第四章 概率
游戏公平吗（二）
一、 学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经体验过事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性。对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。在七年级上学期中学生已接触了不确定事件，前面一节课中又学习了必然事件、不可能事件、不确定事件，及各类事件发生的可能性大小；此外还学习了利用数轴上0和1之间的线段可以直观的表示事件发生可能性大小的取值范围。学生具备了进一步学习事件发生等可能性的能力。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、 教学任务分析
教科书基于学生对事件发生等可能性的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“统计与概率”这一数学学习领域，因而务必服务于概率教学的远期目标：“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的概率意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的
教学目标：
1．经历“猜测—试验和收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，进一步了解不确定事件的特点，发展随机观念；
2．通过实验、探索与合作交流，体会等可能性及游戏规则的公平性；
3．在丰富的问题情境中认识到概率是刻画不确定现象的数学模型；
4．进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力
教学重点：掷硬币实验及对试验数据的分析处理和游戏对双方公平的认识。
教学难点：掷硬币试验规律的发现和游戏公平性的认识。
学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的规律。
教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，培养学生发现问题、解决问题的能力，激发学生的学习兴趣；在教学中，运用有效的新型评价方式,各小组“争创五星组”活动，调动学生的积极性
三、 教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境，激发兴趣；合作交流，获取数据；操作交流，探究新知；自我创作，发展思维；回忆思考，归纳小结；布置作业。
第一环节 课前准备
以4人合作小组为单位准备一元硬币，转盘,并回顾知识点。
第二环节 创设情境，激发兴趣
活动内容： 教师准备上面写着“争创五星组”的四块奖牌，最终获胜的小组将获得这四块奖牌，激发学生学习兴趣。教师抛出看电影两人有一张票的问题：“两个都想让给对方先看，就在争执不下的时候，小颖提议：你们别争了，我这有一枚均匀的硬币，我任意往上抛，如果正面朝上，就让小明看，如果反面朝上就让小丽看。小明和小丽不知这样对他们公不公平，你能帮他们回答吗？（让学生体验数学来源于生活）同时，请学生列举生活中其他使游戏双方公平的例子，和生活中哪些知识是先通过大胆揣测再验证的。
活动目的：使学生回顾学过的三类事件，培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会等可能性和游戏的公平性。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的实验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）。
实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的等可能性问题进行猜测，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使猜测的结果更加准确。事实上，学生对游戏发生的公平性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的等可能性，这就为下一环节用实验验证事件发生的等可能性打好基础。
此外，同学在列举生活中其他使游戏双方公平的例子时反映出学生善于观察事物发现分析问题的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。
第三环节 合作交流，获取数据
活动内容：参照教材提供的小明和小丽都想去看周末的电影，但只有一张票。小明提议采用如下的办法决定到底谁去看电影。任意掷一枚均匀的硬币，如果正面朝上，那么小丽去；如果反面朝上，那么自己去。
小明的办法对双方是否公平，让学生来做做试验。
请同学们拿出准备好的硬币：
„
各组分工合作，分别累计进行到20、40、80、120、160、200、240、280、320、360、400次正面朝上的次数，并完成下表：
活动目的：一是通过实验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程，当试验的次数较少时,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大,与开始的猜测有矛盾，让学生动脑得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发的把全班试验的结果都统计出来，学会进行实验和收集实验数据。二是培养学生的合作精神，通过实验和收集实验数据的过程使学生之间增进感情，并明白团队精神的重要性。
实际教学效果：学生经过这一环节对等可能性事件发生的可能性的发现过程有了全面地认识，通过实验进一步使学生理解等可能性事件发生的可能性，领会数学是来源于生活，进一步了解不确定事件的特点，发展随机观念；在丰富的问题情境中认识到概率是刻画不确定现象的数学模型。
学生在单独一个小组进行试验时各小组之间正面朝上的频率数据差距较大，与猜测产生矛盾，学生对产生的矛盾进行了讨论，最终得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，使学生能够自己去发现问题，从而得出把全班各个小组的总试验次数统计出来。接下来对如何把全班的试验的结果都统计出来产生了激烈的争论，使学生树立在学习过程中找最佳解决办法的思想。
第四环节 操作交流，探究新知
活动内容：1．请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图
正面朝上的频率
1.0
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
2．观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：
表中的数据支持你发现的规律吗？
3．议一议：
（1）若把上述试验改为“投掷硬币观察反面朝上”，其折线统计图将与“正面朝上折线统计图”有何关系?
