第２２卷第３期
辽宁工程技术大学学报
２００３年６月
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文章编号：１００８１０５６２（２００３Ⅺ３＿０３２０＿０３
条件平差与间接平差的相互关系
王旭华，赵德深，关萍
（大连大学土术建筑工程系，辽宁火连１１６６２２）
摘蔓：著什平差和间接平差是测量平差的两大基础．在各种有关测量平差的文献和教程中．这两种方法部是作为种独立的方法被
磐自提出，而两者之闻的关系尚无人论盈。作者曾在文闭中利用泛函分析原理推导了条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系．但对Ｆ条科甲差和间接平差之间整体关系的认识还很不够。，丰＝文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论．发现并论汪ｒ条件平＃。。间接平差整体上的相互关系，并给出丁相应的实例．从根本上解决了这两太平差基础之间的关系问题．
关键词：条件平差；间接平差；系数矩阵：常数向量
中图号：Ｐ２０７．２
文献标识码：Ａ
Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎ
ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔｏｆｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓａｎｄ
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引言
条件平差和间接平差是测量平差的两大基石，出改正数ｙ，从而求得各观测量的平差值。
其它理论，如附有未知数的条件平差和附有条件间间接平差（参数平差或未知数平差）是通过选接平差等都足在此基础上发展起来的。在各种有关定足以确定某个平差问题的ｆ个未知数（未知参数）测蕈平差的文献和教程中，这两种方法都是作为一来消除观测值之间的不符值，并用求自由极值的方种独立的方法被各自提出，而两者之间的关系至今法解出未知参数的最或然值，从而求得各观测量的尚无人论及。因此，研究并解决条件平差和间接平平差值。
差之问的关系，对完善和推动测量平差理论的发展对于同一个平差问题，如果同时运用上述两种具有重大的理论价值。
平差方法来求解，所求得的各观测值改正数、观测条件平差是以ｎ个观测量的平差值作为未知数，量的平差值及未知参数的最或然值应该相同。同时并通过它们之间存在的“ｎ—ｆ）个条件方程来消除观两者的系数矩阵和常数向量也应该存在一定的内测值之间的小符值，同时运用求条件极值的原理解
在联系。请看下面的例子…。
收辘日期：２０【｝２＿ｌＩ－０２
基金项目：天连大学学科建设发展基金项目（ｘＫＦｚ０２１８）
作者简舟：［旭毕（１９６３－）．男．河北玉田人．博士研究生，副教授。本文缩枝：唐巧风
万
方数据
苎！塑
三塑竺兰！查堡±墨量塑垫±茎竺塑兰墨墨
一！坠
在图１所示的水准嘲中，已知水准点Ａ的高程
为凰＝２３７４８３ｍ。为求Ｂ、ｃ、Ｄ三点的高程，在Ａ，
曰、ｃ、Ｄ间进行水准测量．测得高差及水准路线的长度（见表１）。现按条件平差和间接平差两种方法求待定点的高程平差值。
鉴挫
：篮型
眦毫ｌ堕
坚些监塑口ｎ
Ｅ｜
挫薹一，：。，
髓一一。。如。
这里口５，扛３，，＝２，选定．Ｂ、ｃ，Ｄ三点的高
遂警焉
程的最或然值近似值的改正数ｄ翔，Ｊ恐，和ｄ肋作为未知数，按已知条件分别列出条件方程与误差方程。
条件方程：”ｌ＋”２一”３
—２３＝Ｏ
一”３＋”４＋”５＋１４＝Ｏ
上式中，ｖ、ｄｘ、常数项均以ｍｍ单位。误差方程：ｖ１＝
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＋２３
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＋０
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Ｏｌ一１Ｏ
Ｏ
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Ａ・Ｂ—ｏ
