齿轮的振动机理
一、齿轮的力学模型分析
如图1所示为齿轮副的力学模型，其中齿轮具有一定的质量，轮齿可看作是弹簧，所以若以一对齿轮作为研究对象，则该齿轮副可以看作一个振动系统，其振动方程为
式中x—沿作用线上齿轮的相对位移；
c —齿轮啮合阻尼；
k（t）—齿轮啮合刚度；
T1，T2—作用于齿轮上的扭矩；
r2—齿轮的节圆半径；
i—齿轮副的传动比；
e（t）—由于轮齿变形和误差及故障而造成的个齿轮在作用线方向上的相对位移；
mr —换算质量。
图1 齿轮副力学模型
mr=m1m2/(m1+m2) （1-2）
若忽略齿面摩擦力的影响，则(T2-iT1)/r2=0，将e（t）分解为两部分：
e(t)=e1+e2(t) （1-3）
e1为齿轮受载后的平均静弹性变形；e2(t) 为由于齿轮误差和故障造成的两
个齿轮间的相对位移，故也可称为故障函数。这样式(1-1)可简化为
（1-4）
由式(1-4)可知，齿轮的振动为自激振动。该公式的左侧代表齿轮副本身的振动特征，右侧为激振函数。由激振函数可以看出，齿轮的振动来源于两部分：一部分为k（t）e1，它与齿轮的误差和故障无关，所以称为常规振动；另一部分
为k（t）e2(t) ,它取决于齿轮的综合刚度和故障函数，这一部分可以较好地解释
齿轮信号中边频的存在以及与故障的关系。
式(1-4)中的齿轮啮合刚度k(t)为周期性的变量，由此可见齿轮的振动主要是由k（t）的这种周期变化引起的。
k(t)的变化可用两点来说明：一是随着啮合点位置的变化，参加啮合的单一轮齿的刚度发生了变化，二是参加啮合的齿数在变化。例如对于重合系数在1-2之间的渐开线直齿轮，在节点附近是单齿啮合，在节线两侧某部位开始至齿顶、齿根区段为双齿啮合（图2）。显然，在双齿啮合时，整个齿轮的载荷由两个齿分担，故此时齿轮的啮合刚度就较大；同理，单齿啮合时啮合刚度较小。
图2 齿面受载变化 图3 啮合刚度变化曲线
从一个轮齿开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，齿轮的啮合刚度就变化一次。由此可计算出齿轮的啮合周期和啮合频率。总的来说，齿轮的啮合刚度变化规律取决于齿轮的重合系数和齿轮的类型。直齿轮的刚度变化较为陡峭，而斜齿轮或人字齿轮刚度变化较为平缓，较接近正弦波（图3）。
若齿轮副主动轮转速为n1、齿数为Z1；从动轮转速为n2、齿数为Z2，则齿轮啮合刚度的变化频率（即啮合频率）为
（1-5）
无论齿轮处于正常或异常状态下，这一振动成分总是存在的。但两种状态下振动水平是有差异的。因此，根据齿轮振动信号啮合频率分量进行故障诊断是可行的。但由于齿轮信号比较复杂，故障对振动信号的影响也是多方面的，特别是由于幅值调制和频率调制的作用，齿轮振动频谱上通常总是存在众多的边频带结构，给利用振动信号进行故障诊断带来一定的困难。
二、幅值调制与频率调制
齿轮振动信号的调制现象中包含有很多故障信息，所以研究信号调制对齿轮故障诊断是非常重要的。从频域上看，信号调制的结果是使齿轮啮合频率周围出现边频带成分。信号调制可分为两种：幅值调制和频率调制。
1．幅值调制
幅值调制是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响而造成的。比较典型的例子是齿轮的偏心使齿轮啮合时一边紧一边松，从而产生载荷波动，使振幅按此规律周期性地变化。齿轮的加工误差（例如节距不匀）及齿轮故障使齿轮在啮合中产生短暂的“加载”和“卸载”效应，也会产生幅值调制。
幅值调制从数学上看，相当于两个信号在时域上相乘；而在频域上，相当于两个信号的卷积，如图4所示。这两个信号一个称为载波，其频率相对来说较高；另一个称为调制波，其频率相对于载波频率来说较低。在齿轮信号中，啮合频率成分通常是载波成分，齿轮轴旋转频率成分通常是调制波成分。
图4 单一频率的幅值调制
若xc(t)=Asin(2πfct+φ)为齿轮啮合振动信号，a(t)=1+Bcos2πfZt为齿轮轴的转频
振动信号，则调幅后的振动信号为
x(t)=A(1+Bcos2πfXt)*sin(2πfct+φ) （1-6）
式中A—为振幅；
B—幅值调制指数；
fz—调制频率，它等于齿轮的旋转频率。
上述调制信号在频域可表示为
|x(f)׀=Aδ(f-fc)+1/2ABδ(f-fc-fZ)+1/2AB(f-fc+fZ) （1-7）
由此可见，调制后的信号中，除原来的啮合频率分量外，增加了一对分量 （fc＋fz）和(fc一fz)它们是以fC为中心，以fz为间距对称分布于两侧，所以称为边频带（图1-7）.