（2）任意投掷一枚硬币,可能出现哪些结果?每种结果出现的可能性相同吗?
（3）小明的办法对双方公平吗？用自己的语言说一说什么是游戏对双方公平。
活动目的：同学们通过本环节，进一步体会等可能性及游戏规则的公平性，通过制作统计图自己总结出当试验次数很大时,正面朝上的频率折线差不多稳定在“0.5水平直线” 上，再对历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据进行分析判断，进一步培养学生的独立解决问题的能力。学生在做议一议过程中，总结：(1)试验的结果是等可能性的：在试验中如果每个结果出现的可能性都相同；(2)游戏对双方公平：如果游戏的结果对双方是等可能性
的，那么，这个游戏对双方就是公平的。学生真正经历猜想→实验→分析→交流→发现→验证一系列过程，引导学生积极参与试验过程，亲自动手从事试验，收集实验数据，分析试验数据，以获得事件发生的概率，消除一些错误的经验，体会不确定想象的特点。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使学生对事件发生的等可能性认识得更加深刻。
实际教学效果：学生通过小组之间的竞争、合作、交流，对了解不确定事件的特点，发展随机观念，体会等可能性及游戏规则的公平性有了更深刻地认识。而且学生做完后，很多组都及时地把自已的作品，拿到实物投影仪上来展示„„，这样各小组的星数也在不断的上升，课堂气氛又热闹了起来。再通过对历史上数学家所作掷硬币试验数据的讨论学生的思维变得更加活跃，为回答接下来的议一议做好准备。在议一议中，学生对1，2问快速做出回答，第3问学生通过小组讨论，交流后得出结论培养了学生的语言组织能力和表达能力， 同时通过小组间的竞争获取星星，培养了他们的竞争意识和团队精神。
第五环节 自我创作，发展思维
活动内容：
做一做（1）小颖为小明和小丽想了另一个办法：她找来了如图所示的转盘，并让他们随意转动它，转盘停止转动后，若指针指向红色区域，则小丽去看电影；若指针指向白色
区域，则小明去看电影。
小颖的办法对小明与小丽是公平的吗？
（2）你能利用上节课“做一做”中的均匀的骰子设计一个游戏，使游戏对小明、小丽都公平吗？
（3）动手设计游戏：你能否以硬币、扑克牌或其他工具设计一个对双方都公平的游戏吗？
活动目的：对本节知识进行巩固练习，使学生明白数学来源于生活，也服务于生活。 实际教学效果：通过本环节学生将本节课的知识融会贯通并应用到生活中去，体验数学来源于生活又作用于生活。
第六环节 回忆思考，归纳小结
活动内容：对本节课的知识进行回顾，师生互相交流怎样保证游戏规则公平，怎样判定事件发生的等可能性，怎样设计一个对双方公平的游戏。
活动目的：使学生对事件发生等可能性及游戏规则的公平性加深理解并将所学知识应用到实际生活中去。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对事件发生等可能性及游戏规则的公平性有了准确的理解，树立正确的随机观念，通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验。
第七环节 布置作业
课本习题4.2。
四、 教学设计反思
1．要创造性的使用教材，不拘泥于教材的形式。
教材为学生的学习活动提供了基本线索，实施新课程目标、实施教学的重要资源。在教学中要创造性地使用教材。本节课教师通过具体的现实情境，充分利用学生的生活经验，让学生体验到数学来源于生活，打破了传统的注入式的教学模式，通过一系列精心设计把它改成学生所经历的情境引入课题，激发了学生的学习兴趣。在教学中引导学生进行“猜想一实验一分析一交流一发现一应用”， 学生在操作、思考、交流中不断地发现问题，解决问题， 特别是教师采取了小组间争创五星组的评价方式，激发了学生的竞争意识，极大地调动了学生的学习的积极性，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生的发现思维的火花，经历了一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，从而培养了学生独立探究和解决问题的能力。在教学过程中，教师还可以利用Microsoft Excel在第三环节根据数据做出对应的图形，开阔学生的视野。此外，若课堂有时间，还可以带领学生用Z+Z智能平台作掷硬币试验，可到网上查找。
2． 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过课堂上小组合作掷硬币试验、并展示试验结果的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组做出猜测之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组合作给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。教师应注意激发学生的内在动机，通过学生的发现给他们带来满意和内在的激励。
第四章 概率
游戏公平吗（二）
一、 学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经体验过事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性。对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。在七年级上学期中学生已接触了不确定事件，前面一节课中又学习了必然事件、不可能事件、不确定事件，及各类事件发生的可能性大小；此外还学习了利用数轴上0和1之间的线段可以直观的表示事件发生可能性大小的取值范围。学生具备了进一步学习事件发生等可能性的能力。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、 教学任务分析
