函数周期性、对称性、零点
一、函数的周期性：对于函数y =f (x )，如果存在大于零的常数，使得x 取定义域内的任
意值时都有f (x +T )=f (x )，那么函数y =f (x )就叫做周期函数，T 叫做周期。 最小正周期：如果y =f (x )是以T 为周期的函数，那么kT (k ∈Z )也是y =f (x )的周期，因而，周期函数会有无数多个周期，如果这些周期中存在最小的值，那么这个最小的周期就叫做最小正周期。
例1：已知对于定义域内的任意一个x 都有f
(x +2)=f (x )，切当x ∈[-1,1)时，有
f (x )=x 2，求f (2014)，f (2013.5)
周期函数的判定以及性质：
1. 如果对于定义域内的任意x ，f (x )满足f (x +T )=-f (x )，那么函数f (x )就是
以2T 周期的函数。
2. 如果对于定义域内的任意x ，f (x )满足f (x +a )=f (x +b )(a ≠b )，那么函数
就是以b -a 为周期的函数。
二、函数的对称性：如果函数f (x )的定义域为M ，如果存在实数a ，使得对于任意的
a +x , a -x ∈M ，都有f (a +x )=f (a -x )，那么f (x )是以x =a 为对称轴的对称
函数。
例2：已知二次函数析式。
f (x )=-x 2+mx +2-m 满足f (1+x )=f (1-x )，求函数f (x )的解
函数对称性判定以及性质：
1. 如果f (x )是以x =a 为对称轴的对称函数，那么必有f (x )=f (2a -x )，同理如
果函数f (x )满足f (x )=f (2a -x )，那么f (x )是以x =a 为对称轴。 2. 如果函数满足f (a +x )=f (b -x )，那么函数f (x )一定是对称函数，对称轴为
x =
(a +x )+(b -x )=a +b 。
2
2
y =f (x -k
例3：求证函数
)关于x =k 对称。
例4：设二次函数
f (x )=-ax 2+bx +c (a ≠0) 满足条件
f (x -4)=f (2-x )，且f (x )≥x ；
2
1）当x ∈R 时，
⎛x +1⎫
2）当x ∈(0, 2)时，x ≤f (x )≤ ⎪
⎝2⎭
3）
；
f (x )在R 上的最小值为0.
f (x )的解析式。
求函数
三、函数的零点
1. 函数零点的定义：如果函数y =f (x )在实数α处等于0，f (α)=0，则α叫做这
个函数的零点。
函数零点的几种情况：
1）y =f (x )的零点，即方程f (x )=0的根，即y =f (x )的图像与x 轴交点的横坐标。
2）y =f (x )-c 的零点，即方程f (x )=c 的根，即函数y =f (x )与函数y =c 的交点的横坐标。
3）y =f (x )-g (x )的零点，即方程f (x )=g (x )的根，即函数y =f (x )与函数
y =g (x )交点的横坐标。
例5：判断函数
y =2x -x -2的零点的个数。
2. 函数零点区间的判断（零点存在原理）：如果函数y =f (x )在区间[a , b ]上是连续
的，并且f (a )f (b )
例6：函数
f (x )=x 3-2x 2+3x -6在区间[-2, 4]上的零点所在的区间是（ ）
A ．
[-2,1] B.⎡⎢
5⎤⎡7⎤⎡75⎤
, 4⎥ C.⎢1, ⎥ D.⎢, ⎥
⎣42⎦⎣2⎦⎣4⎦
3. 通过函数零点的范围来求参数取值范围。
例7：已知方程7x -(k +13)x +k -k -2=0有两个不等实根x 1, x 2，且
2
2
0
四、函数图像变换
1. 平移变换：上加下减，左加右减。
将函数y =f (x )，向上平移k 个单位，变为y =f (x )+k ，向下平移k 个单位，变为
y =f (x )-k ，向左平移k 个单位，变为y =f (x +k )，向右平移k 个单位，变为y =f (x -k )。上下平移时，将k 加减到函数上，左右平移时，将k 加减到x 上。
例8：将函数
例9：如何将函数
y =f (x 2)向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的函数为。
⎛1⎫⎛1⎫y =f -x ⎪平移成y =f -x -2⎪。
⎝2⎭⎝2⎭
2. 对称变换：
1） 反比例函数的平移：将反比例函数y =
k
向右平移a 个单位，再向上平移b 个x
k bx -ab +k k
单位，得到y =，由于反比例函数y =的对称中心为+b =
x -a x -a x
k
+b 的对称中心也随之平移为(a , b )，因而形如(0,0)，因而函数y =
x -a y =
cx +d ⎛b c ⎫
的函数为中心对称函数，对称中心为 -, ⎪。 ax +b ⎝a a ⎭
例9：求函数y =
2x +1
的对称中心。 x -2
2） 两个函数关于x =k 对称，两个函数y =f (a +x )与y =f (b -x )是对称的，
求对称轴的方法为：令a +x =b -x ，解得x =
例10：已知
b -a
为两个函数的对称轴。 2
f (x )=x 2，求与f (x )关于x =2对称的函数。
3） 图像对称变换总结：原函数为y =f (x )，与其关于x 轴对称的函数为
y =-f (x )，关于y 轴对称的函数为y =f (-x )，关于原点对称的函数为y =-f (-x )。
函数y =f
(x )关于y 轴对称，函数y =f (x )与y =f (x )在x 轴上方图像
y =ln x 关于原点对称的函数的解析式。
相同，x 轴下方图像做关于x 轴的对称变换。
例11：求与函数
作业：
