推导及图示一般固有洛伦兹变换

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推及导示一般固有洛伦图兹换变邓

晓明20

51 年 1 1 3月0日 negineerxdm@sniacom 摘.:要给出 一固有般洛兹伦变换细的详导步推和骤图示。推导 空出间转矩动, 阵进行并论。 关键词讨狭:义相对论,般洛一伦兹变,普换遍伦洛兹换,一变固般洛伦兹变有 换中分类号国:O412.

~1

言~

理象是对客观的 引,的惯入性系S 与 S是主的观 根据。数处理学需的要, 系S相 S对系的姿态也是 为认人的定。为学上数方便的大多数情,况下选都择殊洛特兹伦换变条。件 但也必须有择“无选空间动转固洛伦有兹换”变“一般或固有伦洛变兹换条”的情形。如件笔者在 前文之章[]1所涉的及题问。 一般固有洛伦兹变换的对介绍,参阅刘可及辽庆璋郑[等2]3]书籍[相的章关节似。乎 仅是一结种性论介。仅简提“空及间转矩阵”,但动没给有出学表达数更,没有相应讨论。 的篇将本尝对试“一固有般伦洛变兹”给出换细的推详导骤步及应对图示的推导出,空间转 动矩“”,并阵进讨行论(见附件 参1。)探索之 作,有如误,错恳请评批指正。

导前的准推备笔者

之的前章文4[]5][讨论“无空间转过动有固伦洛变兹”换,是指在三空维中间惯两 性系 S 与S 以任相意速对度常矢

v~ v  e   v  ~  e, 1,2,3

 

0(-1)

x(~ e ) ,  12,3 ,,即惯性两之系没有间作相 对运时,动对应的间空轴彼平此 行 x(e ) / ~/

相转对。动 篇将要讨论本的“一般有固洛兹伦变”换实其是质“有间空转固有动洛兹伦变”。换参

1

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图1所谓“有空,间动转”是指在三维空间中惯两系性S 与 S 任以姿意态任,意相速度 对矢常

~~~  12,,3v  v e   ve,



( 0-2)

x(~ e )彼此不平行。作相 对运动时,对应 的间轴空 x (e 与) 即两惯性~系间存之相对在转动。

需要

注的意,是这相种对转“动不是力”学意上义的理转物动,仅是数学推理程中过反

~

等效( 在映何意几义的上转。该动相对转“动”别由 分S和 系S的相速度分对量 v和 v

~

~ , ),及 S绕系度矢速 量 (依v 于,次依次绕 3 及2 标轴坐转旋的度角数参 , 及 旋转后

绕 , 轴1)对 相S系 的旋转角 度所描述。

~

~

~, 可由(0-2)式的度速间空量分确。参定图见 1通过几何, 旋转角关参度数 , 及 

系, 们容我得到易

~

c:s o 

~co s

v1 (v1 2 )2 ( 2v )

~1 v2~1 2 )( v ~ 22) v(

212 2

sin 

2v v1() 2 v( ) 2

22 ~ ~1v )2  (v 2 )2~ v

1 2( 2 2

; co  s

(

v1 ) 2  v(2 ) 2 3v sin; 

。 vv

~ s;in

32

;c

s o 

~1 ~ 2)  ( ~ 2 )2 ~v3 ( v ;visn 。 vv

~) ( v ~) ( ~v) 如,果设 为 因v  (v) ( v )( v) (v

32

~ v v ~ v , ,,   1,2,3    c cc2

2 2

(2-30)

中 c 为其光速。 然自有   1 2   3   1 2 3 。将 (-0)3式v  c v  ,c 

2及

~

2

~

2~2

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!~ ~

  vc 分 代入别上述三函数角有

cos

 

1

21 22

; sin

2

1  2 22

(

-0)

4oc s

~ co s

2  122  ;si n  3 12

 22

~

(0~5)

~-

1

~

~

~ ;in s



21  22

~

~2

~

~

(

06)

-12  22 ~ ;si n 3 cos  

~见图参1 ,为推导般一有洛伦兹变固换,我要们进的操作是:

行(0-7

)

(1)三在维空中,分间别旋两惯转性 系 S及 S的 间标空(架始初) 系 (xe )及~ x ( e )

~

使间轴 x空 ~及 x 与度常速 v 方矢一致;向

1

(1)2旋转后的 S 使的系架 标~ x 旋转(轴可以也绕 说v旋转),使 x2 与 ~ x( ~ x2 ,x与 e )绕 ~

1

3

~

~ 3x 轴都行,得到类似于平特洛殊兹变伦条件;

换()3最终,在四复维欧时氏空,进行中殊洛特兹伦虚旋角,转得到般一固有伦兹变换。洛为 使每了一变步都换辨认,可下文每次旋转将的后坐系用标不英文同字母示表

1步第

~使两 参见系 1 及图 2图(-a,将)始初标坐系 x及 ~x 分别 绕间轴空x 及 x~ 转 旋 及



3 3

1 轴的分落在别由量 e矢3 及 ; v e~3及 v参(见图1) 所确的平面定上此时,到过得渡标 系坐 y~及 y。其 坐标换变分为别:

Y 

R

X ~~~ Y R X

其中

1(-)1 (-12

)

3

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谢 cs o sin  R 0   0

ins  os c 0 0

00 1 000 1

0 0 00  10 0  0 1

(

1-3

)~

sn i ~ oc  s~ ~ ~  s in c so  R  0 0  00

为旋转阵。

(14-)

度过及初系始系坐标为的:

Y y1~ Y ~ y

1

y2

y2~

y ~ y3

y3 4 X; x1

~ ~ y4 ;TX ~ x1

T

x2

~x2

3x~ x3

x4

T ~ x4 。

T

需要意注的, 这种旋转是是不单的纯三空维间旋的, 事实转上是四维复氏欧空中时的四维正交 标系坐整体行为的。在维三间空中,们可我以单地理简为分别绕解空间 轴x及 ~ 所

x3

3~

角 在所平的面也别分交正于间时轴 x( e)及进 的行旋。转果如展拓到维空四间, 及  44

~ x 4~(e4 ),在即空间绕 轴x 3及 ~ 3 旋x转同的,时在也绕时间轴x 4 及 ~ x 4 旋。体现在旋转矩阵转

1(-)3(1-4)及

上, 就两是个标对坐元素为应 , 1即个坐标两在旋中不变转, 即 x y =; ~x ~= y

;33 33

x 4= ~4x

。4

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外,确此(保11)-,1(2-及下)将要提文及旋转的变换以得立成的先决条为,四件维复欧

x j~j j e j ,1,2 3,, 4。 氏时空的中绝矢量对不,例变如时间空矢量不变 x e j隔 

第~步

参见2图 -2a(及)b),(将渡坐过标 系 y 及 y~ 别分空间绕轴y 及~ y 转  及 旋 使两,系

2 2

~

的 1

轴都与速 度矢量 v重合, 时此得到标目标坐系 z及 ~z 。其标变换坐分为别

Z

R Y

~ ~~Z   RY与上

同节,理 及 角旋转矩阵的别分为

(

21-)(2 2)-

~

 ocs  0 R    ins  0 ~ c o s ~  0 R  ~  si n   0 Z 1z

0 sn i 01 c0o s 0 0~ s0i n 1 ~0 c0o s0 z 0

3

 00 0 10  0 0 1

2(3-)

(

24-

)

z

T 2~ z4及 Z  ~z

1

~z

~ 23z

T~ z4 为目标系的 坐。标

第3步

5

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见参图2- b),(目标 系 z与 ~显 z 然 z平 与面 ~ 的z 轴1轴共与 且v重合。 z~z 面

平

 3 223

平行。但一

情况下般, 轴 与 ~z z 轴独单转旋~ z系, z ,z ~与z 并不平 。行参图 见3绕,~

2 2 33

1

终最使系的两对坐标轴应行,其平坐标变为

换 ~~W  R Z

中3(-1

)0

1 0c s  Ro   0  ins   0

0 s0in c o s 0

0

0 0  1~ 3 ~w 4T为 w ~  的系标坐 w。

(

3-2

) ~1 为旋转~矩。 阵W w

~2

w

第步

~4与 对速相度矢 常 的v系关,全符合完特洛伦殊变换条兹件 。见参图 ,坐3系标z 及

 

2w~ ;2z  w3~ 3 。 该两与相对系的应维系四虚角的旋转变换写可为们我熟所悉 的此时有 zw

式~

W  ZL

4-1(

) oc i s 0 L 0   ins 

0i1 0 0

0

sni i   0  0 01  0 cosi 

(4-

)2

为见的常特殊伦洛变兹矩换。众所周知,阵中

s其in i  i c;so i  

(43)

-

~ 及2 3z w ~3其 几本何为,质在维四复氏欧时空中正交,系~ z j( j 1,23,4 )绕,z 2 w 轴,旋转

了角虚 i

第5步

将。1(1-式)入(代2-1)得式

Z

 R RX

6

(5

-1

)

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谢将(-21)代式(2入-2式)

~ ~得~ ~Z  R R X

(-5)2式的逆变换为

(

-2)

5~

~~ ~X R1 R 1

将Z(-1)3式的阵逆入代(-5)3式

(5-3)

~ ~~ 1~ X R 1R1R W将

4-1)(代入式5(4)式-得

(5-)

4