教科书基于学生对事件发生等可能性的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“统计与概率”这一数学学习领域，因而务必服务于概率教学的远期目标：“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的概率意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的
教学目标：
1．经历“猜测—试验和收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，进一步了解不确定事件的特点，发展随机观念；
2．通过实验、探索与合作交流，体会等可能性及游戏规则的公平性；
3．在丰富的问题情境中认识到概率是刻画不确定现象的数学模型；
4．进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力
教学重点：掷硬币实验及对试验数据的分析处理和游戏对双方公平的认识。
教学难点：掷硬币试验规律的发现和游戏公平性的认识。
学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的规律。
教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，培养学生发现问题、解决问题的能力，激发学生的学习兴趣；在教学中，运用有效的新型评价方式,各小组“争创五星组”活动，调动学生的积极性
三、 教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境，激发兴趣；合作交流，获取数据；操作交流，探究新知；自我创作，发展思维；回忆思考，归纳小结；布置作业。
第一环节 课前准备
以4人合作小组为单位准备一元硬币，转盘,并回顾知识点。
第二环节 创设情境，激发兴趣
活动内容： 教师准备上面写着“争创五星组”的四块奖牌，最终获胜的小组将获得这四块奖牌，激发学生学习兴趣。教师抛出看电影两人有一张票的问题：“两个都想让给对方先看，就在争执不下的时候，小颖提议：你们别争了，我这有一枚均匀的硬币，我任意往上抛，如果正面朝上，就让小明看，如果反面朝上就让小丽看。小明和小丽不知这样对他们公不公平，你能帮他们回答吗？（让学生体验数学来源于生活）同时，请学生列举生活中其他使游戏双方公平的例子，和生活中哪些知识是先通过大胆揣测再验证的。
活动目的：使学生回顾学过的三类事件，培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会等可能性和游戏的公平性。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的实验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）。
实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的等可能性问题进行猜测，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使猜测的结果更加准确。事实上，学生对游戏发生的公平性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的等可能性，这就为下一环节用实验验证事件发生的等可能性打好基础。
此外，同学在列举生活中其他使游戏双方公平的例子时反映出学生善于观察事物发现分析问题的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。
第三环节 合作交流，获取数据
活动内容：参照教材提供的小明和小丽都想去看周末的电影，但只有一张票。小明提议采用如下的办法决定到底谁去看电影。任意掷一枚均匀的硬币，如果正面朝上，那么小丽去；如果反面朝上，那么自己去。
小明的办法对双方是否公平，让学生来做做试验。
请同学们拿出准备好的硬币：
„
各组分工合作，分别累计进行到20、40、80、120、160、200、240、280、320、360、400次正面朝上的次数，并完成下表：
活动目的：一是通过实验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程，当试验的次数较少时,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大,与开始的猜测有矛盾，让学生动脑得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发的把全班试验的结果都统计出来，学会进行实验和收集实验数据。二是培养学生的合作精神，通过实验和收集实验数据的过程使学生之间增进感情，并明白团队精神的重要性。
实际教学效果：学生经过这一环节对等可能性事件发生的可能性的发现过程有了全面地认识，通过实验进一步使学生理解等可能性事件发生的可能性，领会数学是来源于生活，进一步了解不确定事件的特点，发展随机观念；在丰富的问题情境中认识到概率是刻画不确定现象的数学模型。
学生在单独一个小组进行试验时各小组之间正面朝上的频率数据差距较大，与猜测产生矛盾，学生对产生的矛盾进行了讨论，最终得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，使学生能够自己去发现问题，从而得出把全班各个小组的总试验次数统计出来。接下来对如何把全班的试验的结果都统计出来产生了激烈的争论，使学生树立在学习过程中找最佳解决办法的思想。
第四环节 操作交流，探究新知
活动内容：1．请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图
正面朝上的频率
1.0
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
2．观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：
表中的数据支持你发现的规律吗？
3．议一议：
（1）若把上述试验改为“投掷硬币观察反面朝上”，其折线统计图将与“正面朝上折线统计图”有何关系?
