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。
推及导示一般固有洛伦图兹换变邓
晓明20
51 年 1 1 3月0日 negineerxdm@sniacom 摘.:要给出 一固有般洛兹伦变换细的详导步推和骤图示。推导 空出间转矩动, 阵进行并论。 关键词讨狭:义相对论,般洛一伦兹变,普换遍伦洛兹换,一变固般洛伦兹变有 换中分类号国:O412.
前
~1
言~
物
理象是对客观的 引,的惯入性系S 与 S是主的观 根据。数处理学需的要, 系S相 S对系的姿态也是 为认人的定。为学上数方便的大多数情,况下选都择殊洛特兹伦换变条。件 但也必须有择“无选空间动转固洛伦有兹换”变“一般或固有伦洛变兹换条”的情形。如件笔者在 前文之章[]1所涉的及题问。 一般固有洛伦兹变换的对介绍,参阅刘可及辽庆璋郑[等2]3]书籍[相的章关节似。乎 仅是一结种性论介。仅简提“空及间转矩阵”,但动没给有出学表达数更,没有相应讨论。 的篇将本尝对试“一固有般伦洛变兹”给出换细的推详导骤步及应对图示的推导出,空间转 动矩“”,并阵进讨行论(见附件 参1。)探索之 作,有如误,错恳请评批指正。
导前的准推备笔者
之的前章文4[]5][讨论“无空间转过动有固伦洛变兹”换,是指在三空维中间惯两 性系 S 与S 以任相意速对度常矢
v~ v e v ~ e, 1,2,3
0(-1)
x(~ e ) , 12,3 ,,即惯性两之系没有间作相 对运时,动对应的间空轴彼平此 行 x(e ) / ~/
相转对。动 篇将要讨论本的“一般有固洛兹伦变”换实其是质“有间空转固有动洛兹伦变”。换参
1
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见
图1所谓“有空,间动转”是指在三维空间中惯两系性S 与 S 任以姿意态任,意相速度 对矢常
~~~ 12,,3v v e ve,
( 0-2)
x(~ e )彼此不平行。作相 对运动时,对应 的间轴空 x (e 与) 即两惯性~系间存之相对在转动。
需要
注的意,是这相种对转“动不是力”学意上义的理转物动,仅是数学推理程中过反
~
等效( 在映何意几义的上转。该动相对转“动”别由 分S和 系S的相速度分对量 v和 v
~
~ , ),及 S绕系度矢速 量 (依v 于,次依次绕 3 及2 标轴坐转旋的度角数参 , 及 旋转后
绕 , 轴1)对 相S系 的旋转角 度所描述。
~
~
~, 可由(0-2)式的度速间空量分确。参定图见 1通过几何, 旋转角关参度数 , 及
系, 们容我得到易
~
c:s o
~co s
v1 (v1 2 )2 ( 2v )
~1 v2~1 2 )( v ~ 22) v(
212 2
;
sin
2v v1() 2 v( ) 2
22 ~ ~1v )2 (v 2 )2~ v
1 2( 2 2
; co s
(
v1 ) 2 v(2 ) 2 3v sin;
。 vv
~ s;in
32
;c
s o
~1 ~ 2) ( ~ 2 )2 ~v3 ( v ;visn 。 vv
~) ( v ~) ( ~v) 如,果设 为 因v (v) ( v )( v) (v
32
~ v v ~ v , ,, 1,2,3 c cc2
2 2
(2-30)
中 c 为其光速。 然自有 1 2 3 1 2 3 。将 (-0)3式v c v ,c
2及
~
2
~
2~2
欢
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!~ ~
vc 分 代入别上述三函数角有
cos
1
21 22
; sin
2
1 2 22
(
-0)
4oc s
~ co s
2 122 ;si n 3 12
22
~
(0~5)
~-
1
~
~
~ ;in s
21 22
~
~2
~
~
(
06)
-12 22 ~ ;si n 3 cos
~见图参1 ,为推导般一有洛伦兹变固换,我要们进的操作是:
行(0-7
)
(1)三在维空中,分间别旋两惯转性 系 S及 S的 间标空(架始初) 系 (xe )及~ x ( e )
,
~
使间轴 x空 ~及 x 与度常速 v 方矢一致;向
1
(1)2旋转后的 S 使的系架 标~ x 旋转(轴可以也绕 说v旋转),使 x2 与 ~ x( ~ x2 ,x与 e )绕 ~
1
3
~
~ 3x 轴都行,得到类似于平特洛殊兹变伦条件;
换()3最终,在四复维欧时氏空,进行中殊洛特兹伦虚旋角,转得到般一固有伦兹变换。洛为 使每了一变步都换辨认,可下文每次旋转将的后坐系用标不英文同字母示表
。
1步第
~使两 参见系 1 及图 2图(-a,将)始初标坐系 x及 ~x 分别 绕间轴空x 及 x~ 转 旋 及
3 3
1 轴的分落在别由量 e矢3 及 ; v e~3及 v参(见图1) 所确的平面定上此时,到过得渡标 系坐 y~及 y。其 坐标换变分为别:
Y
R
X ~~~ Y R X
其中
1(-)1 (-12
)
3
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谢 cs o sin R 0 0
ins os c 0 0
00 1 000 1
0 0 00 10 0 0 1
(
1-3
)~
sn i ~ oc s~ ~ ~ s in c so R 0 0 00
为旋转阵。
矩
(14-)
度过及初系始系坐标为的:
Y y1~ Y ~ y
1
y2
y2~
y ~ y3
y3 4 X; x1
~ ~ y4 ;TX ~ x1
T
x2
~x2
3x~ x3
x4
;
T ~ x4 。
T
需要意注的, 这种旋转是是不单的纯三空维间旋的, 事实转上是四维复氏欧空中时的四维正交 标系坐整体行为的。在维三间空中,们可我以单地理简为分别绕解空间 轴x及 ~ 所
x3
3~
角 在所平的面也别分交正于间时轴 x( e)及进 的行旋。转果如展拓到维空四间, 及 44
~ x 4~(e4 ),在即空间绕 轴x 3及 ~ 3 旋x转同的,时在也绕时间轴x 4 及 ~ x 4 旋。体现在旋转矩阵转
1(-)3(1-4)及
上, 就两是个标对坐元素为应 , 1即个坐标两在旋中不变转, 即 x y =; ~x ~= y
