高二数学期末考试卷（理科）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）
1、与向量a =(1, -3,2) 平行的一个向量的坐标是（ ）
1
，1，1） 3
13
C ．（－，，－1）
22
A ．（
B ．（－1，－3，2） D ．（2，－3，－22）
2、设命题p ：方程x 2+3x -1=0的两根符号不同；命题q ：方程x 2+3x -1=0的两根之和为3，判断命题“⌝p ”、“⌝q ”、“p ∧q ”、“p ∨q ”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
a 2+b 2
3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜”的 （ ）
2
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
x 2y 2
+=1的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. 4、椭圆m 4
A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8
5、已知空间四边形OABC 中，OA =a OB =b OC =c ，点M 在OA 上，且OM=2MA，
N 为BC 中点，则=（ ）
121
-+ 232111
C ．+-
222
A ．
2
211
++ 322221D ．+-
332
B ．-
6、抛物线y =4x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）
A ．
17157
B ． C ． D ．0 16168
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ） 55
或
C.
D.5或
43
8、若不等式|x －1|
A.5或
9、已知=(1-t , 1-t , t ), =(2, t , t ) ，则|-|的最小值为 （ ）
A ．
B ． 55
C ．
113 D ．
55
（ ）
10、已知动点P(x 、y ) 满足10(x -1) 2+(y -2) 2＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 A ．椭圆
B ．双曲线 C ．抛物线
D ．无法确定
x 2y 2
+=1上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且11、已知P 是椭圆
259
=
1
(+), ||=4，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） 2
A.6 B.4
C.3 D. 5
2
高二数学期末考试卷（理科）答题卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
12、命题：∃x ∈R , x 2-x +1=0的否定是13、若双曲线 x 2-4y 2=4的左、右焦点是F 1、F 2，过F 1的直线交左支于A 、B 两点，
若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是14、若a =(2, 3, -1) ，则a , b 为邻边的平行四边形的面积为 b =(-2, 1, 3) ，15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA |+|PB |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆；
x 2y 2x 2
-=1与椭圆+y 2=1有相同的焦点； ②双曲线
25935
2
③方程2x -5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
255x 2y 2
-=1． ④和定点A (5, 0) 及定直线l :x =的距离之比为的点的轨迹方程为
44169
其中真命题的序号为 _________．
三、解答题（本大题共6小题，共55分）
x 2y 2
-=1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：16、（本题满分8分）已知命题p ：方程
2m m -1
y 2x 2
-=1的离心率e ∈(1, 2) ，若p , q 只有一个为真，求实数m 的取值范围．双曲线 5m
17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1
与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
18、（本题满分8分）
（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y =-
y 2x 2
-=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。 （2）求以双曲线
169
3
x ，焦距为2，求此双曲线的标准方程； 2
19、（本题满分10分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
1
A
（1）求的长；
（2）求cos的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .
20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝3 ，
曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所
得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．
2
21、（本题满分11分）若直线l ：x +my +c =0与抛物线y =2x 交于A 、B 两点，O 点
是坐标原点。
(1)当m =－1, c =－2时，求证：OA ⊥OB ；
(2)若OA ⊥OB ，求证：直线l 恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA ⊥OB 时，试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学（理科）参考答案：
1、C 2、C 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A
11、D
12、∀x ∈R , x 2-x +1≠0 13、18 14、6 15、②③
11
16、p :0
33
1
故m 的取值范围为≤m
3
17、如图建立空间直角坐标系，A 1C 1＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1） 设n 1、n 2分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由
n 1⋅A 1=0 可解得1＝（1，1，1）
n 1⋅A 1C 1=0
易知n 2
＝（0，0，1）， 所以， =
3所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值为
3
。 3
x 2y 2y 2x 2x 2y 2
+=1. 18、（1）（2）-=1或-=1；
9254994
19、如图，建立空间直角坐标系O —xyz .
（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴| |=
(1-0) 2+(0-1) 2+(1-0) 2=3.