对于实际的齿轮振动信号，载波信号、调制信号都不是单一频率的，一般来说都是周期函数。由式（1-4）可知，一般情况下，k(t)e2(t)可以反映由故障而产生的幅值调制。
设y(t)=k(t)e2(t) （1-8）
则k (t)为载波信号，它包含有齿轮啮合频率及其倍频成分，e2(t )为调幅信号，反映齿轮的误差和故障情况。由于齿轮周而复始地运转，所以齿轮每转一圈，e2(t )就变化一次，e2(t )包含齿轮轴旋转频率及其倍频成分。
在时域上，y(t)=k(t)e2(t) （1-9）
在频域上，Sy(f)=SK(f)*Se(f) （1-10）
式中,,Sy（f）,Sk(f)和Se(f)分别为y(t),k（t）和e2(t )的频谱。由于在时域上载波信号k(t)和调幅信号e2（t）为相乘，在频域上调制的效果相当于它们的幅值
频谱的卷积。即近似于一组频率间隔较大的脉冲函数和一组频率间隔较小的脉冲函数的卷积，从而在频谱上形成若干组围绕啮合频率及其倍频成分两侧的边频族（图5）。
由此可以较好地解释齿轮集中缺陷和分布缺陷产生的边频的区别。图6(a)为齿轮存在局部缺陷时的振动波形及频谱。这时相当于齿轮的振动受到一个短脉冲的调制，脉冲长度等于齿轮的旋转周期。由此形成的边频带数量多且均匀。
图6(b）为齿轮存在分布缺陷的情形。由于分布缺陷所产生的幅值调制较为平缓，由此形成的边频带比较高而且窄。并且，齿轮上的缺陷分布越均匀，频谱上的边频带就越高、越集中。
图5 齿轮频谱上边频带的形成
图6 齿轮缺陷分布对边频带的影响
2．频率调制
齿轮载荷不均匀、齿距不均匀及故障造成的载荷波动，除了对振动幅值产生影响外，同时也必然产生扭矩波动，使齿轮转速产生波动。这种波动表现在振动上即为频率调制（也可以认为是相位调制）。对于齿轮传动，任何导致产生幅值调制的因素也同时会导致频率调制。两种调制总是同时存在的。对于质量较小的齿轮副，频率调制现象尤为突出。
频率调制即使在载波信号和调制信号均为单一频率成分的情况下，也会形成很多边频成分。若载波信号为Asin(2πfct+φ)调制信号为βsin(2πfZt)则频率调制后的信号为
f(t)=Asin［2πfct+βsin(2πfZt)+φ］ （1-11）
式中 A—振幅；
fc—载波振率；
fz—调制频率；
β—调制指数，等于由调制产生的最大相位移；
φ—初相角。
上式可以用贝塞尔（Besser）函数展开，得到调频信号的特性：调频的振动信号包含有无限多个频率分量，并以啮合频率 fc为中心，以调制频率 fz为间隔形成无限多对的调制边带（图7）。
图7 频率调制及其边带
相位调制具有和频率调制相同的效果。事实上，所有的相位调制也可以看作频率调制，反之亦然。
对于齿轮振动信号而言，频率调制的原因主要是由于齿轮啮合刚度函数由于齿轮加工误差和故障的影响而产生了相位变化，这种相位变化会由于齿轮的旋转而具有周期性。因此在齿轮信号频率调制中，载波函数和调制函数均为一般周期函数，均包含基频及其各阶倍频成分。调制结果是在各阶啮合频率两侧形成一系列边频带。边频的间隔为齿轮轴的旋转频率fz，边频族的形状主要取决于调制指数β。
3．齿轮振动信号调制特点
齿轮振动信号的频率调制和幅值调制的共同点在于：①载波频率相等；②边带频率对应相等；③边带对称于载波频率。
在实际的齿轮系统中，调幅效应和调频效应总是同时存在的，所以，频谱上的边频成分为两种调制的叠加。虽然这两种调制中的任何一种单独作用时所产生的边频都是对称于载波频率的，但两者叠加时，由于边频成分具有不同的相位，所以是向量相加。叠加后有的边频幅值增加了，有的反而下降了，这就破坏了原有的对称性。
