考生答题情况分析

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

考生答题情况分析

2014 年高考是湖南实施新课改实验之后的第五次高考。今年的高考数学试卷，借鉴了我省历年高考数学命题的经验，以《考试大纲》、《考试说明》为基础，从“继承经验、稳定发展、改革创新、突出选拔”等方面来体现课程标准的内涵、要求与理念。试卷在整体上体现了“知能并重、深化能力立意；突出作为数学核心的思维能力的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。

1．理科考生答题情况分析

1.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题25分和解答题75分)，考生的平均分、难度、0分率及满分率见表. 1.1

表 1.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数188490)

（选择题得分：32.23） 1.2 理科填空题: 1.2.1得分情况:

11-13题满分10分，平均分6.64分，得分分布见表1.2。

表1.2 理科11-13题分值分布 14-16题满分15分，平均分6.17分，得分分布见表1.3。

表1.3 理科14-16题分值分布

1.2.2 试题分析

选做题符合考纲要求，题目不难，属容易题。必做题考查了综合运用有关知识解决问题的能力。较去年而言，本大题全是常规题，符合考生思维，没有创新题和自定义题，变化起伏较大。

1.2.3 考生失分主要原因

（1）审题不清，概念模糊。

例如，第11题中，求直线的极坐标方程，写成直线方程x-y-1=0或参数方程

⎧2x=1+t⎪⎪2（t为参数）

，或将y=k与y=x的交点，写成（-k,-k），导致结果为2。 ⎨

⎪y=2t⎪2⎩

（2）公式化简错误。

例如，将ρcosθ-ρsinθ=1化成一个角的一个三角函数时，化为ρsin(θ-

或ρsin(θ+

π2

或ρcos(θ+)=2等错误形式。

15351

=-得到a=，或由=得到a35a3

（3）运算能力不强。

如：①第13题，不考虑不等式的解，单方面由-

a=15。

②第15题，计算体思想求解关于

的值，一方面求点F的坐标出错，写成(a+b,b)，另一方面用整a

的二次方程出错。 a

（4）书写不规范。

如：①在阅卷过程中，“3”与“5”分辨不清，负号与数字相隔太近。

②第11题中，点的极坐标是（ρ,θ），而有的考生答题不规范，写出（ρ,x）、（ϕ,x）等形状，于是得到ρcosx-ρsinx=1、ϕcosx-ϕsinx=1、cosθρ-sinθρ=1、

ρ=

、ρsinθ-ρcosθ=-1等五花八门的结果。

cosθ-sinθ

③第12题中，答案写成1+

1、+等形式。 22

④第16题中，8+2不会化成1+7。（5）灵活运用知识解决问题的能力不强。

例如，第16题考查平面向量的加减运算、坐标表示及模的问题，许多考生对考查的知识点不熟练，对该题望而生畏。此题若方法运用适当，结果明了，解法如下：

|++|=|+++|≤|++|+||

=|(2,)|+1=1+7

1.3 理科17题 1.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分9.46分，得分分布见表1.4。

表1.4 理科17题分值分布

1.3.2 试题分析

本题注重关于概率、分布列、期望的“三基”（基础知识、基本思想方法、基本技能）的考查，将要考查的知识点、解题方法和解题能力放在现实生活中的背景下，体现了“数学即生活”的理念。题目虽传统却有新意，紧密联系生活实际。难度中等偏下，符合高考概率考查的要求及准则，有利于提高全省数学平均分。 1.3.3 考生失分主要原因

大部分学生都能动笔，是答题的一个特色，都能运用相关公式进行三角恒等变换，能有意识地变角、变结构、降次；但部分学生对降次处理不明确，公式记忆不牢导致不够精准的答案层出不穷。

常见的错误有：（1）公式记忆不牢。

例如，概率的加法公式、乘法公式混淆，出现P(A+B)=P(A)∙P(B)、

P(AB)=P(A)+P(B)、P(A)=P()等错误，这是由概念理解不清而导致的。

（2）没能理解题意，思维品质不佳（不理解随机变量“企业可获利润”的含义）。如：①设变量X的可能取值有0，1，2，3 ②设变量X的可能取值有-220，-20，20，220

③所求数学期望为EX=

⨯120+⨯100=140 35

（3）知识网络错乱，知识点混淆不清。如：①第（I）问中，设成功为1，失败为2，则

A B

1 1 2

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

所以所求概率ρ=

[**************]

②出现P=C2∙⨯=或P=C2∙⨯+C2∙⨯+C2∙⨯=等错

[1**********]

误。

（4）计算能力不强。

例如，有不少考生出现P=1-

124214

⨯=、EX=0⨯+100⨯+120⨯ 35515515

+220⨯

2400

=139或等计算错误。

1.3.4 本题除“国标”之外的优秀解法

解法一：P=P(F+E+EF)=P()+P(E)+P(EF)=P()P(F)+P(E)P()

13222313

+P(E)P(F)=⨯+⨯+⨯=

35353515

解法二：P(E+F)=P(E)+P(F)-P(EF)=P(E)+P(F)-P(E)P(F)

232313+-⨯= 353515

或P=P(E)+P()=P(E)+P()P(F)=P(E)+(1-P(E))P(F)

1.4 理科18题 1.4.1 得分情况

22313⨯(1-)⨯= 33515

本题满分12分，平均分7.53分，得分分布见表1.5。

表1.5 理科18题分值分布

1.4.2 试题分析

本题主要考查三角函数的和、差角公式及三角形中的正弦定理、余弦定理，解法比较直接，难度适当。此题与2013年全国高考（全国大纲卷，新课标）有相似之处，对三角函数的知识点涉及面较广，是一道成功的好试题。 1.4.3 考生失分主要原因

（1）对基本公式、定理没有掌握。

AD2+AC2-2AD∙AC

①运用余弦定理出错：cos∠CAD=、cos∠CAD=

CD2

AC2∙AD2-CD2

2AC∙AD

、

CD2+AC2-AD2

cos∠CAD=

2AC∙AD

、

cos∠CAD=

AD2+AC2-CD2222

等，其中CD=AC+AD+2AC∙AD∙cos∠CAD的错误较多。

AD∙AC

②运用正弦定理出错：

BCsin∠ABC

sin∠BACAC

α+β)=cosα+cosβ、cos(α-β)= ③运用正、余弦的和、差角公式出错：cos(

cosα-cosβ、cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ、sin(α-β)=sin(αcosβ+ cosαsinβ)等。

（2）思维品质欠佳，思路不清晰。

例如，第（II）问中，直接用∠BAC=∠BAD-∠CAD，再用差角公式，很快求出

sin∠BAC=

，得出BC=3。但能运用差角公式的考生不多，多数考生用2

∠BAD=∠BAC+∠CAD，再用和角公式，增加了运算量，降低了准确率。甚至有些考生

猜出∠BAC=60，直接得出结果，忽视思维过程。（3）运算能力欠缺。

本题中，相当一部分考生因为运算错误导致失分，最后结果不能化简，如：

sin∠BAD=

49272

和sin∠CAD=-cos2CAD=-()

981414987

等错误。 7

（4）审题看题欠细心，导致失误。

例如，部分考生把CD看成2，本题要求cos∠CAD，而较多考生求cos∠ACD。

1.4.4 本题除“国标”之外的优秀解法

（I）问另解一：过D作DE⊥AC，设AE=x 则CE=7-x

DE=12-x2=22-(7-x)2，解得x=

∴cos∠CAD=cos∠EAD=

AE27

AD7

（I）问另解二：延长AD，过C作AD延长线的垂线，设垂足为H。设DH=x，CH=y

⎧⎧x=1⎪x+y=4则⎨解得⎨ 22

⎪⎩y=3⎩(x+1)+y=7

cos∠CAD=cos∠CAH=

1.5 理科19题 1.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分6.48分，得分分布见表1.6。

表1.6 理科19题分值分布

1.5.2 试题分析

本题主要考查空间线面关系等基础知识，涉及到垂直关系的证明以及线面角的求法等知

识点，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力。问题求解思维开阔，解题方法多，是一道考查基础知识的同时，又注重考查学生空间思维能力与逻辑推理的好题。 1.5.3 考生失分主要原因

考生基本能准确应用线线垂直、线线平行和线面垂直的性质，能利用定理进行合理的推理论证，能恰当地应用空间直角坐标系研究空间角。但也有部分考生表现出问题分析能力较弱、数学语言表达不到位、计算能力欠缺等问题。

