王老师工作室
课题： 方阵问题（1） 学生： 时间段： 教学重难点：
解题关键：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵，找准方阵每边的数量，如果是空心方阵，还要找 准它的层数。 （1） 方阵问题四周数与每边数之间的数量关系式为：四周数=（每边数-1）×4 或者四周数=每边 数×4-4 ， 则每边数=四周数÷4+1 或者每边数=（四周数+4）÷4 （2） 实心方阵的数量关系为：总数=外层每边个数×外层每边个数 （3） 空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数-层数）×层数×4 最内层每边数=外层每边数-2×（层数-1）
最外层每边数=总数÷4÷层数+层数
年级：四年级升五年级 第 次课
授课日期：
授课内容： 一、知识导航 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正 好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题） 。根据排列规 律引出的计算问题称为方阵问题。 方阵问题一般分为实心方阵和空心方阵。 方阵问题的特点： 方阵每边的人或物的数量相等； 相邻两层的每边所含的人或物数量 相差 2；相邻两层间的人或物数量相差 8. 解题关键：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵，找准方阵每边的数量，如果是空心 方阵，还要找准它的层数。 （1） 方阵问题四周数与每边数之间的数量关系式为：四周数=（每边数-1）×4 或者 四周数=每边数×4-4 ， 则每边数=四周数÷4+1 或者每边数=（四周数+4）÷4 （2） 实心方阵的数量关系为：总数=外层每边个数×外层每边个数 （3） 空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数-层数）×层数×4 最内层每边数=外层每边数-2×（层数-1） 最外层每边数=总数÷4÷层数+层数 核心公式： 1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数÷4＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多 2 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 二、探索学习：方阵问题 例 1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
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根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数÷4+1， 可以求出方阵最 外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 。 【 巩 固 1 】某校五年级学生排成一个方阵，最外层一周的人数为60人.问方阵外 层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，
可以 求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 【 巩 固 2 】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个. 晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 解析： 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就 可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。 解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个） 解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计 算。 （14-3）×3×4=132（个） 答：摆这个方阵共需132个围棋子。 【巩固 3】一个正方形的队列横竖各减少一排共 27 人，求这个正方形队列原来有多 少人？ 解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 去掉的 27 人就是原来每行的人数乘以 2 再减去 1 人，所以（27+1）÷2 就是原 来方阵每行的人数。知道方阵每行的人数就可以求出方阵的总人数。 可知每边的人数是： ( 27 1) 2 14 （人） 原人数是： 1414 196 （人） 答：略。 【巩固 4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子 100 枚，最外边的一层共多 少枚棋子？ 解析：这要用到方阵的公式逆运算，100 必然是一个数的平方数 因为10 10 100 （人），并且是实心的方阵，所以最外层有 10 人。
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例 2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个 正方形队列减少一行和一列， 则要减少 33 人。 问参加团体操表演的运动员有多少人？ 解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、 每列人数相等；最外层每边人数是 5，去一行、一列则一共要去 9 人，因而我们可以 得到如下公式： 去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 原题中去掉一行、一列的人数是 33， 则去掉的一行（或一列） 人数＝ (33 1) 2 17 人 方阵的总人数为最外层每边人数的平方， 所以总人数为17 17 289 （人）
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【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
解析：如上图表
示的是一个 4 行 4 列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队 列的特点： （1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。 （2）去掉横竖各一排时，有且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列的，如 图中点 A 所示。 因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1， 或去掉的总人数＝减少后每 行人数×2＋1。 本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人） 答：如果去掉一行一列，要去掉 13 名学生，还剩下 36 名学生。 【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插 7 面。一共要准备多少面旗子？ 解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4 (7 1) 4 24 （面） 答：略。 练习：1.实验小学进行队列表演，排成一个实心方阵，最外层一周的人数为 80 人，
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最外层每边的人数是多少？参加队列表演的同学有多少人？
2.光明小学是四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只 好横竖各减少一排，这样共需去掉 13 人，四年级准备多少人参加表演？
全课总结。 作业：
学生： 请听老师说：
教师：