;33 33
x 4= ~4x
。4
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外,确此(保11)-,1(2-及下)将要提文及旋转的变换以得立成的先决条为,四件维复欧
x j~j j e j ,1,2 3,, 4。 氏时空的中绝矢量对不,例变如时间空矢量不变 x e j隔
第~步
参见2图 -2a(及)b),(将渡坐过标 系 y 及 y~ 别分空间绕轴y 及~ y 转 及 旋 使两,系
2 2
~
的 1
轴都与速 度矢量 v重合, 时此得到标目标坐系 z及 ~z 。其标变换坐分为别
Z
R Y
~ ~~Z RY与上
同节,理 及 角旋转矩阵的别分为
(
21-)(2 2)-
~
ocs 0 R ins 0 ~ c o s ~ 0 R ~ si n 0 Z 1z
0 sn i 01 c0o s 0 0~ s0i n 1 ~0 c0o s0 z 0
3
00 0 10 0 0 1
2(3-)
(
24-
)
z
T 2~ z4及 Z ~z
1
~z
~ 23z
T~ z4 为目标系的 坐。标
第3步
5
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见参图2- b),(目标 系 z与 ~显 z 然 z平 与面 ~ 的z 轴1轴共与 且v重合。 z~z 面
平
3 223
平行。但一
情况下般, 轴 与 ~z z 轴独单转旋~ z系, z ,z ~与z 并不平 。行参图 见3绕,~
2 2 33
1
终最使系的两对坐标轴应行,其平坐标变为
换 ~~W R Z
其
中3(-1
)0
1 0c s Ro 0 ins 0
0 s0in c o s 0
0
0 0 1~ 3 ~w 4T为 w ~ 的系标坐 w。
(
3-2
) ~1 为旋转~矩。 阵W w
~2
w
第步
~4与 对速相度矢 常 的v系关,全符合完特洛伦殊变换条兹件 。见参图 ,坐3系标z 及
2w~ ;2z w3~ 3 。 该两与相对系的应维系四虚角的旋转变换写可为们我熟所悉 的此时有 zw
形
式~
W ZL
其
中
4-1(
) oc i s 0 L 0 ins
0i1 0 0
0
sni i 0 0 01 0 cosi
(4-
)2
为见的常特殊伦洛变兹矩换。众所周知,阵中
s其in i i c;so i
(43)
-
~ 及2 3z w ~3其 几本何为,质在维四复氏欧时空中正交,系~ z j( j 1,23,4 )绕,z 2 w 轴,旋转
了角虚 i
第5步
将。1(1-式)入(代2-1)得式
Z
R RX
6
(5
-1
)
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谢将(-21)代式(2入-2式)
~ ~得~ ~Z R R X
(-5)2式的逆变换为
(
-2)
5~
~~ ~X R1 R 1
将Z(-1)3式的阵逆入代(-5)3式
(5-3)
~ ~~ 1~ X R 1R1R W将
4-1)(代入式5(4)式-得
(5-)
4
~~~ 1 X R1 1R RLZ
将(51-式)代入5-(5)得式
5(5)
-~
~ 1~X R R1 R1 L RR
(5X-6式)为即般固一有洛兹变伦换
(5-。6
第6步)
见笔参
者前文对0-2(式的描)述一般,有洛伦固变兹换是,在四维指欧氏时空复,一中 情般况,下初两始标系 x坐与 x~之 间在存空转间动,即两者所对也应惯性的系,在三维间空
对应中坐标轴的此彼平不。设两者行的坐变换标
为
~ X D X , ~其中D 为四维复欧氏时空中的空间转 矩动,可阵(由02-)式的速空间度分 v量 v
及
(6-1)
,2,1 ,分3描别述绕 (及 4)2及3 (及 4轴)转动,的由给转角定 描述 绕1(及 4 轴
)转的动后(将文详讨细论) 。见图参1, 2 及图 图,3如仅果考虑纯间空动,转始初坐标 x 与 ~ x系分 经别 - 过 及
~ -
- 旋转后所到得 的 z与 w ~ 系的应对坐标轴(在维空三中)间彼此行。平由于两 惯性系
S S及 旦选一定,们之它的间对空间相旋转角“度则为常量,”随时间和不离距而变 因。,参见图此3,考虑两 在原系重合时点有系 关Z W 将(,21)及(3-1-)代式入得
:~
~
~
~
R YR ,Z再(1-1),(2将2)及-1-(2)次依代得
7
入
欢转迎,载望注明出处。谢!谢
~
~~~ Z W R R X R R RX
将6(1-代入(6)2-),整后得
理(6
-)2
~
~R R R D R11R 1
其阵逆为
(
6-3
~) ~11 1 RR R RD R
(6-3由)(或-46),可式四维复欧氏得时中的空间空动矩阵
(6-转)4
~ ~ 1D 1 RR1 R R R
(6-5
第7步)
(将-6)式4代(入-65式),
得~ 1
1 R LR RX X RD
(-71
)比较
(5-6),这里的式(7-1式)即为们我终最需的要几何(义意确明的)式,即形“一般固 洛有伦变换矩阵”兹于等无空“转间动有洛伦固兹变矩阵”左换一乘“空间转动矩阵个D ” 。 参笔阅者前之文所章论的无空间转动固讨有伦兹变洛 换 X“ R R L R RX ” [5,] 难发现(不-1)式7变的矩阵换多仅出个空间转动矩了 阵D。无 间转空动有洛固伦兹换变阵矩中 元素求的法可(0由-)及(40-5式求)得 ,体具算不再运述赘, 参请阅笔者前之文的[章]5。将( 7-) 式写成矩阵形1则式为
:~
11
( 1) 12 1 1 2 ~ x 2 ~ 1 2 x D ( 1 2 )~ 3 x ~ 4 ( ) 113 x 2 i1
或写为
12 ( 1 1 2)3 2 2 ( )1 2 ( 11 )22 3 2 23 ( 1) 3 2( 1) 2 1 2 i2 i 3(
1)
i1 1 x 2 x i2 3 x4 i 3 x
7-2(
)
jk (1) j k/ 2 x~j D ~4 i xk
4
i j
x
k , , jk 1, 2, 3 x 4
47-(3
)
(将0-)3代式入(7-)3式并注意, x ic t, x ~ ict , 理整可写后出矢其形量式
~
8
欢
转迎载望注明出处,谢谢。
!