边频具有不稳定性。幅值调制与频率调制的相对相位关系会受随机因素影响而变化，所以在同样的调制指数下，边频带的形状会有所改变，但其总体水平不变。因此在齿轮故障诊断中，只监测某几个边频得到的信息往往是不全面的，据此做出的诊断结论有时是不可靠的。
三、齿轮振动的其他成分
齿轮振动信号中除了存在啮合频率、边频成分外，还存在有其他振动成分，为了有效地识别齿轮故障，需要对这些成分加以识别和区分。
1．附加脉冲
齿轮信号的调制所产生的信号大体上都是对称于零电平的。但由于附加脉冲的影响，实际上测到的信号不一定对称于零线。附加脉冲是直接叠加在齿轮的常规振动上，而不是以调制的形式出现，在时域上比较容易区分，如图8所示。
在频域上，附加脉冲和调制效应也很容易区分。调制在谱上产生一系列边频成分，这些边频以啮合频率及其谐频为中心，而附加脉冲是齿轮旋转频率的低次谐波。
图8 将齿轮箱振动信号分解出附加脉冲
产生附加脉冲的主要原因有齿轮动平衡不良，对中不良和机械松动等。附加脉冲不一定与齿轮本身缺陷直接有关。附加脉冲的影响一般不会超出低频段，即在啮合频率以下。
齿轮的严重局部故障，如严重剥落、断齿等也会产生附加脉冲。此时在低频段上表现为齿轮旋转频率及其谐频成分的增加。
2．隐含谱线
隐含谱线是功率谱上的一种频率分量，产生的原因是由于加工过程中带来的周期性缺陷。滚齿机工作台的分度蜗轮蜗杆及齿轮的误差。隐含谱线具有如下特点。
(1)隐含谱线一般对应于某个分度蜗轮的整齿数，因此，必然表现为一个特定回转频率的谐波。
(2)隐含谱线是由几何误差产生的，齿轮工作载荷对它影响很小，随着齿轮的跑合和磨损它会逐渐降低。
3．轴承振动
由于测量齿轮振动时测点位置通常都选在轴承座上，测得的信号中必然会包含有轴承振动的成分。正常轴承的振动水平明显低于齿轮振动，一般要小一个数量级，所以在齿轮振动频率范围内，轴承振动的频率成分很不明显。滑动轴承的振动信号往往在低频段，即旋转频率及其低次谐波频率范围内可以找到其特征频率成分。而滚动轴承特征频率范围比齿轮要宽，所以，滚动轴承的诊断不宜在齿轮振动范围内进行，而应在高频段或采用其他方法进行。
当滚动轴承出现严重故障时，在齿轮振动频段内可能会出现较为明显的特征频率成分。这些成分有时单独出现，有时表现为与齿轮振动成分交叉调制，出现和频与差频成分，和频与差频会随其基本成分的改变而改变。
齿轮的振动机理
一、齿轮的力学模型分析
如图1所示为齿轮副的力学模型，其中齿轮具有一定的质量，轮齿可看作是弹簧，所以若以一对齿轮作为研究对象，则该齿轮副可以看作一个振动系统，其振动方程为
式中x—沿作用线上齿轮的相对位移；
c —齿轮啮合阻尼；
k（t）—齿轮啮合刚度；
T1，T2—作用于齿轮上的扭矩；
r2—齿轮的节圆半径；
i—齿轮副的传动比；
e（t）—由于轮齿变形和误差及故障而造成的个齿轮在作用线方向上的相对位移；
mr —换算质量。
图1 齿轮副力学模型
mr=m1m2/(m1+m2) （1-2）
若忽略齿面摩擦力的影响，则(T2-iT1)/r2=0，将e（t）分解为两部分：
e(t)=e1+e2(t) （1-3）
e1为齿轮受载后的平均静弹性变形；e2(t) 为由于齿轮误差和故障造成的两
个齿轮间的相对位移，故也可称为故障函数。这样式(1-1)可简化为
（1-4）
