绵阳师范学院
本科生毕业论文（设计）
题 目 求函数极值的若干方法 专 业 数学与应用数学 院 部 数学与计算机科学学院 学 号 1008021114 姓 名 肖 华 指 导 教 师 王敏 讲师 答 辩 时 间 二〇一四年五月
论文工作时间： 2013 年 12月 至 2014 年 5月
求函数极值的若干方法
学生：肖华 指导教师：王敏
摘 要：函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.
关键词：函数极值 充分条件 乘数法
Several methods for the extreme of the function
Name: Xiaohua Advisor: Wangming
Abstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our daily life may also have wide applications. A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and solving methods of the extreme of the unary function and binary function , which making the process of the calculation concise, and presents some related examples.
Keywords: the extreme of the function sufficient conditions method of multiplier
目 录
绪论................................................................................................................................ 1 1一元函数极值问题..................................................................................................... 1
1.1 一元函数极值的定义..................................................................................... 1 1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法................................................. 1 1.2.1 二次函数：.................................................................................................. 1
1.2.2 一般函数.............................................................................................. 2 1.2.3 一般函数求极值的步骤...................................................................... 4
2二元函数极值问题..................................................................................................... 4 2.1 二元函数极值的定义............................................................................................. 4
2.2关于求二元函数极值的方法.......................................................................... 4
2.2.1二元函数无条件极值........................................................................... 7 2.2.2拉格朗日乘数法................................................................................... 8 2.2.3其它方法............................................................................................. 10
3.函数极值的应用....................................................................................................... 11
3.1函数极值在不等式证明中的应用................................................................ 11 3. 2函数极值在物理学中的应用....................................................................... 13 3.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用.................................... 14 结束语.......................................................................................................................... 16 致 谢.......................................................................................................................... 17
绪论
“函数极值”是当代数学研究的主要内容之一，在中学和大学当中都占有重要地位。为进一步研究有关函数极值在不同的情况下的求值问题，特别是当函数是一元、二元或者多元函数极值问题的解决。
目前在有关的研究中都有关于函数极值的讨论，并在不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值问题的有关见解，本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。
1一元函数极值问题
1.1 一元函数极值的定义
设函数g(x)在x0的一个邻域内有定义,如果对于这个邻域内的不同于x0的所有的x都有以下不等式成立，即g(x0)g(x)，那么我们就把g(x0)称为g(x)的极大值，x0就是g(x)的极大值点.无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值.极值点有两类，分别为极小值点和极大值点.
1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法 1.2.1 二次函数
在中学数学中我们曾讲了二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象是一条抛物线, 从所学的图象中可以很清楚地分析出：
当a>0时，函数的图象抛物线开口向上, 它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值.
当a
因此, 想要求得二次函数f(x)=ax2+bx+c的极大值或者极小值只需要求得这个该函数的顶点坐标(x,y)即可 ，于是用配方法将f(x)=ax2+bx+c写成如
b⎫4ac-b2⎛
下形式f(x)=a x+⎪+，则该二次函数的顶点坐标是
2a4a⎝⎭
2
2
⎛b4ac-b⎫
⎪. -,
4a⎭⎝2a
4ac-b2
当a>0时, 该坐标值f(x)=就是极小值.
4a4ac-b2
当a
4a
例1 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件。（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？ 答案：(1) （130-100）×80=2400（元） （2）设应将售价定为x元，则销售利润
130-x⎛⎫
y=(x-100) 80+x20⎪
5⎝⎭
=-4x2+1000x-6000=-4(x-125)+2500
当x=125时，y有最大值2500.
所以应将售价定为125元最大销售利润是2500元 1.2.2 一般函数
2
.
定理1：设函数g(x)在点x0处是连续的，在x0的某个邻域内是可求导的. (1)当x∈U-(x0;δ)时，所有的x都满足g'(x)≤0；当x∈U+(x0;δ)时，所有的x 都满足g'(x)≥0，如果上述两个条件都成立时，那么我们得出g(x)在x0处可以取到极小值.
(2)当x∈U+(x0;δ)时，所有的x都满足g'(x)≥0，而当x∈U-(x0;δ)时，所有的x都满足g'(x)≤0，如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出
g(x)在x0处可以取到极大值.
(3)当x∈U(x0;δ)时，g'(x)的符号一直不会改变，即所有的x∈U(x0;δ)都满足g'(x)≥0或所有的x∈U(x0;δ)都满足g'(x)≤0，那么在这种情况下，我们可以得出g(x)在点x0不能取到极值.
定理2：设函数g(x)在点x0处存在二阶的导数，如果g(x)满足g'(x)=0且
g''(x)≠0，那么g(x)可以取到极值.
(1)当g''(x0)>0时，则我们可以在点x0取到极小值，x0就叫做g(x)的极小值点.
(2)当g''(x0)
定理3：设函数g(x)在x0的某个邻域x∈U(x0;δ)内存在着直到n-1阶的导函数，
n
n-1）在点x0处n阶是可以求导的，并且成立g(k)(x0)=0（1，2，„，，g()(x0)≠0，
那么,
(1)当n为偶数的时候，g(x)在点x0处可以取到极值，并且如果g(n)(x0)>0 我们可以在点x0处取到极小值，如果g(n)(x0)
例2：求函数h(x)=ex+e-x+2cosx的极值. 解 对原函数求一阶导得，
h'(x)=ex-e-x-2sinx，
令 h'(x)=0， 得到驻点，
x=0，
如果用定理1，我们无法判别，继续求导,有
h''(x)=ex+e-x-2cosx，h''(x)=0,
这时发现定理2条件也不满足，再进行求导,有
h'''(x)=ex-e-x+2sinx，h'''(x)=0，
继续求导，得，
h(4)(x)=ex-e-x+2cosx,h(
4)
(0)=4≠0.
