第一章《随机事件及概率》练习题
一、单项选择题
1、设事件A 与B 互不相容，且P (A ) ＞0，P (B ) ＞0，则一定有（ ）
（A ）P (A ) =1-
P (B ) ； （B ）P (A |B ) =P (A ) ；
（C ）P (A |B ) =1； （D ）P (A |B ) =1。 2、设事件A 与B 相互独立，且P (A ) ＞0，P (B ) ＞0，则（ ）一定成立 （A ）P (A |B ) =1- （C ）P (A ) =1-
P (A ) ； （B ）P (A |B ) =0；
P (B ) ； （D ）P (A |B ) =P (B ) 。
3、设事件A 与B 满足P (A ) ＞0，P (B ) ＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立
（A ）P (AB ) =
P (A ) P (B ) ； （B ）P (A B ) =P (A ) P (B ) ；
P (B ) ； （D ）P (A |B ) =P (A ) 。
⊂A ，则下列等式中正确的是（ ）
（C ）P (A |B ) =
4、设事件A 和B 有关系B （A ）P (AB ) = （C ）P (B |
P (A ) ； （B ）P (A B ) =P (A ) ；
A ) =P (B ) ； （D ）P (B -A ) =P (B ) -P (A ) 。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）
A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；
P (A ) P (B ) ； （D ）P (A -B ) =P (A ) 。
（C ）P (AB ) =
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A ) ≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）P (A
B ) =P (A ) +P (B ) ； （B ）P (A B ) ≠P (A ) +P (B ) ； P (A ) P (B ) ； （D ）P (AB ) =P (A ) P (B ) 。
B ) 等于（ ）
（C ）P (AB ) =
7、对于任意两个事件A 与B ，P (A - （A ）P (A ) - （C ）P (A ) -二、填空题 1、若
P (B ) （B ）P (A ) -P (B ) +P (AB ) ； P (AB ) ； （D ）P (A ) +P (B ) -P (AB ) 。
A ⊃B ，A ⊃C ，P (A )=0.9，P (B C ) =0.8，则P (A -BC ) =__________。
A
B ) =_______。
2、设P (A )=0.3，P (B )=0.4，P (A |B )=0.5，则P (B |A )=_______，P (B |
3、已知P (A ) =0.7，P (A -B ) =0.3，则P (AB ) = 4、已知事件
A 、B 满足P (AB ) =P (A ⋂B ) ，且P (A ) =p ，则P (B )
5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出
的是次品的概率为_____________。
6、设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是则A 在1次试验中出现的概率为__________。 7、设事件A ，B 的概率分别为P (A ) =81，
3, P (B ) =， ①若A 与B 相互独立，则
P (A B ) =_________； ②若A 与B 互不相容，则P (A B ) =___________。
8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为__________。
9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标被击中的概率为___________。 三、计算题
1、某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于1个的概率。
2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为 6 或 8；求 (1) 随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率； (2) 随机抽取的电话号码末位数是8的概率。 3、已知P (A ) =
P (B ) =P (C ) =4，P (AB )=0，P (AC ) =P (BC ) =，求A ，B ，C 至
少有一个发生的概率。
4、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。
5、一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%，
①从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；
②从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。
6、有两箱同类零件，第一箱装 50 只 (其中一等品 10 只) ，第二箱装 30 只(其中一等品 18 只) ；今从两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。
7、右边是一个串并联电路示意图， A 、B 、C 都 是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立 正常工作的概率(可靠性) ，求电路的可靠性。 四、证明：若P (B |
) =P (B |A ) ，则事件A 与B 相互独立。
第二、三章 《随机变量及其分布》练习题
一、单项选择题
1、设离散型随机变量X 的分布列为
F (x ) 为X 的分布函数， 则F (1.5)=（ ）
（A ） 0； （B ） 0.3； （C ） 0.6； （D ） 1。 2. 如下四个函数中， 哪一个不能作为随机变量X 的分布函数（ ）
⎧0, x
⎧0, x
⎪⎪
（A ）F (x ) =⎨； （B ）F (x ) =⎨ln(1+x ) ；
, x ≥0⎪⎪1/2, 1≤x
⎪⎩1, x ≥2⎧0, x
（C ）F (x ) =⎨x , 0≤x
-x
⎩1-e , x ≥0⎪4
⎪⎩1, x ≥2
3、当常数b =（ ）时，
p k =
b
(k =1,2, ) 为某一离散型随机变量的概率分布
k (k +1)
（A ） 2； （B ） 1； （C ） 1/2； （D ） 3。 4、设随机变量X 的分布函数为F X (x ) ，则随机变量Y （A ）
=2X +1的分布函数F Y (y ) 是（ ）
y 1y 11F (-) ； （B ） F (+1) ； （C ） 2F (y ) +1； （D ） F (y ) -。
22222
5、设随机变量
（A ）a （C ）a
X ~N (a , a 2) ，且Y =aX +b ~N (0,1)，则a , b 应取（ ）
=2, b =-2； （B ）a =-2, b =-1； =1, b =-1； （D ）a =-1, b =1。
f (x ) 在区间[a , b ]上等于sin x ，而在此区间外等于0，则区
6、设某一连续型随机变量X 的概率密度间[a , b ]为（ ） （A ）[0,π
/2]； （B ）[0,π]； （C ）[-π/2,0]； （D ）[0,3π/2]。
7、设随机变量X
~N (μ, σ2) ，则随σ的增大，则P {|X -μ|
（A ）单调增加； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定。
8、设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，P {X =-1}=P {Y =-1}=1/2，
P {X =1}=P {Y =1}=1/2，则下列式子成立的是（ ）
（A ）P {X （C ）P {X
=Y }=1/2； （B ）P {X =Y }=1； +Y =0}=1/4； （D ）P {XY =1}=1/4。
=min(X , Y ) 的分
9、设随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为F X (x ), F Y (y ) ，则Z 布函数为（ ） （A ）F Z (z ) =
F X (z ) （B ）F Z (z ) =F Y (z ) ；
（C ）F Z (z ) =min{F X (z ), F Y (z )}； （D ）F Z (z ) =1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]。 二、填空题
⎧0, x
1、设离散型随机变量X 的分布函数F (x ) =⎨2且P {X =2}=1/2，
⎪3-a , 1≤x
则a
=______，b =____ _ _，X 的分布列为_______ ___。
b ⎧
⎪a -2, x >1,
2、设随机变量X 的分布函数F (x ) =⎨ x
⎪⎩0, x ≤1,
则a
=______，b =____ _，P {-1
3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次，设X 表示3点朝上的次数，则X ~ ，X 的概率分布为
4、设随机变量X 的概率密度为数a
⎧4x 3, 0a }=P {X
⎩0, 其它,
=___ ___。
5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2％，且具有3.2％的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15－17.5％之间的概率为 。
6、设X ~N (μ, σ
) ，其概率密度
2
(x +3) 2
f (x ) =-}，则μ=___,σ=___。
4
7、 (X, Y) 的分布律为
则X 的分布律为 ，Y 的分布律为 ；
P {X =Y }=；当a =_____ ,
b =_____ 时， X 与 Y 相互独立。
8、设随机变量X 与Y 相互独立，且X 、Y 的分布律分别为
则X 与Y 的联合分布律为_______ ___； Z =X +Y 的分布律为。
9、设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2 围成， (X, Y) 在 D 上服从均匀分布， 则 (X, Y) 的概率密度为_______________ 。 10、若 X 与 Y 独立， 而X
22
~N (μ1, σ1), Y ~N (μ2, σ2), 则X +Y ~ 。
11、X 与Y 相互独立，且 X ~ U (−1, 1), Y ~ e (1)即
⎧e -y , y >0,
f Y (y ) =⎨,
⎩0, y ≤0,
则X 与Y 的联合概率密度
f (x , y ) =
⎧1, X >Y , Z =⎨ 的分布为。
⎩0, X ≤Y ,
三、计算题
1、3个不同的球，随机地投入编号为1，2，3，4的四个盒子中，X 表示有球盒子的最小号码，求X 的分布律。
2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品， 1个为一等品， 2至4个为二等品，4个以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493，则试求产品的废品率。
3、设随机变量 X 的概率密度为
x |≤1, f (x ) =
0, 其它. ⎩
试求 (1) A ;
(2) P {X |
4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从μ=0, σ=4的正态分布，观测者把偏离值超过10米
时称作“失败”，使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。 5、设X 的分布列为：
求：（1）X ＋2； （2）－X ＋1； （3）X 的分布列。
6、设随机变量
1
，记随机变量X 1与X 2独立同分布， 且已知P (X i =k ) =, (k =1, 2, 3; i =1, 2)
3
，Y 2=min{X 1, X 2}。 Y 1=max{X 1, X 2}
求（1）(Y 1, Y 2) 的联合分布列； （2）判断Y 1与Y 2是否互相独立； （3） 求P (Y 1+Y 2
≤3) ，P (Y 1=Y 2) 。
7、设 (X, Y) 的概率密度为
⎧x 2+a x y , 0≤x ≤1, 0≤y ≤2,
f (x , y ) =⎨
⎩0, 其它,
； (3) X 与Y 是否相互独立?