1． 设集合P={x 0≤x ≤4},Q={y 0≤y ≤2}, 由以下列对应f 中不能构成A 到B 的映射的是 ．．（ ）A ．y =
12
x B． y =
13
x C． y =
2
23
x D． y =
18
x
2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=-x+1; (3)y=x-1; (4)y=
1x
, 其中定义域与值域相同
的是（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(4) C．2)(3) D．(2)(3)(4) 3．已知函数f (x ) =ax 7+bx +
c x
-2, 若f (2006)=10, 则f (-2006) 的值为（ ）
A ．10 B． -10 C．-14 D．无法确定 4．设函数f (x ) =⎨
(a +b ) +(a -b ) ⋅f (a -b ) ⎧-1(x >0)
，则(a ≠b ) 的值为（ ）
2⎩1(x
A ．a B．b C ．a 、b 中较小的数 D．a 、b 中较大的
数
5．已知矩形的周长为1, 它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中, 定义域为（ ） A ．x 0
{
14
}
2
B． x 0
{
12
}
C． x
{
14
12
}
D． x
{
14
}
6．已知函数y=x-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3, 最小值是2, 则实数a 的取值范围是（ ） A ．0
7．已知函数y =f (x ) 是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若f (a ) ≥f (2)，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C．a ≥-2 D ．-2≤a ≤2 8．已知奇函数f (x ) 的定义域为(-∞, 0) ⋃(0,+∞) ，且对任意正实数x 1, x 2(x 1≠x 2) ，恒有
f (x 1) -f (x 2) x 1-x 2
>0，则一定有（ ）
A ．f (3)>f (-5) B ．f (-3) f (3) D ．f (-3) >f (-5)
1+x 1-x
9．已知函数f (x ) =的定义域为A, 函数y=f(f(x))的定义域为B, 则（ ）
A ．A ⋃B =B B． A ⋃B =A C．A ⋂B =Φ D．A ⋂B =A
2
10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数, 且当x ≥0时，f(x)=x-2x, 则f(x)在x ≤0时的解析式是（ ）
222
A ． f(x)=x-2x B． f(x)=x+2x C． f(x)= -x+2x
2
D． f(x)= -x-2x
11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是x =x 0, 它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 （ ）
A ． x 0≥b B．x 0≤a C．x 0∈[a , b ] D．x 0∉(a , b ) 12．如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上（ ） A ．增函数且有最小值-5 B． 增函数且有最大值-5 C．减函数且有最小值-5 D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数f (x ) =
x
22
1+x
，则f (1)+f (2)+f (3)+f () +f () =
2
3
11
14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ．
2
15．定义域为[a -3a -2, 4]上的函数f(x)是奇函数，则． 16．设f (x ) =x 3-3x , g (x ) =x 2-2，则g (f (x )) =
17．作出函数y =-x +2x +3的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域．
18．定义在R 上的函数f (x ) 满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (
2
2
x 1+x 2
2
) ≤f (x 1)+f (x 2) ］，
2
1
则称函数f (x ) 是R 上的凹函数. 已知函数f (x ) ＝ax +x (a ∈R 且a ≠0) ，求证：当a ＞0时，函数f (x ) 是凹函数；
19．定义在(－1，1) 上的函数f (x ) 满足：对任意x 、y ∈(－1，1) 都有f (x )+f (y )=f (
x +y 1+xy
) ．
(1)求证：函数f (x ) 是奇函数；
(2)如果当x ∈(－1，0) 时，有f (x ) ＞0，求证：f (x ) 在(－1，1) 上是单调递减函数；
20．记函数f (x ) 的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0) 为坐标的点是函数f (x ) 的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=
3x -1x +a
的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x ) 存在有限个“稳定点”，求证：f (x ) 必有奇数个“稳定点”．