２ｘ５
５码２×３
上式表明条件方程与误差方程的系数矩阵之彰｛为零矩阵。这个结论是否有普遍意义昵？
作者曾在文献［２］中利用泛函分析原理推导了条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系，但对于条什平差和间接平差之间整体关系的认识还很不够。本文将从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论，从整体上论述条件平差与间接平差的相互关系，以便从根本上解决这两大平差基础之间的关系问题。
万
方数据１
条件平差与间接平差的关系推证
设某平差问题，有ｎ个带肯相耳独立的ＪＥ态随机误差的观测值Ｌ，其相应的权阵为Ｐ，它蛏对角阵，改正数为ｙ，平差值为Ｌ。当有ｒ个多余观测值时，则平差值Ｌ应满足ｒ个平差值条件方程。其矩阵表达式为
Ａ、，＋Ｗ＝ｏ
（１）
Ｗ鲋Ｌ＋Ａｏ
式中Ａ为条件方程的系数矩阵，Ⅳ为闭合差向量，Ａｏ为条件方程的常数向量。
条件方程式中ｙ的解不是惟一的。但是，庄ｙ的无穷组解中，取ｙ１Ｐｖ＝“ｎ的一组解是惟一的，矿的这样一组解可用拉格郎口乘数法解出。为此，设∥＝（ｋｋ一乜），足称为联系数向量，它的维数与条件方程个数ｒ相等，按拉格郎日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数
ｏ＝铲Ｐｖ一２一（氏ｖ＋ｗ）
将中对ｙ求一阶导数，并令其为零，得
２妒Ｐ一２０Ａ：ｏ
即｝，－Ｐ。Ａ１肖
（２）
将式（２）式代入式（１）即得条件平差的法方程式．从而可求得联系数向量置，并进而得到政谁数ｙ和平差值Ｌ。
现将上述平差问题，按间接平差求解。改需ｆ
个必要观测，用ｘ表示选定的未知数，则得误差方ｙ＝ＢＸ＋ｆ
（３）
式中Ｂ为误差方程的系数矩阵，，为误差疗程的常数向量。
在ｙ１Ｊｐｙ＝ＩＩｌｉｎ的准则下求未知数ｘ的值，按数坚塑：２巾业：咖：ｏ
ａｘ
ａｘ
转置后得
ＢＴＰｙ＝Ｏ
（４）
将式（３）代入式（４）即得间接平差的法方程ｙ和平差值Ｌ。
程的矩阵形式为
学上求函数自由极值的理论，就是要使
式，从而可求得未知数向量ｘ，并进而得到改正数
３２２
辽宁工程技术大学学报
第２２卷
将Ｊ℃（２）代入式（４）得
Ｂ７Ａ。肚（）或（ＡＢ）１’Ｋ＝０或∥（ＡＢ）＝０
ｒ５）
令，ｆ柚＝Ｋ１（ＡＢ）（ＡＢ）１胃
划艾于丘的＿二次齐次函数＾ｎ对非零的Ｋ必有
，（七）＝０
（６）
令Ｆ＝（ＡＢ）１Ⅳ
则，（女）＝八ｙ）＝矿ｒ
若ＡＢ≠Ｏ则ｙ≠０
从而使
，（正）＝，（ｙ）＝ｙ１，，＞０
（７）
式（６）与式（７）矛盾。因此必有
ＡＢ＝Ｏ
（８）
将式（３）代入式（１）得
Ａ（ＢＸ＋，）＋Ｗ＝Ｏ
顾及式（８）Ⅲ０必有
Ａ“Ｗ＝Ｏ
（９）
ｂ｝毕。
２应用举例
同精度测得图２中的六个角度上，，．．，厶ｊ，其观测值列于表１中；已知点Ｂ、Ａ、ｃ的起算数据列于表２中。试以待定点Ｄ的坐标为未知数，求出平差值。
（１
图２三角网
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袭２角度观测值
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５
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４２。１６’３９１”
ｂ
２３。４５‘１６２”
表３起算数据
Ｘｒ
由起算数据和各角度观测值可列出条件方程和误差方程。
万
方数据条件方程
”１十比＋Ｕ
＋５．３”＝０
“＋”５＋”６＋２．４”＝Ｏ
’，２
＋ｖ４＋２．８”＝Ｏ
—Ｏ．３０２８”】一１．０９９９如＋Ｏ．７７６０ｖ５＋
２．２７２２ｖ＾＋０．５”＝０
误差方程
”ｌ＝４．５１９２
ｄ如一６．７３０６６ｙＤ一５．２
”２＝一４．２２１Ｏ占‘Ｄ＋１．０４０２占ｙＤ—Ｏｌ如＝一０．２９８２
Ｊ物＋５．６９０
４ｄｙＤ＋Ｏ．Ｏ
ｕ＝４．２２ｌＯＪ功一１．０４０２占）ｂ一２．７比＝一７．１０５３占勘一１．２４ｌ３占如＋１．８”６＝２．８８４３ｄ如＋２．２８１５ｄ坳～１．５
Ａ＝
ｒ
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０
０．７７６