试求(1) a ；（2）P {X +Y ≥1}
8、已知(X , Y ) 的联合概率密度为
⎧4x , 0≤x ≤1, 0≤y ≤x 2,
f (x , y ) =⎨
⎩0, 其它, f X (x ), f Y (y ) ；
（1）求关于X 和Y 的边缘概率密度
（2）判断X 与Y 是否相互独立； （3）求P {X 9、设随机变量X 的概率密度为
≥1/2}；P {X ≥1/2, Y ≥1/2}
。
⎧1, ⎪f (x ) =⎨
⎪0, ⎩
求函数Y ＝3X +1的概率密度。
0≤x ≤1其它
第四、五章 《随机变量的数字特征与
中心极限定理》练习题
一、单项选择题
1、设 X ~ B (n , p ) ， 且 E ( X ) = 2.4, D ( X ) = 1.44, 则 （ ） （A ）n =
4, p =0.6；（B ）n =6, p =0.4；（C ）n =8, p =0.3；（D ）n =24, p =0.1。
2、设随机变量X 与Y 满足E (XY ) = （A ）D (XY ) =
E (X ) E (Y ) ，则（ ）
D (X ) D (Y ) ； （B ）D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) ；
（C ）X 与Y 独立； （D ）X 与Y 不独立。 3、随机变量X 服从区间(a , b ) 上均匀分布，
E (X ) =1, D (X ) =1/3，则区间(a , b ) 为（ ）
（A ）(0,1)； （B ）(-1,3) ； （C ）(0,2) ； （D ）(0.5,1.5)。 4、设X 1与（ ）
（A ）3/2； （B ）-3/2； （C ）3； （D ）-3。
5、设随机变量X 与Y 独立同分布，记U
X 2为两个随机变量，且D (X 1) =5, D (X 2) =8, D (X 1+X 2) =10，则cov(X 1, X 2) =
=X +Y , V =X -Y
，则U 与V 必（ ）
（A ）独立； （B ）不独立； （C ）不相关； （D ）相关系数不为零。
5、设X
的概率密度
(x +1) 2
f (x ) =-}，则E (2X 2-1) =（ ）
8（A ）1； （B ）6； （C ）4； （D ）9。
二、填空题
1、设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立，且都服从N (μ, σ1-
2
而Y =(X 1+X 2+X ) ，
3
) ，则Y ~
2Y ~
2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E [(X− 1)(X− 2)] = 1，则λ3、设X 与Y 相互独立，且
=。
X
~U (0,2),Y ~U (2,4)，则E (XY ) =D (X -Y ) =
>=
4、设X 服从均值为1/2
的指数分布，则P {X 5、若随机变量X 服从区间(-
ππ
, ) 上的均匀分布，则E (sinX ) = 。
44
6、一枚硬币连抛1000次， 则正面向上的次数大于等于550的概率为 7、已知D (X ) =25, D (Y ) =36, ρ(X , Y ) =0.4，则D (X 8、设X 与Y 的相关系数ρXY 9、设E (X ) =
-Y ) = 。
=0.9，若Z =X -0.4，则Y 与Z 的相关系数为
E (Y ) =0, E (X 2) =E (Y 2) =2，ρXY =0.5，则E [(X +Y ) 2]=
⎧1, X >0, ⎪
10、设随机变量X ~U (-1,2) ，Y =⎨0, X =0, 则D (Y ) =。
⎪-1, X
11、 (X, Y) 的分布律为
则E (X ) = ，E (Y ) = ，E (XY ) = 。 三、计算及证明题
1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A 发生，则赔a 元；经统计一年中A 发生的概率为公司期望得到收益的为
p ，若
a ，则要求顾客交多少保险费? ⎧a x , 0
f (x ) =⎨bx +c , 2≤x
⎪0, 其它. ⎩
X
2、设 X 的概率密度为
且 E (X )=2, P {1
+Y ) 。
3、设(X , Y ) 在以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求D (X
4、设 (X, Y) 的概率密度为
⎧x +y , 0≤x ≤1, 0≤y ≤1,
f (x , y ) =⎨ 试求ρXY 。
0, 其它,⎩
5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加0.1，求三次飞行后修理次数的数学期望。
《数理统计》练习题
一、单项选择题 1、设总体
__
X ~N (μ, σ2)
2
，μ未知，而σ
2
已知， ( X 1 , X 2 ,„, X n ) 为一样本，
1n
X =∑X i
n i =1
（A ）
__
1n
，S =(X i -X ) 2
，则以下样本的函数为统计量的是
∑n -1i =1
1
σ
(X i -μ) 2∑
i =1
n
2
； （B ）
1
σ
2
； （C (X -X ) ∑i 2i =1
n
； （D
2、
X ~N (0,σ2)
，(X 1, X 2, X 3, X 4) 为样本，，
服从的分布为（ ）
（A ）
N (0,1)； （B ）χ2(2)； （C ）t (2)； （D ）F (2,2)。
~N (0,1)
，而u α满足P {X
>u α}=α，若P {X
3、设随机变量X
（A ）u α； （B ）u 1-α2； （C ）u 1-2α； （D ）u (1-α) 。
4、设总体
X
的二阶矩存在，
(X 1, X 2, , X n )
为一样本，
1n
X =∑X i
n i =1
__
，
2S 0
1n
=∑(X i -X ) 2，则E (X 2) 的矩估计为（ ） n i =1
X
2
； （B ）S 0； （C ）
（A ）
n 1n 22
S 0； （D ）∑X i 。
n -1n i =1
二、填空题
1n
1、设总体X ~N (μ, σ) ， ( X 1 , X 2 , „, X n ) 为一样本，则∑X i ~
，
n i =1
2
~
~，
1
σ
(X i -μ) ~，2∑
2
i =1
n
1
σ
2
2
(X -X ) ~。 i 2∑i =1
n
__
2、设总体X
N (1,4)，(X 1, X 2, X 3) 为样本，X
是样本均值，S 为样本方差， 则
E (X ) =D (X ) =，E (S 2) =。
3、设总体
X ~N (μ, σ2)
， ( X 1 , X 2 ,„, X n ) 为一样本，X 是样本均值。则U =n (
X -μ
σ
) 2服从
的分布为 。 4、设X
N (0,4)，(X 1, X 2, X 3) 为样本，若要求[aX 12+b (X 2-X 3) 2]χ2(2)，则a
，b 。 5、设总体 三、计算题 1、设总体X
22
~N (1,4)，X 1, X 2, X 3是X 的样本，试求E (X 12X 2X 3), D (X 1X 2X 3) 。
X 在(θ, θ
+1) 上服从均匀分布，(X 1, X 2, , X n ) 为一样本，则θ
的矩估计为
2、设总体X 服从方差为4的正态分布，
(X 1, X 2, , X n ) 是一样本，求n 使样本均值与总体均值之
差的绝对值不超过0.1的概率不小于0.95。
3、设总体
X ~N (4,4)，(X 1, X 2, , X 10) 为X 的简单随机样本，
1n
X =∑X i
n i =1
__
为样本均值，
__
1n
S =(X i -X ) 2为样本方差， ∑n -1i =12
（1）求P {S （2）若S =2.5，求P {X >6.569}。 >2.908}；
θ-1
⎧, 0
f (x , θ) =⎨(x 1, x 2,
⎪⎩0, 其它.