几种典型失误如下：

（1）推理论证不符合数理逻辑。

例如，在第（I）问的论证中，已知条件根本没有运用，而得出许多与问题有关的结论，即表现出没有“因为”、只有“所以”的推理过程。

（2）错误地自造条件。

例如，题设条件是：“四棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都相等”，而许多考生直接由“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1”进行论证推导，或由“底面ABCD是菱形”推导出“平面ABCD⊥平面BDD1B1”等。

（3）推理论证目标不明确。

例如，第（I）问的论证过程中，许多考生将题设中的所有条件可能得到的结论全部表述后，推导出与之相关的所有结果，从而不能实现题设结论的合理推理论证。

（4）错误或不恰当地建立空间直角坐标系。

例如，以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；以O1为原点，O1C1、O1D1、O1O分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系等。

（5）不能以最佳方式建立空间直角坐标系，导致相关点的坐标表示全错误（如横纵坐标错位），使得后续平面法向量的计算复杂而出现错误。

（6）在没有通过论证的前提下，使用一些事实性结论。

例如，没有论证平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面ACC1A1⊥平面ABCD的前提下，直接得出平面BDD1B1与平面ACC1A1的交线OO1垂直于平面ABCD；设二面角C1—OB1—D的大小为θ，直接应用公式cosθ=

S∆O1B1O

计算二面角C1—OB1—D的余弦值。

S∆C1B1O

1.6 理科20题 1.6.1 得分情况

本题满分13分，平均分2.68分，得分分布见表1.7。

表1.7 理科20题分值分布

2.6.2 试题分析

本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，分类与整合的思想以及推理论证能力，是一道中档偏难的数列综合题，区分度较好。第（2）问求解思维开阔，解题方法多，是一道既考查基础知识和方法，又注重考查考生思维能力的好题。 12.6.3 考生失分主要原因

（1）对基础知识掌握不到位，公式记忆与理解出现错误。如：①a1,2a2,3a3成等差数列，错误得到(2a2)2=a1⋅(3a3)

②第（I）问中，没有考虑p=0时，an+1=an，这与{an}是递增数列矛盾 ③由an+1-an=()去绝对值时，错误得到an+1-an=() ④等比数列前n项和公式记错

⑤{a2n}是递减数列，错误认为是a2n

p=3（或-

13或）。 33

-2+ 22

②由累加法求an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=1+

1(-1)n41(-1)n

+n-1因为符号或项数不清楚，错误地求出an=-∙n（或an=2-n）。

23322

（3）逻辑思维能力较弱，数学思维品质较差。如：①用猜想代替论证。第（Ⅱ）问中求出a2=1+

1112

，a3=1+-()，就得到222

11241(-1)n(-1)n+1

an=+⋅n-1；求出a2-a1=，a3-a2=-()，就得到an+1-an= ，没n

223322

有严格证明。

②分类讨论不全面，由|a2n-a2n-1|=()

2n-1

，|a2n+1-a2n|=()，得a2n-a2n-1

=±()2n-1，a2n+1-a2n=±()2n应该分4种情况讨论，而有些考生只考虑部分情况。

12n12n-1

③分类讨论后整合错误，由a2n+1-a2n=-()及a2n-a2n-1=()错误整合为

221(-1)n(-1)n

an+1-an=n（或n或n-1）。

222

④理由不充分，推论不严谨。不讲理由（或理由不清）直接得到a2n-a2n-1>0，

a2n-a2n-1=()2n-1。

1.6.4 本题除“国际”之外的优秀解法

第（Ⅱ）问解法一：

由于{a2n-1}是递增数列，因而a2n+1-a2n-1>0，于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0. ① 但

由①，②知，a2n-a2n-1>0，因此a2n-a2n-1=()

2n-1

. ③

因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1-a2n

故a2n+1-a2n=-() ④ 由③，④即知，a2n+1-a2n-1+()

2n-1

-()2n. 2

于是a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+ +(a2n-1-a2n-3)

111111

-2+3-4+ +()2n-3-()2n-2 22222211

[1-(-)2n-2]

411=1+=-()2n-2，

13321+2

12n-14112n-212n-14112n-1

=-()+()=+() 所以a2n=a2n-1+()23322332=1+

41(-1)n

故数列{an}的通项公式为an=+∙n-1.

332

第（Ⅱ）问解法二：因为p=

，所以pn+1

记an+1-an=λnpn，λn=1或-1(*) 因为a2n+2=a2n+λ2np2n+λ2n+1p2n+1

λ2n+1

又由(*)，必有λ2n=-1.

因为a2n+1=a2n-1+λ2n-1p2n-1+λ2np2n>a2n-1，所以λ2n-1+

λ2n>0 2

又由(*)，必有λ2n-1=1，

(-1)n+1

所以an+1-an=-(-p)=，

21n+121

(-)=an-(-)n， 323221n2114

所以an-(-)=a1-(-)=，

32323421n

所以an=+(-).

332

所以an+1-1.7 理科21题 1.7.1 得分情况

本题满分13分，平均分2.92分. 得分分布见下图表 1.8

表1.8 理科21题分值分布

1.7.2 试题分析

本题考查的知识点有：直线、双曲线、椭圆、四边形的面积、基本不等式以及线性规划等知识；基本思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法；基本能力有：运算能

力、综合分析能力和解决问题的能力。

本题将解析几何与平面几何、函数等内容结合在一起，摆设了焦点、弦，背景熟悉，有机融合了韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、线性规划去绝对值、基本不等式求最值等知识，对能力要求较高。但本题的起点并不高，低层次考生都能动笔做，只要能将题目的已知翻译过来，就能得到2~5分；基础知识掌握较好的学生能顺利拿到7~9分；能力较强的尖子生可以拿到11~13分。这种布局是非常合理的，有层次感，能充分发挥学生的主观能动性。

1.7.3 学生失分主要原因

从非空白卷的考生答题情况来看，大多数考生对两种基本曲线的有关概念掌握较好，能通过已知条件列出方程组，求出参数a、b，从而得到双曲线和椭圆方程，完成第一问得5分；大部分考生基础掌握得较好，能设好直线方程与曲线方程联立，求出弦长，得8~9分；少部分考生各方面能力较强，能进一步求出点到直线的距离，正确地表示出四边形的面积，但由于计算或相关知识掌握不牢的原因，得10~12分；只有极少数考生得到满分。

常见的失分原因有：（1）概念理解不清。

例如，有考生把焦距写成|F2F4|=C1C2。

（2）公式记忆错误。例如，有考生把离心率写成 =（3）方法掌握不牢。

例如，不会将直线方程设为x=my-1，将直线斜截式写成y=kx+b，y=kx+1，并且对斜率是否存在不做讨论。在求A，B两点到直线PQ的距离时，不会利用对称性知道两距离相等，还有大部分考生表示出2d=

，四边形的面积公式写成S=|AB||PQ|。 c2

|mx1+2y1|+|mx2+2y2|

m+4

，不知道利用线性规划

122∙+m2

的性质去掉绝对值。还有考生得到了面积为S=|PQ|∙2d =，不知道怎

222-m

样求面积的最小值。

（4）运算能力不强。

a2-b2a2+b2 例如，有考生对不知如何化简、整理；还有考生不能由∙=

aa2

3a-a=6-2正确解出a；还有考生得到AB的中点为M(

能正确地表示

-2m

,)，还是不22

m+2m+2

的斜率；还有的考生不会

d1+d2=

mmm2

|x3-x4+m(x4+x3)|(1+)|x3-x4|

|x3-my3+1-x4+my4-1|==化简，从

222m+1m+1m+1

而表示不出面积。

（5）思维品质欠佳。

例如，有考生不理解题目中的双曲线与椭圆方程中的a、b是相同的。有的考生看到

|F2F4|=3-1，就直接得到了C2=，C1=1，还有许多考生不动笔，看不懂题目，基

本的概念都不知道。 1.8 理科22题 1.8.1 得分情况

本题满分13分，平均分1.63分，得分分布见表1.9。

表1.9 理科22题分值分布

1.8.2 试题分析

本题考查了函数定义域、函数求导（对数、分式、复合函数）、单调性判断、极值点最值、恒成立方程求解、对数式的运算等知识点，范围较广，很好地考虑了知识的覆盖面。同时又着重考查了考生的理解与记忆能力、问题分析与解决能力、运算能力，以及分类讨论与化归的数学思想方法。这符合大纲的要求，作为最后一道解答题，其难易程度恰当，有较高的区分度与效度。 1.8.3 考生失分主要原因