由式(1-4)可知，齿轮的振动为自激振动。该公式的左侧代表齿轮副本身的振动特征，右侧为激振函数。由激振函数可以看出，齿轮的振动来源于两部分：一部分为k（t）e1，它与齿轮的误差和故障无关，所以称为常规振动；另一部分
为k（t）e2(t) ,它取决于齿轮的综合刚度和故障函数，这一部分可以较好地解释
齿轮信号中边频的存在以及与故障的关系。
式(1-4)中的齿轮啮合刚度k(t)为周期性的变量，由此可见齿轮的振动主要是由k（t）的这种周期变化引起的。
k(t)的变化可用两点来说明：一是随着啮合点位置的变化，参加啮合的单一轮齿的刚度发生了变化，二是参加啮合的齿数在变化。例如对于重合系数在1-2之间的渐开线直齿轮，在节点附近是单齿啮合，在节线两侧某部位开始至齿顶、齿根区段为双齿啮合（图2）。显然，在双齿啮合时，整个齿轮的载荷由两个齿分担，故此时齿轮的啮合刚度就较大；同理，单齿啮合时啮合刚度较小。
图2 齿面受载变化 图3 啮合刚度变化曲线
从一个轮齿开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，齿轮的啮合刚度就变化一次。由此可计算出齿轮的啮合周期和啮合频率。总的来说，齿轮的啮合刚度变化规律取决于齿轮的重合系数和齿轮的类型。直齿轮的刚度变化较为陡峭，而斜齿轮或人字齿轮刚度变化较为平缓，较接近正弦波（图3）。
若齿轮副主动轮转速为n1、齿数为Z1；从动轮转速为n2、齿数为Z2，则齿轮啮合刚度的变化频率（即啮合频率）为
（1-5）
无论齿轮处于正常或异常状态下，这一振动成分总是存在的。但两种状态下振动水平是有差异的。因此，根据齿轮振动信号啮合频率分量进行故障诊断是可行的。但由于齿轮信号比较复杂，故障对振动信号的影响也是多方面的，特别是由于幅值调制和频率调制的作用，齿轮振动频谱上通常总是存在众多的边频带结构，给利用振动信号进行故障诊断带来一定的困难。
二、幅值调制与频率调制
齿轮振动信号的调制现象中包含有很多故障信息，所以研究信号调制对齿轮故障诊断是非常重要的。从频域上看，信号调制的结果是使齿轮啮合频率周围出现边频带成分。信号调制可分为两种：幅值调制和频率调制。
1．幅值调制
幅值调制是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响而造成的。比较典型的例子是齿轮的偏心使齿轮啮合时一边紧一边松，从而产生载荷波动，使振幅按此规律周期性地变化。齿轮的加工误差（例如节距不匀）及齿轮故障使齿轮在啮合中产生短暂的“加载”和“卸载”效应，也会产生幅值调制。
幅值调制从数学上看，相当于两个信号在时域上相乘；而在频域上，相当于两个信号的卷积，如图4所示。这两个信号一个称为载波，其频率相对来说较高；另一个称为调制波，其频率相对于载波频率来说较低。在齿轮信号中，啮合频率成分通常是载波成分，齿轮轴旋转频率成分通常是调制波成分。
图4 单一频率的幅值调制
若xc(t)=Asin(2πfct+φ)为齿轮啮合振动信号，a(t)=1+Bcos2πfZt为齿轮轴的转频
振动信号，则调幅后的振动信号为
x(t)=A(1+Bcos2πfXt)*sin(2πfct+φ) （1-6）
式中A—为振幅；
B—幅值调制指数；
fz—调制频率，它等于齿轮的旋转频率。
上述调制信号在频域可表示为
|x(f)׀=Aδ(f-fc)+1/2ABδ(f-fc-fZ)+1/2AB(f-fc+fZ) （1-7）
由此可见，调制后的信号中，除原来的啮合频率分量外，增加了一对分量 （fc＋fz）和(fc一fz)它们是以fC为中心，以fz为间距对称分布于两侧，所以称为边频带（图1-7）.