v x x v[ (1) 2 ]t ~ x v ~ Dt v x 2 t c
(
74)-
而易显见,7-()式2的 中D如 为果单位,阵D I, 几何意其义为,始初标系 坐x 与~
x
之
间空的没有相对间转,即动在维空间中,三系两所对的应性系惯坐标轴此彼行,(7平-) 式将还原2我成们熟所悉的形-式-无空-间转固动洛有兹伦坐标换。变毕完 关!四维复于欧氏时空“中间空转矩动阵D 的详”细讨论,感兴趣,请继续阅读“参如 考献文后”的面附 件1
参考。献
文1][邓晓.明经牛顿力典学拒绝对相论造改国.科区社.家科国技成网.果2015年 9 月 25 日.h tt:/p/lbg.oetch10.net/batc1h.odnlwoa.dhppa?id378=96[2 刘辽]等狭.义相论对.10-105 页.科学出版社.22080年 7 月 第版二.021 年1 4月第二印次刷. [3 ]郑璋等庆.义广相论基对础教程.11-1107页 中.山学出大社版.1991年 2 1第一版.月199 年 112 第月一次印. [刷4邓晓]明.空无间动的转固有洛兹变伦的换一新种推的方导.国法社区.科 国科家技果网成.210 年 105月 28 日. htt:p/b/olgte.c1h0.1et/bnatch.dwnolad.oph?pia=38153d []邓晓5.详明细图无空间转解固动洛有兹伦变.国换家技成科网.20果1 5年 1 月1 9日 .http/:/bolgtech.101.en/btath.cdwnlood.ahp?aipd3=2928
附件 1
参见(
6-)式,为讨5论方,不便妨将四复欧维氏时空中的空间动转阵矩写这在里
~ ~1 D R1 R 1RR R
为求解析其,式我需们要下运算。如由(13-及()-3)两2式可得
(-0a
) cso cos sni R R isn cs o 0
cos
ins c so si ns n i
0
sn i 0 cos 0
0 0 0
1(0-b)
由(
-4)及12(4-两)式得
可9
欢
迎载转,望明出处注谢谢。!
~
~ c~os ~ co s ~ s n ics o sin ~~~ ~ is ~ nisn cos os c 1 ~~1 isn R R ~~ is n 0 cso 0 0 0
设 00 0 1
(0-c)
d1 1d D 2 d 131 d4
1d1
2 2d2d 32 d4
d132 d 32d 33d 4 3
d
41 d 2 4 d34 d 44
(0
d)-
(3将2-)式的逆阵,(-b)0(及-0)式c入代0(-)a式,求矩阵可0-()d元素,具各体得形可
如
d11 d D 2 1 d1 3
0d21d 22 d3 20
13 d d23d 33 0
0
0 01
(-e)
0的
般一形的空间式转动矩。顾名思阵,由义0(e)-矩阵难看不,出四维复欧在氏时空中这种,转 ,的确是绕时间轴动空间转动的参。(见7-4式,此)时般固一有洛伦坐兹变换的标矢形量 可写式
为
v
vxx ~x x D D[(v 1 2) t ] ;~ t ( t )2 c v
矩阵(-e)中诸0素 d j元 k为:
(
0-)f
~ ~
~ cso ~isn ~) si n1d1 cos os cco (sisn co s sin c o s sni ~~ sni co s cos ~ si n s(n i sin ) co s~ ~ ~osc ~ isn ~ s)ni 1d2 ocs sin co s (c s o co s sin sn sini ~ ~ in s ~) cos si( nisn cos co s si ~ ~n~ ocs si~n c so c s o ~ in s 1d3 c so si n oc ssni co s ~ ~ ~osc ~sin ~ )s in d 2 1 sn ic o s ocs ( ins s n i si n osc c s o~ ~sni ~ c)so sin( cos si n isn c so ~ ~~ c o ~ sc o s si n ~sni d 22 isn os csi n (si ns in cso )sn i
1
0
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谢~~ si n ) cos ~ si(n isn si n os cco ~s~ ~ c so ~sin oc s si n~ s n id2 3 s i n si n os c osc cos ~ ~~d 31 sin cs o cos cos s in si n co s isn cso cos ~ ~ ~d32 sin co s sin co s cos si nco ssni sin co s ~ ~d3 3 ins sin c o s oc cos sd14 0; 2d4 0 ;d 3 4 0 ; 41d 0 ; 4d2 0 ; d 3 40 ; d 44 1 。
见, 可(0-a为)一般式的空间形转矩动, 上阵 d 述jk 为其一般形式的素元 若将。(0-)~4(07-)式代 ,入可得也d jk( , , 形式的元素。其中) j, k 1,2,3, 4 ,, 12,3 。,
~
~
及 不的同合,可组解特殊了况下的空情转间矩动的阵 根据 5 转个角 , , ,
几何意义。篇本给仅出几个型情典况进讨行:论
~
论 讨1
~; ; 0,时将其入代上述式诸d ,直或由接0-a)式(此时 R (I ) 当jk 1
~
可得
维复欧四氏时空的空间中动矩阵转单为位阵
DI~
(1-)