4、设总体 X 的概率密度
, x n ) 为一样本，试求θ
的
矩估计。
一章练习题参考解答
一、单项选择题
1、（D ）。 2、（A ）。 3、（B ）。 4、（B ）。 5、（D ）。 6、（A ）。 7、（C ）。 二、填空题
1、 2、 3、 4、 5、6、 7、；。 8、C 3C 7三、计算题
50149
C 95+C 5C 951739
1、解：P = 。 =50
9603C 100
12
3
C 10=40 。 9、
2、解：令 A ={抽取的电话号码由完全不相同的数字组成}，
2⨯104
B ={抽取的电话号码末位数是8}，则P (A ) =，P (B ) =。 55
2⨯102⨯10
3、解：
5
2⨯A 9
P (A B C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (BC ) -P (AC ) +P (ABC ) =5/8
4、解：令A ={ 2 件中有 1 件为次品}， B ={另一件也为次品}，欲求P (B |
22
C C =1-2而P (AB ) =2，P (A ) =1-P () C 10C 10
A ) ，
，故P (B |A ) =
P (AB ) 1
=。
P (A ) 5
5、解：设A ={任取一件产品为次品}，B i ={任取一件产品是第i 个车间生产的}， i =1,2,3， 则
A =B 1A B 2A B 3A ，且B 1A , B 2A , B 3A 两两互不相容；
已知P (B 1) =0.45, P (B 2) =0.35, P (B 3) =0.20，
P (A |B 1) =0.05, P (A |B 2) =0.04, P (A |B 3) =0.02；
①P (A ) =
P (B 1) P (A |B 1) +P (B 2) P (A |B 2) +P (B 3) P (A |B 3) =0.0405；
P (B 1A ) P (B 1) P (A |B 1) 5
==。
P (A ) P (A ) 9
②P (B 1
|A ) =
6、解：设 A i = {第i 次取到一等品}，B i = {取到第i 号箱}， i =1, 2,
A 1=B 1A 1B 2A 1, 且B 1 A 1, B 2 A 1 两两互不相容，从而
1101182
⋅+⋅=； 2502305
P (A 1) =P (B 1) P (A 1|B 1) +P (B 2) P (A 1|B 2) =A 1A 2=B 1A 1A 2
B 2A 1A 2, 且B 1A 1A 2, B 2A 1A 2 两两互不相容，从而
22
1A 101A 18276
； P (A 1A 2) =P (B 1) P (A 1A 2|B 1) +P (B 2) P (A 1A 2|B 2) =⋅2+⋅2=
2A 502A 301421
所求为P (A 2|A 1) =
P (A 1A 2) 690
=≈0.4856
P (A 1) 1421
7、解：以 A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 正常工作之事, 由于各元件独立工作，故 A 、B 、C 相互独立，且P (A ) =0.90, P (B ) =0.70, P (C ) =0.70， 所求为
P (AB AC ) =P (AB ) +P (AC ) -P (ABC )
=P (A ) P (B ) +P (A ) P (C ) -P (A ) P (B ) P (C ) =0.819。
四、证：P (B |
) =
P (AB ) P (BA ) P (B ) -P (AB )
，P (B |A ) =， =
P (A ) 1-P (A ) P (A )
代入P (B |) =P (B |A ) 得P (AB ) =P (A ) P (B ) ，故A 与B 相互独立。
随机变量及其分布练习题参考答案
一、单项选择题
1、（C ） 2、（B ） 3、（B ） 4、（A ） 5、（C ） 6、（A ） 7、（C ） 8、（A ） 9、（D ）。 二、填空题 1、a
=，b =X 的分布为
⎧2
⎪, x >1,
2、a =b =P {-1
⎪⎩0, x ≤1.
3、X ~ X 的概率分布为P {X
k 1k 510-k
=k }=C 10() () , k =0,1,
66
,10.
4、a
。 5、Φ(2.28)-Φ(1.5)=0.0555。 6、μ=－3，σ
7、 X 的分布律为
Y 的分布律为
P {X =Y }=a +
1
； 当 a = , 时， X 与 Y 相互独立。 6
8、X 与Y 的联合分布律为
Z =X +Y 的分布律为
9、
1⎧12
⎪, 1≤x ≤ e, 0≤y ≤, 22
f (x , y ) =⎨2x 10、N (μ1+μ2, σ1+σ
2)
⎪⎩0, 其它. ⎧1-y
⎪e , -10,
f (x , y ) =⎨2 Z 的分布为
⎪⎩0, 其它.
。
11、
三、计算题 1、解: X的分布律为
,
2、解: 令疵点数为 X ,
X ~π(λ) , 分布律为P {X =k }=
λk
k !
e -λ, k =0,1,
已知P {X
=0}=0.4493, 故e -λ=0.4493, λ=-ln0.4493≈0.8, 所求为
0.8k
≈0.0091。 P {X >4}=1-∑P {X =k }=1-0.4493∑
k =0k =0k !
4
4
3、解: (1) 由归一性得
⎰
-∞
+∞
f (x )d x =⎰
1-x =A arcsin x
1-1
=πA =1, 所以
令
A =1/π
(2)
。
1/2-1/2
P {|X |
1/2-1/2
x =1/3。
(3)
F (x ) =⎰
x -∞
⎧0, x
1⎪x
f (t )d x =⎨⎰x =arcsin x , -1≤x ≤1.