对于实际的齿轮振动信号，载波信号、调制信号都不是单一频率的，一般来说都是周期函数。由式（1-4）可知，一般情况下，k(t)e2(t)可以反映由故障而产生的幅值调制。
设y(t)=k(t)e2(t) （1-8）
则k (t)为载波信号，它包含有齿轮啮合频率及其倍频成分，e2(t )为调幅信号，反映齿轮的误差和故障情况。由于齿轮周而复始地运转，所以齿轮每转一圈，e2(t )就变化一次，e2(t )包含齿轮轴旋转频率及其倍频成分。
在时域上，y(t)=k(t)e2(t) （1-9）
在频域上，Sy(f)=SK(f)*Se(f) （1-10）
式中,,Sy（f）,Sk(f)和Se(f)分别为y(t),k（t）和e2(t )的频谱。由于在时域上载波信号k(t)和调幅信号e2（t）为相乘，在频域上调制的效果相当于它们的幅值
频谱的卷积。即近似于一组频率间隔较大的脉冲函数和一组频率间隔较小的脉冲函数的卷积，从而在频谱上形成若干组围绕啮合频率及其倍频成分两侧的边频族（图5）。
由此可以较好地解释齿轮集中缺陷和分布缺陷产生的边频的区别。图6(a)为齿轮存在局部缺陷时的振动波形及频谱。这时相当于齿轮的振动受到一个短脉冲的调制，脉冲长度等于齿轮的旋转周期。由此形成的边频带数量多且均匀。
图6(b）为齿轮存在分布缺陷的情形。由于分布缺陷所产生的幅值调制较为平缓，由此形成的边频带比较高而且窄。并且，齿轮上的缺陷分布越均匀，频谱上的边频带就越高、越集中。
图5 齿轮频谱上边频带的形成
图6 齿轮缺陷分布对边频带的影响
2．频率调制
齿轮载荷不均匀、齿距不均匀及故障造成的载荷波动，除了对振动幅值产生影响外，同时也必然产生扭矩波动，使齿轮转速产生波动。这种波动表现在振动上即为频率调制（也可以认为是相位调制）。对于齿轮传动，任何导致产生幅值调制的因素也同时会导致频率调制。两种调制总是同时存在的。对于质量较小的齿轮副，频率调制现象尤为突出。
频率调制即使在载波信号和调制信号均为单一频率成分的情况下，也会形成很多边频成分。若载波信号为Asin(2πfct+φ)调制信号为βsin(2πfZt)则频率调制后的信号为
f(t)=Asin［2πfct+βsin(2πfZt)+φ］ （1-11）
式中 A—振幅；
fc—载波振率；
fz—调制频率；
β—调制指数，等于由调制产生的最大相位移；
φ—初相角。
上式可以用贝塞尔（Besser）函数展开，得到调频信号的特性：调频的振动信号包含有无限多个频率分量，并以啮合频率 fc为中心，以调制频率 fz为间隔形成无限多对的调制边带（图7）。
图7 频率调制及其边带
相位调制具有和频率调制相同的效果。事实上，所有的相位调制也可以看作频率调制，反之亦然。
对于齿轮振动信号而言，频率调制的原因主要是由于齿轮啮合刚度函数由于齿轮加工误差和故障的影响而产生了相位变化，这种相位变化会由于齿轮的旋转而具有周期性。因此在齿轮信号频率调制中，载波函数和调制函数均为一般周期函数，均包含基频及其各阶倍频成分。调制结果是在各阶啮合频率两侧形成一系列边频带。边频的间隔为齿轮轴的旋转频率fz，边频族的形状主要取决于调制指数β。
