2实数的性质及运用

《数学思维与能力训练》辅导讲义

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实数的性质及运用

【知识要点】

无限不循环小数叫做无理数。无理数和我们前面学过的有理数统称为实数。有理数扩大到实数后，在有理数范围内定义的一些概念 (如相反数、倒数) 在实数范围内仍适用，比较大小的法则在实数范围内也适用，有理数的运算法则、运算律在实数范围内也适用。实数的绝对值与有理数的绝对值也一样。实数与数轴上的点一一对应。

在初中数学竞赛中涉及的数都是实数，有关实数的性质、绝对值、大小比较等类型的题目常出现，所以我们有必要在这一讲中进行探讨。

【夯实基础】

［例题1］把下列各数分别填入相应的括号内：

⋅11π

0，-，0.15，0.25，5，，

π2，3.1415 324

22– 3，– 2.121121121……， 7

整数 { …… } 分数 { …… } 正数 { …… } 负数 { …… } 有理数 { …… } 无理数 { …… } ［例题2］比较下列各数的大小：

(1)

17 2

(2) 与

(3)

〖小试牛刀〗

1、在 –π

，(0，0，0.020032003

，

2、比较大小：当实数a 或

3、下列各组数中互为相反数的一组数是 ( )

A 、– 2 与

C 、– 2 与 -11, -, - π3100 101

B 、– 2 与

1 D

、| 与

4、在 – 7，0

，

(-2 这六个实数中，有理数的个数是 ( ) 3A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

5、当0

21 的大小，并说明理由 x

［例题3］化简下列各式：

(1) |1.7| (2) | a – | a – 4 | | (a≤4) (3) | x 2 + 6x + 10 |

［例题4］已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足等式x 2

–

x + y值

〖小试牛刀〗已知x 、y

是有理数且x +(4y +3=0，求x 、y 的值

［例题5］已知

x =1，求x 2 + 2x + 2 的值

⋅

［例题6］已知a 、b 、c 、d 为实数，且a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求 x 2 – (a + b + cd) x + (a + b) 2007 + (- cd) 2007 的值

〖拓展探究〗

1、已知x 、y

为实数，且y =3，求

、设a =a 3 与 a 5 的值，试比较a 3 与a 5 大小，若设

a =或

a =1，结果又如何？

x 的值