1π⎪⎪1, x >1. ⎩
4、解: 设某人造卫星偏离预定轨道的距离为X ，5次独立观测中“失败”的次数为Y ， 则
X ~N (0,42) ，每次观测“失败”的概率为
P {X >10}=1-P {|X /4|≤2.5}=2-2Φ(2.5)=0.0124，
由此得Y
~B (5,0.0124)，所求概率为
P {Y ≥2}=1-P {Y =0}-P {Y =1}
1
=1-(0.9876)
5-C 5(0.0124)(0.9876)4≈0.0015
5、解 (1)
(2)
(3)
6、(1)
(2) 两个边缘分布列为
因为
1551
P (Y =1) P (Y =1) =P (Y =1Y , =1) Y 1与Y 2不独立。 ，所以1212
99819
（3）P (Y 1+Y 2≤3) =P (Y 1=1, Y 2=1) +P (Y 1=1, Y 2=2) +P (Y 1=2, Y 2=1) =1/3；
P (Y 1=Y 2) =P (Y 1=1, Y 2=1) +P (Y 1=2, Y 2=2) +P (Y 1=3, Y 2=3) =1/3。
7、 解: (1) 由归一性得
⎰-∞⎰-∞
得a
+∞+∞
令2
f (x , y )d x d y =⎰d x ⎰(x +ax y )d y =⎰(2x +2ax )d x =+a =1,
0003
12
2
1
2
=
1
3
。
(2)
P {X +Y ≥1}=
⎰⎰x +y ≥1
f (x , y )d x d y =⎰d x ⎰
121-x
(x 2+
x y 65
)d y = 372
(3)
f X (x ) =⎰
+∞-∞
2x ⎧22x y 2
(x +)d y =2x +, 0≤x ≤1, ⎪
f (x , y )d y =⎨⎰033
⎪⎩0, 其它. 1y ⎧12x y
(x +)d x =+, 0≤y ≤2, ⎪⎰0
f (x , y )d x =⎨336
⎪⎩0, 其它. f (x , y ) ≠f X (x ) f Y (y ) , 故 X 与 Y 不独立。 ⎧x 23
⎪⎰04x d y =4x , 0≤x ≤1,
f (x , y )d y =⎨
⎪⎩ 0, 其它.
f Y (y ) =⎰
+∞-∞
在 f (x , y ) 的非零区域内
8、（1）
f X (x ) =⎰
+∞-∞
f Y (y ) =⎰
+∞-∞
⎧14x d x =2-2y , 0≤y ≤1, ⎪
f (x , y )d x =⎨⎪⎩ 0, 其它.
（2）在 f (x , y ) 的非零区域内
f (x , y ) ≠f X (x ) f Y (y ) , 故 X 与 Y 不独立。 f (x , y )d x d y =⎰
11/2
（3）P {X ≥1/2}=
⎰⎰x ≥1/2
d x ⎰
x 20
4x d y =x ⎰
x 21/2
15
； 16
4x d y =1/4。
P {X ≥1/2, Y ≥1/2}=
8/证明: Y 的分布函为
x ≥1/2y ≥
1/2
⎰⎰f (x , y )d x d y =⎰
1⎧ 0, y ≤1, ⎪y -1
y -1y -1⎪
}=⎨⎰3dx =F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P {3X +1≤y }=P {X ≤, 1
033⎪
⎪ 1, y ≥4. ⎩⎧1/3, 1
0, 其他. ⎩
随机变量的数字特征与中心极限定理复习自测题解答
一、单项选择题
1、（B ）。 2、（B ）。 3、（C ）。 4、（B ）。 5、（C ）。 6、（D ）。 二、填空题 1、N (μ, σ
2
， N (1-2μ, 4σ23) 。 2、 3、
4、
⎰2
+∞
2e -2x d x =e -1。 5、 0 。 6
、1-Φ=0.0007。 7、 37 。8、 0.9 。
10
11、，。
三、计算及证明题
⎧x , A 发生,
1、解：设保险费为 x 元，收益Y 元，则Y =⎨ Y 的分布律为
x -a , A 不发生, ⎩
令
故E (Y ) =x -ap =
a a
，求得x =ap +。
1010
2、解：（1）由归一性得
⎰-∞
+∞
f (x )d x =⎰ax d x +⎰(bx +c )d x =2a +6b +2c =1；
2
2
4
令8a 56b
++6c =2； x (bx +c )d x =33
24
令
而E (X ) =
⎰-∞xf (x )d x =⎰0x ⋅ax d x +⎰2
31
2
3
+∞
P {1
解得a
令33a 5b ++c =； f (x )d x =⎰ax d x +⎰(bx +c )d x =
12224
=
11
, b =-, c =1 44
X
（2）E (e
) =⎰
+∞-∞
e x f (x )d x =⎰e x ⋅
2
4x x 111
d x +⎰e x (1-)d x =e 4-e 2+。
244424
3、解：(X, Y) 的概率密度为
+∞-∞
+∞
⎧2, 0≤x ≤1, 1-x ≤y ≤1,
f (x , y ) =⎨
0, 其它,⎩
E (X +Y ) =⎰
=⎰d x ⎰
01
11-x
⎰-∞(x +y ) f (x , y )d x d y
10
(x +y )2d y =⎰(x 2+2x )d x =
1
11-x
4
， 3
12
E [(X +Y ) ]==⎰d x ⎰
2
(x +y ) 2d y =⎰
2
3
[(x +1) 3-1]dx =
11， 6
D (X +Y ) =E [(X +Y ) 2]-[E (X +Y )]2=
1。 18
4、解：E (X ) =
1
⎰-∞⎰-∞xf (x , y )d x d y =⎰0d x ⎰0x (x +y )d y =，
10
117111
, D (Y ) =；而E (XY ) =⎰d x ⎰xy (x +y )d y =，
00121443
+∞+∞11
E (X 2) =⎰d x ⎰x 2(x +y )d y =，D (X ) =E (X 2) -[E (X )]2=；
由对称性得E (Y ) =
故Cov(X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y ) =-
11，
ρXY ==-。 144115、解： 设X 为三次飞行后的修理次数，设
X i 为第i 次飞行后的修理次数，i =1, 2, 3，则
X =X 1+X 2+X 3, 则 E (X ) =E (X 1) +E (X 2) +E (X 3) =0.4+0.5+0.6=1.5。
数理统计复习自测题参考答案
一、单项选择题
1、（D ）。 2、（C ）。 3、（D ）。 4、（D ）。 二、填空题 1
； N (0,1)； t (n -1) ； χ2(n ) ； χ2(n -1)
。 __
2、； ； 3、χ
2
(1) 4、 ， 。 5、 X -
1
2
。 三、计算及证明题 1
、
解
：
X 1, X 2, X 3
独立且都服从
N (1,
，得
E (X i =)
E (X 2i ) =D (X 2i ) +[E (X i )]2=5，
i =1,2,3；从而E (X 2222(X 22
1X 2X 3) =E (X 1) E 2) E (X 3) =125， D (X X 2221X 2X 3) =E (1X 2X 3) -[E (X 1X 22X 3)]=
125-[E (X 1) E (X 2) E (X 3))]2=124
__
__
2、解：样本均值
X ~N
(μ, 4
n ) ~N (0,1) ，从而
__
P {|X __
-μ|≤0.1}=P {|
|≤=2Φ-1，欲，1
使
2Φ-1≥0.95，
则Φ≥
0.975，1.96⇒n ≥1536.64，得n 至少为1537。
(n -1) S 2
9S 29S 22
>19.027}， =~χ(9)，所以P {S >2.908}=P {3、解：（1）因为
2
σ4
而χ2
0.025(9)=19.023，故P {S
>2.908}≈0.025；
（2）
~t (n -
1) ~t (9)，所以
P {X >6.569}=P >3.2496}
，而
t 0P {X >
6≈.