（1）概念理解不清。

如：① g(x)=ax+4a-4，许多同学求了当a>1时∆

函数没有单调性。

② Cn(2a-1)2=2Cn(2a-1)只有a>

时才成立，0

2Cn(1-2a)。

（2）公示记忆错误。如：① (ln(1+ax))=

，这就没有考虑到(1+ax)还要求导。 1+ax

②分式

f(x)

求导公式中的分子形式错记为：g'(x)f(x)-g(x)f'(x)或者f'(x) g(x)

g(x)+g'(x)f(x)。

（3）思想方法不能灵活运用。

本题对思想方法的考查有深度，题中含有参数a，两问中都需要进行典型的分类讨论，部分考生考虑不全；第II问中还需构造函数求解，考生不能将化归思想灵活运用。

（4）运算能力不强。

2x1(2x)1(x+2)-(x+2)1∙2x2

例如，有少数考生出现(的运算错误，)==

x+2(x+2)2(x+2)2

这说明运算能力不强，计算不仔细。

（5）审题不清。

例如，不少考生没有注意第I问中x∈(0,+∞)，而是在x>-调性而导致无法解出。

1.8.4 本题除“国标”之外的优秀解法

第Ⅱ问中，许多考生是由函数g(a)+ln(2a-1)-2 文科考生答题情况分析 2.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题25分和解答题75分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表2.1。

且x≠-2情况下求单a

4(a-1)1

的定义域得出a≠的。

2a-12

表2.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数140645)

（选择题得分：32.17） 2.2 文科填空题 2.2.1得分情况

11-15题满分25分，平均分10.77分，得分分布见表2.2。表2.2 文科11-15题分值分布

2.2.2 试题分析

对比2013年，今年填空题从6个变为5个，且每题只有1个空，难度与2013年相当，总体难度适中，梯度较为合理，层次性较强，区分度明显，第11小题考查复数的概念及简单的运算；第12小题考查直线的参数方程与普通方程的互化；第13小题为线性规划题且不含字母；第14小题以实际应用为载体，考查解析几何中抛物线方程、直线方程、直线与抛物线的位置关系；第15小题以函数的奇偶性为载体，着重考查学生的运算能力与分析解决问题能力。11、12、13、15小题为熟悉题目，注重基础知识的考察，14小题为创新题，注重考察学生的数学素养，用方程思想、数形结合思想、转化思想来求解实际问题。

从整体情况来看，填空题考查的知识点较多，函数的性质及几何能力的考查具有突出的地位，很好地考查了学生的数学基本技能及基本思想，体现了文理生的不同学习要求，既能考查学生的基本功，又具有较好的区分度和选拔功能，第11-13题属于基本分数题，第14和15题有较好的筛选功能。

2.2.3 考生失分主要原因

（1）数学基础知识不扎实，表达方式不规范，如第11小题，对复数概念模糊，出现

3i2

结果；第14题的区间表示与集合的表示方式的书写五花八门，特别是区间的端点表示很随意，诸如[-∞，-1] (1，+∞)、(-∞，-1) (1，+∞) Φ、

{kx1}、k1等。

（2）对知识点的理解不够，如第12题，参数方程与一般方程的转化，分不清2种方程的形式，结果中硬是加括号限制t的取值范围。

（3）计算能力不强，如第15题，不能正确地利用f(x)=f(-x)来进行化简求值，虽然列出了相应的方程式，但计算错误，更多的考生最后的结果没有化简，甚至连约分都没有，

lne3xln(e-3+1)-ln(e3+1)比如出现-、、 2x-

2（4）思维品质欠佳，本卷的填空题不仅考查考生的基础知识和基本能力，还考查了学生的逻辑思维与创新思维，但部分考生由于思维品质欠佳，有畏难情绪而放弃作答。因而造成不少空白卷。

（5）创新意识以及解决问题的能力不够，如第14题，对于创设出实际生活中的情境，综合运用学过的基础知识进行转化结合的创新题不作深入分析，解答计算起来很困难。 2.3 文科16题 2.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分4.35分，得分分布见表2.3。

表2.3 文科16题分值分布

2.3.2 试题分析

今年湖南高考对数列的考察，以学生熟悉的等差、等比数列为背景，构造新的数列，试题能把握好数列的基本概念，常规解法等核心内容，体现出高考试题“遵循教学大纲又不拘泥于教学大纲”的要求。试题设立了两个独立的问题，但他们又有密切的联系，能启发中学师生进一步去探索这类数列问题的本质。这道题的特色：

（1）从数列的双基立意，第1小问给出的学生熟悉的前n个正整数的和

n2+n

Sn=1+2+ +n=，学生能直观地知道{an}是等差数列，只需根据

⎧S1,n=1

直接求得an的通项公式，这样以学生熟悉的问题使学生易于入手。 an=⎨

S-S,n≥2n-1⎩n

（2）以能力立意，给学生解题提供了多个切口，较多地联系了数列求和的常规方法，可以公式求和、分组求和，并项求和，综合考查了学生分析问题与解决问题的能力和运算能力。常规思路与方法得到了应用，在考场上对学生的心理有很好的促进作用，安排在考卷中的位置非常恰当。

（3）具有一定的区分度、信度和效度，有助于选拔和指挥棒作用的发挥。 2.3.3 考生失分主要原因

（1）重视度不够，由于往年对数列的考查主要以中档题或在实际应用问题等形式出现，今年却把数列问题放在了解答题的第一题，虽然本题主要考查的是学生对数列的基本概念和常规方法的运用，由于教师在复习应考中并没有重点复习，导致部分学生对数列的基本概念和公式都不熟悉，从而出现了接近

的学生得0分的现象。 3

（2）概念不清楚，奇数次与“n为奇偶数”混淆，如T2n=T奇+T偶，而在表达时分“n

2(4n-1)2

-n，为奇数”和“n为偶数”两种情况来讨论T奇=b1+b3+ +b2n-1=

34(4n-1)2

T偶=b2+b4+ +b2n=+n+n.更有甚者前n项和与项、项数的关系不明确，如

知道如何求解数列bn}前2n项和，错误地用“T2n=b2+b4+ +b2n”或光求得Tn，再由“T2n=2Tn”求得T2n，再如a1=S1=1，a2=S2=

{

，a3=S3=6„„从而得到2

n2+n

an=Sn=的错误答案。

n(1-qn)

（2）公式记忆不清楚，等差、等比数列求和公式记混，如Sn=(q≠1)，

1-q

21+22+ +22n=

(1+2n-1)(2n-1)2n(1-2)

，1+3+5+ +(2n-1)=等。

21-2

（3）方法掌握不牢，运算能力差，合并求和Tn时出现偏差。

（4）书写不规范，没有逻辑性和条理性。

（5）思维品质欠佳，文科考生畏慎考试，不愿动手动脑去分析研究解决问题。 2.3.4 本题除“国标”外的优秀解法

第（Ⅱ）问其他解法

解法一：由（Ⅰ）知bn=2n+(1-)则，当n为偶数时，

记数列{bn}的前n项和为Tn，前2n项和为T2n，⋅n，

2(1-2n)nnTn=2+2+ +2+[-1+2-3+ -(n-1)+n]=+=2n+1-2+，

1-222

所以T2n=22n+1-2+n.

⎧⎪2+n,n为偶数

解法二：由（Ⅰ）知bn=2+(-1)⋅n=⎨n，记数列{bn}的前2n项和

⎪⎩2-n,n为奇数

为T2n，则T2n的奇数项的和

T=2+2+ +2

132n-1

2(1-4n)n(1+2n-1)2(4n-1)

-[1+3+ +(2n-1)]=-=-n2；

1-423

T2n的偶数项的和

4(1-4n)n(2+2n)4(4n-1)2

T'=2+2+ +2+（2+4+ +2n)=-=+n+n，所以

1-423

2(4n-1)4(4n-1)2

T=T+T'=-n++n2+n=22n+1-2+n.

解法三：由（Ⅰ）知bn=2n+(-1)n⋅n，记数列bn}的前2n项和为T2n，则

{

2(1-22n)n(1+2n-1)n(2+2n)

T2n=2+2+ +2-[1+3+ +(2n-1)]+(2+4+ +2n)=-+

1-222

=22n+1-2+n.

