盈亏问题 第 二 讲
一、兴趣导入(Topic-in): 趣味分享
麒麟飞到北极变什么啊？答案：冰激凌
世界上什么鸡跑的快？答案：肯德鸡块
一片大草地（植物）答案：梅花（没花）
又一片大草地（植物）答案：野梅花
来了一群羊（水果）答案：草莓
来了一群狼（水果）答案：杨梅
来了一群狮子（体坛名将）答案：郎平
什么动物最没有方向感？答案：麋鹿（迷路）
二、学前测试(Testing):
问答题（口答）
1、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11-10=1（条），由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8⨯10+8=88（条）鱼．
三、知识讲解(Teaching)：
基础知识及例题解析
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数
(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数
(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
【例 1】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；
苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.
又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【例 2】 阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每
车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
【解析】 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70(人)，恰好多余了一辆车，也就是还差一
辆汽车的人，即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；
（5+5+65）÷5=15(辆)，如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数是
（5+65）（⨯15-1）=980(人)． 人数是65⨯15+5=980(人)或
【例 3】 学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3
个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如
5(人)，由此可见，每一个房间增加5-3 =2(人)．两次安排人果住满人应该是5⨯3=1
38(人)，因此，房间总数是：38÷2＝19(间)，学生总数是：数总共相差23+15=
3⨯19+23 =80(人)，或者5⨯19-5⨯3= 80(人)．
【例 4】 国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没
人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少
少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各
摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都
（6-4）⨯2 =4(盆)．因此，原问题就转化为：如果每人各摆6盆，那么，就可以多摆
摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆多少花盆？
（6-4） 2]⨯÷（6-5）= 7(人)， 人数： [3+
38(盆)或6⨯7-4 =38(盆)． 盆数：5⨯7+3=
【例 5】 四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千
克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那
么，辅导员老师带了 元钱．
【解析】 这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13⨯2=26元，所
以这笔钱买13千克奶糖会多出26-4=22元．而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为：(22-2)÷(15-13)=10（元）．辅导老师共带了10⨯15+2=152元．
四、强化练习(Training)：
1、学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽
毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下
15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.
2、用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.
【解析】 井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者 （22-4）×3=18×3=54（米）
五、训练辅导(Tutor):
1、六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？
如果3条船没有坏，每船坐8人，那么多余了8⨯3-6=18个座位。根据盈亏问题公式，有船(18+22)÷(8-6)=20条，学生人数为20⨯6+22=142人。
2、乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱？
【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比
（5-2）=28（个）一个2分币多3分，所以5分币有： 84÷；2分币有：28+22=50（个）．
所以乐乐共存钱：5⨯28+2⨯50+1⨯36=140+100+36=276（分）
六、反思总结(Thinking)：
堂堂清落地训练——坚持堂堂清，学习很爽心
（总分100分）
1、智康学校五年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分
4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.
2、幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？
【解析】 第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21
人”两者相差7+21=28(人)，每条长椅要多坐7-3=4(人)，因此就知道，共有28÷4=7(条)长椅，人数是7⨯3+7=28(人)．
3、学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出22人，每个房间多住5人，意味着就是每个房间住8个人,
则空出1个房间，这1个房间如果住满人应该是1⨯8=8(人)，由此可见，每一个房间增加8-3=5(人)．两次安排人数总共相差22+8=30(人)，因此，房间总数是：30÷5=6(间)，学生总数是：3⨯6+22=40(人)
4、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6
＝24（元），这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12×10＋4＝124（元）
5、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
【解析】 这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其
余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。 盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。
盈亏问题 第 二 讲
一、兴趣导入(Topic-in): 趣味分享
麒麟飞到北极变什么啊？答案：冰激凌
世界上什么鸡跑的快？答案：肯德鸡块
一片大草地（植物）答案：梅花（没花）
又一片大草地（植物）答案：野梅花
来了一群羊（水果）答案：草莓
来了一群狼（水果）答案：杨梅
来了一群狮子（体坛名将）答案：郎平
什么动物最没有方向感？答案：麋鹿（迷路）
二、学前测试(Testing):
问答题（口答）
1、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11-10=1（条），由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8⨯10+8=88（条）鱼．
三、知识讲解(Teaching)：
基础知识及例题解析
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数
(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数
(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
【例 1】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；
苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.
又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【例 2】 阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每
车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
【解析】 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70(人)，恰好多余了一辆车，也就是还差一
辆汽车的人，即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；
（5+5+65）÷5=15(辆)，如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数是
（5+65）（⨯15-1）=980(人)． 人数是65⨯15+5=980(人)或
【例 3】 学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3
个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如
5(人)，由此可见，每一个房间增加5-3 =2(人)．两次安排人果住满人应该是5⨯3=1
38(人)，因此，房间总数是：38÷2＝19(间)，学生总数是：数总共相差23+15=
3⨯19+23 =80(人)，或者5⨯19-5⨯3= 80(人)．
【例 4】 国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没
人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少
少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各
摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都
（6-4）⨯2 =4(盆)．因此，原问题就转化为：如果每人各摆6盆，那么，就可以多摆
摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆多少花盆？
（6-4） 2]⨯÷（6-5）= 7(人)， 人数： [3+
38(盆)或6⨯7-4 =38(盆)． 盆数：5⨯7+3=
【例 5】 四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千
克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那
么，辅导员老师带了 元钱．
【解析】 这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13⨯2=26元，所
以这笔钱买13千克奶糖会多出26-4=22元．而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为：(22-2)÷(15-13)=10（元）．辅导老师共带了10⨯15+2=152元．
四、强化练习(Training)：
1、学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽
毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下
15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.
2、用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.
【解析】 井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者 （22-4）×3=18×3=54（米）
五、训练辅导(Tutor):
1、六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？
如果3条船没有坏，每船坐8人，那么多余了8⨯3-6=18个座位。根据盈亏问题公式，有船(18+22)÷(8-6)=20条，学生人数为20⨯6+22=142人。
2、乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱？
【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比
（5-2）=28（个）一个2分币多3分，所以5分币有： 84÷；2分币有：28+22=50（个）．
所以乐乐共存钱：5⨯28+2⨯50+1⨯36=140+100+36=276（分）
六、反思总结(Thinking)：
堂堂清落地训练——坚持堂堂清，学习很爽心
（总分100分）
1、智康学校五年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分
4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.
2、幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？
【解析】 第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21
人”两者相差7+21=28(人)，每条长椅要多坐7-3=4(人)，因此就知道，共有28÷4=7(条)长椅，人数是7⨯3+7=28(人)．
3、学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】 每个房间住3人，则多出22人，每个房间多住5人，意味着就是每个房间住8个人,
则空出1个房间，这1个房间如果住满人应该是1⨯8=8(人)，由此可见，每一个房间增加8-3=5(人)．两次安排人数总共相差22+8=30(人)，因此，房间总数是：30÷5=6(间)，学生总数是：3⨯6+22=40(人)
4、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6
＝24（元），这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12×10＋4＝124（元）
5、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
【解析】 这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其
余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。 盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。