~~~ 1 X R1 1R  RLZ

将(51-式)代入5-(5)得式

5(5)

-~

~ 1~X  R R1 R1 L RR

(5X-6式)为即般固一有洛兹变伦换

(5-。6

第6步)

见笔参

者前文对0-2(式的描)述一般,有洛伦固变兹换是,在四维指欧氏时空复,一中 情般况,下初两始标系 x坐与 x~之 间在存空转间动,即两者所对也应惯性的系,在三维间空 

对应中坐标轴的此彼平不。设两者行的坐变换标

~ X D X , ~其中D 为四维复欧氏时空中的空间转 矩动,可阵(由02-)式的速空间度分 v量 v

及 

(6-1)

  ,2,1 ,分3描别述绕 (及 4)2及3 (及 4轴)转动,的由给转角定 描述 绕1(及 4 轴

)转的动后(将文详讨细论) 。见图参1, 2 及图 图,3如仅果考虑纯间空动,转始初坐标 x 与 ~ x系分 经别  - 过 及

~ -

-  旋转后所到得 的 z与 w ~ 系的应对坐标轴(在维空三中)间彼此行。平由于两 惯性系

S S及 旦选一定,们之它的间对空间相旋转角“度则为常量,”随时间和不离距而变 因。,参见图此3,考虑两 在原系重合时点有系 关Z W 将(,21)及(3-1-)代式入得