5 69}0. 04、解：
E (X ) =⎰
+∞θ-∞
x f (x )d x =
⎰1
x ⋅θx θ-1d x =
θ+1
，解得θ=
E(X )
1-，从而得θ
的矩估计θ
ˆE(X )
=1-；
4(. =900
) 5
3. 故5
，2498
第一章《随机事件及概率》练习题
一、单项选择题
1、设事件A 与B 互不相容，且P (A ) ＞0，P (B ) ＞0，则一定有（ ）
（A ）P (A ) =1-
P (B ) ； （B ）P (A |B ) =P (A ) ；
（C ）P (A |B ) =1； （D ）P (A |B ) =1。 2、设事件A 与B 相互独立，且P (A ) ＞0，P (B ) ＞0，则（ ）一定成立 （A ）P (A |B ) =1- （C ）P (A ) =1-
P (A ) ； （B ）P (A |B ) =0；
P (B ) ； （D ）P (A |B ) =P (B ) 。
3、设事件A 与B 满足P (A ) ＞0，P (B ) ＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立
（A ）P (AB ) =
P (A ) P (B ) ； （B ）P (A B ) =P (A ) P (B ) ；
P (B ) ； （D ）P (A |B ) =P (A ) 。
⊂A ，则下列等式中正确的是（ ）
（C ）P (A |B ) =
4、设事件A 和B 有关系B （A ）P (AB ) = （C ）P (B |
P (A ) ； （B ）P (A B ) =P (A ) ；
A ) =P (B ) ； （D ）P (B -A ) =P (B ) -P (A ) 。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）
A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；
P (A ) P (B ) ； （D ）P (A -B ) =P (A ) 。
（C ）P (AB ) =
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A ) ≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）P (A
B ) =P (A ) +P (B ) ； （B ）P (A B ) ≠P (A ) +P (B ) ； P (A ) P (B ) ； （D ）P (AB ) =P (A ) P (B ) 。
B ) 等于（ ）
（C ）P (AB ) =
7、对于任意两个事件A 与B ，P (A - （A ）P (A ) - （C ）P (A ) -二、填空题 1、若
P (B ) （B ）P (A ) -P (B ) +P (AB ) ； P (AB ) ； （D ）P (A ) +P (B ) -P (AB ) 。
A ⊃B ，A ⊃C ，P (A )=0.9，P (B C ) =0.8，则P (A -BC ) =__________。
A
B ) =_______。
2、设P (A )=0.3，P (B )=0.4，P (A |B )=0.5，则P (B |A )=_______，P (B |
3、已知P (A ) =0.7，P (A -B ) =0.3，则P (AB ) = 4、已知事件
A 、B 满足P (AB ) =P (A ⋂B ) ，且P (A ) =p ，则P (B )
5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出
的是次品的概率为_____________。
6、设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是则A 在1次试验中出现的概率为__________。 7、设事件A ，B 的概率分别为P (A ) =81，
3, P (B ) =， ①若A 与B 相互独立，则
P (A B ) =_________； ②若A 与B 互不相容，则P (A B ) =___________。
8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为__________。
9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标被击中的概率为___________。 三、计算题
1、某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于1个的概率。
2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为 6 或 8；求 (1) 随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率； (2) 随机抽取的电话号码末位数是8的概率。 3、已知P (A ) =
P (B ) =P (C ) =4，P (AB )=0，P (AC ) =P (BC ) =，求A ，B ，C 至
少有一个发生的概率。
4、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。
5、一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%，
①从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；
②从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。
6、有两箱同类零件，第一箱装 50 只 (其中一等品 10 只) ，第二箱装 30 只(其中一等品 18 只) ；今从两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。
7、右边是一个串并联电路示意图， A 、B 、C 都 是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立 正常工作的概率(可靠性) ，求电路的可靠性。 四、证明：若P (B |
) =P (B |A ) ，则事件A 与B 相互独立。
第二、三章 《随机变量及其分布》练习题
一、单项选择题
1、设离散型随机变量X 的分布列为
F (x ) 为X 的分布函数， 则F (1.5)=（ ）
（A ） 0； （B ） 0.3； （C ） 0.6； （D ） 1。 2. 如下四个函数中， 哪一个不能作为随机变量X 的分布函数（ ）
⎧0, x
⎧0, x
⎪⎪
（A ）F (x ) =⎨； （B ）F (x ) =⎨ln(1+x ) ；
, x ≥0⎪⎪1/2, 1≤x
⎪⎩1, x ≥2⎧0, x
（C ）F (x ) =⎨x , 0≤x
-x
⎩1-e , x ≥0⎪4
⎪⎩1, x ≥2
3、当常数b =（ ）时，
p k =
b
(k =1,2, ) 为某一离散型随机变量的概率分布
k (k +1)
（A ） 2； （B ） 1； （C ） 1/2； （D ） 3。 4、设随机变量X 的分布函数为F X (x ) ，则随机变量Y （A ）
=2X +1的分布函数F Y (y ) 是（ ）
y 1y 11F (-) ； （B ） F (+1) ； （C ） 2F (y ) +1； （D ） F (y ) -。
22222
5、设随机变量
（A ）a （C ）a
X ~N (a , a 2) ，且Y =aX +b ~N (0,1)，则a , b 应取（ ）
=2, b =-2； （B ）a =-2, b =-1； =1, b =-1； （D ）a =-1, b =1。
f (x ) 在区间[a , b ]上等于sin x ，而在此区间外等于0，则区
6、设某一连续型随机变量X 的概率密度间[a , b ]为（ ） （A ）[0,π
/2]； （B ）[0,π]； （C ）[-π/2,0]； （D ）[0,3π/2]。
7、设随机变量X
~N (μ, σ2) ，则随σ的增大，则P {|X -μ|
（A ）单调增加； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定。
8、设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，P {X =-1}=P {Y =-1}=1/2，
P {X =1}=P {Y =1}=1/2，则下列式子成立的是（ ）
（A ）P {X （C ）P {X
=Y }=1/2； （B ）P {X =Y }=1； +Y =0}=1/4； （D ）P {XY =1}=1/4。
=min(X , Y ) 的分
9、设随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为F X (x ), F Y (y ) ，则Z 布函数为（ ） （A ）F Z (z ) =
F X (z ) （B ）F Z (z ) =F Y (z ) ；
（C ）F Z (z ) =min{F X (z ), F Y (z )}； （D ）F Z (z ) =1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]。 二、填空题
⎧0, x
1、设离散型随机变量X 的分布函数F (x ) =⎨2且P {X =2}=1/2，
⎪3-a , 1≤x
则a
=______，b =____ _ _，X 的分布列为_______ ___。
b ⎧
⎪a -2, x >1,
2、设随机变量X 的分布函数F (x ) =⎨ x
⎪⎩0, x ≤1,
则a
=______，b =____ _，P {-1
3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次，设X 表示3点朝上的次数，则X ~ ，X 的概率分布为
4、设随机变量X 的概率密度为数a
⎧4x 3, 0a }=P {X
⎩0, 其它,
=___ ___。
5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2％，且具有3.2％的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15－17.5％之间的概率为 。
6、设X ~N (μ, σ
) ，其概率密度
2
(x +3) 2
f (x ) =-}，则μ=___,σ=___。
4
7、 (X, Y) 的分布律为
则X 的分布律为 ，Y 的分布律为 ；
P {X =Y }=；当a =_____ ,
b =_____ 时， X 与 Y 相互独立。
8、设随机变量X 与Y 相互独立，且X 、Y 的分布律分别为
则X 与Y 的联合分布律为_______ ___； Z =X +Y 的分布律为。
9、设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2 围成， (X, Y) 在 D 上服从均匀分布， 则 (X, Y) 的概率密度为_______________ 。 10、若 X 与 Y 独立， 而X
22
~N (μ1, σ1), Y ~N (μ2, σ2), 则X +Y ~ 。
11、X 与Y 相互独立，且 X ~ U (−1, 1), Y ~ e (1)即
⎧e -y , y >0,
f Y (y ) =⎨,
⎩0, y ≤0,
则X 与Y 的联合概率密度
f (x , y ) =
⎧1, X >Y , Z =⎨ 的分布为。
⎩0, X ≤Y ,
三、计算题
1、3个不同的球，随机地投入编号为1，2，3，4的四个盒子中，X 表示有球盒子的最小号码，求X 的分布律。
2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品， 1个为一等品， 2至4个为二等品，4个以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493，则试求产品的废品率。
3、设随机变量 X 的概率密度为
x |≤1, f (x ) =
0, 其它. ⎩
试求 (1) A ;
(2) P {X |
4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从μ=0, σ=4的正态分布，观测者把偏离值超过10米
时称作“失败”，使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。 5、设X 的分布列为：
求：（1）X ＋2； （2）－X ＋1； （3）X 的分布列。
6、设随机变量
1
，记随机变量X 1与X 2独立同分布， 且已知P (X i =k ) =, (k =1, 2, 3; i =1, 2)
3
，Y 2=min{X 1, X 2}。 Y 1=max{X 1, X 2}
求（1）(Y 1, Y 2) 的联合分布列； （2）判断Y 1与Y 2是否互相独立； （3） 求P (Y 1+Y 2
≤3) ，P (Y 1=Y 2) 。
7、设 (X, Y) 的概率密度为
⎧x 2+a x y , 0≤x ≤1, 0≤y ≤2,
f (x , y ) =⎨
⎩0, 其它,
； (3) X 与Y 是否相互独立?