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课题： 方阵问题（1） 学生： 时间段： 教学重难点：
解题关键：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵，找准方阵每边的数量，如果是空心方阵，还要找 准它的层数。 （1） 方阵问题四周数与每边数之间的数量关系式为：四周数=（每边数-1）×4 或者四周数=每边 数×4-4 ， 则每边数=四周数÷4+1 或者每边数=（四周数+4）÷4 （2） 实心方阵的数量关系为：总数=外层每边个数×外层每边个数 （3） 空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数-层数）×层数×4 最内层每边数=外层每边数-2×（层数-1）
最外层每边数=总数÷4÷层数+层数
年级：四年级升五年级 第 次课
授课日期：
授课内容： 一、知识导航 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正 好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题） 。根据排列规 律引出的计算问题称为方阵问题。 方阵问题一般分为实心方阵和空心方阵。 方阵问题的特点： 方阵每边的人或物的数量相等； 相邻两层的每边所含的人或物数量 相差 2；相邻两层间的人或物数量相差 8. 解题关键：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵，找准方阵每边的数量，如果是空心 方阵，还要找准它的层数。 （1） 方阵问题四周数与每边数之间的数量关系式为：四周数=（每边数-1）×4 或者 四周数=每边数×4-4 ， 则每边数=四周数÷4+1 或者每边数=（四周数+4）÷4 （2） 实心方阵的数量关系为：总数=外层每边个数×外层每边个数 （3） 空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数-层数）×层数×4 最内层每边数=外层每边数-2×（层数-1） 最外层每边数=总数÷4÷层数+层数 核心公式： 1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数÷4＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多 2 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 二、探索学习：方阵问题 例 1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
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根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数÷4+1， 可以求出方阵最 外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 。 【 巩 固 1 】某校五年级学生排成一个方阵，最外层一周的人数为60人.问方阵外 层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，
可以 求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 【 巩 固 2 】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个. 晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 解析： 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就 可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。 解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个） 解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计 算。 （14-3）×3×4=132（个） 答：摆这个方阵共需132个围棋子。 【巩固 3】一个正方形的队列横竖各减少一排共 27 人，求这个正方形队列原来有多 少人？ 解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 去掉的 27 人就是原来每行的人数乘以 2 再减去 1 人，所以（27+1）÷2 就是原 来方阵每行的人数。知道方阵每行的人数就可以求出方阵的总人数。 可知每边的人数是： ( 27 1) 2 14 （人） 原人数是： 1414 196 （人） 答：略。 【巩固 4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子 100 枚，最外边的一层共多 少枚棋子？ 解析：这要用到方阵的公式逆运算，100 必然是一个数的平方数 因为10 10 100 （人），并且是实心的方阵，所以最外层有 10 人。
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例 2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个 正方形队列减少一行和一列， 则要减少 33 人。 问参加团体操表演的运动员有多少人？ 解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、 每列人数相等；最外层每边人数是 5，去一行、一列则一共要去 9 人，因而我们可以 得到如下公式： 去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 原题中去掉一行、一列的人数是 33， 则去掉的一行（或一列） 人数＝ (33 1) 2 17 人 方阵的总人数为最外层每边人数的平方， 所以总人数为17 17 289 （人）
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【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
解析：如上图表
示的是一个 4 行 4 列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队 列的特点： （1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。 （2）去掉横竖各一排时，有且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列的，如 图中点 A 所示。 因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1， 或去掉的总人数＝减少后每 行人数×2＋1。 本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人） 答：如果去掉一行一列，要去掉 13 名学生，还剩下 36 名学生。 【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插 7 面。一共要准备多少面旗子？ 解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4 (7 1) 4 24 （面） 答：略。 练习：1.实验小学进行队列表演，排成一个实心方阵，最外层一周的人数为 80 人，
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最外层每边的人数是多少？参加队列表演的同学有多少人？
2.光明小学是四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只 好横竖各减少一排，这样共需去掉 13 人，四年级准备多少人参加表演？
全课总结。 作业：
学生： 请听老师说：
教师：