由定理3，知：h(4)(0)=4≠0，导数第一个不是零的阶数n=4，它是偶数的，
因此这个函数我们是可以取到极值的，而且可以进一步断定是极小值. 1.2.3 一般函数求极值的步骤
对于一元函数y=f(x),求极值的步骤是: (1) f(x)的导数f'(x)
点; (2) 解方程f'(x)=0,求出f(x)在定义域内的所有稳定
(3) 找出f(x)的定义域内的所有导数不存在的点；
(4) 利用极值存在的充分条件考察每一个稳定点和不可导点是否为极值点，
是极大值点还是极小值点. (5) 求出各极值点的极值.
2二元函数极值问题 2.1 二元函数极值的定义
设函数g(x,y)在点P0)内有定义，如果对于任何的0(x0,y0)的某个邻域U(P点P(x,y)∈U(P0)，都有不等式g(P)≥g(P0)（或者g(P)≤g(P0)）成立，那么就称函数g(x,y)在P0点取得极小值（或极大值），点P0叫作g(x,y)的极小（或极大）值点.我们把极小值和极大值都叫做极值.
备注：在这里讨论的函数极值都只是限定于定义域里的内点.
2.2关于求二元函数极值的方法
定理4：如果函数g(x,y)在P0(x0,y0)处存在偏导数，而且函数g(x,y)在
P0(x0,y0)处取得极值，那么有
Px(x0,y0)=0，Py(x0,y0)=0.
我们就把P0(x0,y0)叫做是g(x,y)的稳定点.
定理5：如果二元函数g(x,y)满足在P0)内具有二0(x0,y0)点处的某邻域U(P阶的偏导数且是连续的，而且P那么当Hg(P0(x0,y0)是g(x,y)的稳定点，0)是正定的矩阵的时候，可以判定g(x,y)在P0(x0,y0)处取到极小值；当 Hg(P0)判定是负定的矩阵的时候，g(x,y)在P0(x0,y0)处可取到极大值；当 Hg(P0)是不定
⎛gxx(P0)gxy(P0)⎫
HP=矩阵，g(x,y)在P处不取得极值，其中x,y g(0)0(00) g(P)g(P)⎪⎪.
⎝xy0yy0⎭
'0)，定理6：如果二元函数g(x,y)满足以上定理5的条件，令A=g'xx(P'0)，C=g''0). B=g'xy(Pyy(P
(1)若AC-B2>0，A>0，则g(x,y)在P0(x0,y0)处可取到极小值，若
AC-B2>0，A
(2)若AC-B2
(3)若AC-B2=0，则g(x,y)在P0(x0,y0)处能不能取到极值我们不能判断出来.
例3求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．
分析: 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 解: 先求函数的一、二阶偏导数：
∂z∂2z∂z∂2z∂2z2
=3x-2y，=2y-2x．2=6x, =-2, 2=2． ∂x∂y∂x∂x∂y∂y
⎧3x2-2y=0,∂z∂z
再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组⎨
∂x∂y⎩2y-2x=0.
22
（）求得驻点(0，0)、． 33
(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC>0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点．
22（）(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－40,则 33
224f（）=- 为函数的一个极小值． 3327
例4 （2004数学一）设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.
分析: 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。
解: 因为 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0， 所以
2x-6y-2y
∂z∂z-2z=0， ∂x∂x
-6x+20y-2z-2y
∂z∂z
-2z=0. ∂y∂y
⎧∂z
=0,⎪⎪∂x
令 ⎨ 得
∂z⎪=0⎪⎩∂y
x-3y=0,⎧
⎨
⎩-3x+10y-z=0,
故
⎧x=3y,
⎨z=y.⎩
将上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0， 可得
⎧x=9,
⎪
⎨y=3, 或 ⎪z=3⎩
⎧x=-9,⎪
⎨y=-3, ⎪z=-3.⎩
∂2z∂z2∂2z
由于 2-2y2-2()-2z2=0，
∂x∂x∂x
∂z∂2z∂z∂z∂2z-6-2-2y-2⋅-2z=0,
∂x∂x∂y∂y∂x∂x∂y
∂z∂z∂2z∂z2∂2z
20-2-2-2y2-2()-2z2=0，
∂y∂y∂y∂y∂y
∂2z
所以 A=2
∂x
1∂2z=，B=(9,3,3)6∂x∂y
1∂2z
=-，C=2
(9,3,3)2∂y
(9,3,3)
=
5
， 3
故AC-B2=
11
>0，又A=>0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点， 366
极小值为z(9,3)=3.
类似地，由
∂2zA=2∂x1∂2z=-，B=(-9,-3,-3)6∂x∂y1∂2z=，C=2(-9,-3,-3)2∂y5=-， (-9,-3,-3)3
可知AC-B2=11>0，又A=-
极值为z(-9, -3)= -3.
2.2.1二元函数无条件极值
求出偏导fx'(x,y)及fy'(x,y),找出偏导数不存在的点；解方程
fx'(x,y)=0fy'(x,y)=0
找出所有稳定点.
