对称轴与轴对称
湖南道县一中 （425300） 李荣芝
若某曲线有一条对称轴，则称该曲线为轴对称曲线；若两条曲线关于某直线对称，则这两条曲线互为轴对称曲线。一条曲线的对称轴与两条曲线的轴对称是学生普遍容易混淆的两个概念。本文通过实例阐明上述两个概念的异同，并得出一般规律。
例1 设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x-1)=f(1-x)，那么f(x)的图象有对称轴（ ）
（A）直线x=0 （B）直线x=1
（C）直线y=0 （D）直线y=1
解：令t=x-1，∵x∈R，∴t∈R，且由已知有f(t)=f(-t)，即对一切x∈R，有f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数，从而f(x)的图象关于直线x=0对称，选A。
例2 设函数y=f(x)的定义域为R，那么函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于（ ）对称。
（A）直线x=0 （B）直线x=1
（C）直线y=0 （D）直线y=1
解：令t=x-1，则1-x=-t，故两个已知函数即为y=f(t)与y=f(-t)，它们的图象关于直线t=0对称，即关于直线x-1=0对称，故选B。
一般地，对一切x∈R，若有f(x-m)=f(m-x)（m为常数），则函数y=f(x)图象以y轴为它的一条对称轴；而两函数y=f(x-m)与y=f(m-x)的图象关于直线x=m成轴对称图形。 例3 若对于一切x∈R，f(3-x)=f(x+9)，则有（ ）
（A）f(x)的图象有对称轴x=12
（B）f(x)是周期为12的周期函数
（C）f(x)的图象有对称轴x=6
（D）f(x)是周期为6的周期函数
解：令3-x=6-t，则x=-3+t，x+9=6+t，∵x∈R，∴t∈R，由已知，得f(6-t)=f(6+t)，即对一切x∈R，有f(6-x)=f(6+x)。故f(x)的图象有对称轴直线x=6，选C。
例4 判断函数y=f(3-x)与函数y=f(x+9)（x∈R）的图象关系。
解：令3-x=6-t，则x=-3+t，∴x+9=6+t，∵x∈R，∴t∈R。
故f(3-x)=f(6-t)，且f(x+9)=f(6+t)。
从而函数y=f(3-x) 与函数y=f(x+9)的图象关系等同于函数y=f(6-x)与函数y=f(6+x)的图象关系。
而函数y=f(6-x)与函数y=f(6+x)的图象关于直线x=6成轴对称图形，故函数y=f(3-x)与函数y=f(x+9)的图象关于直线x=6成轴对称图形。
m+nm−nm+n−t，则x=+t，∴n+x=+t，222
m+nm+n∴f(m−x)=f(−t)，f(n+x)=f(+t)，从而若对于一切x∈R，f(m-x)=f(n+x)，22
m+n则函数f(x)的图象有对称轴直线x=，而两函数y=f(m-x)与y=f(n+x)图象关于直线2
m+n成轴对称图形。 x=2
一般地，令m−x=
对称轴与轴对称
湖南道县一中 （425300） 李荣芝
若某曲线有一条对称轴，则称该曲线为轴对称曲线；若两条曲线关于某直线对称，则这两条曲线互为轴对称曲线。一条曲线的对称轴与两条曲线的轴对称是学生普遍容易混淆的两个概念。本文通过实例阐明上述两个概念的异同，并得出一般规律。
例1 设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x-1)=f(1-x)，那么f(x)的图象有对称轴（ ）
（A）直线x=0 （B）直线x=1
（C）直线y=0 （D）直线y=1
解：令t=x-1，∵x∈R，∴t∈R，且由已知有f(t)=f(-t)，即对一切x∈R，有f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数，从而f(x)的图象关于直线x=0对称，选A。
例2 设函数y=f(x)的定义域为R，那么函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于（ ）对称。
（A）直线x=0 （B）直线x=1
（C）直线y=0 （D）直线y=1
解：令t=x-1，则1-x=-t，故两个已知函数即为y=f(t)与y=f(-t)，它们的图象关于直线t=0对称，即关于直线x-1=0对称，故选B。
一般地，对一切x∈R，若有f(x-m)=f(m-x)（m为常数），则函数y=f(x)图象以y轴为它的一条对称轴；而两函数y=f(x-m)与y=f(m-x)的图象关于直线x=m成轴对称图形。 例3 若对于一切x∈R，f(3-x)=f(x+9)，则有（ ）
（A）f(x)的图象有对称轴x=12
（B）f(x)是周期为12的周期函数
（C）f(x)的图象有对称轴x=6
（D）f(x)是周期为6的周期函数
解：令3-x=6-t，则x=-3+t，x+9=6+t，∵x∈R，∴t∈R，由已知，得f(6-t)=f(6+t)，即对一切x∈R，有f(6-x)=f(6+x)。故f(x)的图象有对称轴直线x=6，选C。
例4 判断函数y=f(3-x)与函数y=f(x+9)（x∈R）的图象关系。
解：令3-x=6-t，则x=-3+t，∴x+9=6+t，∵x∈R，∴t∈R。
故f(3-x)=f(6-t)，且f(x+9)=f(6+t)。
从而函数y=f(3-x) 与函数y=f(x+9)的图象关系等同于函数y=f(6-x)与函数y=f(6+x)的图象关系。
而函数y=f(6-x)与函数y=f(6+x)的图象关于直线x=6成轴对称图形，故函数y=f(3-x)与函数y=f(x+9)的图象关于直线x=6成轴对称图形。
m+nm−nm+n−t，则x=+t，∴n+x=+t，222
m+nm+n∴f(m−x)=f(−t)，f(n+x)=f(+t)，从而若对于一切x∈R，f(m-x)=f(n+x)，22
m+n则函数f(x)的图象有对称轴直线x=，而两函数y=f(m-x)与y=f(n+x)图象关于直线2
m+n成轴对称图形。 x=2
一般地，令m−x=