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２．２７２
２
ｆ
４５１９２
—４＇２２１０一ｎ２９８２４２２１０
—７
１０５３２．８８４３、
ｌ０４０２
５６９０４—１．０４０２一ｌ２４１３
２２８１５
（ＡＢ）’：ｆｏ
ｏｏ－ｏ．０００４］
ＩＯ
０
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Ⅳ１＝（５．３
２．４
２．８
Ｏ．５）
ｆ１＝【－５．２—０．１
０—２．７
１．８一１．５ｌＡ，＋Ⅳ＝《Ｏ
０
Ｏ
Ｏ．１）１
个别项不为零是由于常数项取位少而导致误对十同一个平差问题，如果同时运用条件平差（１）条件方程的系数矩阵与误差方程的系数（２）条件方程的系数矩阵与误差方程的常数１９８８．ｆ２１：２０．２３
ＢＴ＝【一６７３０６
差累积的缘故。
３结论
和间接平差求解，则
矩阵之积为零矩阵；
向量之积与条件方程的常数向量之和为零向量。参考文献：
川於宗蒋删量平差基础ｆＭｆ北京：测绘出版社．１９８３
１２１＋旭华条件方程与误差方州系数矩陴之间的关系Ｉ如日、山剃酞，
条件平差与间接平差的相互关系
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
王旭华， 赵德深， 关萍
大连大学,土木建筑工程系,辽宁,大连,116622
辽宁工程技术大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF LIAONING TECHNICAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2003,22(3)3次
参考文献(2条)
1. 王旭华 条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系 1988(02)2. 於宗俦 测量平差基础 1983
引证文献(3条)
1. 游为. 范东明. 付淑娟 最短独立闭合环与附合路线的快速搜索方法[期刊论文]-测绘科学 2009(4)
2. 石丽梅. 陈宜金. 宫慧. 王宁 导线网间接平差中点的近似坐标算法设计及实现[期刊论文]-测绘工程 2007(6)3. 陈宙 矿井通风阻力测定平差分析及系统优化技术的研究[学位论文]硕士 2007
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_lngcjsdxxb200303011.aspx
第２２卷第３期
辽宁工程技术大学学报
２００３年６月
！塑；！！垒！；！
！！！塑墼垡圣！！型！￡：！璧坠ｉ：型坚：ｉ：譬：ｉ生：：：』坐垒：』！！坠
文章编号：１００８１０５６２（２００３Ⅺ３＿０３２０＿０３
条件平差与间接平差的相互关系
王旭华，赵德深，关萍
（大连大学土术建筑工程系，辽宁火连１１６６２２）
摘蔓：著什平差和间接平差是测量平差的两大基础．在各种有关测量平差的文献和教程中．这两种方法部是作为种独立的方法被
磐自提出，而两者之闻的关系尚无人论盈。作者曾在文闭中利用泛函分析原理推导了条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系．但对Ｆ条科甲差和间接平差之间整体关系的认识还很不够。，丰＝文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论．发现并论汪ｒ条件平＃。。间接平差整体上的相互关系，并给出丁相应的实例．从根本上解决了这两太平差基础之间的关系问题．
关键词：条件平差；间接平差；系数矩阵：常数向量
中图号：Ｐ２０７．２
文献标识码：Ａ
Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎ
ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔｏｆｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓａｎｄ
ａｄｊｕｓｔｌｎｅｎｔｏｆｉｎｄｉＴｅｃｔｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ
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ｃＭ－姗ｄＡ刚【Ｉｉｔｅ‘Ｉ忸喇Ｅｎｇｉｎ钾血ｇ，ＤａＩｉ蛐Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ＇ＤａⅡ蛆１１６６２２，ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒ舵ｔ；Ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔｏｆｃ锄ｄ试∞０ｂｓｅｒｖ鲥伽ｓ孤ｄａｄｊｕｓｔｌｎｅｎｔｏｆｉＩｌｄｉｒｅｃｔ０ｂｓｅｒｖａｄｏｎｓａｒｅｔｗｏｂａｓｉｃｍｅｔｌｌｏｄｓｉｎｓｕｒｖｅｙｉｎｇ．Ｉｎｖ撕ｏｕｓｌ【ｉｎｄｓｏｆｌｉｔｅｒａｔｌｌｒｅｓａｔｌｄｔｃｘｔｂｏｏｋｓｔ１１ｅｔｗｏｍｅｍｏｄｓａｒｅｉｎｍ甜ｕｃｅｄｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ．Ｂｕｔｍｅ
ｒｅｌａｄｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎ山ｅｍｈ够ｎｏｔｂｃ霉ｎｍｅｒｎｉｏⅡｅｄ
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ｐ印ｅｒｓｉｍｐｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｌｌｉｐ
ｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｃｏｅｍｃｉｅｎｔｍ曲哇ｘｅｓＯｆｍｅｔｗｏｍｅ廿ｌｏｄｓｉｎｌｉ懈啡ｕｒｅ
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ａＩｌａｌｙｓｉｓ．Ｗｉ吐ｌｍａ岫ｘ
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引言
条件平差和间接平差是测量平差的两大基石，出改正数ｙ，从而求得各观测量的平差值。
其它理论，如附有未知数的条件平差和附有条件间间接平差（参数平差或未知数平差）是通过选接平差等都足在此基础上发展起来的。在各种有关定足以确定某个平差问题的ｆ个未知数（未知参数）测蕈平差的文献和教程中，这两种方法都是作为一来消除观测值之间的不符值，并用求自由极值的方种独立的方法被各自提出，而两者之间的关系至今法解出未知参数的最或然值，从而求得各观测量的尚无人论及。因此，研究并解决条件平差和间接平平差值。
差之问的关系，对完善和推动测量平差理论的发展对于同一个平差问题，如果同时运用上述两种具有重大的理论价值。
平差方法来求解，所求得的各观测值改正数、观测条件平差是以ｎ个观测量的平差值作为未知数，量的平差值及未知参数的最或然值应该相同。同时并通过它们之间存在的“ｎ—ｆ）个条件方程来消除观两者的系数矩阵和常数向量也应该存在一定的内测值之间的小符值，同时运用求条件极值的原理解
在联系。请看下面的例子…。
收辘日期：２０【｝２＿ｌＩ－０２
基金项目：天连大学学科建设发展基金项目（ｘＫＦｚ０２１８）
作者简舟：［旭毕（１９６３－）．男．河北玉田人．博士研究生，副教授。本文缩枝：唐巧风
万
方数据
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三塑竺兰！查堡±墨量塑垫±茎竺塑兰墨墨
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在图１所示的水准嘲中，已知水准点Ａ的高程
为凰＝２３７４８３ｍ。为求Ｂ、ｃ、Ｄ三点的高程，在Ａ，
曰、ｃ、Ｄ间进行水准测量．测得高差及水准路线的长度（见表１）。现按条件平差和间接平差两种方法求待定点的高程平差值。
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这里口５，扛３，，＝２，选定．Ｂ、ｃ，Ｄ三点的高
