第３３卷第２期２０１１年４月
电气电子教学学报ＪＣ）ＵＲＮＡＩ。ＯＦＥＥＥ
Ｖｏ【－３３Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２０１１
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
易志雄，陈妓涛，欧贵兵
（武汉纺织大学，湖北武汉４３００７３）
摘
要：单位冲激甬数是。信号与系统”课程中十分重要的一个基本数学模型，其物理含义和广义甬散的性质难以形象理解，从而使得单位冲激
函数及其复合函数的积分计算容易出现理解上的偏差。本文采用常规函数的计算方法．根据狄拉克对单位冲激函数的数学定义以及广义函数的筛选性质，对单位冲激函数及其复合甬教的积分问题进行了归纳和探讨。分别对内层函敷为常数．一次函数、二次函数、三次及以上函数的情形进行了分析和推导，试图得出一般性的结论，最后运用已知正确结果对结论的正确性进行了验证．关键词：单位冲激甬数；复合函散；广义函数ｌ积分中图分类号：ＴＮ９１１
文■标识码：Ａ
文章编号：１００８—０６８６１２０１１）０２－０１１６－０３
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ｏｎ
ｔｈｅＩｎｔｅｇｒａｌｏｆＵｎｉｔＩｍｐｕｌｓｅＦｕｎｃｔｉｏｎａｎｄＩｔｓＣｏｍｐｏｕｎｄＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＹＩＺｈｉ—ｘｉｏｎｇ。ＣＨＥＮＹｉ－ｔａｏ，ＯＵＧｕｉ－ｂｉｎｇ（ＷｕｈａｎＴｅｘｔｉｌｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅ
ｃｏｕｒｓｅ
ｏｆＳｉｇｎａｌａｎｄＳｙｓｔｅｍ，ｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｂａｓｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
ｔｏ
ｍｏｄｅｌ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｓｐｅｃｉａｌｐｈｙｓｉｃｓａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅａｎｉｎｇ，ｉｔｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔ
ｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ
ｔｙ
ｏｎ
ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅ
Ｄｉｒａｃ＇ｓｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｅｌｅｃｔｑｕａｌｉ—
ｏｎ
ｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｅｅｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｍａｄｅ．Ｔｈｒｅｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ
ａｂｏｕｔｔｈｅｉｎｎｅｒ－ｌａｙｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｎａｌｙｚｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ：ｔｈｅｉｎｎｅｒ－ｌａｙｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔａｎｔ，ｌｉｎｅａｒｆＵｒｉｃ—
ｏｒ
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ａｒｅ
ａｒｅ
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ａｂｏｖｅａｎａｌｙｓｉｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅｋｎｏｗｎｃｏｒｒｅｃｔｒｅｓｕｌｔｓｕｓｅｄｔｏｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｏｕｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔｅ
Ｏ
引言
单位冲激信号艿（ｔ）是信号与系统学科中描述
的计算，容易出现理解上的偏差，导致计算错误，而且目前对这方面的计算还存在诸多的分歧。
由于冲激信号属于广义函数，对于单位冲激信号复合函数的积分运算，在一般的教材和相关辅导资料中都很少涉及和讨论，甚至为了减少理解上的误区而回避了此类运算。有些参考书上甚至因为对艿（ｆ）定义的相关理解不当而出现不同程度的误解，最典型的情况就是只考虑了冲激出现的时刻，而没有考虑相应冲激在强度方面的变化［２］。例如，在文献
