Nsj=i⎦

（5）对不同s，重复上述（2）-（4）步，并计算出相对应的F(s).如果F(s)

与s的对数函数之间存在存在线性关系：

log F(s)=logC+Hlo(gs) （3-12）

则存在幂率形式的波动：

F(s)=CsH （3-13）

其中，H即为Hurst指数.

3.2 MF-DFA方法

Kantelhardt等人2002年在原来DFA方法的基础上，提出了MF-DFA方法，

也就是多重分形消除趋势分析方法，它是在验证单分形的方法DFA的基础上提

出来的，用来验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形特征的有效方法.

基本步骤如下：

MF-DFA方法的前三步与DFA分析方法步骤的（1）-（3）步是基本一样

的.

第四步：对所有区间段的方差求平均值，给定q（任意实数），计算得到q

阶消除趋势波动函数Fq(s)：

1

q⎫q⎧12k⎪⎪22()Fq(s)=⎨Fj,s∑⎬2kj=1⎪⎪⎩⎭1⎤2 [ ，q≠0 （3-14）

⎧⎫⎪12Ns⎪2当q=0时，Fq(s)=exp⎨∑lnF(j,s)⎬；特别的，q=2时，即为标⎪⎪⎩4Nsj=1⎭[]

准的DFA方法.

[N2]]中的各个整数后，根据幂律关系 第五步：当分割的长度s取遍[2，

Fq(s)~sh(q) （3-15）

对log(s),logFq(s)的散点图做线性回归拟合，斜率即为对应于q的h(q).

第六步：改变q的值，重复上述前五步，得到关于q的函数h(q)，我们称

为广义Hurst指数.

第七步：分析h(q)~q的关系及图形，并判断出序列是否符合多重分形特征.

当h(q)数值大小与阶数q无关时，即为一常数，则时间序列是单分形的；

当h(q)与q有关时，此时时间序列是多重分形的.当q

取决于小波动偏差F2(j,s)的大小，h(q)描述了小幅度波动的标度行为，当q>0

时，Fq(s)大小主要取决于大波动偏差F2(j,s)的大小，此时h(q)描述了大幅度

波动的标度行为.于是，不同的q值也就描述了不同程度的波动对波动函数Fq(s)

的影响.

(())

4 沪深股指分形特征的实例分析

4.1 沪深股指的分形特征分析

本文以中国上海证券市场综合指数(上证综指)和深圳证券市场成分指数

（深证成指）为代表研究中国金融时间序列的分形特征.选取了上证综指和深圳

成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盘价格作为样本，样本数

都是3160个，通过对数差分计算，得到相应的收益率序列而作为研究对象.

也就是说，为了消除原始数据自相关的影响，我们需要对原始数据事先做

处理，用于消除或者有效降低线性依赖性程度.由于我们选取的原始数据所构成

的时间序列以{pt}表示，则得到的对数收益序列为：

St=ln(pt-pt-1)， （4-1）

其中，St表示t时的对数收益，Pt表示t时刻的股价指数.

以St-1作为自变量，St作为因变量，进行回归分析，得到St的残差序列

Xt=St-(a+bSt-1) （4-2）

这时Xt的长度为N-1，那么问题就转化为对序列{Xt}进行分析.

4.2 Hurst指数分析

Hurst指数主要应用于单分形时间序列，它的的大小可以度量金融时间序列

的持续性和反持续性特征.当0.5

而且H的值越接近1，则此时表示序列持续性程度越强；当0

时就表示时间序列具有反持续的特征，而且H越接近0的时候反持续性程度就

会越强；当H=0.5时，此时时间序列既不表现持续性也不表现反持续性，处于

一种随机状态，而且H越接近0.5时，随机游走特征就会越明显.

下面两图是分别运用R/S分析方法和DFA分析方法，以上证指数和深证成

指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盘价格（分别为3160个数据）

作为样本，在Matlab软件上进行拟合而成的，主要用来计算Hurst指数.