:~

~

~

~

 R YR  ,Z再(1-1),(2将2)及-1-(2)次依代得

7

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~

~~~ Z W  R  R X R R RX

将6(1-代入(6)2-),整后得

理(6

-)2

~

~R  R R  D R11R 1

其阵逆为

(

6-3

~) ~11 1  RR R RD R

(6-3由)(或-46),可式四维复欧氏得时中的空间空动矩阵

(6-转)4

~ ~ 1D 1 RR1 R R R

(6-5

第7步)

(将-6)式4代(入-65式),

得~ 1

1 R LR RX X RD

(-71

)比较

(5-6),这里的式(7-1式)即为们我终最需的要几何(义意确明的)式,即形“一般固 洛有伦变换矩阵”兹于等无空“转间动有洛伦固兹变矩阵”左换一乘“空间转动矩阵个D ” 。 参笔阅者前之文所章论的无空间转动固讨有伦兹变洛 换 X“ R R L R RX ” [5,] 难发现(不-1)式7变的矩阵换多仅出个空间转动矩了 阵D。无 间转空动有洛固伦兹换变阵矩中 元素求的法可(0由-)及(40-5式求)得 ,体具算不再运述赘, 参请阅笔者前之文的[章]5。将( 7-) 式写成矩阵形1则式为

:~

11

(  1)  12 1 1 2 ~ x   2 ~ 1 2  x D  (  1 2 )~ 3 x ~ 4  ( ) 113 x    2   i1

或写为

 12 (  1 1 2)3 2 2 (  )1 2  ( 11 )22 3 2   23 ( 1) 3 2(  1) 2 1  2  i2  i 3(

 1)

i1 1  x   2 x i2    3  x4 i 3  x     

7-2(

)

jk   (1)  j k/ 2  x~j  D ~4   i xk 

4

i j 

x

k   , , jk 1, 2, 3  x 4

47-(3

)

(将0-)3代式入(7-)3式并注意, x ic t, x ~ ict , 理整可写后出矢其形量式

~

8

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v x x v[ (1) 2  ]t ~ x  v  ~  Dt v x    2   t c 

(

74)-

而易显见,7-()式2的 中D如 为果单位,阵D  I, 几何意其义为,始初标系 坐x 与~

x

间空的没有相对间转,即动在维空间中,三系两所对的应性系惯坐标轴此彼行,(7平-) 式将还原2我成们熟所悉的形-式-无空-间转固动洛有兹伦坐标换。变毕完 关!四维复于欧氏时空“中间空转矩动阵D 的详”细讨论,感兴趣,请继续阅读“参如 考献文后”的面附 件1

参考。献

文1][邓晓.明经牛顿力典学拒绝对相论造改国.科区社.家科国技成网.果2015年 9 月 25 日.h tt:/p/lbg.oetch10.net/batc1h.odnlwoa.dhppa?id378=96[2 刘辽]等狭.义相论对.10-105 页.科学出版社.22080年 7 月 第版二.021 年1 4月第二印次刷. [3 ]郑璋等庆.义广相论基对础教程.11-1107页 中.山学出大社版.1991年 2 1第一版.月199 年 112 第月一次印. [刷4邓晓]明.空无间动的转固有洛兹变伦的换一新种推的方导.国法社区.科 国科家技果网成.210 年 105月 28 日. htt:p/b/olgte.c1h0.1et/bnatch.dwnolad.oph?pia=38153d []邓晓5.详明细图无空间转解固动洛有兹伦变.国换家技成科网.20果1 5年 1 月1 9日 .http/:/bolgtech.101.en/btath.cdwnlood.ahp?aipd3=2928

附件 1

参见(

6-)式,为讨5论方,不便妨将四复欧维氏时空中的空间动转阵矩写这在里

~ ~1 D  R1 R 1RR R

为求解析其,式我需们要下运算。如由(13-及()-3)两2式可得

(-0a

) cso cos   sni R R    isn  cs o 0 

cos 

ins c so si ns n i 

0

sn i 0 cos 0

0 0   0

1(0-b)

由(

-4)及12(4-两)式得

可9

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~

~ c~os ~  co s ~ s n  ics o sin  ~~~ ~ is  ~ nisn  cos  os c 1 ~~1  isn R R ~~ is n 0 cso  0 0 0 

设  00 0 1 

(0-c)

d1 1d  D 2  d 131 d4

1d1

2 2d2d 32 d4

d132 d 32d 33d 4 3

d

41 d 2 4  d34  d 44

(0

d)-

(3将2-)式的逆阵,(-b)0(及-0)式c入代0(-)a式,求矩阵可0-()d元素,具各体得形可

如

d11 d D  2 1 d1 3

0d21d 22 d3 20

13 d d23d 33 0

0

0    01

(-e)

0的

般一形的空间式转动矩。顾名思阵,由义0(e)-矩阵难看不,出四维复欧在氏时空中这种,转 ,的确是绕时间轴动空间转动的参。(见7-4式,此)时般固一有洛伦坐兹变换的标矢形量 可写式

v

 vxx ~x  x D D[(v 1 2) t ] ;~ t  ( t  )2 c v

矩阵(-e)中诸0素 d j元 k为:

(

0-)f

~ ~

~ cso  ~isn  ~) si  n1d1 cos  os  cco   (sisn co s sin c o s sni ~~  sni co s cos ~ si n s(n i sin ) co s~ ~ ~osc ~ isn  ~ s)ni 1d2 ocs sin co s (c s o co s sin sn  sini ~ ~ in s ~) cos   si(  nisn cos  co s si  ~ ~n~ ocs si~n  c so c s o ~ in s 1d3 c so si n  oc  ssni co s ~ ~ ~osc  ~sin ~ )s in d 2 1 sn ic o s ocs  ( ins s n i si n osc c s o~ ~sni  ~ c)so  sin( cos si n  isn c so ~ ~~ c o  ~ sc o s si n ~sni d 22 isn os  csi n  (si ns in cso )sn i

1

0

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谢~~ si n ) cos  ~ si(n isn si n  os cco  ~s~ ~ c so  ~sin   oc s si n~ s n  id2 3 s i n si n  os c osc cos ~ ~~d 31  sin cs o cos  cos s in si n  co s isn cso cos  ~ ~ ~d32  sin  co s sin  co s cos  si   nco  ssni sin co s ~ ~d3 3 ins sin  c o s oc  cos sd14  0; 2d4 0 ;d 3 4 0 ; 41d 0 ; 4d2 0 ; d 3 40 ; d 44  1 。

见, 可(0-a为)一般式的空间形转矩动, 上阵 d 述jk 为其一般形式的素元 若将。(0-)~4(07-)式代 ,入可得也d jk(  ,  , 形式的元素。其中) j, k  1,2,3, 4  ,, 12,3 。,

