小结定积分的性质
定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质．（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求．） 一、定积分基本性质
假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有
性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即
⎰[f
a
b
(x ±) g (x ) =d ]⎰x
a
b
f (±x ) ⎰d x ． g x d x
a
b
这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即数）．
性质3 不论a ，b ，c 三点的相互位置如何，恒有 这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 性质4 若在区间[a ，b ]上，f (x ) ≥0，则
⎰
b
a
kf (x ) dx =k ⎰f () x dx （k 为常
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx ．
a
c
c b
⎰
b
a
f (x ) dx ≥0．
推论1 若在区间[a ，b ]上，f (x ) ≤g (x ) ，则 推论2
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx ．
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰f (x ) dx ．
a
b
性质5 （估值定理）设函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的最小值与最大值分别为m 与M ，则
⎰
b
a
mdx ≤⎰f (x ) dx ≤⎰Mdx ．
a
a
b b
证明：因为m ≤f (x ) ≤M ，由推论1得 即m
⎰
b
a
mdx ≤⎰f (x ) dx ≤⎰Mdx ．
a
a
b b
⎰
b
a
dx ≤⎰f (x ) dx ≤M ⎰dx ．
a
a
b b
故m (b -a ) ≤
⎰
b
a
f (x ) dx ≤M (b -a ) ．
利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．
二、定积分性质的应用 例1 比较定积分
x
⎰
-2
e x dx 和⎰xdx 的大小．
-2
0]， 解：令f (x ) =e -x ，x ∈[-2，
则f (x ) >0， 故
⎰
-2
f (x ) dx >0，即⎰(ex -x ) dx >0．
-2
⎰
-2
e dx >⎰xdx ，
-2
x
从而
⎰
-2
e dx
x
-2
例2 估计定积分
⎰
π
12+sin x
32
dx 的值．
解：∵当x ∈[0，π]时，0≤sin x ≤1，
∴0≤sin x ≤1，由此有2≤2+sin x ≤3，≤
ππ≤⎰03
3
232
13
12+sin x
32
1≤， 2
于是由估值定理得
12+sin x
32
dx ≤
π． 2
评注：例1是比较同一区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了．例2中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．
小结定积分的性质
定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质．（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求．） 一、定积分基本性质
假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有
性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即
⎰[f
a
b
(x ±) g (x ) =d ]⎰x
a
b
f (±x ) ⎰d x ． g x d x
a
b
这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即数）．
性质3 不论a ，b ，c 三点的相互位置如何，恒有 这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 性质4 若在区间[a ，b ]上，f (x ) ≥0，则
⎰
b
a
kf (x ) dx =k ⎰f () x dx （k 为常
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx ．
a
c
c b
⎰
b
a
f (x ) dx ≥0．
推论1 若在区间[a ，b ]上，f (x ) ≤g (x ) ，则 推论2
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx ．
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰f (x ) dx ．
a
b
性质5 （估值定理）设函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的最小值与最大值分别为m 与M ，则
⎰
b
a
mdx ≤⎰f (x ) dx ≤⎰Mdx ．
a
a
b b
证明：因为m ≤f (x ) ≤M ，由推论1得 即m
⎰
b
a
mdx ≤⎰f (x ) dx ≤⎰Mdx ．
a
a
b b
⎰
b
a
dx ≤⎰f (x ) dx ≤M ⎰dx ．
a
a
b b
故m (b -a ) ≤
⎰
b
a
f (x ) dx ≤M (b -a ) ．
利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．
二、定积分性质的应用 例1 比较定积分
x
⎰
-2
e x dx 和⎰xdx 的大小．
-2
0]， 解：令f (x ) =e -x ，x ∈[-2，
则f (x ) >0， 故
⎰
-2
f (x ) dx >0，即⎰(ex -x ) dx >0．
-2
⎰
-2
e dx >⎰xdx ，
-2
x
从而
⎰
-2
e dx
x
-2
例2 估计定积分
⎰
π
12+sin x
32
dx 的值．
解：∵当x ∈[0，π]时，0≤sin x ≤1，
∴0≤sin x ≤1，由此有2≤2+sin x ≤3，≤
ππ≤⎰03
3
232
13
12+sin x
32
1≤， 2
于是由估值定理得
12+sin x
32
dx ≤
π． 2
评注：例1是比较同一区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了．例2中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．