a参见图a 的 意,示三在空维中,间几其何义意,惯为系性 S 相对于性惯 系 S没空有间转动 对应(空间彼轴平此)。行(将1-)式代入a(-27),可得式到家大所悉熟,的无间空动转有洛 固兹坐伦标换变。
11
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讨
论
2~ ; ; 0 ,在三时维空中间,惯性系 S相于对性惯系 没S绕有 1轴 的 当空
转动(间参见图2 及图 3的变换 次序,)存但在绕2 及 3的空轴转动间。两个这动取决
转
~~
~, 1,2,3 。 参图见 b示的意 于。度分量速v 及 v
此时
R I , 由(-a0式可)得四维,复欧氏空中的时空转动间阵矩
为 ~~ D R1RR1R ~ ; ;
0 代入 上诸述 d式 可,得矩阵素如元下: 由(2-a式或将 )kj ~~ c~o s ~ s in cs o osc ~s i n d11 cs oocs osc sn is i ~ ~ ~ noc s~ s n i ~d 2 1cso is n cs o sin is n os c cos si n ~ ~ ~ co s ~in s 1d3 cos sni cs oosc ~ ~~ cso ~ sn i ~d 21 sn i osc ocs si n c o sisn s ni c s o ~ ~~ ocs ~ si n~ d 22 si n cos ins sn isi nsin oc s os ~c ~~c so s~i nd23 si sni n cos s i n ~~ d 31 s n i ocs c s o c o sins c s o~ ~d32 si nco ss in cos sin si n
1
(22-)a
~
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~~ d33 isn is n os c cso d 41 0 d ;24 ; 0 d4 3 0; d41 0; d 4 2 0 d 4;3 0 ; 44 1 d。
讨论 3
~ ; ; 0 时,在维三间中,惯性系 空 S对于惯相系 性 没有S 2 及 绕3 当轴的空
转动(参见间图2 及图3 变的换序次)仅存,绕 在1 轴( 或v )的间转空动。参 见0-a()式,时四此维复欧氏时中的空间空动矩阵转为1
1 1 D RR R R
R~
~
3-a)
(~
; ; 0代上入述式 d ,诸可矩得阵素元下: 由(3-a)如或式将 j d11k co s c2o 2s sin 2 c os sn i2 cs 2o cos d 2 1c so isn cso 2 sin sni isn cso c os 2 cs od 31 c s o ocs s in c s o sn sin i cso cs o sin c o s 2d1 sin cso 2 cos sin si n ins c so os c 2 cs od 2 2 osc2 s ni2 ins2 s n i2 co s co 2 sc os d 23 sn i cos isn co s cos si n cso sin s in cs o d13 isn co scso cso si n sin cos is n os ccos
1
3
~
欢迎
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d
23 ins osc sin os cc s osi n co s sin si nc o s 3d3 sn 2i c o 2 sc os d4 10 ; d 42 0 d ;4 30 ;d 4 1 0 ;d 42 0; 43 d0 ; d 4 4 1。
讨
论4
~; ; 0,在时维三空间,中性惯 S系相对于 性系惯S 没有 绕1 及 2当
轴空间的动,仅存转绕 3 轴的空间转在。此时动 R I,将相关 条件入代(-a)0,得此式种 形情下的四维复欧时氏空的中间空转动矩为阵
~
~~
D RR1
(4
-)a
~ ; ; 0 代入上述式诸d ,得 可(由4-)a式,或将 jk~ co ssn i~s ni cos s in c~os os c~ isn ~1 D R R 0
0 ~ ) s n( i ~) cos( in(s~ )co (s ~) ~D R 1R 0 0 0 0
~
s~n i s n i ~cs o co s ~ sn i osc ~os c sin 0 0 0 100 0 0 0 1
33
0
01
00 0
写为或 0 1
(4
b-)
~
。角 比较图d,此种 情形,初始为系~ x 相对 x 于绕 3 (轴x 或~x 转)动 了
1
4
欢
迎载转,望明出处。谢注谢
讨!论 5
~ 0 ; 0 ; 0时,将其入代0-a)式得 (当
D1 R
~(5
-a)
见参3-(2)式,时四此维欧复时氏空中的间转空矩阵仅为绕 动 轴1转动的
参。见 d图,果如 ,则0构成特殊洛伦变换条兹件考。虑(04)及(0--)式,5如此时再果 将 0 及 0 代 入(-27),式可则得们我所悉的熟特殊洛伦坐兹标换。变
完
15
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。
推及导示一般固有洛伦图兹换变邓
晓明20
51 年 1 1 3月0日 negineerxdm@sniacom 摘.:要给出 一固有般洛兹伦变换细的详导步推和骤图示。推导 空出间转矩动, 阵进行并论。 关键词讨狭:义相对论,般洛一伦兹变,普换遍伦洛兹换,一变固般洛伦兹变有 换中分类号国:O412.