一类特定物理现象的数学模型，在信号与系统分析中具有重要意义［１］，因为它本身的特殊物理含义和广义函数的数学性质，有时能使相关计算大大简化。但有时也使得相关计算无法按常规方法进行，特别
ｔ＇ｏｏ
是关于单位冲激信号复合函数的积分Ｉ缸，（ｆ）］出
收稿日期：２０１０・０８—２５；修回日期ｔ２０１１－－０２—１５基金项目：中国纺织工业协会科研项目。项目编号（２００８０５２）
作者简介：易志雄（１９８８一）．男．本科学生．研究方向为控衬理论与工程，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｚｘ８７１２＠１６３．ｃｏｒｎ
陈簸涛（１９７２‘），男，博士．副教授，主要从事测控信号分析处理的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｏ＿ｃｙｔ＠１６３．ｃｏｍ
欧贵兵（１９６４一），男。硬士，副教授．主要从事教学理论的应用，Ｅ－ｍａｉＬ：ｏｕｙａｎｇｇｕｉｂｉｎ８ｒ＠１６３．ｃｏｍ
万方数据
第２期易志雄，陈皴涛等：单位冲激甬数及其复合甬数积分的探讨
１１７
［３］例１．３（５）中认为
Ｉ艿（￡２—４）ｄｔ＝ｌ［艿（ｒ＋２）＋艿（￡一２）］ｄｔ一２
在文献［４］例１－３（ｂ）中认为
ＩⅨ，一４ｔ＋３）出＝ｌ
［ｂ＇（ｔ－－１）＋烈￡一３）］出＝２
在文献［５］中也有类似的问题。
本文从单位冲激信号的广义定义出发，试图总结出一套相对完善的解决方法，从而消除目前存在
的这种状况。以下将关于Ｉ
ａ［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算做了
分类归纳，做出一般性的分析与讨论。
１关于．『：缸，（ｔ）］ｄｔ的计算
１．１
ｆ（ｔ）－－－－－ｃ为常数
（１）当ｃ：ｇ：０时，ｆ３［ｆ（ｔ）］ｄｔ＝Ｉ
ｏ出＝０（２）当ｃ＝０时，Ｉ虻／（￡）］出＝Ｉ
８（Ｏ）ｄｔ＝１
１．２
ｆ（ｔ）＝ｂｔ＋ｃ（６≠Ｏ）为一次函数应用艿（￡）尺度变换性质，有
Ｉ虻厂（ｚ）］出＝Ｉ
８（ｂｔ＋ｃ）ｄｔ＝
ＤＭ＋詈）】出＝￡击艿（外音）ｄｔ一
击Ｄ（小ｃ）ｄｚ＝击
㈤
１．３
ｆ（ｔＪ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ（ａ：／：ＯＪ为二次函数根据广义函数的相关性质，有
厂（￡）艿（￡）＝，（Ｏ）艿（￡）
则对于任意ｍ＜０，有
ｒｏｏ
广∞Ｉ＂ｏｏ
Ｉｆ（ｔ）Ⅸｔ）ｄｔ＝Ｉｆ（Ｏ）ｄ（ｔ）ｄｔ＝八ｏ）Ｉ
８（ｔ）ｄｔ一
厂（ｏ）Ｉ艿（ｔ）ｃｌｔ＝厂（ｏ）
（２）
同理可得：对于任意ｎ＞０，有
ｒＨｒ月
ｆｎＪ‘∞
ｌｆ（ｔ）ｃ，（ｔ）ｄｔ—Ｉ
一－ｏｏ
ｆ（Ｏ）ｃ，（ｔ）ｄｔ＝厂（ｏ）Ｉ艿（￡）出＝
Ｊ。∞
，（ｏ）Ｉ
３（ｔ）ｄｔ＝厂（ｏ）
（３）
上述两式就是后面解题的基本依据。
现在，我们继续讨论ｌ８［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算。对于
，（￡）＝ａｔ２＋ｂｔ＋Ｃ，有／（￡）＝２ａｔ＋ｂ。
令，（￡）＝ａｔ２＋ｂｔ＋Ｃ＝ｚ，１／厂（￡）＝１／（２ａｔ＋ｂ）＝ｇ（ｚ），
万方数据
ｋ＝４ａｃ—ｂ２／４ａ，以下分别予以讨论。１）对于ａ＞０的情况
（１）当△＝ｂ２—４ａｃ＜０时，有．
１虻，（￡）］出＝ｌ
ｏ出＝０
（２）当△＝ｂ２—４ａｃ＝０时，方程厂（￡）＝０有二重根，使用类似文献［６］的做法，则有
＿ｆ二虻，（￡）］出＝＿ｆ兰虻／（￡）］出＋，ｉ艿［厂（ｔ）］ｄｒ＝
胁ｚ，南如＋胁ｚ，南ｄｘ＝
一Ｉ３（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋Ｉ
艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝０
（３）当△＝ｂ２—４ａｃ＞０时，有
Ｊ‘∞
ｆ。缸，∽］出：旺茈，∽］出＋ｆ■，∽］出＝
Ｊ‘∞
Ｊ‘五
胁ｚ，南如＋胁ｚ，南ｄｘ＝
一Ｉ．３（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ｌ艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ
这时不能简单认为上述前后两式正负相消为０，
因为前后两个ｇ（ｚ）一１／／（￡）一０时ｔ的取值不一样。
对应于不同的情形，前者对应于ｔｌ＝（一ｂ一√五）／２ａ，后
者对应于ｚ２＝（－ｂ＋历）／２ａ。所以，由前面推导出的解
题依据式（２）有如下结果：
一ｌｄ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｚ＋Ｉ艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄＬｒ一
一ｇ（工）Ｉ篙＋ｇ（ｚ）Ｉ二：２－ｌ／ｆ＇（ｔ）ｌ霉＋１／ｆ（ｔ）Ｉ篇＝
一１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ，一ｏ＋１／（２ａｔ＋ｂ）ｌ
ｘｍＯ＝
。ｔＢｔ．
。ｔｇｈ
、｝瓜＋、ｆ厄＝２／瓜
２）对于ａ＜０的情况
（１）当△＝ｂ２—４ａｃ＜０时，有
Ｉ虻，（￡）］ｄｔ—Ｉ
ｏ出＝０