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程的最或然值近似值的改正数ｄ翔，Ｊ恐，和ｄ肋作为未知数，按已知条件分别列出条件方程与误差方程。
条件方程：”ｌ＋”２一”３
—２３＝Ｏ
一”３＋”４＋”５＋１４＝Ｏ
上式中，ｖ、ｄｘ、常数项均以ｍｍ单位。误差方程：ｖ１＝
５柏
＋Ｏ也＝一６１Ｉ＋ｄｚ２
＋２３
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占尬一占犯一１４
比＝
占Ｊ１＋０１Ｏ０一ｌ
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１
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１
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Ｏｌ一１Ｏ
Ｏ
ｌ
Ａ・Ｂ—ｏ
２ｘ５
５码２×３
上式表明条件方程与误差方程的系数矩阵之彰｛为零矩阵。这个结论是否有普遍意义昵？
作者曾在文献［２］中利用泛函分析原理推导了条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系，但对于条什平差和间接平差之间整体关系的认识还很不够。本文将从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论，从整体上论述条件平差与间接平差的相互关系，以便从根本上解决这两大平差基础之间的关系问题。
万
方数据１
条件平差与间接平差的关系推证
设某平差问题，有ｎ个带肯相耳独立的ＪＥ态随机误差的观测值Ｌ，其相应的权阵为Ｐ，它蛏对角阵，改正数为ｙ，平差值为Ｌ。当有ｒ个多余观测值时，则平差值Ｌ应满足ｒ个平差值条件方程。其矩阵表达式为
Ａ、，＋Ｗ＝ｏ
（１）
Ｗ鲋Ｌ＋Ａｏ
式中Ａ为条件方程的系数矩阵，Ⅳ为闭合差向量，Ａｏ为条件方程的常数向量。
条件方程式中ｙ的解不是惟一的。但是，庄ｙ的无穷组解中，取ｙ１Ｐｖ＝“ｎ的一组解是惟一的，矿的这样一组解可用拉格郎口乘数法解出。为此，设∥＝（ｋｋ一乜），足称为联系数向量，它的维数与条件方程个数ｒ相等，按拉格郎日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数
ｏ＝铲Ｐｖ一２一（氏ｖ＋ｗ）
将中对ｙ求一阶导数，并令其为零，得
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即｝，－Ｐ。Ａ１肖
（２）
将式（２）式代入式（１）即得条件平差的法方程式．从而可求得联系数向量置，并进而得到政谁数ｙ和平差值Ｌ。
现将上述平差问题，按间接平差求解。改需ｆ
个必要观测，用ｘ表示选定的未知数，则得误差方ｙ＝ＢＸ＋ｆ
（３）
式中Ｂ为误差方程的系数矩阵，，为误差疗程的常数向量。
在ｙ１Ｊｐｙ＝ＩＩｌｉｎ的准则下求未知数ｘ的值，按数坚塑：２巾业：咖：ｏ
ａｘ
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转置后得
ＢＴＰｙ＝Ｏ
（４）
将式（３）代入式（４）即得间接平差的法方程ｙ和平差值Ｌ。
程的矩阵形式为
学上求函数自由极值的理论，就是要使
式，从而可求得未知数向量ｘ，并进而得到改正数
３２２
辽宁工程技术大学学报
第２２卷
将Ｊ℃（２）代入式（４）得
Ｂ７Ａ。肚（）或（ＡＢ）１’Ｋ＝０或∥（ＡＢ）＝０
ｒ５）
令，ｆ柚＝Ｋ１（ＡＢ）（ＡＢ）１胃
划艾于丘的＿二次齐次函数＾ｎ对非零的Ｋ必有
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（６）
令Ｆ＝（ＡＢ）１Ⅳ
则，（女）＝八ｙ）＝矿ｒ
若ＡＢ≠Ｏ则ｙ≠０
从而使
，（正）＝，（ｙ）＝ｙ１，，＞０
（７）
式（６）与式（７）矛盾。因此必有
ＡＢ＝Ｏ
（８）
将式（３）代入式（１）得
Ａ（ＢＸ＋，）＋Ｗ＝Ｏ
顾及式（８）Ⅲ０必有
Ａ“Ｗ＝Ｏ
（９）
ｂ｝毕。
２应用举例
同精度测得图２中的六个角度上，，．．，厶ｊ，其观测值列于表１中；已知点Ｂ、Ａ、ｃ的起算数据列于表２中。试以待定点Ｄ的坐标为未知数，求出平差值。
（１
图２三角网