前
~1
言~
物
理象是对客观的 引,的惯入性系S 与 S是主的观 根据。数处理学需的要, 系S相 S对系的姿态也是 为认人的定。为学上数方便的大多数情,况下选都择殊洛特兹伦换变条。件 但也必须有择“无选空间动转固洛伦有兹换”变“一般或固有伦洛变兹换条”的情形。如件笔者在 前文之章[]1所涉的及题问。 一般固有洛伦兹变换的对介绍,参阅刘可及辽庆璋郑[等2]3]书籍[相的章关节似。乎 仅是一结种性论介。仅简提“空及间转矩阵”,但动没给有出学表达数更,没有相应讨论。 的篇将本尝对试“一固有般伦洛变兹”给出换细的推详导骤步及应对图示的推导出,空间转 动矩“”,并阵进讨行论(见附件 参1。)探索之 作,有如误,错恳请评批指正。
导前的准推备笔者
之的前章文4[]5][讨论“无空间转过动有固伦洛变兹”换,是指在三空维中间惯两 性系 S 与S 以任相意速对度常矢
v~ v e v ~ e, 1,2,3
0(-1)
x(~ e ) , 12,3 ,,即惯性两之系没有间作相 对运时,动对应的间空轴彼平此 行 x(e ) / ~/
相转对。动 篇将要讨论本的“一般有固洛兹伦变”换实其是质“有间空转固有动洛兹伦变”。换参
1
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见
图1所谓“有空,间动转”是指在三维空间中惯两系性S 与 S 任以姿意态任,意相速度 对矢常
~~~ 12,,3v v e ve,
( 0-2)
x(~ e )彼此不平行。作相 对运动时,对应 的间轴空 x (e 与) 即两惯性~系间存之相对在转动。
需要
注的意,是这相种对转“动不是力”学意上义的理转物动,仅是数学推理程中过反
~
等效( 在映何意几义的上转。该动相对转“动”别由 分S和 系S的相速度分对量 v和 v
~
~ , ),及 S绕系度矢速 量 (依v 于,次依次绕 3 及2 标轴坐转旋的度角数参 , 及 旋转后
绕 , 轴1)对 相S系 的旋转角 度所描述。
~
~
~, 可由(0-2)式的度速间空量分确。参定图见 1通过几何, 旋转角关参度数 , 及
系, 们容我得到易
~
c:s o
~co s
v1 (v1 2 )2 ( 2v )
~1 v2~1 2 )( v ~ 22) v(
212 2
;
sin
2v v1() 2 v( ) 2
22 ~ ~1v )2 (v 2 )2~ v
1 2( 2 2
; co s
(
v1 ) 2 v(2 ) 2 3v sin;
。 vv
~ s;in
32
;c
s o
~1 ~ 2) ( ~ 2 )2 ~v3 ( v ;visn 。 vv
~) ( v ~) ( ~v) 如,果设 为 因v (v) ( v )( v) (v
32
~ v v ~ v , ,, 1,2,3 c cc2
2 2
(2-30)
中 c 为其光速。 然自有 1 2 3 1 2 3 。将 (-0)3式v c v ,c
2及
~
2
~
2~2
欢
迎转,望载明出处。注谢谢
!~ ~
vc 分 代入别上述三函数角有
cos
1
21 22
; sin
2
1 2 22
(
-0)
4oc s
~ co s
2 122 ;si n 3 12
22
~
(0~5)
~-
1
~
~
~ ;in s
21 22
~
~2
~
~
(
06)
-12 22 ~ ;si n 3 cos
~见图参1 ,为推导般一有洛伦兹变固换,我要们进的操作是:
行(0-7
)
(1)三在维空中,分间别旋两惯转性 系 S及 S的 间标空(架始初) 系 (xe )及~ x ( e )
,
~
使间轴 x空 ~及 x 与度常速 v 方矢一致;向
1
(1)2旋转后的 S 使的系架 标~ x 旋转(轴可以也绕 说v旋转),使 x2 与 ~ x( ~ x2 ,x与 e )绕 ~
1
3
~
~ 3x 轴都行,得到类似于平特洛殊兹变伦条件;
换()3最终,在四复维欧时氏空,进行中殊洛特兹伦虚旋角,转得到般一固有伦兹变换。洛为 使每了一变步都换辨认,可下文每次旋转将的后坐系用标不英文同字母示表
。
1步第
~使两 参见系 1 及图 2图(-a,将)始初标坐系 x及 ~x 分别 绕间轴空x 及 x~ 转 旋 及
3 3
1 轴的分落在别由量 e矢3 及 ; v e~3及 v参(见图1) 所确的平面定上此时,到过得渡标 系坐 y~及 y。其 坐标换变分为别:
Y
R
X ~~~ Y R X
其中
1(-)1 (-12
)
3
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谢 cs o sin R 0 0
ins os c 0 0
00 1 000 1
0 0 00 10 0 0 1
(
1-3
)~
sn i ~ oc s~ ~ ~ s in c so R 0 0 00
为旋转阵。
矩
(14-)
度过及初系始系坐标为的:
Y y1~ Y ~ y
1
y2
y2~
y ~ y3
y3 4 X; x1
~ ~ y4 ;TX ~ x1
T
x2
~x2
3x~ x3
x4
;
T ~ x4 。
T
需要意注的, 这种旋转是是不单的纯三空维间旋的, 事实转上是四维复氏欧空中时的四维正交 标系坐整体行为的。在维三间空中,们可我以单地理简为分别绕解空间 轴x及 ~ 所
x3
3~
角 在所平的面也别分交正于间时轴 x( e)及进 的行旋。转果如展拓到维空四间, 及 44
~ x 4~(e4 ),在即空间绕 轴x 3及 ~ 3 旋x转同的,时在也绕时间轴x 4 及 ~ x 4 旋。体现在旋转矩阵转
1(-)3(1-4)及
上, 就两是个标对坐元素为应 , 1即个坐标两在旋中不变转, 即 x y =; ~x ~= y
;33 33
x 4= ~4x
。4
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外,确此(保11)-,1(2-及下)将要提文及旋转的变换以得立成的先决条为,四件维复欧