函数周期性、对称性、零点
一、函数的周期性：对于函数y =f (x )，如果存在大于零的常数，使得x 取定义域内的任
意值时都有f (x +T )=f (x )，那么函数y =f (x )就叫做周期函数，T 叫做周期。 最小正周期：如果y =f (x )是以T 为周期的函数，那么kT (k ∈Z )也是y =f (x )的周期，因而，周期函数会有无数多个周期，如果这些周期中存在最小的值，那么这个最小的周期就叫做最小正周期。
例1：已知对于定义域内的任意一个x 都有f
(x +2)=f (x )，切当x ∈[-1,1)时，有
f (x )=x 2，求f (2014)，f (2013.5)
周期函数的判定以及性质：
1. 如果对于定义域内的任意x ，f (x )满足f (x +T )=-f (x )，那么函数f (x )就是
以2T 周期的函数。
2. 如果对于定义域内的任意x ，f (x )满足f (x +a )=f (x +b )(a ≠b )，那么函数
就是以b -a 为周期的函数。
二、函数的对称性：如果函数f (x )的定义域为M ，如果存在实数a ，使得对于任意的
a +x , a -x ∈M ，都有f (a +x )=f (a -x )，那么f (x )是以x =a 为对称轴的对称
函数。
例2：已知二次函数析式。
f (x )=-x 2+mx +2-m 满足f (1+x )=f (1-x )，求函数f (x )的解
函数对称性判定以及性质：
1. 如果f (x )是以x =a 为对称轴的对称函数，那么必有f (x )=f (2a -x )，同理如
果函数f (x )满足f (x )=f (2a -x )，那么f (x )是以x =a 为对称轴。 2. 如果函数满足f (a +x )=f (b -x )，那么函数f (x )一定是对称函数，对称轴为
x =
(a +x )+(b -x )=a +b 。
2
2
y =f (x -k
例3：求证函数
)关于x =k 对称。
例4：设二次函数
f (x )=-ax 2+bx +c (a ≠0) 满足条件
f (x -4)=f (2-x )，且f (x )≥x ；
2
1）当x ∈R 时，
⎛x +1⎫
2）当x ∈(0, 2)时，x ≤f (x )≤ ⎪
⎝2⎭
3）
；
f (x )在R 上的最小值为0.
f (x )的解析式。
求函数
三、函数的零点
1. 函数零点的定义：如果函数y =f (x )在实数α处等于0，f (α)=0，则α叫做这
个函数的零点。
函数零点的几种情况：
1）y =f (x )的零点，即方程f (x )=0的根，即y =f (x )的图像与x 轴交点的横坐标。
2）y =f (x )-c 的零点，即方程f (x )=c 的根，即函数y =f (x )与函数y =c 的交点的横坐标。
3）y =f (x )-g (x )的零点，即方程f (x )=g (x )的根，即函数y =f (x )与函数
y =g (x )交点的横坐标。
例5：判断函数
y =2x -x -2的零点的个数。
2. 函数零点区间的判断（零点存在原理）：如果函数y =f (x )在区间[a , b ]上是连续
的，并且f (a )f (b )
例6：函数
f (x )=x 3-2x 2+3x -6在区间[-2, 4]上的零点所在的区间是（ ）
A ．
[-2,1] B.⎡⎢
5⎤⎡7⎤⎡75⎤
, 4⎥ C.⎢1, ⎥ D.⎢, ⎥
⎣42⎦⎣2⎦⎣4⎦
3. 通过函数零点的范围来求参数取值范围。
例7：已知方程7x -(k +13)x +k -k -2=0有两个不等实根x 1, x 2，且
2
2
0
四、函数图像变换
1. 平移变换：上加下减，左加右减。
将函数y =f (x )，向上平移k 个单位，变为y =f (x )+k ，向下平移k 个单位，变为
y =f (x )-k ，向左平移k 个单位，变为y =f (x +k )，向右平移k 个单位，变为y =f (x -k )。上下平移时，将k 加减到函数上，左右平移时，将k 加减到x 上。
例8：将函数
例9：如何将函数
y =f (x 2)向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的函数为。
⎛1⎫⎛1⎫y =f -x ⎪平移成y =f -x -2⎪。
⎝2⎭⎝2⎭
2. 对称变换：
1） 反比例函数的平移：将反比例函数y =
k
向右平移a 个单位，再向上平移b 个x
k bx -ab +k k
单位，得到y =，由于反比例函数y =的对称中心为+b =
x -a x -a x
k
+b 的对称中心也随之平移为(a , b )，因而形如(0,0)，因而函数y =
x -a y =
cx +d ⎛b c ⎫
的函数为中心对称函数，对称中心为 -, ⎪。 ax +b ⎝a a ⎭
例9：求函数y =
2x +1
的对称中心。 x -2
2） 两个函数关于x =k 对称，两个函数y =f (a +x )与y =f (b -x )是对称的，
求对称轴的方法为：令a +x =b -x ，解得x =
例10：已知
b -a
为两个函数的对称轴。 2
f (x )=x 2，求与f (x )关于x =2对称的函数。
3） 图像对称变换总结：原函数为y =f (x )，与其关于x 轴对称的函数为
y =-f (x )，关于y 轴对称的函数为y =f (-x )，关于原点对称的函数为y =-f (-x )。
函数y =f
(x )关于y 轴对称，函数y =f (x )与y =f (x )在x 轴上方图像
y =ln x 关于原点对称的函数的解析式。
相同，x 轴下方图像做关于x 轴的对称变换。
例11：求与函数
作业：