2(1) 利用二阶偏导的判别式∆=B-AC判定是否为极值点，是极大值
还是极小值点；
(2) 对求出的极值点确定极值.
二元函数条件极值（函数z=f(x,y)+λF(x,y)）
(3) 构造拉格郎日函数
G(x,y,λ)=f(x,y)+λF(x,y)
(4) 解联立方程
'=0⎧Gx⎪(x0,y0)⎨G'y=0,求出稳定点
⎪' ⎩Gλ=0
(5) 针对f(x,y)判断（x0,y0）是否为极值点，是极大值点还是极小值点；或根据0
实际问题或几何意义直接判断.
(6) 求出极值f(x0,y0).
f(x)=xarctan1的凸性.x 例5 讨论函数
思路：证明函数在定义域的二阶导数同号.
解 函数
f'(x)=arctanf(x)=xarctan1x-x1+x2 1的定义域是(-∞,0)⋃(0,+∞)x
f''(x)=-112-=-
说明f(x)在
(-∞,0)⋃(0,+∞)是严格上凸的.
2.2.2拉格朗日乘数法
拉格朗日数乘法：设f(x,y),ϕ(x,y)在点(x0,y0)某领域内有连续偏导数，引入辅助函数
F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)
解联立方程组
⎧∂F⎪∂x=f'x(x,y)+λϕ'x(x,y)=0
⎪⎪∂F=f'y(x,y)+λϕy'(x,y)=0 ⎨⎪∂y
⎪ϕ(x,y)=0⎪⎩
得(x0,y0)可能是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值点
例6经过点(1,1,1)的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．
分析: 条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。
解: 设所求平面方程为
xyz ++=1,abc(a>0,b>0,c>0)．
因为平面过点(1,1,1)，所以该点坐标满足此平面方程，即有
111++=1． (1) abc
1abc． (2) 6设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则 V=
原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数
L(a,b,c)=1111abc+λ(++-1)． 6abc
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
λ⎧1bc-=0,2⎪6a⎪λ⎪1ac-=0, ⎨2b⎪6
⎪1ab-λ=0.⎪c2⎩6
由此方程组和（9）解得a = b = c = 3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面
x + y + z = 3．
与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为
Vmin=139⨯3=. 62
例7（2007数学一）求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域D上的最大值和最小值，其中：D={(x,y)x2+y2≤4,y≥0} 。
分析: 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
解: 因为 fx'(x,y)=2x-2xy2，fy'(x,y)=4y-2x2y，解方程：
2⎧⎪fx'=2x-2xy=0, ⎨
得开区域内的可能极值点为(. 2'f=4y-2xy=0⎪⎩y
其对应函数值为f(=2.
又当y=0 时，f(x,y)=x2在-2≤x≤2上的最大值为4，最小值为0.
当x2+y2=4,y>0,-2
F(x,y,λ)=x2+2y2-x2y2+λ(x2+y2-4)
⎧Fx'=2x-2xy2+2λx=0,⎪解方程组 ⎨Fy'=4y-2x2y+2λy=0,
⎪F'=x2+y2-4=0,λ⎩
得可能极值点：
(0,2),(，
其对应函数值为f(0,2)=8,f(7=. 4
7比较函数值2,0,4,8,，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0. 4
2.2.3其它方法
首先，把条件极值化为无条件极值，然后，再依据一元函数求出极值的方法加以分析判定.
例8：求函数g(x,y,z)=xyz在x+y=1与x-y+z2=1下的极值.
2-z2z2
解 由已知的两个条件可得x=，y=，把其代人目标函数22
g(x,y,z)=xyz中可以消去x和y，可得
z5z3
g(z)=-+， 42
两边同时求导有，
4g'(z)=-5z4+6z2，
从而得到稳定点,
z1=
0，z2=
，z3= 由于g''(0)=0，而g'''(0)=12≠0，即n=3为奇数，因此根据定理3可以得出，g(x,y,z)=xyz在z1=0处不能取到极值.
因为
4g''=-0， 所以，g(z
)在z2=
, g=又因为
⎛4g'' =+>0, ⎝所以，g(z
)在z3=
, ⎛g = ⎝总结：由例10可知，在一些题目中,如果可以把求多元函数极值的问题通过
分析综合转化为我们比较熟悉的一元函数的问题，就可能会使我们所要求的问题变得简单容易很多，但在实际中,有些条件极值是不易转化成没有条件的极值来解决的，这时我们可以使用拉格朗日乘数法这个通用的办法.
3.函数极值的应用
3.1函数极值在不等式证明中的应用
不等式证明具有很强的技巧性，是对知识的综合性灵活运用。我们已经接触了很多证明不等式的方法，本节给出应用函数极值的求法来解决不等式证明，即在不等式证明中，适当变换目标函数和相应的限制条件，把问题转化为求函数极值的问题.
x+ynxn+yn
),其中n≥1,x≥0,y≥0。 例9：证明不等式≥(22
xn+yn
证明：设函数f(x,y)= ,在求条件x+y=c下的最小值。 2
根据拉格朗日乘数法，做辅助函数
xn+yn
L(x,y,λ)=+λ(x+y-c)， 2
则
∂Lnn-1=x+λ=0, ∂x2
即
λ=-nn-1x ① 2
∂Lnn-1=y+λ=0, ∂y2
即
λ=-nn-1y ② 2
∂L=x+y-c=0 ③ ∂λ
由①和②解得x=y，将x=y代入③解得：
x=y=c 2
xn+yn
所以函数f(x,y)= 存在最小值,而无最大值。 2
所以函数在(cc,)处取得最小值. 22
x+ynxn+yn1cncncn
)， 故≥[()+()]=(n)=(222222
当n=1时等式成立.
