北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷 2015.5
学校 班级 姓名 考号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．
1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为
A ．0.8×1013 B ．8×1012
2. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是
A ．m ＞n B ．m =n C ．m ＞－n D ．m =－n
3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°
4．下列计算正确的是
A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3) 4= a7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
C ．8×1013 D ．80×1011
九年级数学试卷 第 1 页 ( 共6页)
6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差
7
为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.
1311
B. C. D. 61025
8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为
A ．100 B ． C ． D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在 近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m， ST =120 m，QR =80 m，则河的宽度PQ 为
A ．40 m B ．60 m C ．120 m D ．180 m
10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、
同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒
B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米 C. 甲从起点到终点共用时83秒 D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米
九年级数学试卷 第 2 页 ( 共6页)
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
1
11．若分式有意义，则x 的取值范围是 ．
x -212．分解因式：3m 2-6mn +3n 2．
13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数
为 ．
14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的
函数表达式是 ．
15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.
如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．
25172610
16．一组按规律排列的式子：，-2，3，-4，5，…，其中第7个式子是 ，
a a a a a 第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．
求证：AC =ED ．
⎛1⎫
18
．计算：+ -⎪-2sin 45︒+(π-2015) 0．
⎝3⎭
-1
⎧2x >x -2，⎪
19．解不等式组：⎨
2x +1⎪>x . 3⎩
20．已知x 2+x -5=0，求代数式(x -1) 2-x (x -3) +(x +2)(x -2) 的值．
21．已知关于x 的一元二次方程x 2-6x +k +3=
0有两个不相等的实数根
(1)求k 的取值范围；
(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
九年级数学试卷 第 3 页 ( 共6页)
22．列方程或方程组解应用题：
为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的
29
倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？ 20
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D
作DE ∥AC 且DE=
1
AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 2
于点F ．
（1）求证：OE =CD ；
（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．
九年级数学试卷 第 4 页 ( 共6页)
24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年
压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以
下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市
燃煤数量为 万吨；
（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据； （3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了
该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与 公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.
2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表
年份 公共自行车投放数量（万辆） 利用公共自行车出行人数（万人） 2012 1.4 约9.9 2013 2.5 约17.6 2014 4 约27.6 2015 5 约
根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果， 精确到0.1）
25. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；
（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.
九年级数学试卷 第 5 页 ( 共6页)
26．阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求
AP
的值． PD
小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：
图1
图2
图3
AP
的值为 ． PD
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求
AP
的值； PD
（2）若CD=2，则BP = ．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: y =ax 2+4x 向右平移3个单位，
再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线y =x 与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；
（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的
垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线y =x +n 恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；
②在点C 的运动过程中，若直线y =x +n 与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.
九年级数学试卷 第 6 页 ( 共6页)
28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.
①依题意补全图1；
②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；
（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系
（直接写出结论）.
图1 图2
29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2
时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2) ，Q (4，2) ．
5
①在点A (1，0) ，B (，4) ，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；
2②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.
（2）若P (0，0) ，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接
写出点Q 的坐标．
九年级数学试卷 第 7 页 ( 共6页)
北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷答案及评分参考 2015.5
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. x ≠2
12. 3(m -n ) 2
13. 20°
14. y =x +3（答案不惟一）
15. 二类
2
50n +1n +116. 7，(-1) ⋅（第一个空1分，第二个空2分） n a a
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，
∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，
⎧AB =EC -----------------------------------------------2分⎪
⎨∠B =∠DCE
⎪BC =CD -----------------------------------------------3分⎩
∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分
18. 解：原式 ＝2-3-2⨯
2
+1………………………………………………………4分 2
＝-2. …………………………………………………………………………5分
x >x -2，① ⎧⎪219. ⎨2x +1
>x . ②
⎪⎩3
解：解不等式①，得x >-2. ………………………………………………………………2分
解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是-2
20. 解：(x -1) -x (x -3) +(x +2)(x -2)
＝x -2x +1-x +3x +x -4 …………………………………………………3分 ＝x +x -3. ……………………………………………………………………4分 ∵x +x -5=0， ∴x +x =5.
∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分
九年级数学试卷 第 8 页 ( 共6页)
222
2
222
21. 解：（1）∆=(-6) 2-4(k +3) ………………………………………………………1分
=36-4k -12
=-4k +24
∵原方程有两个不相等的实数根， ∴-4k +24>0.
解得 k
（2）∵k
∴k =4或5. ………………………………………………………………………3分
2
① 当k =4时，方程x -6x +7=0的根不是整数.
∴k =4不符合题意. ………………………………………………………… 4分
2
② 当k =5时，方程x -6x +8=0根为x 1=2，x 2=4均为整数.
∴k =5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.
22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分
17417418
-=. ……………………………………………2分 x x 6020
解得 x =180. ……………………………………………3分 经检验，x =180是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分
由题意，得
答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=
∴DE=OC． ∵DE ∥AC ，
∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，
∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分
（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，
CE =
………………4分 在Rt △ACE 中，
=………………………………………………………5分
九年级数学试卷 第 9 页 ( 共6页)
1AC . 2
24. （1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分 （3）35.0±0.5. ……………5分
25. 解：（1）连接OD ，
∵ED 为⊙O 的切线，
∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB =90°. ……………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,
∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .
∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，
∴BD
=……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ， ∴tan ∠CBD = tan∠BAD
在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =
九年级数学试卷 第 10 页 ( 共6页)
. 11
. ……………………………………………………………5分 5
26. 解：AP 3的值为 . …………………………………………………………………1分 PD 2
解决问题：
（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分
设DC ＝k ，
∵DC ︰BC ＝1︰2，
∴BC ＝2k .
∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .
∵E 是AC 中点，
∴AE ＝CE .
∵AF ∥DB ，
∴∠F ＝∠1.
又∵∠2＝∠3，
∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分
∴AF ＝BC ＝2k .
∵AF ∥DB ，
∴△AFP ∽△DBP . ∴
∴
（2） 6. ……………………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. 解：（1）∵ 点A 在直线y =x ，且点A 的横坐标是－3，
∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分
把A (－3，－3) 代入y =ax 2+4x ，
解得a =1. … …………………………………………………………………2分
∴M 1 : y =x 2+4x ，顶点为(－2，－4) .
∴M 2的顶点为(1，－1) .
∴M 2的表达式为y =x 2-2x . …………3分
（2）①由题意，C (2，2) ，
∴F (4，2) . ………………………………4分
∵直线y =x +n 经过点F ，
∴2=4+n .
解得n =－2. ………………………5分
② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分
九年级数学试卷 第 11 页 ( 共6页)
AP AF =. PD DB AP 2=. …………………………………………………………………4分 PD 3
28. 解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分
②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.
∵DF ⊥BC ，
∴∠FDB =90°.
∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分
∵∠C =90°，AC =BC ，
∴∠ABC =∠DFB =90°.
∴DB =DF .
∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分
∴AF =EB .
在△ABC 和△DFB 中，
∵AC =8，DF =3，
∴AC
=，DF
=. ………………………………………………………………4分
AF =AB －
BF=即BE
=. …………………………………………………………………………5分
（2
=BE +AB. ……………………………………………………………………7分
29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分
（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”
M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分
∵P (1，2) ，
∴ P′ (1，－2).
设直线P ′Q 的表达式为y =kx +b ，
根据题意，有 图1
4⎧k =⎪⎧k +b =-23. ，解得⎨⎨10⎩4k +b =2⎪b =-3⎩
九年级数学试卷 第 12 页 ( 共6页)
∴直线P ′Q 的表达式为y =
当y =0时，解得x =
即t =410x -. ……………4分 335. 25. ………………………………………………………………………5分 2
PP ' 2+PQ 2=5. 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴P ' Q =
（3）Q （
∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分 4524525，）或Q （-，）. ………………………………8分 5555
九年级数学试卷 第 13 页 ( 共6页)
北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷 2015.5
学校 班级 姓名 考号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．
1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为
A ．0.8×1013 B ．8×1012
2. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是
A ．m ＞n B ．m =n C ．m ＞－n D ．m =－n
3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°
4．下列计算正确的是
A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3) 4= a7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
C ．8×1013 D ．80×1011
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6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差
7
为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.
1311
B. C. D. 61025
8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为
A ．100 B ． C ． D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在 近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m， ST =120 m，QR =80 m，则河的宽度PQ 为
A ．40 m B ．60 m C ．120 m D ．180 m
10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、
同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒
B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米 C. 甲从起点到终点共用时83秒 D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米
九年级数学试卷 第 2 页 ( 共6页)
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
1
11．若分式有意义，则x 的取值范围是 ．
x -212．分解因式：3m 2-6mn +3n 2．
13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数
为 ．
14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的
函数表达式是 ．
15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.
如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．
25172610
16．一组按规律排列的式子：，-2，3，-4，5，…，其中第7个式子是 ，
a a a a a 第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．
求证：AC =ED ．
⎛1⎫
18
．计算：+ -⎪-2sin 45︒+(π-2015) 0．
⎝3⎭
-1
⎧2x >x -2，⎪
19．解不等式组：⎨
2x +1⎪>x . 3⎩
20．已知x 2+x -5=0，求代数式(x -1) 2-x (x -3) +(x +2)(x -2) 的值．
21．已知关于x 的一元二次方程x 2-6x +k +3=
0有两个不相等的实数根
(1)求k 的取值范围；
(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
九年级数学试卷 第 3 页 ( 共6页)
22．列方程或方程组解应用题：
为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的
29
倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？ 20
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D
作DE ∥AC 且DE=
1
AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 2
于点F ．
（1）求证：OE =CD ；
（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．
九年级数学试卷 第 4 页 ( 共6页)
24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年
压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以
下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市
燃煤数量为 万吨；
（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据； （3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了
该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与 公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.
2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表
年份 公共自行车投放数量（万辆） 利用公共自行车出行人数（万人） 2012 1.4 约9.9 2013 2.5 约17.6 2014 4 约27.6 2015 5 约
根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果， 精确到0.1）
25. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；
（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.
