用绝对值的几何意义解题
湖北省黄石市下陆中学 刘加禄
大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a 的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a 、b 的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．
一、求代数式的最值
例1 已知a 是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.
解：由绝对值的几何意义知，| a －2007|+| a －2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值为1.
例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．
解：把数轴上表示x 的点记为P ．由绝对值的几何意义知，|x－2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P 点在2的左边时，其差恒为－3；当P 点在5的右边时，其差恒为3；当P 点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分别为3和－3．
二、解绝对值方程
例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．
解：把数轴上表示x 的点记为P ，由绝对值的几何意义知，当－2≤x ≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P 必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为
的解为： 个单位（如图3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4
x ＝－2－ ＝－，x ＝ 1+＝ ．
三、求字母的取值范
例4 若 |x+1|+|2－x|＝3，则x 的取值范围是________．
解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x－2|的最小值为3，此时x 在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x 的取值范围是－1≤x ≤2．
例5 对于任意数x ，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a 恒成立，则a 的取值范围是
___________．
解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－4|的最小值为6，而对于任意数x ，|x＋2|+|x－4|＞a 恒成立，所以a 的最值范围是a ＜6．
四、解不等式
例6 不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．
解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－3|的最小值为5，此时x 在－2～3之间（包括两端点）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，则x 必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x ＜－2或x ＞3．
五、判断方程根的个数
例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（ ）个解．
A. ．4； B． 3； C． 2； D．1
解：当x 在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x 必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C ）．
六、综合应用
例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y 最大值与最小值．
解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，
用绝对值的几何意义解题
湖北省黄石市下陆中学 刘加禄
大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a 的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a 、b 的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．
一、求代数式的最值
例1 已知a 是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.
解：由绝对值的几何意义知，| a －2007|+| a －2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值为1.
例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．
解：把数轴上表示x 的点记为P ．由绝对值的几何意义知，|x－2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P 点在2的左边时，其差恒为－3；当P 点在5的右边时，其差恒为3；当P 点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分别为3和－3．
二、解绝对值方程
例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．
解：把数轴上表示x 的点记为P ，由绝对值的几何意义知，当－2≤x ≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P 必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为
的解为： 个单位（如图3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4
x ＝－2－ ＝－，x ＝ 1+＝ ．
三、求字母的取值范
例4 若 |x+1|+|2－x|＝3，则x 的取值范围是________．
解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x－2|的最小值为3，此时x 在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x 的取值范围是－1≤x ≤2．
例5 对于任意数x ，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a 恒成立，则a 的取值范围是
___________．
解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－4|的最小值为6，而对于任意数x ，|x＋2|+|x－4|＞a 恒成立，所以a 的最值范围是a ＜6．
四、解不等式
例6 不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．
解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－3|的最小值为5，此时x 在－2～3之间（包括两端点）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，则x 必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x ＜－2或x ＞3．
五、判断方程根的个数
例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（ ）个解．
A. ．4； B． 3； C． 2； D．1
解：当x 在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x 必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C ）．
六、综合应用
例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y 最大值与最小值．
解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，