试求(1) a ；（2）P {X +Y ≥1}
8、已知(X , Y ) 的联合概率密度为
⎧4x , 0≤x ≤1, 0≤y ≤x 2,
f (x , y ) =⎨
⎩0, 其它, f X (x ), f Y (y ) ；
（1）求关于X 和Y 的边缘概率密度
（2）判断X 与Y 是否相互独立； （3）求P {X 9、设随机变量X 的概率密度为
≥1/2}；P {X ≥1/2, Y ≥1/2}
。
⎧1, ⎪f (x ) =⎨
⎪0, ⎩
求函数Y ＝3X +1的概率密度。
0≤x ≤1其它
第四、五章 《随机变量的数字特征与
中心极限定理》练习题
一、单项选择题
1、设 X ~ B (n , p ) ， 且 E ( X ) = 2.4, D ( X ) = 1.44, 则 （ ） （A ）n =
4, p =0.6；（B ）n =6, p =0.4；（C ）n =8, p =0.3；（D ）n =24, p =0.1。
2、设随机变量X 与Y 满足E (XY ) = （A ）D (XY ) =
E (X ) E (Y ) ，则（ ）
D (X ) D (Y ) ； （B ）D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) ；
（C ）X 与Y 独立； （D ）X 与Y 不独立。 3、随机变量X 服从区间(a , b ) 上均匀分布，
E (X ) =1, D (X ) =1/3，则区间(a , b ) 为（ ）
（A ）(0,1)； （B ）(-1,3) ； （C ）(0,2) ； （D ）(0.5,1.5)。 4、设X 1与（ ）
（A ）3/2； （B ）-3/2； （C ）3； （D ）-3。
5、设随机变量X 与Y 独立同分布，记U
X 2为两个随机变量，且D (X 1) =5, D (X 2) =8, D (X 1+X 2) =10，则cov(X 1, X 2) =
=X +Y , V =X -Y
，则U 与V 必（ ）
（A ）独立； （B ）不独立； （C ）不相关； （D ）相关系数不为零。
5、设X
的概率密度
(x +1) 2
f (x ) =-}，则E (2X 2-1) =（ ）
8（A ）1； （B ）6； （C ）4； （D ）9。
二、填空题
1、设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立，且都服从N (μ, σ1-
2
而Y =(X 1+X 2+X ) ，
3
) ，则Y ~
2Y ~
2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E [(X− 1)(X− 2)] = 1，则λ3、设X 与Y 相互独立，且
=。
X
~U (0,2),Y ~U (2,4)，则E (XY ) =D (X -Y ) =
>=
4、设X 服从均值为1/2
的指数分布，则P {X 5、若随机变量X 服从区间(-
ππ
, ) 上的均匀分布，则E (sinX ) = 。
44
6、一枚硬币连抛1000次， 则正面向上的次数大于等于550的概率为 7、已知D (X ) =25, D (Y ) =36, ρ(X , Y ) =0.4，则D (X 8、设X 与Y 的相关系数ρXY 9、设E (X ) =
-Y ) = 。
=0.9，若Z =X -0.4，则Y 与Z 的相关系数为
E (Y ) =0, E (X 2) =E (Y 2) =2，ρXY =0.5，则E [(X +Y ) 2]=
⎧1, X >0, ⎪
10、设随机变量X ~U (-1,2) ，Y =⎨0, X =0, 则D (Y ) =。
⎪-1, X
11、 (X, Y) 的分布律为
则E (X ) = ，E (Y ) = ，E (XY ) = 。 三、计算及证明题
1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A 发生，则赔a 元；经统计一年中A 发生的概率为公司期望得到收益的为
p ，若
a ，则要求顾客交多少保险费? ⎧a x , 0
f (x ) =⎨bx +c , 2≤x
⎪0, 其它. ⎩
X
2、设 X 的概率密度为
且 E (X )=2, P {1
+Y ) 。
3、设(X , Y ) 在以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求D (X
4、设 (X, Y) 的概率密度为
⎧x +y , 0≤x ≤1, 0≤y ≤1,
f (x , y ) =⎨ 试求ρXY 。
0, 其它,⎩
5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加0.1，求三次飞行后修理次数的数学期望。
《数理统计》练习题
一、单项选择题 1、设总体
__
X ~N (μ, σ2)
2
，μ未知，而σ
2
已知， ( X 1 , X 2 ,„, X n ) 为一样本，
1n
X =∑X i
n i =1
（A ）
__
1n
，S =(X i -X ) 2
，则以下样本的函数为统计量的是
∑n -1i =1
1
σ
(X i -μ) 2∑
i =1
n
2
； （B ）
1
σ
2
； （C (X -X ) ∑i 2i =1
n
； （D
2、
X ~N (0,σ2)
，(X 1, X 2, X 3, X 4) 为样本，，
服从的分布为（ ）
（A ）
N (0,1)； （B ）χ2(2)； （C ）t (2)； （D ）F (2,2)。
~N (0,1)
，而u α满足P {X
>u α}=α，若P {X
3、设随机变量X
（A ）u α； （B ）u 1-α2； （C ）u 1-2α； （D ）u (1-α) 。
4、设总体
X
的二阶矩存在，
(X 1, X 2, , X n )
为一样本，
1n
X =∑X i
n i =1
__
，
2S 0
1n
=∑(X i -X ) 2，则E (X 2) 的矩估计为（ ） n i =1
X
2
； （B ）S 0； （C ）
（A ）
n 1n 22
S 0； （D ）∑X i 。
n -1n i =1
二、填空题
1n
1、设总体X ~N (μ, σ) ， ( X 1 , X 2 , „, X n ) 为一样本，则∑X i ~
，
n i =1
2
~
~，
1
σ
(X i -μ) ~，2∑
2
i =1
n
1
σ
2
2
(X -X ) ~。 i 2∑i =1
n
__
2、设总体X
N (1,4)，(X 1, X 2, X 3) 为样本，X
是样本均值，S 为样本方差， 则
E (X ) =D (X ) =，E (S 2) =。
3、设总体
X ~N (μ, σ2)
， ( X 1 , X 2 ,„, X n ) 为一样本，X 是样本均值。则U =n (
X -μ
σ
) 2服从
的分布为 。 4、设X
N (0,4)，(X 1, X 2, X 3) 为样本，若要求[aX 12+b (X 2-X 3) 2]χ2(2)，则a
，b 。 5、设总体 三、计算题 1、设总体X
22
~N (1,4)，X 1, X 2, X 3是X 的样本，试求E (X 12X 2X 3), D (X 1X 2X 3) 。
X 在(θ, θ
+1) 上服从均匀分布，(X 1, X 2, , X n ) 为一样本，则θ
的矩估计为
2、设总体X 服从方差为4的正态分布，
(X 1, X 2, , X n ) 是一样本，求n 使样本均值与总体均值之
差的绝对值不超过0.1的概率不小于0.95。
3、设总体
X ~N (4,4)，(X 1, X 2, , X 10) 为X 的简单随机样本，
1n
X =∑X i
n i =1
__
为样本均值，
__
1n
S =(X i -X ) 2为样本方差， ∑n -1i =12
（1）求P {S （2）若S =2.5，求P {X >6.569}。 >2.908}；
θ-1
⎧, 0
f (x , θ) =⎨(x 1, x 2,
⎪⎩0, 其它.