（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）
CB 1=CB 1=3，∴BA 1=（1，－1，2），（0，1，2），BA 1·
|1|=
6，|CB 1|=5
1
=30. 1011∴cos
（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （
11
, ，22
， A 1=（－1，1，－2）
1111
C 1M =（, ，0）. ∴1·C 1M =－++0=0，∴1⊥C 1M ，
2222
∴A 1B ⊥C 1M .
20、（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，
则A （－2，0），B （2，0），C （23 ），D （－2，3）．
依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．
a =
1
(|AD |+|BD |)=4, c =2, b 2=12 2
x 2y 2
+=1(-2≤x ≤4, 0≤y ≤2) ∴所求方程为
1612
（2）设这样的弦存在，其方程为：
x 2y 2
y k (x -2), 即y =k (x -2) +将其代入+=1
1612
得(3+4k 2) x 2+-16k 2) x +16k 2--36=0 设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由
x 1+x 2=2, 知x 1+x 2=4, =4, 解得k = 2∴弦MN
所在直线方程为y =x +验证得知，
2
这时M N (4,0)适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y =-
x + 2
21、解：设A(x 1, y 1) 、B(x 2, y 2) ，由⎨
⎧x +my +c =02
得y +2my +2c =0 2
⎩y =2x
可知y 1+y2=－2m y 1y 2=2c ∴x 1+x 2=2m2—2c x 1x 2= c2, (1) 当m =－1, c =－2时，x 1x 2 +y1y 2=0 所以OA ⊥OB.
(2) 当OA ⊥OB 时，x 1x 2 +y1y 2=0 于是c 2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意), 此时，直线l ：
x +my -2=0过定点(2,0).
(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心) 到原点的距离就是外接圆的半径。
11
D (m 2-c , -m ) 而(m2—c+) 2－[(m2—c) 2+m2 ]=-c 由(2)知c=－2
24
∴圆心到准线的距离大于半径, 故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。
高二数学期末考试卷（理科）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）
1、与向量a =(1, -3,2) 平行的一个向量的坐标是（ ）
1
，1，1） 3
13
C ．（－，，－1）
22
A ．（
B ．（－1，－3，2） D ．（2，－3，－22）
2、设命题p ：方程x 2+3x -1=0的两根符号不同；命题q ：方程x 2+3x -1=0的两根之和为3，判断命题“⌝p ”、“⌝q ”、“p ∧q ”、“p ∨q ”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
a 2+b 2
3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜”的 （ ）
2
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
x 2y 2
+=1的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. 4、椭圆m 4
A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8
5、已知空间四边形OABC 中，OA =a OB =b OC =c ，点M 在OA 上，且OM=2MA，
N 为BC 中点，则=（ ）
121
-+ 232111
C ．+-
222
A ．
2
211
++ 322221D ．+-
332
B ．-
6、抛物线y =4x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）
A ．
17157
B ． C ． D ．0 16168
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ） 55
或
C.
D.5或
43
8、若不等式|x －1|
A.5或
9、已知=(1-t , 1-t , t ), =(2, t , t ) ，则|-|的最小值为 （ ）
A ．
B ． 55
C ．
113 D ．
55
（ ）
10、已知动点P(x 、y ) 满足10(x -1) 2+(y -2) 2＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 A ．椭圆
B ．双曲线 C ．抛物线
D ．无法确定
x 2y 2
+=1上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且11、已知P 是椭圆
259
=
1
(+), ||=4，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） 2
A.6 B.4
C.3 D. 5
2
高二数学期末考试卷（理科）答题卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
12、命题：∃x ∈R , x 2-x +1=0的否定是13、若双曲线 x 2-4y 2=4的左、右焦点是F 1、F 2，过F 1的直线交左支于A 、B 两点，
若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是14、若a =(2, 3, -1) ，则a , b 为邻边的平行四边形的面积为 b =(-2, 1, 3) ，15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA |+|PB |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆；
x 2y 2x 2
-=1与椭圆+y 2=1有相同的焦点； ②双曲线
25935
2
③方程2x -5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
255x 2y 2
-=1． ④和定点A (5, 0) 及定直线l :x =的距离之比为的点的轨迹方程为
44169
其中真命题的序号为 _________．
三、解答题（本大题共6小题，共55分）
x 2y 2
-=1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：16、（本题满分8分）已知命题p ：方程
2m m -1
y 2x 2
-=1的离心率e ∈(1, 2) ，若p , q 只有一个为真，求实数m 的取值范围．双曲线 5m
17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1
与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
18、（本题满分8分）
（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y =-
y 2x 2
-=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。 （2）求以双曲线
169
3
x ，焦距为2，求此双曲线的标准方程； 2
19、（本题满分10分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
1
A
（1）求的长；
（2）求cos的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .
20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝3 ，
曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所
得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．
2
21、（本题满分11分）若直线l ：x +my +c =0与抛物线y =2x 交于A 、B 两点，O 点
是坐标原点。
(1)当m =－1, c =－2时，求证：OA ⊥OB ；
(2)若OA ⊥OB ，求证：直线l 恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA ⊥OB 时，试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学（理科）参考答案：
1、C 2、C 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A
11、D
12、∀x ∈R , x 2-x +1≠0 13、18 14、6 15、②③
11
16、p :0
33
1
故m 的取值范围为≤m
3
17、如图建立空间直角坐标系，A 1C 1＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1） 设n 1、n 2分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由
n 1⋅A 1=0 可解得1＝（1，1，1）
n 1⋅A 1C 1=0
易知n 2
＝（0，0，1）， 所以， =
3所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值为
3
。 3
x 2y 2y 2x 2x 2y 2
+=1. 18、（1）（2）-=1或-=1；
9254994
19、如图，建立空间直角坐标系O —xyz .
（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴| |=
(1-0) 2+(0-1) 2+(1-0) 2=3.
（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）
CB 1=CB 1=3，∴BA 1=（1，－1，2），（0，1，2），BA 1·
|1|=
6，|CB 1|=5
1
=30. 1011∴cos
（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （
11
, ，22
， A 1=（－1，1，－2）
1111
C 1M =（, ，0）. ∴1·C 1M =－++0=0，∴1⊥C 1M ，
2222
∴A 1B ⊥C 1M .
20、（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，
则A （－2，0），B （2，0），C （23 ），D （－2，3）．
依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．
a =
1
(|AD |+|BD |)=4, c =2, b 2=12 2
x 2y 2
+=1(-2≤x ≤4, 0≤y ≤2) ∴所求方程为
1612
（2）设这样的弦存在，其方程为：
x 2y 2
y k (x -2), 即y =k (x -2) +将其代入+=1
1612
得(3+4k 2) x 2+-16k 2) x +16k 2--36=0 设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由
x 1+x 2=2, 知x 1+x 2=4, =4, 解得k = 2∴弦MN
所在直线方程为y =x +验证得知，
2
这时M N (4,0)适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y =-
x + 2
21、解：设A(x 1, y 1) 、B(x 2, y 2) ，由⎨
⎧x +my +c =02
得y +2my +2c =0 2
⎩y =2x
可知y 1+y2=－2m y 1y 2=2c ∴x 1+x 2=2m2—2c x 1x 2= c2, (1) 当m =－1, c =－2时，x 1x 2 +y1y 2=0 所以OA ⊥OB.
(2) 当OA ⊥OB 时，x 1x 2 +y1y 2=0 于是c 2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意), 此时，直线l ：
x +my -2=0过定点(2,0).
(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心) 到原点的距离就是外接圆的半径。
11
D (m 2-c , -m ) 而(m2—c+) 2－[(m2—c) 2+m2 ]=-c 由(2)知c=－2
24
∴圆心到准线的距离大于半径, 故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。