x j~j j e j ,1,2 3,, 4。 氏时空的中绝矢量对不,例变如时间空矢量不变 x e j隔
第~步
参见2图 -2a(及)b),(将渡坐过标 系 y 及 y~ 别分空间绕轴y 及~ y 转 及 旋 使两,系
2 2
~
的 1
轴都与速 度矢量 v重合, 时此得到标目标坐系 z及 ~z 。其标变换坐分为别
Z
R Y
~ ~~Z RY与上
同节,理 及 角旋转矩阵的别分为
(
21-)(2 2)-
~
ocs 0 R ins 0 ~ c o s ~ 0 R ~ si n 0 Z 1z
0 sn i 01 c0o s 0 0~ s0i n 1 ~0 c0o s0 z 0
3
00 0 10 0 0 1
2(3-)
(
24-
)
z
T 2~ z4及 Z ~z
1
~z
~ 23z
T~ z4 为目标系的 坐。标
第3步
5
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见参图2- b),(目标 系 z与 ~显 z 然 z平 与面 ~ 的z 轴1轴共与 且v重合。 z~z 面
平
3 223
平行。但一
情况下般, 轴 与 ~z z 轴独单转旋~ z系, z ,z ~与z 并不平 。行参图 见3绕,~
2 2 33
1
终最使系的两对坐标轴应行,其平坐标变为
换 ~~W R Z
其
中3(-1
)0
1 0c s Ro 0 ins 0
0 s0in c o s 0
0
0 0 1~ 3 ~w 4T为 w ~ 的系标坐 w。
(
3-2
) ~1 为旋转~矩。 阵W w
~2
w
第步
~4与 对速相度矢 常 的v系关,全符合完特洛伦殊变换条兹件 。见参图 ,坐3系标z 及
2w~ ;2z w3~ 3 。 该两与相对系的应维系四虚角的旋转变换写可为们我熟所悉 的此时有 zw
形
式~
W ZL
其
中
4-1(
) oc i s 0 L 0 ins
0i1 0 0
0
sni i 0 0 01 0 cosi
(4-
)2
为见的常特殊伦洛变兹矩换。众所周知,阵中
s其in i i c;so i
(43)
-
~ 及2 3z w ~3其 几本何为,质在维四复氏欧时空中正交,系~ z j( j 1,23,4 )绕,z 2 w 轴,旋转
了角虚 i
第5步
将。1(1-式)入(代2-1)得式
Z
R RX
6
(5
-1
)
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谢将(-21)代式(2入-2式)
~ ~得~ ~Z R R X
(-5)2式的逆变换为
(
-2)
5~
~~ ~X R1 R 1
将Z(-1)3式的阵逆入代(-5)3式
(5-3)
~ ~~ 1~ X R 1R1R W将
4-1)(代入式5(4)式-得
(5-)
4
~~~ 1 X R1 1R RLZ
将(51-式)代入5-(5)得式
5(5)
-~
~ 1~X R R1 R1 L RR
(5X-6式)为即般固一有洛兹变伦换
(5-。6
第6步)
见笔参
者前文对0-2(式的描)述一般,有洛伦固变兹换是,在四维指欧氏时空复,一中 情般况,下初两始标系 x坐与 x~之 间在存空转间动,即两者所对也应惯性的系,在三维间空
对应中坐标轴的此彼平不。设两者行的坐变换标
为
~ X D X , ~其中D 为四维复欧氏时空中的空间转 矩动,可阵(由02-)式的速空间度分 v量 v
及
(6-1)
,2,1 ,分3描别述绕 (及 4)2及3 (及 4轴)转动,的由给转角定 描述 绕1(及 4 轴
)转的动后(将文详讨细论) 。见图参1, 2 及图 图,3如仅果考虑纯间空动,转始初坐标 x 与 ~ x系分 经别 - 过 及
~ -
- 旋转后所到得 的 z与 w ~ 系的应对坐标轴(在维空三中)间彼此行。平由于两 惯性系
S S及 旦选一定,们之它的间对空间相旋转角“度则为常量,”随时间和不离距而变 因。,参见图此3,考虑两 在原系重合时点有系 关Z W 将(,21)及(3-1-)代式入得
:~
~
~
~
R YR ,Z再(1-1),(2将2)及-1-(2)次依代得
7
入
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~
~~~ Z W R R X R R RX
将6(1-代入(6)2-),整后得
理(6
-)2
~
~R R R D R11R 1
其阵逆为
(
6-3
~) ~11 1 RR R RD R
(6-3由)(或-46),可式四维复欧氏得时中的空间空动矩阵
(6-转)4
~ ~ 1D 1 RR1 R R R
(6-5
第7步)
(将-6)式4代(入-65式),
得~ 1
1 R LR RX X RD
(-71
)比较
(5-6),这里的式(7-1式)即为们我终最需的要几何(义意确明的)式,即形“一般固 洛有伦变换矩阵”兹于等无空“转间动有洛伦固兹变矩阵”左换一乘“空间转动矩阵个D ” 。 参笔阅者前之文所章论的无空间转动固讨有伦兹变洛 换 X“ R R L R RX ” [5,] 难发现(不-1)式7变的矩阵换多仅出个空间转动矩了 阵D。无 间转空动有洛固伦兹换变阵矩中 元素求的法可(0由-)及(40-5式求)得 ,体具算不再运述赘, 参请阅笔者前之文的[章]5。将( 7-) 式写成矩阵形1则式为
:~
11
( 1) 12 1 1 2 ~ x 2 ~ 1 2 x D ( 1 2 )~ 3 x ~ 4 ( ) 113 x 2 i1
或写为
12 ( 1 1 2)3 2 2 ( )1 2 ( 11 )22 3 2 23 ( 1) 3 2( 1) 2 1 2 i2 i 3(
1)
i1 1 x 2 x i2 3 x4 i 3 x
7-2(
)
jk (1) j k/ 2 x~j D ~4 i xk
4
i j
x
k , , jk 1, 2, 3 x 4
47-(3
)
(将0-)3代式入(7-)3式并注意, x ic t, x ~ ict , 理整可写后出矢其形量式
~
8
欢
转迎载望注明出处,谢谢。
!