3．齿轮振动信号调制特点
齿轮振动信号的频率调制和幅值调制的共同点在于：①载波频率相等；②边带频率对应相等；③边带对称于载波频率。
在实际的齿轮系统中，调幅效应和调频效应总是同时存在的，所以，频谱上的边频成分为两种调制的叠加。虽然这两种调制中的任何一种单独作用时所产生的边频都是对称于载波频率的，但两者叠加时，由于边频成分具有不同的相位，所以是向量相加。叠加后有的边频幅值增加了，有的反而下降了，这就破坏了原有的对称性。
边频具有不稳定性。幅值调制与频率调制的相对相位关系会受随机因素影响而变化，所以在同样的调制指数下，边频带的形状会有所改变，但其总体水平不变。因此在齿轮故障诊断中，只监测某几个边频得到的信息往往是不全面的，据此做出的诊断结论有时是不可靠的。
三、齿轮振动的其他成分
齿轮振动信号中除了存在啮合频率、边频成分外，还存在有其他振动成分，为了有效地识别齿轮故障，需要对这些成分加以识别和区分。
1．附加脉冲
齿轮信号的调制所产生的信号大体上都是对称于零电平的。但由于附加脉冲的影响，实际上测到的信号不一定对称于零线。附加脉冲是直接叠加在齿轮的常规振动上，而不是以调制的形式出现，在时域上比较容易区分，如图8所示。
在频域上，附加脉冲和调制效应也很容易区分。调制在谱上产生一系列边频成分，这些边频以啮合频率及其谐频为中心，而附加脉冲是齿轮旋转频率的低次谐波。
图8 将齿轮箱振动信号分解出附加脉冲
产生附加脉冲的主要原因有齿轮动平衡不良，对中不良和机械松动等。附加脉冲不一定与齿轮本身缺陷直接有关。附加脉冲的影响一般不会超出低频段，即在啮合频率以下。
齿轮的严重局部故障，如严重剥落、断齿等也会产生附加脉冲。此时在低频段上表现为齿轮旋转频率及其谐频成分的增加。
2．隐含谱线
隐含谱线是功率谱上的一种频率分量，产生的原因是由于加工过程中带来的周期性缺陷。滚齿机工作台的分度蜗轮蜗杆及齿轮的误差。隐含谱线具有如下特点。
(1)隐含谱线一般对应于某个分度蜗轮的整齿数，因此，必然表现为一个特定回转频率的谐波。
(2)隐含谱线是由几何误差产生的，齿轮工作载荷对它影响很小，随着齿轮的跑合和磨损它会逐渐降低。
3．轴承振动
由于测量齿轮振动时测点位置通常都选在轴承座上，测得的信号中必然会包含有轴承振动的成分。正常轴承的振动水平明显低于齿轮振动，一般要小一个数量级，所以在齿轮振动频率范围内，轴承振动的频率成分很不明显。滑动轴承的振动信号往往在低频段，即旋转频率及其低次谐波频率范围内可以找到其特征频率成分。而滚动轴承特征频率范围比齿轮要宽，所以，滚动轴承的诊断不宜在齿轮振动范围内进行，而应在高频段或采用其他方法进行。
当滚动轴承出现严重故障时，在齿轮振动频段内可能会出现较为明显的特征频率成分。这些成分有时单独出现，有时表现为与齿轮振动成分交叉调制，出现和频与差频成分，和频与差频会随其基本成分的改变而改变。