关于不等式的证明，高中时候就有学过一种很清晰的思路，即要证明一个式子大于等于0或小于等于0，只需证明这个式子的最小值大于等于0或最大值小于等于0。
例10：证明不等式：ey+xlnx-x-xy≥0,(x≥1,y≥0)。
证明：令f(x,y)=ey+xlnx-x-xy，则只需证明函数f(x,y)在区域D={(x,y)|x≥1,y≥上存在最小值且大于等于00。
对于x≥1，令fy(x,y)=ey-x=0，得
y=lnx，
且当0≤y
fy(x,y)
当y>lnx时，
fy(x,y)>0
易知 y=lnx为最小值点，
即在曲线y=lnx上f(x,y)取得最小值.
最小值f(x,lnx)=elnx+xlnx-x-xlnx=0。
故在D上f(x,y)≥0，即
ey+xlnx-x-xy≥0。
3. 2函数极值在物理学中的应用
函数极值为其它学科问题的求解带来了方便，其在物理学中就有着非常广泛的应用，比如可以利用函数极值来证明光的折射定律。
例11：设定点A和B位于以平面分开的不同光介质中，从A点射出的光线折射后到达B点，已知光在两介质中的传播速度分别为v1，v2，求需时最短的传
播方式。
解：设A到平面的距离为a，B到平面的距离为b(见图2)，
CD=d，光线从A点射到M点所需时间为
a v1cosα
光线从M点射到B点所需时间为
b v2cosβ
且CM+MD=d，即
atanα+btanβ=d 问题转化为函数f(α,β)=ab +v1cosαv2cosβ
在条件tanα+btanβ=d下的最小值.
作拉格朗日函数
L(α,β,λ)=ab++λ1(atanα+btanβ-d)； v1cosαv2cosβ
asinαa⎧'L=+λ=012⎪αvcos2αcosα1⎪bsinβb⎪'=令 ⎨Lβ+λ=0， 122v2cosβcosβ⎪⎪Lλ'=atanα+btanβ-d=0⎪1
⎩
由此解得-λ1=
sinαsinβ=，
v1v2
即光线的入射角与折射角应满足：
sinαv1=（光的折射定律）时光线传播时间最短. sinβv2
3.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用
在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量。但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的。厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润。
例：假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1和P2分别表示该产品在两个市场的1=18-2Q1,P2=12-Q2,其中P
价格(单位：万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1+Q2。
（1）如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。
解：(1)总利润函数
22L=R-C=PQ1+10Q2-5 1Q1+P2Q2-(2Q+5)=-2Q1-Q2+16
'1=-4Q1+16=0,LQ'2=-2Q2+10=0； 令LQ
分别得唯一驻点
Q1=4(吨),Q2=5(吨)，
对应的价格分别为P1=10(万元/吨),P2=7(万元/吨).
又实际问题一定存在最大值，故最大值必在唯一驻点处取得，即最大利润为
L=-2⨯42-52+16⨯4+10⨯5-5=52(万元)。
(2)如果实行价格无差别策略，即P1=P2,则有约束条件2Q1-Q2=6.
作拉格朗日函数
2F(Q1,Q2,λ)=-2Q12-Q2+16Q1+10Q2-5+λ(2Q1-Q2-6)
'1=-4Q1+16+2λ=0⎧FQ⎪'2=-2Q2+10-λ=0 令 ⎨FQ⎪'⎩Fλ=2Q1-Q2-6=0
解得唯一驻点
Q1=5(吨)，Q2=4(吨)，
对应的统一价格P1=P2=8(万元/吨).
又实际问题一定存在最大值，故最大值必在唯一驻点处达到，即最大利润为
L=-2⨯52-42+16⨯5+10⨯4-5=49(万元)
由上述可知，企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润.
结束语
在我们的生活中处处可遇到求极值的例子，但是关于求函数极值的问题我们并没有什么套用的模式或者不变的方法，因此，我们要解决处理这一类问题，就要学会分析综合，归纳总结，结合题目特点，灵活运用所学知识，牢记公式、定理以及一些重要结论，融会贯通，只有这样我们才能达到学习的效果. 函数极值不仅在经济生产和现实生活中有着广泛的应用，还在物理学，化学，生物工程等学科有重要的作用。因此函数极值问题的研究具有重大的现实意义。通过上述函数极值的求法与应用，旨在能为今后的学习和实际工作带来一定的方便。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2001年.
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[15] 赵静,但琦.数学建模与数学实验(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2008.
致 谢
2010年,我很荣幸进入绵阳师范学院学习.今天,论文的完成,也标志着我即将毕业,四年的学习生涯,使我获得了很多宝贵的知识与能力,感谢绵阳师范学院对我的培养,我将继续保持这样的学习作风,在今后的工作岗位上兢兢业业地奋斗,以此报答培育我的母校和老师.
本文是在王敏老师的悉心指导和亲切关怀下完成的.长期以来,王老师严谨的治学态度,兢兢业业的工作精神和平易近人的作风,令我受益终身,在此表示由衷的感谢.在设计和论文完成期间,也得到了学院各位领导和老师的大力支持和鼓励,帮助我能够很好的完成此次论文,同时也得到我们组的组员的帮助,在此我致以深深的感谢.