3.4 文科17题 2.4.1 得分情况

本题满分12分，平均分7.37分，得分分布见表2.4。

表2.4 文科17题分值分布

2.4.2 试题分析

本题主要考查样本平均数、样本方差、频率与概率的关系等基础知识和数据处理能力，题目呈现的方式较新，本题的得分分布较好。满分卷和零分卷都比较多，题目有较好的区分度。

2.4.3 考生失分主要原因

（1）概念理解不清。如，将“平均数”与“成功率”两个概念等同。

（2）没懂题意，不能将新产品的结果成功的进行数值转化，如对“成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分”，从而把1的个数与0的个数颠倒，出现

5162

=，乙==的错误；把求甲、乙两组研发新产品的平均数理解为甲、乙两组153155

10+9

=9.5；把所求概率理解为“甲乙两组研发成得分之和的平均数，从而得出平均数为2

2319

+P=+=>1。功的概率之和”，出现P=P(甲)(乙)

3515甲=

（3）计算能力较弱，在运用方差公式求方差时，没有把各项平方，导致方差值为负，不少同学把甲的平均数写成

151510915，乙的平均数写成，还出现了=6.6=6=0.66，109151510

=1.5等错误。 15

（4）思维品质欠佳，很多考生交的白卷或随便在表格中胡乱填了几个数字，看到题目稍长，与平时常见的不一样时静不下心来读题。 2.4.4 优秀解法

（Ⅱ）解法一：设“恰有一组研发成功”为事件A，则其对立事件的结果为：

（a,b),(a,b),(,),（a,b),(a,b),(,),(a,b),(a,b)共8个.

因所抽取的有15个结果，故：P(A)=1-

=. 1515

（Ⅱ）解法二：设“甲产品研发成功”为事件A，“乙产品研发成功”为事件B，“恰有一组

10293

=，P(B)==. [1**********]

故P(A)=P(A)⋅P+P⋅P(B)=⨯+⨯=.

353515

研发成功”为事件P，则P(A)=

2.5 文科18题 2.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分4.17分，得分分布见表2.5。

表2.5 文科18题分值分布

2.5.2试题分析

本题考查了线线垂直、线面垂直关系的证明，同时考查了直线与平面所成角、二面角等空间角的计算问题，题目对思维过程考查的设置，符合学生的思维常规，由易入难，第1问考查线面垂直，第2问考查了线线角、二面角的概念，同时也考查了运算求解能力、推理论证能力和空间想象能力等。

本题贴近课标的要求，是一道考查基础知识的同时，又注重考查学生空间思维能力与逻辑推理能力的好题。难易适中区分设置合理，具备文科数学的选拔效度。

题目所呈现的几何体是二面角，不是学生平时常见的几何体，这就增加了题目的难度，所带来的不确定性也随之增强。 2.5.3 考生失分主要原因

（1）证明方法掌握不牢固。

①. 考生逻辑推理能力较差，对线线垂直、线面垂直的性质及判定方法掌握较差，有些考生直接由一条直线垂直于平面内一条直线就说线面垂直，

如：∵OD⊥α，AB⊂α，∴AB⊥OD,∴AB⊥面ODE ②. 不知道证明线面垂直要有三个条件，

如： DE⊥AB，DE⊂平面ODE，直接得到了AB⊥平面ODE。 ③.没有特别突出相交直线这个前提，

如：由DE⊥AB,AB⊥OD,∴AB⊥面ODE

（2）思路混乱。如本可以直接由AD=AB,∠DAB=60，所以∆ABD为正三角形，又E为AB中点，所以DE⊥AB，学生会绕来绕去，抓不住要点，

（3）相关的条件不通过证明就直接使用。直接把∠DEO当成二面角的平面角，而不

︒

证明；直接把∠ADO看成异面直线BC与OD所成的角;

（4）概念不清乱用结论。如：

在∆ABD中，AB=2,AE=1,∠DAE=60︒，∴∠AED=90︒,∴DE⊥AE；

连结AO、BO，∵ E为AB中点，∴OE⊥AB,没有考虑三线合一的条件:AO=BO; （5）运算能力普遍较差，找到角之后都无法准确地算对。如：在计算余弦值的时候，比值错误，误认为

，应用余弦定理时，线和角的关系把握不够。 3

（6）做题不规范，解题方法不到位。如，考生求线线角时思路不明确，不够简洁，添加了多条辅助线，却起不到作用；把“OD⊥OE,OD OE=O”写成

“OD⊥OE O”；把“OD⊥α,OD⊥AB”写成“OD⊥α⊥AB”等错误答案。 2.5.4 除“国标”外的优秀解法

解法一：（如图3.1）

（1）设AD=a，则AB=AD=a，又E为AB的中点，所以AE=

，又∠DAE=60°,所

以DE=

又AE+DE=()+o

a)=a2=AD2,

β 2

所以∠DEA=90，即DE⊥AB ，又DO⊥α，AB⊂α,所以DO⊥AB，

而DO DE=D，故AB⊥平面ODE. （2）问同法（一）解法二：（如图3.2）（1）问同国标；

（2）过点C作CO1⊥α于O1,则CO1∥DO,

所以∠BCO1是BC与OD所成的角，

图3.1

图3.2

过O1作O1E1⊥AB于E1,连接CE1，

则角∠CE1O1是二面角α-MN-β的平面角，从而∠CE1O1=60°，

设AB=2，则BC=2，所以CE

1 在Rt∆CO1E1中， CO1=CE1⋅sin60=

︒

3 2

3CO13

连接BO1，在Rt∆BOC中，cos∠BCO=== 11

BC243

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为

解法三：（如图3.3）

（1）同国标

（2）建立如图的直角坐标系，设AB=2 设O(0,0,0)

D(0,0,

A(-1,0)

E(-

0,0)B(-0)22

C(0,2,)

图3.3

∴OD=(0,0,

33) BC=(,1,) 222

∴cosθ=

⨯22

= 4⨯34

∴ BC与OD所成角的余弦值为解法四：

3 4

a，DE⋅AE=(AE-AD)⋅AE=a2-2a⋅acos60︒=a2-a2=0 第（1）设AB=2

∴AE⊥DE,即DE⊥AB,下同国标

2.6 文科19题 2.6.1 得分情况

本题满分13分，平均分2.96分，得分分布见表2.6。

表2.6 文科19题分值分布

2.6.2 试题分析

本题主要考查运用同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换及解三角形等基础知识分析和解决问题的能力。综合看来，这道题属于较易的题目，只要能理解基本的概念，公式记

牢，灵活运用正弦定理和余弦定理及三角恒等变换，加上简单的计算就能解答出此题。 2.6.3 考生失分主要原因

（1）概念不清，公式不熟。正弦定理、余弦定理中的边角对应关系不清，导致解答错误。考生出现如下错误：在∆CDE中，CD=DE+CE-2DE⋅CEcos∠EDC，在∆CDE中，

CDCE

=,导致结果错误。

sin∠CDEsin∠CED

（2）不能准确捕捉题中给的信息。如：在∆

CED中，已知两边一角（三个元素）

DE=1，EC=∠ADC=π，从而产生联想，利用两个重要定理，求出未知元素。考

生把∆

CED误成直角三角形cos∠CED=

EC⇒sin∠CED=

。 7

（3）公式不理解，含义不清，变换不熟练导致解答错误。如：两角和与差的三角函数的公式展开出现错误，在∆

CDE中，由正弦定理求出

sin∠CED=sin(∠CDE+∠DCE)=sin∠CDE+sin∠DCE=

。 +=

14（4）部分考生在解题过程中省略了关键的过程和步骤，解题过程不够全面，比如，作

FD⊥ED，由题知F为CE的中点，可是并未证明F为什么是CE中点。

2.6.4 除“国标”外的优秀解法

解：（Ⅰ）过C作CG垂直于AD延长线于G，在∆CDE中，由余弦定理得CD=2，在Rt∆CGD中，∠CDG=60︒，

∴DG=1，则CG=Rt∆

CGE中，

sin∠CED=

CG. ==

CE7BE2+1-BD2

=cos(60︒+∠CED) （Ⅱ）连结BD.