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袭２角度观测值
Ｔ曲．２ａｎ窖ｕｌａｔｉ蛐ｍｅａｓｕｍｍｅｎｔ
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５
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４２。１６’３９１”
ｂ
２３。４５‘１６２”
表３起算数据
Ｘｒ
由起算数据和各角度观测值可列出条件方程和误差方程。
万
方数据条件方程
”１十比＋Ｕ
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“＋”５＋”６＋２．４”＝Ｏ
’，２
＋ｖ４＋２．８”＝Ｏ
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２．２７２２ｖ＾＋０．５”＝０
误差方程
”ｌ＝４．５１９２
ｄ如一６．７３０６６ｙＤ一５．２
”２＝一４．２２１Ｏ占‘Ｄ＋１．０４０２占ｙＤ—Ｏｌ如＝一０．２９８２
Ｊ物＋５．６９０
４ｄｙＤ＋Ｏ．Ｏ
ｕ＝４．２２ｌＯＪ功一１．０４０２占）ｂ一２．７比＝一７．１０５３占勘一１．２４ｌ３占如＋１．８”６＝２．８８４３ｄ如＋２．２８１５ｄ坳～１．５
Ａ＝
ｒ
ｌｌｊ００００００ｌｌｌＯ
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８
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２
ｆ
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１０５３２．８８４３、
ｌ０４０２
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２２８１５
（ＡＢ）’：ｆｏ
ｏｏ－ｏ．０００４］
ＩＯ
０
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Ⅳ１＝（５．３
２．４
２．８
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ｆ１＝【－５．２—０．１
０—２．７
１．８一１．５ｌＡ，＋Ⅳ＝《Ｏ
０
Ｏ
Ｏ．１）１
个别项不为零是由于常数项取位少而导致误对十同一个平差问题，如果同时运用条件平差（１）条件方程的系数矩阵与误差方程的系数（２）条件方程的系数矩阵与误差方程的常数１９８８．ｆ２１：２０．２３
ＢＴ＝【一６７３０６
差累积的缘故。
３结论
和间接平差求解，则
矩阵之积为零矩阵；
向量之积与条件方程的常数向量之和为零向量。参考文献：
川於宗蒋删量平差基础ｆＭｆ北京：测绘出版社．１９８３
１２１＋旭华条件方程与误差方州系数矩陴之间的关系Ｉ如日、山剃酞，
条件平差与间接平差的相互关系
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
王旭华， 赵德深， 关萍
大连大学,土木建筑工程系,辽宁,大连,116622
辽宁工程技术大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF LIAONING TECHNICAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2003,22(3)3次
参考文献(2条)
1. 王旭华 条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系 1988(02)2. 於宗俦 测量平差基础 1983
引证文献(3条)
1. 游为. 范东明. 付淑娟 最短独立闭合环与附合路线的快速搜索方法[期刊论文]-测绘科学 2009(4)
2. 石丽梅. 陈宜金. 宫慧. 王宁 导线网间接平差中点的近似坐标算法设计及实现[期刊论文]-测绘工程 2007(6)3. 陈宙 矿井通风阻力测定平差分析及系统优化技术的研究[学位论文]硕士 2007
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