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26．阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求
AP
的值． PD
小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：
图1
图2
图3
AP
的值为 ． PD
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求
AP
的值； PD
（2）若CD=2，则BP = ．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: y =ax 2+4x 向右平移3个单位，
再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线y =x 与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；
（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的
垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线y =x +n 恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；
②在点C 的运动过程中，若直线y =x +n 与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.
九年级数学试卷 第 6 页 ( 共6页)
28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.
①依题意补全图1；
②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；
（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系
（直接写出结论）.
图1 图2
29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2
时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2) ，Q (4，2) ．
5
①在点A (1，0) ，B (，4) ，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；
2②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.
（2）若P (0，0) ，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接
写出点Q 的坐标．
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北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷答案及评分参考 2015.5
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. x ≠2
12. 3(m -n ) 2
13. 20°
14. y =x +3（答案不惟一）
15. 二类
2
50n +1n +116. 7，(-1) ⋅（第一个空1分，第二个空2分） n a a
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，
∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，
⎧AB =EC -----------------------------------------------2分⎪
⎨∠B =∠DCE
⎪BC =CD -----------------------------------------------3分⎩
∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分
18. 解：原式 ＝2-3-2⨯
2
+1………………………………………………………4分 2
＝-2. …………………………………………………………………………5分
x >x -2，① ⎧⎪219. ⎨2x +1
>x . ②
⎪⎩3
解：解不等式①，得x >-2. ………………………………………………………………2分
解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是-2
20. 解：(x -1) -x (x -3) +(x +2)(x -2)
＝x -2x +1-x +3x +x -4 …………………………………………………3分 ＝x +x -3. ……………………………………………………………………4分 ∵x +x -5=0， ∴x +x =5.
∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分
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222
2
222
21. 解：（1）∆=(-6) 2-4(k +3) ………………………………………………………1分
=36-4k -12
=-4k +24
∵原方程有两个不相等的实数根， ∴-4k +24>0.
解得 k
（2）∵k
∴k =4或5. ………………………………………………………………………3分
2
① 当k =4时，方程x -6x +7=0的根不是整数.
∴k =4不符合题意. ………………………………………………………… 4分
2
② 当k =5时，方程x -6x +8=0根为x 1=2，x 2=4均为整数.
∴k =5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.
22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分
17417418
-=. ……………………………………………2分 x x 6020
解得 x =180. ……………………………………………3分 经检验，x =180是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分
由题意，得
答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=
∴DE=OC． ∵DE ∥AC ，
∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，
∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分
（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，
CE =
………………4分 在Rt △ACE 中，
=………………………………………………………5分
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1AC . 2
24. （1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分 （3）35.0±0.5. ……………5分
25. 解：（1）连接OD ，
∵ED 为⊙O 的切线，
∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB =90°. ……………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,
∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .
∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，
∴BD
=……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ， ∴tan ∠CBD = tan∠BAD
在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =
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. 11
. ……………………………………………………………5分 5
26. 解：AP 3的值为 . …………………………………………………………………1分 PD 2
解决问题：
（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分
设DC ＝k ，
∵DC ︰BC ＝1︰2，
∴BC ＝2k .
∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .
∵E 是AC 中点，
∴AE ＝CE .
∵AF ∥DB ，
∴∠F ＝∠1.
又∵∠2＝∠3，
∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分
∴AF ＝BC ＝2k .
∵AF ∥DB ，
∴△AFP ∽△DBP . ∴
∴
（2） 6. ……………………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. 解：（1）∵ 点A 在直线y =x ，且点A 的横坐标是－3，
∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分
把A (－3，－3) 代入y =ax 2+4x ，
解得a =1. … …………………………………………………………………2分
∴M 1 : y =x 2+4x ，顶点为(－2，－4) .
∴M 2的顶点为(1，－1) .
∴M 2的表达式为y =x 2-2x . …………3分
（2）①由题意，C (2，2) ，
∴F (4，2) . ………………………………4分
∵直线y =x +n 经过点F ，
∴2=4+n .
解得n =－2. ………………………5分
② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分
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AP AF =. PD DB AP 2=. …………………………………………………………………4分 PD 3
28. 解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分
②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.
∵DF ⊥BC ，
∴∠FDB =90°.
∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分
∵∠C =90°，AC =BC ，
∴∠ABC =∠DFB =90°.
∴DB =DF .
∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分
∴AF =EB .
在△ABC 和△DFB 中，
∵AC =8，DF =3，
∴AC
=，DF
=. ………………………………………………………………4分
AF =AB －
BF=即BE
=. …………………………………………………………………………5分
（2
=BE +AB. ……………………………………………………………………7分
29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分
（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”
M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分
∵P (1，2) ，
∴ P′ (1，－2).
设直线P ′Q 的表达式为y =kx +b ，
根据题意，有 图1
4⎧k =⎪⎧k +b =-23. ，解得⎨⎨10⎩4k +b =2⎪b =-3⎩
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∴直线P ′Q 的表达式为y =
当y =0时，解得x =
即t =410x -. ……………4分 335. 25. ………………………………………………………………………5分 2
PP ' 2+PQ 2=5. 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴P ' Q =
（3）Q （
∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分 4524525，）或Q （-，）. ………………………………8分 5555
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