（２）当Ａ＝ｂ２—４ａｃ＝０时，有
Ｊ’∞
ｆ”虻厂（ｔ）］出：ｆ。袅虻／（幻］出＋Ｒ跹八￡）］出：
Ｊ。∞
Ｊ。芄
卜ｃｚ，南ｄｚ＋，＿讹，南ｄｘ＝
Ｉ
艿（ｚ）ｇ（ｚ）如～Ｉ
艿（ｚ）ｇ（ｚ）如＝０
（３）当△＝ｂ２—４ａｃ＞０时，有
’一
ｆ。缸，（ｔ）］出一ｆ嗉缸厂（￡）］出＋ｌ缸，（￡）］出：
。一
ｏ
ｚＩ
１１８
电气电子教学学报第３３卷
Ｊ．二池，南如＋卜ｃ工，南如＝
＿ｆ２艿（ｚ）ｇ（ｚ）如一，二艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝ｇ（ｚ）Ｉ二：一
ｇ（ｚ）Ｉ三？一１／ｆ＇（ｔ）Ｉ二：一ｌ／ｆ＇（ｔ）Ｉ二：一
１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ。：－－０。一１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ三：２
ｌｆ抠＋１７岖＝２／砸
综上可得：对于厂（ｆ）＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ（ａ≠Ｏ）为二次函数，有
卜”
ｌ缸，（ｆ）］出＝０，
△＝ｂ２—４ａｃ≤０
ｌ
ｌ
（４）
Ｉｂ＇［ｆ（ｔ）Ｊｄｔ；２／怄，△＝ｂ２—４ａｃ＞０Ｉ
１．４
ｆ｛ｔ）为三次或三次以上的函数
，（ｆ）为三次或三次以上的函数的情况并不常
见，ｔ”的系数与，（ｆ）＝０的根之间没有明确的关系，
不能推导出象前面那样的公式。笔者受参考文献［２］
的启发，采用如下的解法。
设方程，（￡）＝０有ｎ个单重根￡＝ｔｉ（ｉ＝１，２，ｎ），则有
虻弛）］５蚤可打文卜岛）
仁彤∽Ⅻ＝￡客耐衍讹１地＝
骞￡鬲备讹１础
若方程，（￡）＝０有重根（二重及以上），对于偶数重根点，由前面二次重根的推导可知，其积分为零；对于奇数重根点，可看作是偶重根和单根的线性组合，根据上面的推导，其积分为
Ｊ．。南默卜厶）ｄ。
综上所述，设方程厂（￡）＝０有ｑ个奇重根（含单根）ｔ＝岛（歹一１，２，…，ｑ），声个偶重根ｔ—ｔｉ（ｉ＝１，２，…，ｐ），则有
‘仁彤∽弘＝Ｅ
ｊ奎＝１南讹１地＝
蚤Ｊ．。盯打默卜ｔｊ）ｄｔ
（５）
万方数据
２验证与应用
ｒ∞
在参考文献［２］中，有两例关于Ｉ
Ｊ‘∞
ｔ３［ｆ（ｔ）］ｄｔ的
正确计算结果，这里用于验证前面所得结论。
，∞
（１）ｌ虻￡２—４］ｄｔ＝１／２
Ｊ一∞
对应于ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝－４△一ｂ２—４ａｃ＝１６＞０
代入公式（４），得２／伍＝２／￣／矿＝百＝１／２，
验证正确。
，∞
（２）ｌ缸￡２—４ｔ＋３］ｄｔ＝１Ｊ‘∞
对应于ａ＝１，ｂ＝一４，ｃ＝３△＝ｂ２—４ａｅ＝４＞０
代入公式（４），得２／沤＝２／￣／矿＝石一１，验
证正确。３
结语
解决“信号与系统”中诸多问题时，往往会涉及
到很多数学问题。但工程问题由于受到实际环境因素的影响，或是８０）和￡（ｔ）这样的广义函数的影响，解决问题时，从数学角度看往往不具有完备性，存在各种理解上的误区，甚至会存在争议。在分析问题时，应仔细考虑。本文将关于ＩＹｏｏ￥［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算归纳到一起，做出一般性的分析与讨论，试图得出相应的结论，期望对相关计算和研究有所帮助。参考文献：
［１］陈生潭等编著．信号与系统（第二舨）［Ｍ］．西安：西安电子科技
大学出舨社．２００１：１５—２３
［２］倪育德，庞勇．以分配函数的概念认识冲激信号及复合函数
［Ｊ］．中国民航学院学报．２００６，２４（１）：６２—６４
［３３部君里，应启珩，杨为理．信号与系统（第二舨）［Ｍ］．北京：高
等教育出版社。２０００：６－８
［４］胡光锐．徐昌庆．信号与系统解题指南［Ｍ］．北京：科学出版社。
２０００．：７－９
［５］范世贵．信号与系统＊导教＊导学＊导考（第二舨）［Ｍ］．西
安：西北工业大学出版社，２００４：５－１５
Ｃ６］刁元胜．积分变换［Ｍ］．广州：华南理工大学出版社．２００３．２，
２９—３０
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
易志雄， 陈燚涛， 欧贵兵， YI Zhi-xiong， CHEN Yi-tao， OU Gui-bing武汉纺织大学,湖北武汉,430073
电气电子教学学报
JOURNAL OF ELECTRICAL & ELECTRONIC EDUCATION2011,33(2)
参考文献(6条)
1. 陈生潭 信号与系统 2001
2. 倪育德;庞勇 以分配函数的概念认识冲激信号及复合函数[期刊论文]-中国民航学院学报 2006(01)3. 郑君里;应启珩;杨为理 信号与系统 20004. 胡光锐;徐昌庆 信号与系统解题指南 20005. 范世贵 信号与系统*导教*导学*导考 20046. 刁元胜 积分变换 2003
本文读者也读过(6条)