(a) (b)

图4-1 上证综指(a)和深证成指(b)的R/S分析图

(c) (d)

图4-2 上证综指(c)和深证成指(d)的DFA分析图

各方法的结果显示：

表4-1 Hurst指数数值比较

该结果表明了，虽然两种方法计算后所得到H指数互不不同，但都是明显

大于0.5的，由此可以知道，我们所研究得到的沪深指数收益序列的波动特征

是明显不同于布朗运动的，而且两种波动均呈现出持续性的特征，并且深证证

券市场的持续性强度较大.

这就表示，这两个序列是具有分形特征的. 4.3 沪深股指的多重分形特征的测度

下面是运用MF-DFA分析方法得到的拟合图形：

(e) (f)

图4-3 上证综指的MF-DFA分析图,(e)图表示q值分别取-5,0,5时，波动函数Fq(s)~s的

图形，（f）图表示h(q)~q的图形

(g) (h)

图4-4 上证综指的MF-DFA分析图，(g)图表示q值分别取-5,0,5时，波动函数Fq(s)~s的

图形，（h）图表示h(q)~q的图形

以上结果表示，对于（e）、（g）图，不同的q值，波动函数Fq

(s)的波动程度

也是在改变的，而且，对于每一个给定的q值，所对应的Hurst指数（即直线

的斜率）是各不相同的.（f）、（h）图则给出了Hurst指数随着q的变化而变化的关系图.这就表明，泸深股市都符合多重分形特征.

5 沪深股市的市场有效性、市场风险关系的分析

5.1 市场有效性分析与比较 5.1.1 相关理论

对于金融市场的分形特征，我们大多时候都采用广义Hurst指数来测量金融市场的有效性.由于广义Hurst指数h(q)与q的取值有关，于是我们采用∆h来定量比较市场效率问题.

1

∆h=[H(-10)-0.5+H(10)-0.5] （5-1）

2

当∆h=0.5时，表明市场是最有效的；∆h越接近0.5，则表示市场是越有效的，相反∆h越远离0.5时，表明市场是越无效的.

由于现实金融市场的种种因素的限制，导致∆h不可能取0.5，也就是现实金融市场中，是不可能会有市场是完全有效的，只能比较不同市场之间的相对有效程度.所以，针对金融市场的分形特征，是可以利用广义Hurst指数的∆h距离0.5的远近程度来衡量有效性的程度的.

具体来讲就是，如果某市场是相对较有效的，则该市场的广义Hurst指数的∆h更趋近于0.5，而如果∆h离0.5越远的话，这就表明这个市场是越无效的. 5.1.2 有效性分析

下面分别是上证指数和深证综指的h(q)~q的关系图

(a) (b)

图5-1 上证综指(a)和深证成指(b)h(q)~q的关系图

以上结果显示，上海证券市场的∆h1=0.10492，而深证证券市场的

∆h2=0.10477，因此∆h1>∆h2，∆h1更接近0.5，因此我们认为，上海证券市场

是较有效的.同时，图（a）中知，q=2时，图（b）中，h1(2)=0.5134，h2(2)=0.5194，此时的h(2)即指Hurst指数，且h1(2)

用于描述金融时间序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形谱

f(a).多重分形谱是用来描述奇异指数变化的这样一种图形，如果序列式单分形

特征，则只是通过唯一的一个奇异指数来刻画时间序列在不同的时刻以及不同的时间尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，则是通过不断改变的奇异指数a来衡量整个复杂过程的一个局部规则特性，来进行描述价格波动在不同时间区间的的一种不均匀性.

式子f(a)中，其中a指的是奇异指数，它是用来描述复杂系统在中各个区间不同的奇异程度，它的取值范围的大小则可以表示出不同的奇异强度分布范围的大小.f(a)则是为多重分形谱，它主要用于表征奇异指数的变化程度.如果研究的时间序列是单分形的，则函数f(a)的值是一定的，那么如果时间序列是多重分形时，则此时函数f(a)的图像呈现的是单峰钟形图形.