~

~

及 不的同合,可组解特殊了况下的空情转间矩动的阵 根据 5 转个角 , , ,

几何意义。篇本给仅出几个型情典况进讨行:论

~

论 讨1

 ~;    ; 0,时将其入代上述式诸d ,直或由接0-a)式(此时 R (I ) 当jk 1

~

可得

维复欧四氏时空的空间中动矩阵转单为位阵

DI~

(1-)

a参见图a 的 意,示三在空维中,间几其何义意,惯为系性 S 相对于性惯 系 S没空有间转动 对应(空间彼轴平此)。行(将1-)式代入a(-27),可得式到家大所悉熟,的无间空动转有洛 固兹坐伦标换变。

11

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2~  ;   ; 0 ,在三时维空中间,惯性系 S相于对性惯系 没S绕有 1轴 的 当空

转动(间参见图2 及图 3的变换 次序,)存但在绕2 及 3的空轴转动间。两个这动取决

~~

~,   1,2,3 。 参图见 b示的意 于。度分量速v 及 v

 

此时

R  I , 由(-a0式可)得四维,复欧氏空中的时空转动间阵矩

为 ~~ D R1RR1R  ~  ; ;

 0 代入 上诸述 d式 可,得矩阵素如元下: 由(2-a式或将  )kj ~~ c~o s ~ s in cs o osc ~s i n d11 cs  oocs  osc  sn is i  ~ ~ ~ noc s~ s n i ~d 2  1cso  is n cs o sin  is n os c cos  si n ~ ~ ~ co s ~in s 1d3  cos sni  cs  oosc ~ ~~ cso ~ sn i ~d 21 sn i osc ocs  si n c o  sisn s ni c s o ~ ~~ ocs ~ si n~ d 22 si n cos  ins  sn isi nsin  oc s os  ~c ~~c so  s~i  nd23  si  sni n cos  s i n ~~ d 31 s n i ocs c s o c o  sins c s o~ ~d32  si  nco ss in cos sin si n

1

(22-)a

~

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~~ d33 isn is n os c cso d 41 0 d ;24  ; 0 d4 3 0; d41  0; d 4 2 0 d 4;3 0 ; 44  1 d。

讨论 3

~  ;  ; 0 时,在维三间中,惯性系 空 S对于惯相系 性 没有S 2 及 绕3 当轴的空

转动(参见间图2 及图3 变的换序次)仅存,绕 在1 轴( 或v )的间转空动。参 见0-a()式,时四此维复欧氏时中的空间空动矩阵转为1

1  1 D RR R R  

R~

~

3-a)

(~ 

;   ;  0代上入述式 d ,诸可矩得阵素元下: 由(3-a)如或式将 j d11k co s  c2o 2s sin 2  c os sn i2 cs 2o cos  d 2 1c so isn  cso 2 sin  sni  isn cso c os 2 cs od 31 c s o ocs s in  c s o sn  sin i  cso cs o sin c o  s 2d1 sin cso 2 cos  sin si  n ins c so os c 2 cs od 2 2 osc2 s ni2   ins2 s n i2 co s  co 2 sc os d 23  sn i cos  isn  co s cos si n cso sin s in cs o d13  isn co  scso  cso si n sin  cos is n os ccos 

1

3

~

欢迎

载,望注明转处。谢出!谢

d

23 ins  osc sin  os cc s osi n  co s sin si nc o s  3d3 sn 2i  c o 2 sc os d4 10 ; d 42  0 d ;4 30 ;d 4 1  0 ;d 42  0; 43 d0 ; d 4 4 1。

论4

 ~;   ; 0,在时维三空间,中性惯 S系相对于 性系惯S 没有 绕1 及 2当

轴空间的动,仅存转绕 3 轴的空间转在。此时动 R  I,将相关 条件入代(-a)0,得此式种 形情下的四维复欧时氏空的中间空转动矩为阵

~

~~

D RR1

(4

-)a

~ ;  ;  0 代入上述式诸d ,得 可(由4-)a式,或将 jk~ co   ssn  i~s ni cos s in c~os  os c~ isn ~1  D  R R 0  

0  ~  ) s n( i ~) cos( in(s~  )co (s  ~) ~D R 1R  0 0 0 0

~

s~n i s n i ~cs o co s ~ sn i  osc ~os c sin 0 0 0 100 0 0  0 1 

33

0

01

00 0

 写为或 0 1

(4

b-)

~  

。角 比较图d,此种 情形,初始为系~ x 相对 x 于绕 3 (轴x 或~x 转)动 了

1

4

迎载转,望明出处。谢注谢

讨!论 5

~  0 ;   0 ;   0时,将其入代0-a)式得 (当

 D1 R

~(5

-a)

见参3-(2)式,时四此维欧复时氏空中的间转空矩阵仅为绕 动 轴1转动的

参。见 d图,果如  ,则0构成特殊洛伦变换条兹件考。虑(04)及(0--)式,5如此时再果 将  0 及 0 代 入(-27),式可则得们我所悉的熟特殊洛伦坐兹标换。变

15

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推及导示一般固有洛伦图兹换变邓

晓明20

51 年 1 1 3月0日 negineerxdm@sniacom 摘.:要给出 一固有般洛兹伦变换细的详导步推和骤图示。推导 空出间转矩动, 阵进行并论。 关键词讨狭:义相对论,般洛一伦兹变,普换遍伦洛兹换,一变固般洛伦兹变有 换中分类号国:O412.

~1

言~

理象是对客观的 引,的惯入性系S 与 S是主的观 根据。数处理学需的要, 系S相 S对系的姿态也是 为认人的定。为学上数方便的大多数情,况下选都择殊洛特兹伦换变条。件 但也必须有择“无选空间动转固洛伦有兹换”变“一般或固有伦洛变兹换条”的情形。如件笔者在 前文之章[]1所涉的及题问。 一般固有洛伦兹变换的对介绍,参阅刘可及辽庆璋郑[等2]3]书籍[相的章关节似。乎 仅是一结种性论介。仅简提“空及间转矩阵”,但动没给有出学表达数更,没有相应讨论。 的篇将本尝对试“一固有般伦洛变兹”给出换细的推详导骤步及应对图示的推导出,空间转 动矩“”,并阵进讨行论(见附件 参1。)探索之 作,有如误,错恳请评批指正。

导前的准推备笔者

之的前章文4[]5][讨论“无空间转过动有固伦洛变兹”换,是指在三空维中间惯两 性系 S 与S 以任相意速对度常矢

v~ v  e   v  ~  e, 1,2,3

 

0(-1)

x(~ e ) ,  12,3 ,,即惯性两之系没有间作相 对运时,动对应的间空轴彼平此 行 x(e ) / ~/

相转对。动 篇将要讨论本的“一般有固洛兹伦变”换实其是质“有间空转固有动洛兹伦变”。换参

1

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图1所谓“有空,间动转”是指在三维空间中惯两系性S 与 S 任以姿意态任,意相速度 对矢常