cos∠BED=

2BE

BE2+1-BD2∴=-⇒BD2=BE2+BE+1

2BE147

又

AB=BD-AD=BE+

BE-8,BE2=AE2+AB2 7

∴BE2=4+BE22.7 文科20题 2.7.1 得分情况

-8⇒BE=本题满分13分，平均分1.42分，得分分布见下表表2.7。

表2.7 文科20题分值分布

2.7.2试题分析

本题综合考查圆锥曲线中椭圆与双曲线的标准方程，直线与圆锥曲线相交、相切的位置关系以及向量的运算。要求学生熟练掌握联立消元、分类讨论、数形结合、等价转化整体代

入等高中数学重要思想方法，思路自然流畅，紧扣教材。注重基础，题目新颖，很好地考查了学生运算能力与耐心细致的品质，淡化技能技巧，关注通性通法，区分度明显，是一套对高中数学解析几何教学具有方向性、指导意义的好题。然因涉及多个字母导致学生望而生畏，降低了得分的机会。 2.7.3 考生失分主要原因

（1）概念不清，逻辑混乱。由正方形的面积为2导出其对角线，学生误作：2c2=；

P代入c2，学生误作+=1；双曲线与椭圆关系式学生误记为22

a2b2

22222

。a12=b1+c1或a2+b2=c2

（2）下标不清。第一问下标未写，如双曲线和椭圆中的a1=c2=1很多只写成a=c=1。（3）忽视特例的讨论。忽视e⊥x轴的特殊情况或有的只讨论x=

误认为斜率不存在的情形是y=

（4）计算能力薄弱。第1

问中很多考生只把点P代入c1或c2中不会计算；有⎧⎪y=kx+m⎧⎪y=kx+m

的虽然联立⎨2y2或⎨2y2消去y得到x的一元二次方程，错误较多的是不会

x-=1x+=1⎪⎪33⎩⎩

得到y1⋅y2。

（5）不会将几何问题代数化。如本题不会将OA+OB≠AB这一几何条件转化为

OA⋅OB≠0，进一步转化为解析几何中的x1x2+y1y2≠0，再通过联立方程组得到一元二

次方程由韦达定理求解。

（6）思维品质欠佳，容易出现望而生畏。

（7）答题欠规范，考生答题乱涂乱画现象时有发生，有考生答题位置错误。 2.7.4 除“国标”外的优秀解法

⎧⎪y=kx+m

（II）解法一：先讨论l平行x

轴得到y=设x=kx+m联立⎨2y2得

⎪⎩x-3=1⎧⎪y=kx+m

y的一元二次方程，由韦达定理得到y1y2进而得x1x2，联立⎨2y2得y的一元二次方

⎪⎩x+3=1

程，由 =0得m、k的关系式，再由已知若OA+OB=AB⇒OA⋅OB=0而由

OA⋅OB=x1x2+y1y2⇒矛盾.

⎧⎪y=kx+m22

解法二：由OA⋅OB=0⇒2m=3k+3，由⎨2y2得y的一元二次方程，进而

⎪⎩x+3=1

得到 =0⇒m=3k+2⇒矛盾⇒l不存在.

⎧⎧⎪y=kx+m⎪y=kx+m

⇒x的一元二次方程，求x1x2进而求y1y2，由⎨2y2 解法三：⎨2y2得x

x-=1x+=1⎪⎪33⎩⎩

的一元二次方程⇒ =0⇒m、k的关系式，用弦长公式算出AB关于k的关系式，由

OA+OB得到k的关系式，若OA+OB=AB矛盾.

2.8 文科21题 2.8.1 得分情况

本题满分13分，平均分1.24分，得分分布见表2.8。

表2.8 文科21题分值分布

2.8.2 试题分析

本题主要考查考生综合运用三角函数、函数、导数、不等式等基础知识分析和解决问题的能力，以及分类与整合的数学思想。

本题解法常规，属于通性通法的考查题。第1问是求函数的导数，然后通过讨论导函数的符号，转化为利用正弦函数性质求单调区间。第2问利用零点定理及函数单调性确定零点的取值范围，然后利用不等式放缩、裂项相消等技巧证明所给结论，其中第1问比较简单，绝对难度不大，区分度、信度、效度均较好；第2问对文科生来说有一定的难度，对解题技巧、思维等有较高的要求，加之处于试卷最后，时间紧迫，故区分度不算太好。 2.8.3 考生失分主要原因

（1）求导法则掌握不牢，求导公式、三角函数公式记忆错误。如：

f(x)=xcosx-sinx+1=x+ϕ)+1。

（2）概念理解不清，特别是对正弦函数性质不熟。

（3）思维品质欠佳，运算能力不强。部分考生思维混乱，前后逻辑矛盾，毫无条理。

⎧xcosx=0如：第2问中关于零点，部分考生通过令⎨求出部分零点，误以为是全部零点。

sinx=1⎩

另外很多考生总认为最后一题为压轴题，难度很大，不敢动笔而得零分，当然也有部分考生是因为时间把握得不太好，做到这题已经没有时间了。

（4）答题不规范，表述不清楚。如单调递增区间表示五花八门，像x∈(kπ,(k+1)π)，k为偶数、x∈(π+kπ,2π+kπ)、x∈(-kπ-π,2kπ)等。

典型求导失误举例：

1．f'(x)=cosx+xsinx-cosx=xsinx；2．f'(x)=cosx-sinx-cosx=-sinx；

3．f'(x)=-xsinx-cosx；4．f'(x)=cosx-xsinx-cosx+1=-xsinx+1； 5.f'(x)=

cosx+xsinx

-cosx.

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

考生答题情况分析

1．理科考生答题情况分析

1.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题25分和解答题75分)，考生的平均分、难度、0分率及满分率见表. 1.1

表 1.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数188490)

（选择题得分：32.23） 1.2 理科填空题: 1.2.1得分情况:

11-13题满分10分，平均分6.64分，得分分布见表1.2。

表1.2 理科11-13题分值分布 14-16题满分15分，平均分6.17分，得分分布见表1.3。

表1.3 理科14-16题分值分布

1.2.2 试题分析

1.2.3 考生失分主要原因

（1）审题不清，概念模糊。

例如，第11题中，求直线的极坐标方程，写成直线方程x-y-1=0或参数方程

⎧2x=1+t⎪⎪2（t为参数）

，或将y=k与y=x的交点，写成（-k,-k），导致结果为2。 ⎨

⎪y=2t⎪2⎩

（2）公式化简错误。

例如，将ρcosθ-ρsinθ=1化成一个角的一个三角函数时，化为ρsin(θ-

或ρsin(θ+

π2

或ρcos(θ+)=2等错误形式。

15351

=-得到a=，或由=得到a35a3

（3）运算能力不强。

如：①第13题，不考虑不等式的解，单方面由-

a=15。

②第15题，计算体思想求解关于

的值，一方面求点F的坐标出错，写成(a+b,b)，另一方面用整a

的二次方程出错。 a

（4）书写不规范。

如：①在阅卷过程中，“3”与“5”分辨不清，负号与数字相隔太近。

②第11题中，点的极坐标是（ρ,θ），而有的考生答题不规范，写出（ρ,x）、（ϕ,x）等形状，于是得到ρcosx-ρsinx=1、ϕcosx-ϕsinx=1、cosθρ-sinθρ=1、

ρ=

、ρsinθ-ρcosθ=-1等五花八门的结果。

cosθ-sinθ

③第12题中，答案写成1+

1、+等形式。 22

④第16题中，8+2不会化成1+7。（5）灵活运用知识解决问题的能力不强。

|++|=|+++|≤|++|+||

=|(2,)|+1=1+7

1.3 理科17题 1.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分9.46分，得分分布见表1.4。

表1.4 理科17题分值分布

1.3.2 试题分析

常见的错误有：（1）公式记忆不牢。

例如，概率的加法公式、乘法公式混淆，出现P(A+B)=P(A)∙P(B)、

P(AB)=P(A)+P(B)、P(A)=P()等错误，这是由概念理解不清而导致的。

③所求数学期望为EX=

⨯120+⨯100=140 35

（3）知识网络错乱，知识点混淆不清。如：①第（I）问中，设成功为1，失败为2，则

A B

1 1 2

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

所以所求概率ρ=

[**************]

②出现P=C2∙⨯=或P=C2∙⨯+C2∙⨯+C2∙⨯=等错

[1**********]

误。

（4）计算能力不强。

例如，有不少考生出现P=1-

124214

⨯=、EX=0⨯+100⨯+120⨯ 35515515

+220⨯

2400

=139或等计算错误。

1.3.4 本题除“国标”之外的优秀解法

解法一：P=P(F+E+EF)=P()+P(E)+P(EF)=P()P(F)+P(E)P()