（2）任意投掷一枚硬币,可能出现哪些结果?每种结果出现的可能性相同吗?
（3）小明的办法对双方公平吗？用自己的语言说一说什么是游戏对双方公平。
活动目的：同学们通过本环节，进一步体会等可能性及游戏规则的公平性，通过制作统计图自己总结出当试验次数很大时,正面朝上的频率折线差不多稳定在“0.5水平直线” 上，再对历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据进行分析判断，进一步培养学生的独立解决问题的能力。学生在做议一议过程中，总结：(1)试验的结果是等可能性的：在试验中如果每个结果出现的可能性都相同；(2)游戏对双方公平：如果游戏的结果对双方是等可能性
的，那么，这个游戏对双方就是公平的。学生真正经历猜想→实验→分析→交流→发现→验证一系列过程，引导学生积极参与试验过程，亲自动手从事试验，收集实验数据，分析试验数据，以获得事件发生的概率，消除一些错误的经验，体会不确定想象的特点。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使学生对事件发生的等可能性认识得更加深刻。
实际教学效果：学生通过小组之间的竞争、合作、交流，对了解不确定事件的特点，发展随机观念，体会等可能性及游戏规则的公平性有了更深刻地认识。而且学生做完后，很多组都及时地把自已的作品，拿到实物投影仪上来展示„„，这样各小组的星数也在不断的上升，课堂气氛又热闹了起来。再通过对历史上数学家所作掷硬币试验数据的讨论学生的思维变得更加活跃，为回答接下来的议一议做好准备。在议一议中，学生对1，2问快速做出回答，第3问学生通过小组讨论，交流后得出结论培养了学生的语言组织能力和表达能力， 同时通过小组间的竞争获取星星，培养了他们的竞争意识和团队精神。
第五环节 自我创作，发展思维
活动内容：
做一做（1）小颖为小明和小丽想了另一个办法：她找来了如图所示的转盘，并让他们随意转动它，转盘停止转动后，若指针指向红色区域，则小丽去看电影；若指针指向白色
区域，则小明去看电影。
小颖的办法对小明与小丽是公平的吗？
（2）你能利用上节课“做一做”中的均匀的骰子设计一个游戏，使游戏对小明、小丽都公平吗？
（3）动手设计游戏：你能否以硬币、扑克牌或其他工具设计一个对双方都公平的游戏吗？
活动目的：对本节知识进行巩固练习，使学生明白数学来源于生活，也服务于生活。 实际教学效果：通过本环节学生将本节课的知识融会贯通并应用到生活中去，体验数学来源于生活又作用于生活。
第六环节 回忆思考，归纳小结
活动内容：对本节课的知识进行回顾，师生互相交流怎样保证游戏规则公平，怎样判定事件发生的等可能性，怎样设计一个对双方公平的游戏。
活动目的：使学生对事件发生等可能性及游戏规则的公平性加深理解并将所学知识应用到实际生活中去。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对事件发生等可能性及游戏规则的公平性有了准确的理解，树立正确的随机观念，通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验。
第七环节 布置作业
课本习题4.2。
四、 教学设计反思
1．要创造性的使用教材，不拘泥于教材的形式。
教材为学生的学习活动提供了基本线索，实施新课程目标、实施教学的重要资源。在教学中要创造性地使用教材。本节课教师通过具体的现实情境，充分利用学生的生活经验，让学生体验到数学来源于生活，打破了传统的注入式的教学模式，通过一系列精心设计把它改成学生所经历的情境引入课题，激发了学生的学习兴趣。在教学中引导学生进行“猜想一实验一分析一交流一发现一应用”， 学生在操作、思考、交流中不断地发现问题，解决问题， 特别是教师采取了小组间争创五星组的评价方式，激发了学生的竞争意识，极大地调动了学生的学习的积极性，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生的发现思维的火花，经历了一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，从而培养了学生独立探究和解决问题的能力。在教学过程中，教师还可以利用Microsoft Excel在第三环节根据数据做出对应的图形，开阔学生的视野。此外，若课堂有时间，还可以带领学生用Z+Z智能平台作掷硬币试验，可到网上查找。
2． 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过课堂上小组合作掷硬币试验、并展示试验结果的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组做出猜测之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组合作给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。教师应注意激发学生的内在动机，通过学生的发现给他们带来满意和内在的激励。