~~~  12,,3v  v e   ve,



( 0-2)

x(~ e )彼此不平行。作相 对运动时,对应 的间轴空 x (e 与) 即两惯性~系间存之相对在转动。

需要

注的意,是这相种对转“动不是力”学意上义的理转物动,仅是数学推理程中过反

~

等效( 在映何意几义的上转。该动相对转“动”别由 分S和 系S的相速度分对量 v和 v

~

~ , ),及 S绕系度矢速 量 (依v 于,次依次绕 3 及2 标轴坐转旋的度角数参 , 及 旋转后

绕 , 轴1)对 相S系 的旋转角 度所描述。

~

~

~, 可由(0-2)式的度速间空量分确。参定图见 1通过几何, 旋转角关参度数 , 及 

系, 们容我得到易

~

c:s o 

~co s

v1 (v1 2 )2 ( 2v )

~1 v2~1 2 )( v ~ 22) v(

212 2

sin 

2v v1() 2 v( ) 2

22 ~ ~1v )2  (v 2 )2~ v

1 2( 2 2

; co  s

(

v1 ) 2  v(2 ) 2 3v sin; 

。 vv

~ s;in

32

;c

s o 

~1 ~ 2)  ( ~ 2 )2 ~v3 ( v ;visn 。 vv

~) ( v ~) ( ~v) 如,果设 为 因v  (v) ( v )( v) (v

32

~ v v ~ v , ,,   1,2,3    c cc2

2 2

(2-30)

中 c 为其光速。 然自有   1 2   3   1 2 3 。将 (-0)3式v  c v  ,c 

2及

~

2

~

2~2

迎转,望载明出处。注谢谢

!~ ~

  vc 分 代入别上述三函数角有

cos

 

1

21 22

; sin

2

1  2 22

(

-0)

4oc s

~ co s

2  122  ;si n  3 12

 22

~

(0~5)

~-

1

~

~

~ ;in s



21  22

~

~2

~

~

(

06)

-12  22 ~ ;si n 3 cos  

~见图参1 ,为推导般一有洛伦兹变固换,我要们进的操作是:

行(0-7

)

(1)三在维空中,分间别旋两惯转性 系 S及 S的 间标空(架始初) 系 (xe )及~ x ( e )

~

使间轴 x空 ~及 x 与度常速 v 方矢一致;向

1

(1)2旋转后的 S 使的系架 标~ x 旋转(轴可以也绕 说v旋转),使 x2 与 ~ x( ~ x2 ,x与 e )绕 ~

1

3

~

~ 3x 轴都行,得到类似于平特洛殊兹变伦条件;

换()3最终,在四复维欧时氏空,进行中殊洛特兹伦虚旋角,转得到般一固有伦兹变换。洛为 使每了一变步都换辨认,可下文每次旋转将的后坐系用标不英文同字母示表

1步第

~使两 参见系 1 及图 2图(-a,将)始初标坐系 x及 ~x 分别 绕间轴空x 及 x~ 转 旋 及



3 3

1 轴的分落在别由量 e矢3 及 ; v e~3及 v参(见图1) 所确的平面定上此时,到过得渡标 系坐 y~及 y。其 坐标换变分为别:

Y 

R

X ~~~ Y R X

其中

1(-)1 (-12

)

3

欢转迎,载望注出明。处谢!