4、设总体 X 的概率密度
, x n ) 为一样本，试求θ
的
矩估计。
一章练习题参考解答
一、单项选择题
1、（D ）。 2、（A ）。 3、（B ）。 4、（B ）。 5、（D ）。 6、（A ）。 7、（C ）。 二、填空题
1、 2、 3、 4、 5、6、 7、；。 8、C 3C 7三、计算题
50149
C 95+C 5C 951739
1、解：P = 。 =50
9603C 100
12
3
C 10=40 。 9、
2、解：令 A ={抽取的电话号码由完全不相同的数字组成}，
2⨯104
B ={抽取的电话号码末位数是8}，则P (A ) =，P (B ) =。 55
2⨯102⨯10
3、解：
5
2⨯A 9
P (A B C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (BC ) -P (AC ) +P (ABC ) =5/8
4、解：令A ={ 2 件中有 1 件为次品}， B ={另一件也为次品}，欲求P (B |
22
C C =1-2而P (AB ) =2，P (A ) =1-P () C 10C 10
A ) ，
，故P (B |A ) =
P (AB ) 1
=。
P (A ) 5
5、解：设A ={任取一件产品为次品}，B i ={任取一件产品是第i 个车间生产的}， i =1,2,3， 则
A =B 1A B 2A B 3A ，且B 1A , B 2A , B 3A 两两互不相容；
已知P (B 1) =0.45, P (B 2) =0.35, P (B 3) =0.20，
P (A |B 1) =0.05, P (A |B 2) =0.04, P (A |B 3) =0.02；
①P (A ) =
P (B 1) P (A |B 1) +P (B 2) P (A |B 2) +P (B 3) P (A |B 3) =0.0405；
P (B 1A ) P (B 1) P (A |B 1) 5
==。
P (A ) P (A ) 9
②P (B 1
|A ) =
6、解：设 A i = {第i 次取到一等品}，B i = {取到第i 号箱}， i =1, 2,
A 1=B 1A 1B 2A 1, 且B 1 A 1, B 2 A 1 两两互不相容，从而
1101182
⋅+⋅=； 2502305
P (A 1) =P (B 1) P (A 1|B 1) +P (B 2) P (A 1|B 2) =A 1A 2=B 1A 1A 2
B 2A 1A 2, 且B 1A 1A 2, B 2A 1A 2 两两互不相容，从而
22
1A 101A 18276
； P (A 1A 2) =P (B 1) P (A 1A 2|B 1) +P (B 2) P (A 1A 2|B 2) =⋅2+⋅2=
2A 502A 301421
所求为P (A 2|A 1) =
P (A 1A 2) 690
=≈0.4856
P (A 1) 1421
7、解：以 A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 正常工作之事, 由于各元件独立工作，故 A 、B 、C 相互独立，且P (A ) =0.90, P (B ) =0.70, P (C ) =0.70， 所求为
P (AB AC ) =P (AB ) +P (AC ) -P (ABC )
=P (A ) P (B ) +P (A ) P (C ) -P (A ) P (B ) P (C ) =0.819。
四、证：P (B |
) =
P (AB ) P (BA ) P (B ) -P (AB )
，P (B |A ) =， =
P (A ) 1-P (A ) P (A )
代入P (B |) =P (B |A ) 得P (AB ) =P (A ) P (B ) ，故A 与B 相互独立。
随机变量及其分布练习题参考答案
一、单项选择题
1、（C ） 2、（B ） 3、（B ） 4、（A ） 5、（C ） 6、（A ） 7、（C ） 8、（A ） 9、（D ）。 二、填空题 1、a
=，b =X 的分布为
⎧2
⎪, x >1,
2、a =b =P {-1
⎪⎩0, x ≤1.
3、X ~ X 的概率分布为P {X
k 1k 510-k
=k }=C 10() () , k =0,1,
66
,10.
4、a
。 5、Φ(2.28)-Φ(1.5)=0.0555。 6、μ=－3，σ
7、 X 的分布律为
Y 的分布律为
P {X =Y }=a +
1
； 当 a = , 时， X 与 Y 相互独立。 6
8、X 与Y 的联合分布律为
Z =X +Y 的分布律为
9、
1⎧12
⎪, 1≤x ≤ e, 0≤y ≤, 22
f (x , y ) =⎨2x 10、N (μ1+μ2, σ1+σ
2)
⎪⎩0, 其它. ⎧1-y
⎪e , -10,
f (x , y ) =⎨2 Z 的分布为
⎪⎩0, 其它.
。
11、
三、计算题 1、解: X的分布律为
,
2、解: 令疵点数为 X ,
X ~π(λ) , 分布律为P {X =k }=
λk
k !
e -λ, k =0,1,
已知P {X
=0}=0.4493, 故e -λ=0.4493, λ=-ln0.4493≈0.8, 所求为
0.8k
≈0.0091。 P {X >4}=1-∑P {X =k }=1-0.4493∑
k =0k =0k !
4
4
3、解: (1) 由归一性得
⎰
-∞
+∞
f (x )d x =⎰
1-x =A arcsin x
1-1
=πA =1, 所以
令
A =1/π
(2)
。
1/2-1/2
P {|X |
1/2-1/2
x =1/3。
(3)
F (x ) =⎰
x -∞
⎧0, x
1⎪x
f (t )d x =⎨⎰x =arcsin x , -1≤x ≤1.