肖华
2014年3月
绵阳师范学院
本科生毕业论文（设计）
题 目 求函数极值的若干方法 专 业 数学与应用数学 院 部 数学与计算机科学学院 学 号 1008021114 姓 名 肖 华 指 导 教 师 王敏 讲师 答 辩 时 间 二〇一四年五月
论文工作时间： 2013 年 12月 至 2014 年 5月
求函数极值的若干方法
学生：肖华 指导教师：王敏
摘 要：函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.
关键词：函数极值 充分条件 乘数法
Several methods for the extreme of the function
Name: Xiaohua Advisor: Wangming
Abstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our daily life may also have wide applications. A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and solving methods of the extreme of the unary function and binary function , which making the process of the calculation concise, and presents some related examples.
Keywords: the extreme of the function sufficient conditions method of multiplier
目 录
绪论................................................................................................................................ 1 1一元函数极值问题..................................................................................................... 1
1.1 一元函数极值的定义..................................................................................... 1 1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法................................................. 1 1.2.1 二次函数：.................................................................................................. 1
1.2.2 一般函数.............................................................................................. 2 1.2.3 一般函数求极值的步骤...................................................................... 4
2二元函数极值问题..................................................................................................... 4 2.1 二元函数极值的定义............................................................................................. 4
2.2关于求二元函数极值的方法.......................................................................... 4
2.2.1二元函数无条件极值........................................................................... 7 2.2.2拉格朗日乘数法................................................................................... 8 2.2.3其它方法............................................................................................. 10
3.函数极值的应用....................................................................................................... 11
3.1函数极值在不等式证明中的应用................................................................ 11 3. 2函数极值在物理学中的应用....................................................................... 13 3.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用.................................... 14 结束语.......................................................................................................................... 16 致 谢.......................................................................................................................... 17
绪论
“函数极值”是当代数学研究的主要内容之一，在中学和大学当中都占有重要地位。为进一步研究有关函数极值在不同的情况下的求值问题，特别是当函数是一元、二元或者多元函数极值问题的解决。
目前在有关的研究中都有关于函数极值的讨论，并在不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值问题的有关见解，本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。
1一元函数极值问题
1.1 一元函数极值的定义
设函数g(x)在x0的一个邻域内有定义,如果对于这个邻域内的不同于x0的所有的x都有以下不等式成立，即g(x0)g(x)，那么我们就把g(x0)称为g(x)的极大值，x0就是g(x)的极大值点.无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值.极值点有两类，分别为极小值点和极大值点.
1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法 1.2.1 二次函数
在中学数学中我们曾讲了二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象是一条抛物线, 从所学的图象中可以很清楚地分析出：
当a>0时，函数的图象抛物线开口向上, 它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值.
当a
因此, 想要求得二次函数f(x)=ax2+bx+c的极大值或者极小值只需要求得这个该函数的顶点坐标(x,y)即可 ，于是用配方法将f(x)=ax2+bx+c写成如
b⎫4ac-b2⎛
下形式f(x)=a x+⎪+，则该二次函数的顶点坐标是
2a4a⎝⎭
2
2
⎛b4ac-b⎫
⎪. -,
4a⎭⎝2a
4ac-b2
当a>0时, 该坐标值f(x)=就是极小值.
4a4ac-b2
当a
4a
例1 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件。（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？ 答案：(1) （130-100）×80=2400（元） （2）设应将售价定为x元，则销售利润
130-x⎛⎫
y=(x-100) 80+x20⎪
5⎝⎭
=-4x2+1000x-6000=-4(x-125)+2500
当x=125时，y有最大值2500.
所以应将售价定为125元最大销售利润是2500元 1.2.2 一般函数
2
.
定理1：设函数g(x)在点x0处是连续的，在x0的某个邻域内是可求导的. (1)当x∈U-(x0;δ)时，所有的x都满足g'(x)≤0；当x∈U+(x0;δ)时，所有的x 都满足g'(x)≥0，如果上述两个条件都成立时，那么我们得出g(x)在x0处可以取到极小值.
(2)当x∈U+(x0;δ)时，所有的x都满足g'(x)≥0，而当x∈U-(x0;δ)时，所有的x都满足g'(x)≤0，如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出
g(x)在x0处可以取到极大值.
(3)当x∈U(x0;δ)时，g'(x)的符号一直不会改变，即所有的x∈U(x0;δ)都满足g'(x)≥0或所有的x∈U(x0;δ)都满足g'(x)≤0，那么在这种情况下，我们可以得出g(x)在点x0不能取到极值.
定理2：设函数g(x)在点x0处存在二阶的导数，如果g(x)满足g'(x)=0且
g''(x)≠0，那么g(x)可以取到极值.
(1)当g''(x0)>0时，则我们可以在点x0取到极小值，x0就叫做g(x)的极小值点.
(2)当g''(x0)
定理3：设函数g(x)在x0的某个邻域x∈U(x0;δ)内存在着直到n-1阶的导函数，
n
n-1）在点x0处n阶是可以求导的，并且成立g(k)(x0)=0（1，2，„，，g()(x0)≠0，
那么,
(1)当n为偶数的时候，g(x)在点x0处可以取到极值，并且如果g(n)(x0)>0 我们可以在点x0处取到极小值，如果g(n)(x0)
例2：求函数h(x)=ex+e-x+2cosx的极值. 解 对原函数求一阶导得，
h'(x)=ex-e-x-2sinx，
令 h'(x)=0， 得到驻点，
x=0，
如果用定理1，我们无法判别，继续求导,有
h''(x)=ex+e-x-2cosx，h''(x)=0,
这时发现定理2条件也不满足，再进行求导,有
h'''(x)=ex-e-x+2sinx，h'''(x)=0，
继续求导，得，
h(4)(x)=ex-e-x+2cosx,h(
4)
(0)=4≠0.