v x x v[ (1) 2 ]t ~ x v ~ Dt v x 2 t c
(
74)-
而易显见,7-()式2的 中D如 为果单位,阵D I, 几何意其义为,始初标系 坐x 与~
x
之
间空的没有相对间转,即动在维空间中,三系两所对的应性系惯坐标轴此彼行,(7平-) 式将还原2我成们熟所悉的形-式-无空-间转固动洛有兹伦坐标换。变毕完 关!四维复于欧氏时空“中间空转矩动阵D 的详”细讨论,感兴趣,请继续阅读“参如 考献文后”的面附 件1
参考。献
文1][邓晓.明经牛顿力典学拒绝对相论造改国.科区社.家科国技成网.果2015年 9 月 25 日.h tt:/p/lbg.oetch10.net/batc1h.odnlwoa.dhppa?id378=96[2 刘辽]等狭.义相论对.10-105 页.科学出版社.22080年 7 月 第版二.021 年1 4月第二印次刷. [3 ]郑璋等庆.义广相论基对础教程.11-1107页 中.山学出大社版.1991年 2 1第一版.月199 年 112 第月一次印. [刷4邓晓]明.空无间动的转固有洛兹变伦的换一新种推的方导.国法社区.科 国科家技果网成.210 年 105月 28 日. htt:p/b/olgte.c1h0.1et/bnatch.dwnolad.oph?pia=38153d []邓晓5.详明细图无空间转解固动洛有兹伦变.国换家技成科网.20果1 5年 1 月1 9日 .http/:/bolgtech.101.en/btath.cdwnlood.ahp?aipd3=2928
附件 1
参见(
6-)式,为讨5论方,不便妨将四复欧维氏时空中的空间动转阵矩写这在里
~ ~1 D R1 R 1RR R
为求解析其,式我需们要下运算。如由(13-及()-3)两2式可得
(-0a
) cso cos sni R R isn cs o 0
cos
ins c so si ns n i
0
sn i 0 cos 0
0 0 0
1(0-b)
由(
-4)及12(4-两)式得
可9
欢
迎载转,望明出处注谢谢。!
~
~ c~os ~ co s ~ s n ics o sin ~~~ ~ is ~ nisn cos os c 1 ~~1 isn R R ~~ is n 0 cso 0 0 0
设 00 0 1
(0-c)
d1 1d D 2 d 131 d4
1d1
2 2d2d 32 d4
d132 d 32d 33d 4 3
d
41 d 2 4 d34 d 44
(0
d)-
(3将2-)式的逆阵,(-b)0(及-0)式c入代0(-)a式,求矩阵可0-()d元素,具各体得形可
如
d11 d D 2 1 d1 3
0d21d 22 d3 20
13 d d23d 33 0
0
0 01
(-e)
0的
般一形的空间式转动矩。顾名思阵,由义0(e)-矩阵难看不,出四维复欧在氏时空中这种,转 ,的确是绕时间轴动空间转动的参。(见7-4式,此)时般固一有洛伦坐兹变换的标矢形量 可写式
为
v
vxx ~x x D D[(v 1 2) t ] ;~ t ( t )2 c v
矩阵(-e)中诸0素 d j元 k为:
(
0-)f
~ ~
~ cso ~isn ~) si n1d1 cos os cco (sisn co s sin c o s sni ~~ sni co s cos ~ si n s(n i sin ) co s~ ~ ~osc ~ isn ~ s)ni 1d2 ocs sin co s (c s o co s sin sn sini ~ ~ in s ~) cos si( nisn cos co s si ~ ~n~ ocs si~n c so c s o ~ in s 1d3 c so si n oc ssni co s ~ ~ ~osc ~sin ~ )s in d 2 1 sn ic o s ocs ( ins s n i si n osc c s o~ ~sni ~ c)so sin( cos si n isn c so ~ ~~ c o ~ sc o s si n ~sni d 22 isn os csi n (si ns in cso )sn i
1
0
欢迎转
载,望注出处明。谢!