多重分形谱的宽度∆a则刻画出了资产价格的涨跌幅度大小，它的大小则可以定量表示出金融市场中的波动强度，同时可以用来刻画市场风险的大小.如果

∆a越大，则表示时间序列分布是越不均匀的，这也就预示着该多重分形蕴含的波动程度越大，则该市场的风险就会越大.如果∆a=0，则表示市场处于完全均匀分布的状况，不过这只是理想状态而已. 5.2.2 风险分析

下面是对两市场的多重分形谱的绘制图形：

图5-1 上海证券市场的多重分形谱

(d)

图5-2 深证证券市场的多重分形谱

从上图可以看出，上海证券市场的多重分形谱宽度∆α1=0.38897，深证证券市场的多重分形谱宽度∆α2=0.38189，由此知，∆α1>∆α2，但差别不大，故上海证券市场的风险是略大于深证证券市场的风险的.

6 总结与展望

6.1 研究成果总结

本文对分形及多重分形理论进行了系统的研究，对几种多重分形方法的优劣进行了分析.由于MF-DMA方法的估计效果较好，在分析多重分形时釆用了该方法进行分析.并且选用了具有代表性的上证综指和深证成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盘价格（分别为3160个数据）作为样本，进行了分析，以此探讨了上海金融市场和深圳金融市场的多重分形特征.主要研究成果：

（1）通过对两时间序列进行基本的统计分析，发现了上证综指和证成指的收益率序列的分布都不服从正态分布，而是具有尖峰厚尾的特征的.

（2）通过R/S和DFA分析方法计算得到的上证综指和深证成指收益率序列的Hurst指数，发现两时间序列都符合分形特征，而且两种时间序列波动均呈现出持续性的特征，并且深证证券市场的持续性强度较大.

（3）接着通过进一步运用MF-DFA方法计算上证综指和深证成指的收益率序列的广义Hurst指数h(q)，发现了广义Hurst指数h(q)是随着q值的变化而改变的，说明，两时间序列符合多重分形特征.

（4）通过计算并比较上证综指和深证成指的收益率序列的∆h的大小，得出上海市场是比深证市场更有效的.

（5）通过计算并比较上证综指和深证成指的收益率序列的多重分形谱宽度

∆α的大小，得出上海证券市场的风险是略大于深证证券市场的风险的.

6.2 研究展望

尽管本文得出了一些研究成果，但是这些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理论还是在实践方面都是需要进一步的研究.

（1）本文只是对股指的日收益率序列做了分析，而对其他的时间间隔的收益率序列，比如每周数据、每月数据等的多重分形结构以及它们之间的关系还有待进一步研究.

（2）本文只是用R/S、DFA、MF-DFA三种方法对两时间序列进行分析，而没有运用其他一些方法，不够广泛.

（3）如何利用广义Hurst指数、多重分形谱等多重分形的特性对金融市场的收益率进行建模和预测，是多重分形分析研究的一个发展方向，需进一步进行探讨.

参考文献

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致 谢

本论文的工作是在我的指导教师老师的悉心教导下完成的，从论文的选题，到资料的收集以及最终的定稿，王老师给予了我无私的指导和帮助.王洪武老师在工作中的严格要求也使我对科学的态度有了更深层次的认识.因此，我要对导师的辛勤工作表示由衷的感谢和敬意！

感谢院里的所有领导和老师，感谢你们给予我帮助和关怀，感谢你们为我在天津科技大学学习和生活提供了良好的环境.

还要感谢我的同窗好友，感谢你们的支持和陪伴，因为你们，我的学生生活才会如此的丰富多彩！

最后，我还要深深地感谢我的父母，感谢你们二十多年的养育之情，并为我无私的付出！我会用自己的优异的成绩，回报父母，让父母为我骄傲！

由于本人学识有限，文中不免有错误和待改进之处，真诚欢迎各位师长提出宝贵的意见与指导.同时还要感谢老师在百忙之中审阅我的论文，谢谢！

附 录

上证综指和深证成指日收益价的部分数据：