谢 cs o sin  R 0   0

ins  os c 0 0

00 1 000 1

0 0 00  10 0  0 1

(

1-3

)~

sn i ~ oc  s~ ~ ~  s in c so  R  0 0  00

为旋转阵。

(14-)

度过及初系始系坐标为的:

Y y1~ Y ~ y

1

y2

y2~

y ~ y3

y3 4 X; x1

~ ~ y4 ;TX ~ x1

T

x2

~x2

3x~ x3

x4

T ~ x4 。

T

需要意注的, 这种旋转是是不单的纯三空维间旋的, 事实转上是四维复氏欧空中时的四维正交 标系坐整体行为的。在维三间空中,们可我以单地理简为分别绕解空间 轴x及 ~ 所

x3

3~

角 在所平的面也别分交正于间时轴 x( e)及进 的行旋。转果如展拓到维空四间, 及  44

~ x 4~(e4 ),在即空间绕 轴x 3及 ~ 3 旋x转同的,时在也绕时间轴x 4 及 ~ x 4 旋。体现在旋转矩阵转

1(-)3(1-4)及

上, 就两是个标对坐元素为应 , 1即个坐标两在旋中不变转, 即 x y =; ~x ~= y

;33 33

x 4= ~4x

。4

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外,确此(保11)-,1(2-及下)将要提文及旋转的变换以得立成的先决条为,四件维复欧

x j~j j e j ,1,2 3,, 4。 氏时空的中绝矢量对不,例变如时间空矢量不变 x e j隔 

第~步

参见2图 -2a(及)b),(将渡坐过标 系 y 及 y~ 别分空间绕轴y 及~ y 转  及 旋 使两,系

2 2

~

的 1

轴都与速 度矢量 v重合, 时此得到标目标坐系 z及 ~z 。其标变换坐分为别

Z

R Y

~ ~~Z   RY与上

同节,理 及 角旋转矩阵的别分为

(

21-)(2 2)-

~

 ocs  0 R    ins  0 ~ c o s ~  0 R  ~  si n   0 Z 1z

0 sn i 01 c0o s 0 0~ s0i n 1 ~0 c0o s0 z 0

3

 00 0 10  0 0 1

2(3-)

(

24-

)

z

T 2~ z4及 Z  ~z

1

~z

~ 23z

T~ z4 为目标系的 坐。标

第3步

5

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见参图2- b),(目标 系 z与 ~显 z 然 z平 与面 ~ 的z 轴1轴共与 且v重合。 z~z 面

平

 3 223

平行。但一

情况下般, 轴 与 ~z z 轴独单转旋~ z系, z ,z ~与z 并不平 。行参图 见3绕,~

2 2 33

1

终最使系的两对坐标轴应行,其平坐标变为

换 ~~W  R Z

中3(-1

)0

1 0c s  Ro   0  ins   0

0 s0in c o s 0

0

0 0  1~ 3 ~w 4T为 w ~  的系标坐 w。

(

3-2

) ~1 为旋转~矩。 阵W w

~2

w

第步

~4与 对速相度矢 常 的v系关,全符合完特洛伦殊变换条兹件 。见参图 ,坐3系标z 及

 

2w~ ;2z  w3~ 3 。 该两与相对系的应维系四虚角的旋转变换写可为们我熟所悉 的此时有 zw

式~

W  ZL

4-1(

) oc i s 0 L 0   ins 

0i1 0 0

0

sni i   0  0 01  0 cosi 

(4-

)2

为见的常特殊伦洛变兹矩换。众所周知,阵中

s其in i  i c;so i  

(43)

-

~ 及2 3z w ~3其 几本何为,质在维四复氏欧时空中正交,系~ z j( j 1,23,4 )绕,z 2 w 轴,旋转

了角虚 i

第5步

将。1(1-式)入(代2-1)得式

Z

 R RX

6

(5

-1

)

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谢将(-21)代式(2入-2式)

~ ~得~ ~Z  R R X

(-5)2式的逆变换为

(

-2)

5~

~~ ~X R1 R 1

将Z(-1)3式的阵逆入代(-5)3式

(5-3)

~ ~~ 1~ X R 1R1R W将

4-1)(代入式5(4)式-得

(5-)

4

~~~ 1 X R1 1R  RLZ

将(51-式)代入5-(5)得式

5(5)

-~

~ 1~X  R R1 R1 L RR

(5X-6式)为即般固一有洛兹变伦换

(5-。6

第6步)

见笔参

者前文对0-2(式的描)述一般,有洛伦固变兹换是,在四维指欧氏时空复,一中 情般况,下初两始标系 x坐与 x~之 间在存空转间动,即两者所对也应惯性的系,在三维间空 

对应中坐标轴的此彼平不。设两者行的坐变换标

~ X D X , ~其中D 为四维复欧氏时空中的空间转 矩动,可阵(由02-)式的速空间度分 v量 v

及 

(6-1)

  ,2,1 ,分3描别述绕 (及 4)2及3 (及 4轴)转动,的由给转角定 描述 绕1(及 4 轴

)转的动后(将文详讨细论) 。见图参1, 2 及图 图,3如仅果考虑纯间空动,转始初坐标 x 与 ~ x系分 经别  - 过 及

~ -

-  旋转后所到得 的 z与 w ~ 系的应对坐标轴(在维空三中)间彼此行。平由于两 惯性系

S S及 旦选一定,们之它的间对空间相旋转角“度则为常量,”随时间和不离距而变 因。,参见图此3,考虑两 在原系重合时点有系 关Z W 将(,21)及(3-1-)代式入得

:~

~

~

~

 R YR  ,Z再(1-1),(2将2)及-1-(2)次依代得

7

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~

~~~ Z W  R  R X R R RX

将6(1-代入(6)2-),整后得

理(6

-)2

~

~R  R R  D R11R 1

其阵逆为

(

6-3

~) ~11 1  RR R RD R

(6-3由)(或-46),可式四维复欧氏得时中的空间空动矩阵

(6-转)4

~ ~ 1D 1 RR1 R R R

(6-5

第7步)