由定理3，知：h(4)(0)=4≠0，导数第一个不是零的阶数n=4，它是偶数的，
因此这个函数我们是可以取到极值的，而且可以进一步断定是极小值. 1.2.3 一般函数求极值的步骤
对于一元函数y=f(x),求极值的步骤是: (1) f(x)的导数f'(x)
点; (2) 解方程f'(x)=0,求出f(x)在定义域内的所有稳定
(3) 找出f(x)的定义域内的所有导数不存在的点；
(4) 利用极值存在的充分条件考察每一个稳定点和不可导点是否为极值点，
是极大值点还是极小值点. (5) 求出各极值点的极值.
2二元函数极值问题 2.1 二元函数极值的定义
设函数g(x,y)在点P0)内有定义，如果对于任何的0(x0,y0)的某个邻域U(P点P(x,y)∈U(P0)，都有不等式g(P)≥g(P0)（或者g(P)≤g(P0)）成立，那么就称函数g(x,y)在P0点取得极小值（或极大值），点P0叫作g(x,y)的极小（或极大）值点.我们把极小值和极大值都叫做极值.
备注：在这里讨论的函数极值都只是限定于定义域里的内点.
2.2关于求二元函数极值的方法
定理4：如果函数g(x,y)在P0(x0,y0)处存在偏导数，而且函数g(x,y)在
P0(x0,y0)处取得极值，那么有
Px(x0,y0)=0，Py(x0,y0)=0.
我们就把P0(x0,y0)叫做是g(x,y)的稳定点.
定理5：如果二元函数g(x,y)满足在P0)内具有二0(x0,y0)点处的某邻域U(P阶的偏导数且是连续的，而且P那么当Hg(P0(x0,y0)是g(x,y)的稳定点，0)是正定的矩阵的时候，可以判定g(x,y)在P0(x0,y0)处取到极小值；当 Hg(P0)判定是负定的矩阵的时候，g(x,y)在P0(x0,y0)处可取到极大值；当 Hg(P0)是不定
⎛gxx(P0)gxy(P0)⎫
HP=矩阵，g(x,y)在P处不取得极值，其中x,y g(0)0(00) g(P)g(P)⎪⎪.
⎝xy0yy0⎭
'0)，定理6：如果二元函数g(x,y)满足以上定理5的条件，令A=g'xx(P'0)，C=g''0). B=g'xy(Pyy(P
(1)若AC-B2>0，A>0，则g(x,y)在P0(x0,y0)处可取到极小值，若
AC-B2>0，A
(2)若AC-B2
(3)若AC-B2=0，则g(x,y)在P0(x0,y0)处能不能取到极值我们不能判断出来.
例3求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．
分析: 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 解: 先求函数的一、二阶偏导数：
∂z∂2z∂z∂2z∂2z2
=3x-2y，=2y-2x．2=6x, =-2, 2=2． ∂x∂y∂x∂x∂y∂y
⎧3x2-2y=0,∂z∂z
再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组⎨
∂x∂y⎩2y-2x=0.
22
（）求得驻点(0，0)、． 33
(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC>0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点．
22（）(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－40,则 33
224f（）=- 为函数的一个极小值． 3327
例4 （2004数学一）设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.
分析: 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。
解: 因为 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0， 所以
2x-6y-2y
∂z∂z-2z=0， ∂x∂x
-6x+20y-2z-2y
∂z∂z
-2z=0. ∂y∂y
⎧∂z
=0,⎪⎪∂x
令 ⎨ 得
∂z⎪=0⎪⎩∂y
x-3y=0,⎧
⎨
⎩-3x+10y-z=0,
故
⎧x=3y,
⎨z=y.⎩
将上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0， 可得
⎧x=9,
⎪
⎨y=3, 或 ⎪z=3⎩
⎧x=-9,⎪
⎨y=-3, ⎪z=-3.⎩
∂2z∂z2∂2z
由于 2-2y2-2()-2z2=0，
∂x∂x∂x
∂z∂2z∂z∂z∂2z-6-2-2y-2⋅-2z=0,
∂x∂x∂y∂y∂x∂x∂y
∂z∂z∂2z∂z2∂2z
20-2-2-2y2-2()-2z2=0，
∂y∂y∂y∂y∂y
∂2z
所以 A=2
∂x
1∂2z=，B=(9,3,3)6∂x∂y
1∂2z
=-，C=2
(9,3,3)2∂y
(9,3,3)
=
5
， 3
故AC-B2=
11
>0，又A=>0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点， 366
极小值为z(9,3)=3.
类似地，由
∂2zA=2∂x1∂2z=-，B=(-9,-3,-3)6∂x∂y1∂2z=，C=2(-9,-3,-3)2∂y5=-， (-9,-3,-3)3
可知AC-B2=11>0，又A=-
极值为z(-9, -3)= -3.
2.2.1二元函数无条件极值
求出偏导fx'(x,y)及fy'(x,y),找出偏导数不存在的点；解方程
fx'(x,y)=0fy'(x,y)=0
找出所有稳定点.