1π⎪⎪1, x >1. ⎩
4、解: 设某人造卫星偏离预定轨道的距离为X ，5次独立观测中“失败”的次数为Y ， 则
X ~N (0,42) ，每次观测“失败”的概率为
P {X >10}=1-P {|X /4|≤2.5}=2-2Φ(2.5)=0.0124，
由此得Y
~B (5,0.0124)，所求概率为
P {Y ≥2}=1-P {Y =0}-P {Y =1}
1
=1-(0.9876)
5-C 5(0.0124)(0.9876)4≈0.0015
5、解 (1)
(2)
(3)
6、(1)
(2) 两个边缘分布列为
因为
1551
P (Y =1) P (Y =1) =P (Y =1Y , =1) Y 1与Y 2不独立。 ，所以1212
99819
（3）P (Y 1+Y 2≤3) =P (Y 1=1, Y 2=1) +P (Y 1=1, Y 2=2) +P (Y 1=2, Y 2=1) =1/3；
P (Y 1=Y 2) =P (Y 1=1, Y 2=1) +P (Y 1=2, Y 2=2) +P (Y 1=3, Y 2=3) =1/3。
7、 解: (1) 由归一性得
⎰-∞⎰-∞
得a
+∞+∞
令2
f (x , y )d x d y =⎰d x ⎰(x +ax y )d y =⎰(2x +2ax )d x =+a =1,
0003
12
2
1
2
=
1
3
。
(2)
P {X +Y ≥1}=
⎰⎰x +y ≥1
f (x , y )d x d y =⎰d x ⎰
121-x
(x 2+
x y 65
)d y = 372
(3)
f X (x ) =⎰
+∞-∞
2x ⎧22x y 2
(x +)d y =2x +, 0≤x ≤1, ⎪
f (x , y )d y =⎨⎰033
⎪⎩0, 其它. 1y ⎧12x y
(x +)d x =+, 0≤y ≤2, ⎪⎰0
f (x , y )d x =⎨336
⎪⎩0, 其它. f (x , y ) ≠f X (x ) f Y (y ) , 故 X 与 Y 不独立。 ⎧x 23
⎪⎰04x d y =4x , 0≤x ≤1,
f (x , y )d y =⎨
⎪⎩ 0, 其它.
f Y (y ) =⎰
+∞-∞
在 f (x , y ) 的非零区域内
8、（1）
f X (x ) =⎰
+∞-∞
f Y (y ) =⎰
+∞-∞
⎧14x d x =2-2y , 0≤y ≤1, ⎪
f (x , y )d x =⎨⎪⎩ 0, 其它.
（2）在 f (x , y ) 的非零区域内
f (x , y ) ≠f X (x ) f Y (y ) , 故 X 与 Y 不独立。 f (x , y )d x d y =⎰
11/2
（3）P {X ≥1/2}=
⎰⎰x ≥1/2
d x ⎰
x 20
4x d y =x ⎰
x 21/2
15
； 16
4x d y =1/4。
P {X ≥1/2, Y ≥1/2}=
8/证明: Y 的分布函为
x ≥1/2y ≥
1/2
⎰⎰f (x , y )d x d y =⎰
1⎧ 0, y ≤1, ⎪y -1
y -1y -1⎪
}=⎨⎰3dx =F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P {3X +1≤y }=P {X ≤, 1
033⎪
⎪ 1, y ≥4. ⎩⎧1/3, 1
0, 其他. ⎩
随机变量的数字特征与中心极限定理复习自测题解答
一、单项选择题
1、（B ）。 2、（B ）。 3、（C ）。 4、（B ）。 5、（C ）。 6、（D ）。 二、填空题 1、N (μ, σ
2
， N (1-2μ, 4σ23) 。 2、 3、
4、
⎰2
+∞
2e -2x d x =e -1。 5、 0 。 6
、1-Φ=0.0007。 7、 37 。8、 0.9 。
10
11、，。
三、计算及证明题
⎧x , A 发生,
1、解：设保险费为 x 元，收益Y 元，则Y =⎨ Y 的分布律为
x -a , A 不发生, ⎩
令
故E (Y ) =x -ap =
a a
，求得x =ap +。
1010
2、解：（1）由归一性得
⎰-∞
+∞
f (x )d x =⎰ax d x +⎰(bx +c )d x =2a +6b +2c =1；
2
2
4
令8a 56b
++6c =2； x (bx +c )d x =33
24
令
而E (X ) =
⎰-∞xf (x )d x =⎰0x ⋅ax d x +⎰2
31
2
3
+∞
P {1
解得a
令33a 5b ++c =； f (x )d x =⎰ax d x +⎰(bx +c )d x =
12224
=
11
, b =-, c =1 44
X
（2）E (e
) =⎰
+∞-∞
e x f (x )d x =⎰e x ⋅
2
4x x 111
d x +⎰e x (1-)d x =e 4-e 2+。
244424
3、解：(X, Y) 的概率密度为
+∞-∞
+∞
⎧2, 0≤x ≤1, 1-x ≤y ≤1,
f (x , y ) =⎨
0, 其它,⎩
E (X +Y ) =⎰
=⎰d x ⎰
01
11-x
⎰-∞(x +y ) f (x , y )d x d y
10
(x +y )2d y =⎰(x 2+2x )d x =
1
11-x
4
， 3
12
E [(X +Y ) ]==⎰d x ⎰
2
(x +y ) 2d y =⎰
2
3
[(x +1) 3-1]dx =
11， 6
D (X +Y ) =E [(X +Y ) 2]-[E (X +Y )]2=
1。 18
4、解：E (X ) =
1
⎰-∞⎰-∞xf (x , y )d x d y =⎰0d x ⎰0x (x +y )d y =，
10
117111
, D (Y ) =；而E (XY ) =⎰d x ⎰xy (x +y )d y =，
00121443
+∞+∞11
E (X 2) =⎰d x ⎰x 2(x +y )d y =，D (X ) =E (X 2) -[E (X )]2=；
由对称性得E (Y ) =
故Cov(X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y ) =-
11，
ρXY ==-。 144115、解： 设X 为三次飞行后的修理次数，设
X i 为第i 次飞行后的修理次数，i =1, 2, 3，则
X =X 1+X 2+X 3, 则 E (X ) =E (X 1) +E (X 2) +E (X 3) =0.4+0.5+0.6=1.5。
数理统计复习自测题参考答案
一、单项选择题
1、（D ）。 2、（C ）。 3、（D ）。 4、（D ）。 二、填空题 1
； N (0,1)； t (n -1) ； χ2(n ) ； χ2(n -1)
。 __
2、； ； 3、χ
2
(1) 4、 ， 。 5、 X -
1
2
。 三、计算及证明题 1
、
解
：
X 1, X 2, X 3
独立且都服从
N (1,
，得
E (X i =)
E (X 2i ) =D (X 2i ) +[E (X i )]2=5，
i =1,2,3；从而E (X 2222(X 22
1X 2X 3) =E (X 1) E 2) E (X 3) =125， D (X X 2221X 2X 3) =E (1X 2X 3) -[E (X 1X 22X 3)]=
125-[E (X 1) E (X 2) E (X 3))]2=124
__
__
2、解：样本均值
X ~N
(μ, 4
n ) ~N (0,1) ，从而
__
P {|X __
-μ|≤0.1}=P {|
|≤=2Φ-1，欲，1
使
2Φ-1≥0.95，
则Φ≥
0.975，1.96⇒n ≥1536.64，得n 至少为1537。
(n -1) S 2
9S 29S 22
>19.027}， =~χ(9)，所以P {S >2.908}=P {3、解：（1）因为
2
σ4
而χ2
0.025(9)=19.023，故P {S
>2.908}≈0.025；
（2）
~t (n -
1) ~t (9)，所以
P {X >6.569}=P >3.2496}
，而
t 0P {X >
6≈.
5 69}0. 04、解：
E (X ) =⎰
+∞θ-∞
x f (x )d x =
⎰1
x ⋅θx θ-1d x =
θ+1
，解得θ=
E(X )
1-，从而得θ
的矩估计θ
ˆE(X )
=1-；
4(. =900
) 5
3. 故5
，2498