(将-6)式4代(入-65式),

得~ 1

1 R LR RX X RD

(-71

)比较

(5-6),这里的式(7-1式)即为们我终最需的要几何(义意确明的)式,即形“一般固 洛有伦变换矩阵”兹于等无空“转间动有洛伦固兹变矩阵”左换一乘“空间转动矩阵个D ” 。 参笔阅者前之文所章论的无空间转动固讨有伦兹变洛 换 X“ R R L R RX ” [5,] 难发现(不-1)式7变的矩阵换多仅出个空间转动矩了 阵D。无 间转空动有洛固伦兹换变阵矩中 元素求的法可(0由-)及(40-5式求)得 ,体具算不再运述赘, 参请阅笔者前之文的[章]5。将( 7-) 式写成矩阵形1则式为

:~

11

(  1)  12 1 1 2 ~ x   2 ~ 1 2  x D  (  1 2 )~ 3 x ~ 4  ( ) 113 x    2   i1

或写为

 12 (  1 1 2)3 2 2 (  )1 2  ( 11 )22 3 2   23 ( 1) 3 2(  1) 2 1  2  i2  i 3(

 1)

i1 1  x   2 x i2    3  x4 i 3  x     

7-2(

)

jk   (1)  j k/ 2  x~j  D ~4   i xk 

4

i j 

x

k   , , jk 1, 2, 3  x 4

47-(3

)

(将0-)3代式入(7-)3式并注意, x ic t, x ~ ict , 理整可写后出矢其形量式

~

8

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v x x v[ (1) 2  ]t ~ x  v  ~  Dt v x    2   t c 

(

74)-

而易显见,7-()式2的 中D如 为果单位,阵D  I, 几何意其义为,始初标系 坐x 与~

x

间空的没有相对间转,即动在维空间中,三系两所对的应性系惯坐标轴此彼行,(7平-) 式将还原2我成们熟所悉的形-式-无空-间转固动洛有兹伦坐标换。变毕完 关!四维复于欧氏时空“中间空转矩动阵D 的详”细讨论,感兴趣,请继续阅读“参如 考献文后”的面附 件1

参考。献

文1][邓晓.明经牛顿力典学拒绝对相论造改国.科区社.家科国技成网.果2015年 9 月 25 日.h tt:/p/lbg.oetch10.net/batc1h.odnlwoa.dhppa?id378=96[2 刘辽]等狭.义相论对.10-105 页.科学出版社.22080年 7 月 第版二.021 年1 4月第二印次刷. [3 ]郑璋等庆.义广相论基对础教程.11-1107页 中.山学出大社版.1991年 2 1第一版.月199 年 112 第月一次印. [刷4邓晓]明.空无间动的转固有洛兹变伦的换一新种推的方导.国法社区.科 国科家技果网成.210 年 105月 28 日. htt:p/b/olgte.c1h0.1et/bnatch.dwnolad.oph?pia=38153d []邓晓5.详明细图无空间转解固动洛有兹伦变.国换家技成科网.20果1 5年 1 月1 9日 .http/:/bolgtech.101.en/btath.cdwnlood.ahp?aipd3=2928

附件 1

参见(

6-)式,为讨5论方,不便妨将四复欧维氏时空中的空间动转阵矩写这在里

~ ~1 D  R1 R 1RR R

为求解析其,式我需们要下运算。如由(13-及()-3)两2式可得

(-0a

) cso cos   sni R R    isn  cs o 0 

cos 

ins c so si ns n i 

0

sn i 0 cos 0

0 0   0

1(0-b)

由(

-4)及12(4-两)式得

可9

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~

~ c~os ~  co s ~ s n  ics o sin  ~~~ ~ is  ~ nisn  cos  os c 1 ~~1  isn R R ~~ is n 0 cso  0 0 0 

设  00 0 1 

(0-c)

d1 1d  D 2  d 131 d4

1d1

2 2d2d 32 d4

d132 d 32d 33d 4 3

d

41 d 2 4  d34  d 44

(0

d)-

(3将2-)式的逆阵,(-b)0(及-0)式c入代0(-)a式,求矩阵可0-()d元素,具各体得形可

如

d11 d D  2 1 d1 3

0d21d 22 d3 20

13 d d23d 33 0

0

0    01

(-e)

0的

般一形的空间式转动矩。顾名思阵,由义0(e)-矩阵难看不,出四维复欧在氏时空中这种,转 ,的确是绕时间轴动空间转动的参。(见7-4式,此)时般固一有洛伦坐兹变换的标矢形量 可写式

v

 vxx ~x  x D D[(v 1 2) t ] ;~ t  ( t  )2 c v

矩阵(-e)中诸0素 d j元 k为:

(

0-)f

~ ~

~ cso  ~isn  ~) si  n1d1 cos  os  cco   (sisn co s sin c o s sni ~~  sni co s cos ~ si n s(n i sin ) co s~ ~ ~osc ~ isn  ~ s)ni 1d2 ocs sin co s (c s o co s sin sn  sini ~ ~ in s ~) cos   si(  nisn cos  co s si  ~ ~n~ ocs si~n  c so c s o ~ in s 1d3 c so si n  oc  ssni co s ~ ~ ~osc  ~sin ~ )s in d 2 1 sn ic o s ocs  ( ins s n i si n osc c s o~ ~sni  ~ c)so  sin( cos si n  isn c so ~ ~~ c o  ~ sc o s si n ~sni d 22 isn os  csi n  (si ns in cso )sn i

1

0

欢迎转

载,望注出处明。谢!