1． 设集合P={x 0≤x ≤4},Q={y 0≤y ≤2}, 由以下列对应f 中不能构成A 到B 的映射的是 ．．（ ）A ．y =
12
x B． y =
13
x C． y =
2
23
x D． y =
18
x
2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=-x+1; (3)y=x-1; (4)y=
1x
, 其中定义域与值域相同
的是（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(4) C．2)(3) D．(2)(3)(4) 3．已知函数f (x ) =ax 7+bx +
c x
-2, 若f (2006)=10, 则f (-2006) 的值为（ ）
A ．10 B． -10 C．-14 D．无法确定 4．设函数f (x ) =⎨
(a +b ) +(a -b ) ⋅f (a -b ) ⎧-1(x >0)
，则(a ≠b ) 的值为（ ）
2⎩1(x
A ．a B．b C ．a 、b 中较小的数 D．a 、b 中较大的
数
5．已知矩形的周长为1, 它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中, 定义域为（ ） A ．x 0
{
14
}
2
B． x 0
{
12
}
C． x
{
14
12
}
D． x
{
14
}
6．已知函数y=x-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3, 最小值是2, 则实数a 的取值范围是（ ） A ．0
7．已知函数y =f (x ) 是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若f (a ) ≥f (2)，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C．a ≥-2 D ．-2≤a ≤2 8．已知奇函数f (x ) 的定义域为(-∞, 0) ⋃(0,+∞) ，且对任意正实数x 1, x 2(x 1≠x 2) ，恒有
f (x 1) -f (x 2) x 1-x 2
>0，则一定有（ ）
A ．f (3)>f (-5) B ．f (-3) f (3) D ．f (-3) >f (-5)
1+x 1-x
9．已知函数f (x ) =的定义域为A, 函数y=f(f(x))的定义域为B, 则（ ）
A ．A ⋃B =B B． A ⋃B =A C．A ⋂B =Φ D．A ⋂B =A
2
10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数, 且当x ≥0时，f(x)=x-2x, 则f(x)在x ≤0时的解析式是（ ）
222
A ． f(x)=x-2x B． f(x)=x+2x C． f(x)= -x+2x
2
D． f(x)= -x-2x
11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是x =x 0, 它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 （ ）
A ． x 0≥b B．x 0≤a C．x 0∈[a , b ] D．x 0∉(a , b ) 12．如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上（ ） A ．增函数且有最小值-5 B． 增函数且有最大值-5 C．减函数且有最小值-5 D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数f (x ) =
x
22
1+x
，则f (1)+f (2)+f (3)+f () +f () =
2
3
11
14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ．
2
15．定义域为[a -3a -2, 4]上的函数f(x)是奇函数，则． 16．设f (x ) =x 3-3x , g (x ) =x 2-2，则g (f (x )) =
17．作出函数y =-x +2x +3的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域．
18．定义在R 上的函数f (x ) 满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (
2
2
x 1+x 2
2
) ≤f (x 1)+f (x 2) ］，
2
1
则称函数f (x ) 是R 上的凹函数. 已知函数f (x ) ＝ax +x (a ∈R 且a ≠0) ，求证：当a ＞0时，函数f (x ) 是凹函数；
19．定义在(－1，1) 上的函数f (x ) 满足：对任意x 、y ∈(－1，1) 都有f (x )+f (y )=f (
x +y 1+xy
) ．
(1)求证：函数f (x ) 是奇函数；
(2)如果当x ∈(－1，0) 时，有f (x ) ＞0，求证：f (x ) 在(－1，1) 上是单调递减函数；
20．记函数f (x ) 的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0) 为坐标的点是函数f (x ) 的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=
3x -1x +a
的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x ) 存在有限个“稳定点”，求证：f (x ) 必有奇数个“稳定点”．