2(1) 利用二阶偏导的判别式∆=B-AC判定是否为极值点，是极大值
还是极小值点；
(2) 对求出的极值点确定极值.
二元函数条件极值（函数z=f(x,y)+λF(x,y)）
(3) 构造拉格郎日函数
G(x,y,λ)=f(x,y)+λF(x,y)
(4) 解联立方程
'=0⎧Gx⎪(x0,y0)⎨G'y=0,求出稳定点
⎪' ⎩Gλ=0
(5) 针对f(x,y)判断（x0,y0）是否为极值点，是极大值点还是极小值点；或根据0
实际问题或几何意义直接判断.
(6) 求出极值f(x0,y0).
f(x)=xarctan1的凸性.x 例5 讨论函数
思路：证明函数在定义域的二阶导数同号.
解 函数
f'(x)=arctanf(x)=xarctan1x-x1+x2 1的定义域是(-∞,0)⋃(0,+∞)x
f''(x)=-112-=-
说明f(x)在
(-∞,0)⋃(0,+∞)是严格上凸的.
2.2.2拉格朗日乘数法
拉格朗日数乘法：设f(x,y),ϕ(x,y)在点(x0,y0)某领域内有连续偏导数，引入辅助函数
F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)
解联立方程组
⎧∂F⎪∂x=f'x(x,y)+λϕ'x(x,y)=0
⎪⎪∂F=f'y(x,y)+λϕy'(x,y)=0 ⎨⎪∂y
⎪ϕ(x,y)=0⎪⎩
得(x0,y0)可能是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值点
例6经过点(1,1,1)的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．
分析: 条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。
解: 设所求平面方程为
xyz ++=1,abc(a>0,b>0,c>0)．
因为平面过点(1,1,1)，所以该点坐标满足此平面方程，即有
111++=1． (1) abc
1abc． (2) 6设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则 V=
原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数
L(a,b,c)=1111abc+λ(++-1)． 6abc
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
λ⎧1bc-=0,2⎪6a⎪λ⎪1ac-=0, ⎨2b⎪6
⎪1ab-λ=0.⎪c2⎩6
由此方程组和（9）解得a = b = c = 3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面
x + y + z = 3．
与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为
Vmin=139⨯3=. 62
例7（2007数学一）求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域D上的最大值和最小值，其中：D={(x,y)x2+y2≤4,y≥0} 。
分析: 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
解: 因为 fx'(x,y)=2x-2xy2，fy'(x,y)=4y-2x2y，解方程：
2⎧⎪fx'=2x-2xy=0, ⎨
得开区域内的可能极值点为(. 2'f=4y-2xy=0⎪⎩y
其对应函数值为f(=2.
又当y=0 时，f(x,y)=x2在-2≤x≤2上的最大值为4，最小值为0.
当x2+y2=4,y>0,-2
F(x,y,λ)=x2+2y2-x2y2+λ(x2+y2-4)
⎧Fx'=2x-2xy2+2λx=0,⎪解方程组 ⎨Fy'=4y-2x2y+2λy=0,
⎪F'=x2+y2-4=0,λ⎩
得可能极值点：
(0,2),(，
其对应函数值为f(0,2)=8,f(7=. 4
7比较函数值2,0,4,8,，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0. 4
2.2.3其它方法
首先，把条件极值化为无条件极值，然后，再依据一元函数求出极值的方法加以分析判定.
例8：求函数g(x,y,z)=xyz在x+y=1与x-y+z2=1下的极值.
2-z2z2
解 由已知的两个条件可得x=，y=，把其代人目标函数22
g(x,y,z)=xyz中可以消去x和y，可得
z5z3
g(z)=-+， 42
两边同时求导有，
4g'(z)=-5z4+6z2，
从而得到稳定点,
z1=
0，z2=
，z3= 由于g''(0)=0，而g'''(0)=12≠0，即n=3为奇数，因此根据定理3可以得出，g(x,y,z)=xyz在z1=0处不能取到极值.
因为
4g''=-0， 所以，g(z
)在z2=
, g=又因为
⎛4g'' =+>0, ⎝所以，g(z
)在z3=
, ⎛g = ⎝总结：由例10可知，在一些题目中,如果可以把求多元函数极值的问题通过
分析综合转化为我们比较熟悉的一元函数的问题，就可能会使我们所要求的问题变得简单容易很多，但在实际中,有些条件极值是不易转化成没有条件的极值来解决的，这时我们可以使用拉格朗日乘数法这个通用的办法.
3.函数极值的应用
3.1函数极值在不等式证明中的应用
不等式证明具有很强的技巧性，是对知识的综合性灵活运用。我们已经接触了很多证明不等式的方法，本节给出应用函数极值的求法来解决不等式证明，即在不等式证明中，适当变换目标函数和相应的限制条件，把问题转化为求函数极值的问题.
x+ynxn+yn
),其中n≥1,x≥0,y≥0。 例9：证明不等式≥(22
xn+yn
证明：设函数f(x,y)= ,在求条件x+y=c下的最小值。 2
根据拉格朗日乘数法，做辅助函数
xn+yn
L(x,y,λ)=+λ(x+y-c)， 2
则
∂Lnn-1=x+λ=0, ∂x2
即
λ=-nn-1x ① 2
∂Lnn-1=y+λ=0, ∂y2
即
λ=-nn-1y ② 2
∂L=x+y-c=0 ③ ∂λ
由①和②解得x=y，将x=y代入③解得：
x=y=c 2
xn+yn
所以函数f(x,y)= 存在最小值,而无最大值。 2
所以函数在(cc,)处取得最小值. 22
x+ynxn+yn1cncncn
)， 故≥[()+()]=(n)=(222222
当n=1时等式成立.