13222313

+P(E)P(F)=⨯+⨯+⨯=

35353515

解法二：P(E+F)=P(E)+P(F)-P(EF)=P(E)+P(F)-P(E)P(F)

232313+-⨯= 353515

或P=P(E)+P()=P(E)+P()P(F)=P(E)+(1-P(E))P(F)

1.4 理科18题 1.4.1 得分情况

22313⨯(1-)⨯= 33515

本题满分12分，平均分7.53分，得分分布见表1.5。

表1.5 理科18题分值分布

1.4.2 试题分析

（1）对基本公式、定理没有掌握。

AD2+AC2-2AD∙AC

①运用余弦定理出错：cos∠CAD=、cos∠CAD=

CD2

AC2∙AD2-CD2

2AC∙AD

、

CD2+AC2-AD2

cos∠CAD=

2AC∙AD

、

cos∠CAD=

AD2+AC2-CD2222

等，其中CD=AC+AD+2AC∙AD∙cos∠CAD的错误较多。

AD∙AC

②运用正弦定理出错：

BCsin∠ABC

sin∠BACAC

α+β)=cosα+cosβ、cos(α-β)= ③运用正、余弦的和、差角公式出错：cos(

cosα-cosβ、cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ、sin(α-β)=sin(αcosβ+ cosαsinβ)等。

（2）思维品质欠佳，思路不清晰。

例如，第（II）问中，直接用∠BAC=∠BAD-∠CAD，再用差角公式，很快求出

sin∠BAC=

，得出BC=3。但能运用差角公式的考生不多，多数考生用2

∠BAD=∠BAC+∠CAD，再用和角公式，增加了运算量，降低了准确率。甚至有些考生

猜出∠BAC=60，直接得出结果，忽视思维过程。（3）运算能力欠缺。

本题中，相当一部分考生因为运算错误导致失分，最后结果不能化简，如：

sin∠BAD=

49272

和sin∠CAD=-cos2CAD=-()

981414987

等错误。 7

（4）审题看题欠细心，导致失误。

例如，部分考生把CD看成2，本题要求cos∠CAD，而较多考生求cos∠ACD。

1.4.4 本题除“国标”之外的优秀解法

（I）问另解一：过D作DE⊥AC，设AE=x 则CE=7-x

DE=12-x2=22-(7-x)2，解得x=

∴cos∠CAD=cos∠EAD=

AE27

AD7

（I）问另解二：延长AD，过C作AD延长线的垂线，设垂足为H。设DH=x，CH=y

⎧⎧x=1⎪x+y=4则⎨解得⎨ 22

⎪⎩y=3⎩(x+1)+y=7

cos∠CAD=cos∠CAH=

1.5 理科19题 1.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分6.48分，得分分布见表1.6。

表1.6 理科19题分值分布

1.5.2 试题分析

本题主要考查空间线面关系等基础知识，涉及到垂直关系的证明以及线面角的求法等知

几种典型失误如下：

（1）推理论证不符合数理逻辑。

例如，在第（I）问的论证中，已知条件根本没有运用，而得出许多与问题有关的结论，即表现出没有“因为”、只有“所以”的推理过程。

（2）错误地自造条件。

（3）推理论证目标不明确。

（4）错误或不恰当地建立空间直角坐标系。

例如，以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；以O1为原点，O1C1、O1D1、O1O分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系等。

（5）不能以最佳方式建立空间直角坐标系，导致相关点的坐标表示全错误（如横纵坐标错位），使得后续平面法向量的计算复杂而出现错误。

（6）在没有通过论证的前提下，使用一些事实性结论。

S∆O1B1O

计算二面角C1—OB1—D的余弦值。

S∆C1B1O

1.6 理科20题 1.6.1 得分情况

本题满分13分，平均分2.68分，得分分布见表1.7。

表1.7 理科20题分值分布

2.6.2 试题分析

（1）对基础知识掌握不到位，公式记忆与理解出现错误。如：①a1,2a2,3a3成等差数列，错误得到(2a2)2=a1⋅(3a3)

②第（I）问中，没有考虑p=0时，an+1=an，这与{an}是递增数列矛盾 ③由an+1-an=()去绝对值时，错误得到an+1-an=() ④等比数列前n项和公式记错

⑤{a2n}是递减数列，错误认为是a2n

p=3（或-

13或）。 33

-2+ 22

②由累加法求an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=1+

1(-1)n41(-1)n

+n-1因为符号或项数不清楚，错误地求出an=-∙n（或an=2-n）。

23322

（3）逻辑思维能力较弱，数学思维品质较差。如：①用猜想代替论证。第（Ⅱ）问中求出a2=1+

1112

，a3=1+-()，就得到222

11241(-1)n(-1)n+1

an=+⋅n-1；求出a2-a1=，a3-a2=-()，就得到an+1-an= ，没n

223322

有严格证明。

②分类讨论不全面，由|a2n-a2n-1|=()

2n-1

，|a2n+1-a2n|=()，得a2n-a2n-1

=±()2n-1，a2n+1-a2n=±()2n应该分4种情况讨论，而有些考生只考虑部分情况。

12n12n-1

③分类讨论后整合错误，由a2n+1-a2n=-()及a2n-a2n-1=()错误整合为

221(-1)n(-1)n

an+1-an=n（或n或n-1）。

222

④理由不充分，推论不严谨。不讲理由（或理由不清）直接得到a2n-a2n-1>0，

a2n-a2n-1=()2n-1。

1.6.4 本题除“国际”之外的优秀解法

第（Ⅱ）问解法一：

由于{a2n-1}是递增数列，因而a2n+1-a2n-1>0，于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0. ① 但

由①，②知，a2n-a2n-1>0，因此a2n-a2n-1=()

2n-1

. ③

因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1-a2n

故a2n+1-a2n=-() ④ 由③，④即知，a2n+1-a2n-1+()

2n-1

-()2n. 2

于是a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+ +(a2n-1-a2n-3)

111111

-2+3-4+ +()2n-3-()2n-2 22222211

[1-(-)2n-2]

411=1+=-()2n-2，

13321+2

12n-14112n-212n-14112n-1

=-()+()=+() 所以a2n=a2n-1+()23322332=1+

41(-1)n

故数列{an}的通项公式为an=+∙n-1.

332

第（Ⅱ）问解法二：因为p=

，所以pn+1

记an+1-an=λnpn，λn=1或-1(*) 因为a2n+2=a2n+λ2np2n+λ2n+1p2n+1

λ2n+1

又由(*)，必有λ2n=-1.

因为a2n+1=a2n-1+λ2n-1p2n-1+λ2np2n>a2n-1，所以λ2n-1+

λ2n>0 2

又由(*)，必有λ2n-1=1，

(-1)n+1

所以an+1-an=-(-p)=，

21n+121

(-)=an-(-)n， 323221n2114

所以an-(-)=a1-(-)=，

32323421n

所以an=+(-).

332

所以an+1-1.7 理科21题 1.7.1 得分情况

本题满分13分，平均分2.92分. 得分分布见下图表 1.8

表1.8 理科21题分值分布

1.7.2 试题分析

力、综合分析能力和解决问题的能力。

1.7.3 学生失分主要原因

常见的失分原因有：（1）概念理解不清。

例如，有考生把焦距写成|F2F4|=C1C2。

（2）公式记忆错误。例如，有考生把离心率写成 =（3）方法掌握不牢。

，四边形的面积公式写成S=|AB||PQ|。 c2

|mx1+2y1|+|mx2+2y2|

m+4

，不知道利用线性规划

122∙+m2

的性质去掉绝对值。还有考生得到了面积为S=|PQ|∙2d =，不知道怎

222-m

样求面积的最小值。

（4）运算能力不强。

a2-b2a2+b2 例如，有考生对不知如何化简、整理；还有考生不能由∙=

aa2

3a-a=6-2正确解出a；还有考生得到AB的中点为M(

能正确地表示

-2m

,)，还是不22

m+2m+2

的斜率；还有的考生不会

d1+d2=

mmm2

|x3-x4+m(x4+x3)|(1+)|x3-x4|

|x3-my3+1-x4+my4-1|==化简，从

222m+1m+1m+1

而表示不出面积。

（5）思维品质欠佳。

例如，有考生不理解题目中的双曲线与椭圆方程中的a、b是相同的。有的考生看到

|F2F4|=3-1，就直接得到了C2=，C1=1，还有许多考生不动笔，看不懂题目，基

本的概念都不知道。 1.8 理科22题 1.8.1 得分情况

本题满分13分，平均分1.63分，得分分布见表1.9。

表1.9 理科22题分值分布

1.8.2 试题分析

（1）概念理解不清。

如：① g(x)=ax+4a-4，许多同学求了当a>1时∆

函数没有单调性。

② Cn(2a-1)2=2Cn(2a-1)只有a>

时才成立，0

2Cn(1-2a)。

（2）公示记忆错误。如：① (ln(1+ax))=

，这就没有考虑到(1+ax)还要求导。 1+ax

②分式

f(x)