谢~~ si n ) cos ~ si(n isn si n os cco ~s~ ~ c so ~sin oc s si n~ s n id2 3 s i n si n os c osc cos ~ ~~d 31 sin cs o cos cos s in si n co s isn cso cos ~ ~ ~d32 sin co s sin co s cos si nco ssni sin co s ~ ~d3 3 ins sin c o s oc cos sd14 0; 2d4 0 ;d 3 4 0 ; 41d 0 ; 4d2 0 ; d 3 40 ; d 44 1 。
见, 可(0-a为)一般式的空间形转矩动, 上阵 d 述jk 为其一般形式的素元 若将。(0-)~4(07-)式代 ,入可得也d jk( , , 形式的元素。其中) j, k 1,2,3, 4 ,, 12,3 。,
~
~
及 不的同合,可组解特殊了况下的空情转间矩动的阵 根据 5 转个角 , , ,
几何意义。篇本给仅出几个型情典况进讨行:论
~
论 讨1
~; ; 0,时将其入代上述式诸d ,直或由接0-a)式(此时 R (I ) 当jk 1
~
可得
维复欧四氏时空的空间中动矩阵转单为位阵
DI~
(1-)
a参见图a 的 意,示三在空维中,间几其何义意,惯为系性 S 相对于性惯 系 S没空有间转动 对应(空间彼轴平此)。行(将1-)式代入a(-27),可得式到家大所悉熟,的无间空动转有洛 固兹坐伦标换变。
11
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讨
论
2~ ; ; 0 ,在三时维空中间,惯性系 S相于对性惯系 没S绕有 1轴 的 当空
转动(间参见图2 及图 3的变换 次序,)存但在绕2 及 3的空轴转动间。两个这动取决
转
~~
~, 1,2,3 。 参图见 b示的意 于。度分量速v 及 v
此时
R I , 由(-a0式可)得四维,复欧氏空中的时空转动间阵矩
为 ~~ D R1RR1R ~ ; ;
0 代入 上诸述 d式 可,得矩阵素如元下: 由(2-a式或将 )kj ~~ c~o s ~ s in cs o osc ~s i n d11 cs oocs osc sn is i ~ ~ ~ noc s~ s n i ~d 2 1cso is n cs o sin is n os c cos si n ~ ~ ~ co s ~in s 1d3 cos sni cs oosc ~ ~~ cso ~ sn i ~d 21 sn i osc ocs si n c o sisn s ni c s o ~ ~~ ocs ~ si n~ d 22 si n cos ins sn isi nsin oc s os ~c ~~c so s~i nd23 si sni n cos s i n ~~ d 31 s n i ocs c s o c o sins c s o~ ~d32 si nco ss in cos sin si n
1
(22-)a
~
欢转载,迎望明注处出谢。!谢
~~ d33 isn is n os c cso d 41 0 d ;24 ; 0 d4 3 0; d41 0; d 4 2 0 d 4;3 0 ; 44 1 d。
讨论 3
~ ; ; 0 时,在维三间中,惯性系 空 S对于惯相系 性 没有S 2 及 绕3 当轴的空
转动(参见间图2 及图3 变的换序次)仅存,绕 在1 轴( 或v )的间转空动。参 见0-a()式,时四此维复欧氏时中的空间空动矩阵转为1
1 1 D RR R R
R~
~
3-a)
(~
; ; 0代上入述式 d ,诸可矩得阵素元下: 由(3-a)如或式将 j d11k co s c2o 2s sin 2 c os sn i2 cs 2o cos d 2 1c so isn cso 2 sin sni isn cso c os 2 cs od 31 c s o ocs s in c s o sn sin i cso cs o sin c o s 2d1 sin cso 2 cos sin si n ins c so os c 2 cs od 2 2 osc2 s ni2 ins2 s n i2 co s co 2 sc os d 23 sn i cos isn co s cos si n cso sin s in cs o d13 isn co scso cso si n sin cos is n os ccos
1
3
~
欢迎
载,望注明转处。谢出!谢
d
23 ins osc sin os cc s osi n co s sin si nc o s 3d3 sn 2i c o 2 sc os d4 10 ; d 42 0 d ;4 30 ;d 4 1 0 ;d 42 0; 43 d0 ; d 4 4 1。
讨
论4
~; ; 0,在时维三空间,中性惯 S系相对于 性系惯S 没有 绕1 及 2当
轴空间的动,仅存转绕 3 轴的空间转在。此时动 R I,将相关 条件入代(-a)0,得此式种 形情下的四维复欧时氏空的中间空转动矩为阵
~
~~
D RR1
(4
-)a
~ ; ; 0 代入上述式诸d ,得 可(由4-)a式,或将 jk~ co ssn i~s ni cos s in c~os os c~ isn ~1 D R R 0
0 ~ ) s n( i ~) cos( in(s~ )co (s ~) ~D R 1R 0 0 0 0
~
s~n i s n i ~cs o co s ~ sn i osc ~os c sin 0 0 0 100 0 0 0 1
33
0
01
00 0
写为或 0 1
(4
b-)
~
。角 比较图d,此种 情形,初始为系~ x 相对 x 于绕 3 (轴x 或~x 转)动 了
1
4
欢
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讨!论 5
~ 0 ; 0 ; 0时,将其入代0-a)式得 (当
D1 R
~(5
-a)
见参3-(2)式,时四此维欧复时氏空中的间转空矩阵仅为绕 动 轴1转动的
参。见 d图,果如 ,则0构成特殊洛伦变换条兹件考。虑(04)及(0--)式,5如此时再果 将 0 及 0 代 入(-27),式可则得们我所悉的熟特殊洛伦坐兹标换。变
完
15