关于不等式的证明，高中时候就有学过一种很清晰的思路，即要证明一个式子大于等于0或小于等于0，只需证明这个式子的最小值大于等于0或最大值小于等于0。
例10：证明不等式：ey+xlnx-x-xy≥0,(x≥1,y≥0)。
证明：令f(x,y)=ey+xlnx-x-xy，则只需证明函数f(x,y)在区域D={(x,y)|x≥1,y≥上存在最小值且大于等于00。
对于x≥1，令fy(x,y)=ey-x=0，得
y=lnx，
且当0≤y
fy(x,y)
当y>lnx时，
fy(x,y)>0
易知 y=lnx为最小值点，
即在曲线y=lnx上f(x,y)取得最小值.
最小值f(x,lnx)=elnx+xlnx-x-xlnx=0。
故在D上f(x,y)≥0，即
ey+xlnx-x-xy≥0。
3. 2函数极值在物理学中的应用
函数极值为其它学科问题的求解带来了方便，其在物理学中就有着非常广泛的应用，比如可以利用函数极值来证明光的折射定律。
例11：设定点A和B位于以平面分开的不同光介质中，从A点射出的光线折射后到达B点，已知光在两介质中的传播速度分别为v1，v2，求需时最短的传
播方式。
解：设A到平面的距离为a，B到平面的距离为b(见图2)，
CD=d，光线从A点射到M点所需时间为
a v1cosα
光线从M点射到B点所需时间为
b v2cosβ
且CM+MD=d，即
atanα+btanβ=d 问题转化为函数f(α,β)=ab +v1cosαv2cosβ
在条件tanα+btanβ=d下的最小值.
作拉格朗日函数
L(α,β,λ)=ab++λ1(atanα+btanβ-d)； v1cosαv2cosβ
asinαa⎧'L=+λ=012⎪αvcos2αcosα1⎪bsinβb⎪'=令 ⎨Lβ+λ=0， 122v2cosβcosβ⎪⎪Lλ'=atanα+btanβ-d=0⎪1
⎩
由此解得-λ1=
sinαsinβ=，
v1v2
即光线的入射角与折射角应满足：
sinαv1=（光的折射定律）时光线传播时间最短. sinβv2
3.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用
在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量。但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的。厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润。
例：假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1和P2分别表示该产品在两个市场的1=18-2Q1,P2=12-Q2,其中P
价格(单位：万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1+Q2。
（1）如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。
解：(1)总利润函数
22L=R-C=PQ1+10Q2-5 1Q1+P2Q2-(2Q+5)=-2Q1-Q2+16
'1=-4Q1+16=0,LQ'2=-2Q2+10=0； 令LQ
分别得唯一驻点
Q1=4(吨),Q2=5(吨)，
对应的价格分别为P1=10(万元/吨),P2=7(万元/吨).
又实际问题一定存在最大值，故最大值必在唯一驻点处取得，即最大利润为
L=-2⨯42-52+16⨯4+10⨯5-5=52(万元)。
(2)如果实行价格无差别策略，即P1=P2,则有约束条件2Q1-Q2=6.
作拉格朗日函数
2F(Q1,Q2,λ)=-2Q12-Q2+16Q1+10Q2-5+λ(2Q1-Q2-6)
'1=-4Q1+16+2λ=0⎧FQ⎪'2=-2Q2+10-λ=0 令 ⎨FQ⎪'⎩Fλ=2Q1-Q2-6=0
解得唯一驻点
Q1=5(吨)，Q2=4(吨)，
对应的统一价格P1=P2=8(万元/吨).
又实际问题一定存在最大值，故最大值必在唯一驻点处达到，即最大利润为
L=-2⨯52-42+16⨯5+10⨯4-5=49(万元)
由上述可知，企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润.
结束语
在我们的生活中处处可遇到求极值的例子，但是关于求函数极值的问题我们并没有什么套用的模式或者不变的方法，因此，我们要解决处理这一类问题，就要学会分析综合，归纳总结，结合题目特点，灵活运用所学知识，牢记公式、定理以及一些重要结论，融会贯通，只有这样我们才能达到学习的效果. 函数极值不仅在经济生产和现实生活中有着广泛的应用，还在物理学，化学，生物工程等学科有重要的作用。因此函数极值问题的研究具有重大的现实意义。通过上述函数极值的求法与应用，旨在能为今后的学习和实际工作带来一定的方便。
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致 谢
2010年,我很荣幸进入绵阳师范学院学习.今天,论文的完成,也标志着我即将毕业,四年的学习生涯,使我获得了很多宝贵的知识与能力,感谢绵阳师范学院对我的培养,我将继续保持这样的学习作风,在今后的工作岗位上兢兢业业地奋斗,以此报答培育我的母校和老师.
本文是在王敏老师的悉心指导和亲切关怀下完成的.长期以来,王老师严谨的治学态度,兢兢业业的工作精神和平易近人的作风,令我受益终身,在此表示由衷的感谢.在设计和论文完成期间,也得到了学院各位领导和老师的大力支持和鼓励,帮助我能够很好的完成此次论文,同时也得到我们组的组员的帮助,在此我致以深深的感谢.
肖华
2014年3月