求导公式中的分子形式错记为：g'(x)f(x)-g(x)f'(x)或者f'(x) g(x)

g(x)+g'(x)f(x)。

（3）思想方法不能灵活运用。

（4）运算能力不强。

2x1(2x)1(x+2)-(x+2)1∙2x2

例如，有少数考生出现(的运算错误，)==

x+2(x+2)2(x+2)2

这说明运算能力不强，计算不仔细。

（5）审题不清。

例如，不少考生没有注意第I问中x∈(0,+∞)，而是在x>-调性而导致无法解出。

1.8.4 本题除“国标”之外的优秀解法

第Ⅱ问中，许多考生是由函数g(a)+ln(2a-1)-2 文科考生答题情况分析 2.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题25分和解答题75分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表2.1。

且x≠-2情况下求单a

4(a-1)1

的定义域得出a≠的。

2a-12

表2.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数140645)

（选择题得分：32.17） 2.2 文科填空题 2.2.1得分情况

11-15题满分25分，平均分10.77分，得分分布见表2.2。表2.2 文科11-15题分值分布

2.2.2 试题分析

2.2.3 考生失分主要原因

（1）数学基础知识不扎实，表达方式不规范，如第11小题，对复数概念模糊，出现

3i2

结果；第14题的区间表示与集合的表示方式的书写五花八门，特别是区间的端点表示很随意，诸如[-∞，-1] (1，+∞)、(-∞，-1) (1，+∞) Φ、

{kx1}、k1等。

（2）对知识点的理解不够，如第12题，参数方程与一般方程的转化，分不清2种方程的形式，结果中硬是加括号限制t的取值范围。

lne3xln(e-3+1)-ln(e3+1)比如出现-、、 2x-

本题满分12分，平均分4.35分，得分分布见表2.3。

表2.3 文科16题分值分布

2.3.2 试题分析

（1）从数列的双基立意，第1小问给出的学生熟悉的前n个正整数的和

n2+n

Sn=1+2+ +n=，学生能直观地知道{an}是等差数列，只需根据

⎧S1,n=1

直接求得an的通项公式，这样以学生熟悉的问题使学生易于入手。 an=⎨

S-S,n≥2n-1⎩n

（3）具有一定的区分度、信度和效度，有助于选拔和指挥棒作用的发挥。 2.3.3 考生失分主要原因

的学生得0分的现象。 3

（2）概念不清楚，奇数次与“n为奇偶数”混淆，如T2n=T奇+T偶，而在表达时分“n

2(4n-1)2

-n，为奇数”和“n为偶数”两种情况来讨论T奇=b1+b3+ +b2n-1=

34(4n-1)2

T偶=b2+b4+ +b2n=+n+n.更有甚者前n项和与项、项数的关系不明确，如

知道如何求解数列bn}前2n项和，错误地用“T2n=b2+b4+ +b2n”或光求得Tn，再由“T2n=2Tn”求得T2n，再如a1=S1=1，a2=S2=

{

，a3=S3=6„„从而得到2

n2+n

an=Sn=的错误答案。

n(1-qn)

（2）公式记忆不清楚，等差、等比数列求和公式记混，如Sn=(q≠1)，

1-q

21+22+ +22n=

(1+2n-1)(2n-1)2n(1-2)

，1+3+5+ +(2n-1)=等。

21-2

（3）方法掌握不牢，运算能力差，合并求和Tn时出现偏差。

（4）书写不规范，没有逻辑性和条理性。

（5）思维品质欠佳，文科考生畏慎考试，不愿动手动脑去分析研究解决问题。 2.3.4 本题除“国标”外的优秀解法

第（Ⅱ）问其他解法

解法一：由（Ⅰ）知bn=2n+(1-)则，当n为偶数时，

记数列{bn}的前n项和为Tn，前2n项和为T2n，⋅n，

2(1-2n)nnTn=2+2+ +2+[-1+2-3+ -(n-1)+n]=+=2n+1-2+，

1-222

所以T2n=22n+1-2+n.

⎧⎪2+n,n为偶数

解法二：由（Ⅰ）知bn=2+(-1)⋅n=⎨n，记数列{bn}的前2n项和

⎪⎩2-n,n为奇数

为T2n，则T2n的奇数项的和

T=2+2+ +2

132n-1

2(1-4n)n(1+2n-1)2(4n-1)

-[1+3+ +(2n-1)]=-=-n2；

1-423

T2n的偶数项的和

4(1-4n)n(2+2n)4(4n-1)2

T'=2+2+ +2+（2+4+ +2n)=-=+n+n，所以

1-423

2(4n-1)4(4n-1)2

T=T+T'=-n++n2+n=22n+1-2+n.

解法三：由（Ⅰ）知bn=2n+(-1)n⋅n，记数列bn}的前2n项和为T2n，则

{

2(1-22n)n(1+2n-1)n(2+2n)

T2n=2+2+ +2-[1+3+ +(2n-1)]+(2+4+ +2n)=-+

1-222

=22n+1-2+n.

3.4 文科17题 2.4.1 得分情况

本题满分12分，平均分7.37分，得分分布见表2.4。

表2.4 文科17题分值分布

2.4.2 试题分析

2.4.3 考生失分主要原因

（1）概念理解不清。如，将“平均数”与“成功率”两个概念等同。

5162

=，乙==的错误；把求甲、乙两组研发新产品的平均数理解为甲、乙两组153155

10+9

=9.5；把所求概率理解为“甲乙两组研发成得分之和的平均数，从而得出平均数为2

2319

+P=+=>1。功的概率之和”，出现P=P(甲)(乙)

3515甲=

（3）计算能力较弱，在运用方差公式求方差时，没有把各项平方，导致方差值为负，不少同学把甲的平均数写成

151510915，乙的平均数写成，还出现了=6.6=6=0.66，109151510

=1.5等错误。 15

（4）思维品质欠佳，很多考生交的白卷或随便在表格中胡乱填了几个数字，看到题目稍长，与平时常见的不一样时静不下心来读题。 2.4.4 优秀解法

（Ⅱ）解法一：设“恰有一组研发成功”为事件A，则其对立事件的结果为：

（a,b),(a,b),(,),（a,b),(a,b),(,),(a,b),(a,b)共8个.

因所抽取的有15个结果，故：P(A)=1-

=. 1515

（Ⅱ）解法二：设“甲产品研发成功”为事件A，“乙产品研发成功”为事件B，“恰有一组

10293

=，P(B)==. [1**********]

故P(A)=P(A)⋅P+P⋅P(B)=⨯+⨯=.