谢~~ si n ) cos  ~ si(n isn si n  os cco  ~s~ ~ c so  ~sin   oc s si n~ s n  id2 3 s i n si n  os c osc cos ~ ~~d 31  sin cs o cos  cos s in si n  co s isn cso cos  ~ ~ ~d32  sin  co s sin  co s cos  si   nco  ssni sin co s ~ ~d3 3 ins sin  c o s oc  cos sd14  0; 2d4 0 ;d 3 4 0 ; 41d 0 ; 4d2 0 ; d 3 40 ; d 44  1 。

见, 可(0-a为)一般式的空间形转矩动, 上阵 d 述jk 为其一般形式的素元 若将。(0-)~4(07-)式代 ,入可得也d jk(  ,  , 形式的元素。其中) j, k  1,2,3, 4  ,, 12,3 。,

~

~

及 不的同合,可组解特殊了况下的空情转间矩动的阵 根据 5 转个角 , , ,

几何意义。篇本给仅出几个型情典况进讨行:论

~

论 讨1

 ~;    ; 0,时将其入代上述式诸d ,直或由接0-a)式(此时 R (I ) 当jk 1

~

可得

维复欧四氏时空的空间中动矩阵转单为位阵

DI~

(1-)

a参见图a 的 意,示三在空维中,间几其何义意,惯为系性 S 相对于性惯 系 S没空有间转动 对应(空间彼轴平此)。行(将1-)式代入a(-27),可得式到家大所悉熟,的无间空动转有洛 固兹坐伦标换变。

11

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,望载注明处出。谢!谢

2~  ;   ; 0 ,在三时维空中间,惯性系 S相于对性惯系 没S绕有 1轴 的 当空

转动(间参见图2 及图 3的变换 次序,)存但在绕2 及 3的空轴转动间。两个这动取决

~~

~,   1,2,3 。 参图见 b示的意 于。度分量速v 及 v

 

此时

R  I , 由(-a0式可)得四维,复欧氏空中的时空转动间阵矩

为 ~~ D R1RR1R  ~  ; ;

 0 代入 上诸述 d式 可,得矩阵素如元下: 由(2-a式或将  )kj ~~ c~o s ~ s in cs o osc ~s i n d11 cs  oocs  osc  sn is i  ~ ~ ~ noc s~ s n i ~d 2  1cso  is n cs o sin  is n os c cos  si n ~ ~ ~ co s ~in s 1d3  cos sni  cs  oosc ~ ~~ cso ~ sn i ~d 21 sn i osc ocs  si n c o  sisn s ni c s o ~ ~~ ocs ~ si n~ d 22 si n cos  ins  sn isi nsin  oc s os  ~c ~~c so  s~i  nd23  si  sni n cos  s i n ~~ d 31 s n i ocs c s o c o  sins c s o~ ~d32  si  nco ss in cos sin si n

1

(22-)a

~

欢转载,迎望明注处出谢。!谢

~~ d33 isn is n os c cso d 41 0 d ;24  ; 0 d4 3 0; d41  0; d 4 2 0 d 4;3 0 ; 44  1 d。

讨论 3

~  ;  ; 0 时,在维三间中,惯性系 空 S对于惯相系 性 没有S 2 及 绕3 当轴的空

转动(参见间图2 及图3 变的换序次)仅存,绕 在1 轴( 或v )的间转空动。参 见0-a()式,时四此维复欧氏时中的空间空动矩阵转为1

1  1 D RR R R  

R~

~

3-a)

(~ 

;   ;  0代上入述式 d ,诸可矩得阵素元下: 由(3-a)如或式将 j d11k co s  c2o 2s sin 2  c os sn i2 cs 2o cos  d 2 1c so isn  cso 2 sin  sni  isn cso c os 2 cs od 31 c s o ocs s in  c s o sn  sin i  cso cs o sin c o  s 2d1 sin cso 2 cos  sin si  n ins c so os c 2 cs od 2 2 osc2 s ni2   ins2 s n i2 co s  co 2 sc os d 23  sn i cos  isn  co s cos si n cso sin s in cs o d13  isn co  scso  cso si n sin  cos is n os ccos 

1

3

~

欢迎

载,望注明转处。谢出!谢

d

23 ins  osc sin  os cc s osi n  co s sin si nc o s  3d3 sn 2i  c o 2 sc os d4 10 ; d 42  0 d ;4 30 ;d 4 1  0 ;d 42  0; 43 d0 ; d 4 4 1。

论4

 ~;   ; 0,在时维三空间,中性惯 S系相对于 性系惯S 没有 绕1 及 2当

轴空间的动,仅存转绕 3 轴的空间转在。此时动 R  I,将相关 条件入代(-a)0,得此式种 形情下的四维复欧时氏空的中间空转动矩为阵

~

~~

D RR1

(4

-)a

~ ;  ;  0 代入上述式诸d ,得 可(由4-)a式,或将 jk~ co   ssn  i~s ni cos s in c~os  os c~ isn ~1  D  R R 0  

0  ~  ) s n( i ~) cos( in(s~  )co (s  ~) ~D R 1R  0 0 0 0

~

s~n i s n i ~cs o co s ~ sn i  osc ~os c sin 0 0 0 100 0 0  0 1 

33

0

01

00 0

 写为或 0 1

(4

b-)

~  

。角 比较图d,此种 情形,初始为系~ x 相对 x 于绕 3 (轴x 或~x 转)动 了

1

4

迎载转,望明出处。谢注谢

讨!论 5

~  0 ;   0 ;   0时,将其入代0-a)式得 (当

 D1 R

~(5

-a)

见参3-(2)式,时四此维欧复时氏空中的间转空矩阵仅为绕 动 轴1转动的

参。见 d图,果如  ,则0构成特殊洛伦变换条兹件考。虑(04)及(0--)式,5如此时再果 将  0 及 0 代 入(-27),式可则得们我所悉的熟特殊洛伦坐兹标换。变

15


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