353515

研发成功”为事件P，则P(A)=

2.5 文科18题 2.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分4.17分，得分分布见表2.5。

表2.5 文科18题分值分布

2.5.2试题分析

题目所呈现的几何体是二面角，不是学生平时常见的几何体，这就增加了题目的难度，所带来的不确定性也随之增强。 2.5.3 考生失分主要原因

（1）证明方法掌握不牢固。

①. 考生逻辑推理能力较差，对线线垂直、线面垂直的性质及判定方法掌握较差，有些考生直接由一条直线垂直于平面内一条直线就说线面垂直，

如：∵OD⊥α，AB⊂α，∴AB⊥OD,∴AB⊥面ODE ②. 不知道证明线面垂直要有三个条件，

如： DE⊥AB，DE⊂平面ODE，直接得到了AB⊥平面ODE。 ③.没有特别突出相交直线这个前提，

如：由DE⊥AB,AB⊥OD,∴AB⊥面ODE

（2）思路混乱。如本可以直接由AD=AB,∠DAB=60，所以∆ABD为正三角形，又E为AB中点，所以DE⊥AB，学生会绕来绕去，抓不住要点，

（3）相关的条件不通过证明就直接使用。直接把∠DEO当成二面角的平面角，而不

︒

证明；直接把∠ADO看成异面直线BC与OD所成的角;

（4）概念不清乱用结论。如：

在∆ABD中，AB=2,AE=1,∠DAE=60︒，∴∠AED=90︒,∴DE⊥AE；

，应用余弦定理时，线和角的关系把握不够。 3

（6）做题不规范，解题方法不到位。如，考生求线线角时思路不明确，不够简洁，添加了多条辅助线，却起不到作用；把“OD⊥OE,OD OE=O”写成

“OD⊥OE O”；把“OD⊥α,OD⊥AB”写成“OD⊥α⊥AB”等错误答案。 2.5.4 除“国标”外的优秀解法

解法一：（如图3.1）

（1）设AD=a，则AB=AD=a，又E为AB的中点，所以AE=

，又∠DAE=60°,所

以DE=

又AE+DE=()+o

a)=a2=AD2,

β 2

所以∠DEA=90，即DE⊥AB ，又DO⊥α，AB⊂α,所以DO⊥AB，

而DO DE=D，故AB⊥平面ODE. （2）问同法（一）解法二：（如图3.2）（1）问同国标；

（2）过点C作CO1⊥α于O1,则CO1∥DO,

所以∠BCO1是BC与OD所成的角，

图3.1

图3.2

过O1作O1E1⊥AB于E1,连接CE1，

则角∠CE1O1是二面角α-MN-β的平面角，从而∠CE1O1=60°，

设AB=2，则BC=2，所以CE

1 在Rt∆CO1E1中， CO1=CE1⋅sin60=

︒

3 2

3CO13

连接BO1，在Rt∆BOC中，cos∠BCO=== 11

BC243

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为

解法三：（如图3.3）

（1）同国标

（2）建立如图的直角坐标系，设AB=2 设O(0,0,0)

D(0,0,

A(-1,0)

E(-

0,0)B(-0)22

C(0,2,)

图3.3

∴OD=(0,0,

33) BC=(,1,) 222

∴cosθ=

⨯22

= 4⨯34

∴ BC与OD所成角的余弦值为解法四：

3 4

a，DE⋅AE=(AE-AD)⋅AE=a2-2a⋅acos60︒=a2-a2=0 第（1）设AB=2

∴AE⊥DE,即DE⊥AB,下同国标

2.6 文科19题 2.6.1 得分情况

本题满分13分，平均分2.96分，得分分布见表2.6。

表2.6 文科19题分值分布

2.6.2 试题分析

牢，灵活运用正弦定理和余弦定理及三角恒等变换，加上简单的计算就能解答出此题。 2.6.3 考生失分主要原因

CDCE

=,导致结果错误。

sin∠CDEsin∠CED

（2）不能准确捕捉题中给的信息。如：在∆

CED中，已知两边一角（三个元素）

DE=1，EC=∠ADC=π，从而产生联想，利用两个重要定理，求出未知元素。考

生把∆

CED误成直角三角形cos∠CED=

EC⇒sin∠CED=

。 7

（3）公式不理解，含义不清，变换不熟练导致解答错误。如：两角和与差的三角函数的公式展开出现错误，在∆

CDE中，由正弦定理求出

sin∠CED=sin(∠CDE+∠DCE)=sin∠CDE+sin∠DCE=

。 +=

14（4）部分考生在解题过程中省略了关键的过程和步骤，解题过程不够全面，比如，作

FD⊥ED，由题知F为CE的中点，可是并未证明F为什么是CE中点。

2.6.4 除“国标”外的优秀解法

解：（Ⅰ）过C作CG垂直于AD延长线于G，在∆CDE中，由余弦定理得CD=2，在Rt∆CGD中，∠CDG=60︒，

∴DG=1，则CG=Rt∆

CGE中，

sin∠CED=

CG. ==

CE7BE2+1-BD2

=cos(60︒+∠CED) （Ⅱ）连结BD.

cos∠BED=

2BE

BE2+1-BD2∴=-⇒BD2=BE2+BE+1

2BE147

又

AB=BD-AD=BE+

BE-8,BE2=AE2+AB2 7

∴BE2=4+BE22.7 文科20题 2.7.1 得分情况

-8⇒BE=本题满分13分，平均分1.42分，得分分布见下表表2.7。

表2.7 文科20题分值分布

2.7.2试题分析

（1）概念不清，逻辑混乱。由正方形的面积为2导出其对角线，学生误作：2c2=；

P代入c2，学生误作+=1；双曲线与椭圆关系式学生误记为22

a2b2

22222

。a12=b1+c1或a2+b2=c2

（2）下标不清。第一问下标未写，如双曲线和椭圆中的a1=c2=1很多只写成a=c=1。（3）忽视特例的讨论。忽视e⊥x轴的特殊情况或有的只讨论x=

误认为斜率不存在的情形是y=

（4）计算能力薄弱。第1

问中很多考生只把点P代入c1或c2中不会计算；有⎧⎪y=kx+m⎧⎪y=kx+m

的虽然联立⎨2y2或⎨2y2消去y得到x的一元二次方程，错误较多的是不会

x-=1x+=1⎪⎪33⎩⎩

得到y1⋅y2。

（5）不会将几何问题代数化。如本题不会将OA+OB≠AB这一几何条件转化为

OA⋅OB≠0，进一步转化为解析几何中的x1x2+y1y2≠0，再通过联立方程组得到一元二

次方程由韦达定理求解。

（6）思维品质欠佳，容易出现望而生畏。

（7）答题欠规范，考生答题乱涂乱画现象时有发生，有考生答题位置错误。 2.7.4 除“国标”外的优秀解法

⎧⎪y=kx+m

（II）解法一：先讨论l平行x

轴得到y=设x=kx+m联立⎨2y2得

⎪⎩x-3=1⎧⎪y=kx+m

y的一元二次方程，由韦达定理得到y1y2进而得x1x2，联立⎨2y2得y的一元二次方

⎪⎩x+3=1

程，由 =0得m、k的关系式，再由已知若OA+OB=AB⇒OA⋅OB=0而由

OA⋅OB=x1x2+y1y2⇒矛盾.

⎧⎪y=kx+m22

解法二：由OA⋅OB=0⇒2m=3k+3，由⎨2y2得y的一元二次方程，进而

⎪⎩x+3=1

得到 =0⇒m=3k+2⇒矛盾⇒l不存在.

⎧⎧⎪y=kx+m⎪y=kx+m

⇒x的一元二次方程，求x1x2进而求y1y2，由⎨2y2 解法三：⎨2y2得x

x-=1x+=1⎪⎪33⎩⎩

的一元二次方程⇒ =0⇒m、k的关系式，用弦长公式算出AB关于k的关系式，由

OA+OB得到k的关系式，若OA+OB=AB矛盾.

2.8 文科21题 2.8.1 得分情况

本题满分13分，平均分1.24分，得分分布见表2.8。

表2.8 文科21题分值分布

2.8.2 试题分析

本题主要考查考生综合运用三角函数、函数、导数、不等式等基础知识分析和解决问题的能力，以及分类与整合的数学思想。

（1）求导法则掌握不牢，求导公式、三角函数公式记忆错误。如：

f(x)=xcosx-sinx+1=x+ϕ)+1。

（2）概念理解不清，特别是对正弦函数性质不熟。

（3）思维品质欠佳，运算能力不强。部分考生思维混乱，前后逻辑矛盾，毫无条理。

⎧xcosx=0如：第2问中关于零点，部分考生通过令⎨求出部分零点，误以为是全部零点。

sinx=1⎩

另外很多考生总认为最后一题为压轴题，难度很大，不敢动笔而得零分，当然也有部分考生是因为时间把握得不太好，做到这题已经没有时间了。

（4）答题不规范，表述不清楚。如单调递增区间表示五花八门，像x∈(kπ,(k+1)π)，k为偶数、x∈(π+kπ,2π+kπ)、x∈(-kπ-π,2kπ)等。

典型求导失误举例：

1．f'(x)=cosx+xsinx-cosx=xsinx；2．f'(x)=cosx-sinx-cosx=-sinx；

3．f'(x)=-xsinx-cosx；4．f'(x)=cosx-xsinx-cosx+1=-xsinx+1； 5.f'(x)=

cosx+xsinx

-cosx.

考生答题情况分析

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