1. 柴伟文. 曹黎侠. CHAI Wei-wen. CAO Li-xia 多维δ函数及其物理应用[期刊论文]-西安工业学院学报2006,26(2)2. 钱琳琳. 任俊杰 冲激(偶)函数类性质的教学策略探讨[期刊论文]-北京联合大学学报(自然科学版)2004,18(3)3. 申艳. 陈后金. SHEN Yan. CHEN Hou-jin 冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究[期刊论文]-电气电子教学学报2011,33(1)
4. 贺秋丽. 许梅 关于冲激函数的一个性质[期刊论文]-安徽大学学报(自然科学版)2002,26(2)
5. 汤志浩. 王荣乾. TANG Zhi-hao. WANG Rong-qian 狄拉克函数的定义和性质的研究[期刊论文]-柳州职业技术学院学报2009,09(2)
6. 田社平. 陈洪亮. TIAN She-ping. CHEN Hong-liang 密勒定理及其应用[期刊论文]-电气电子教学学报2011,33(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dqdzjxxb201102042.aspx
第３３卷第２期２０１１年４月
电气电子教学学报ＪＣ）ＵＲＮＡＩ。ＯＦＥＥＥ
Ｖｏ【－３３Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２０１１
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
易志雄，陈妓涛，欧贵兵
（武汉纺织大学，湖北武汉４３００７３）
摘
要：单位冲激甬数是。信号与系统”课程中十分重要的一个基本数学模型，其物理含义和广义甬散的性质难以形象理解，从而使得单位冲激
函数及其复合函数的积分计算容易出现理解上的偏差。本文采用常规函数的计算方法．根据狄拉克对单位冲激函数的数学定义以及广义函数的筛选性质，对单位冲激函数及其复合甬教的积分问题进行了归纳和探讨。分别对内层函敷为常数．一次函数、二次函数、三次及以上函数的情形进行了分析和推导，试图得出一般性的结论，最后运用已知正确结果对结论的正确性进行了验证．关键词：单位冲激甬数；复合函散；广义函数ｌ积分中图分类号：ＴＮ９１１
文■标识码：Ａ
文章编号：１００８—０６８６１２０１１）０２－０１１６－０３
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ｏｎ
ｔｈｅＩｎｔｅｇｒａｌｏｆＵｎｉｔＩｍｐｕｌｓｅＦｕｎｃｔｉｏｎａｎｄＩｔｓＣｏｍｐｏｕｎｄＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＹＩＺｈｉ—ｘｉｏｎｇ。ＣＨＥＮＹｉ－ｔａｏ，ＯＵＧｕｉ－ｂｉｎｇ（ＷｕｈａｎＴｅｘｔｉｌｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅ
ｃｏｕｒｓｅ
ｏｆＳｉｇｎａｌａｎｄＳｙｓｔｅｍ，ｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｂａｓｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
ｔｏ
ｍｏｄｅｌ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｓｐｅｃｉａｌｐｈｙｓｉｃｓａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅａｎｉｎｇ，ｉｔｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔ
ｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ
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ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅ
Ｄｉｒａｃ＇ｓｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｅｌｅｃｔｑｕａｌｉ—
ｏｎ
ｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｅｅｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｍａｄｅ．Ｔｈｒｅｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ
ａｂｏｕｔｔｈｅｉｎｎｅｒ－ｌａｙｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｎａｌｙｚｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ：ｔｈｅｉｎｎｅｒ－ｌａｙｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔａｎｔ，ｌｉｎｅａｒｆＵｒｉｃ—
ｏｒ
ｔｉｏｎ。ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｒｅｅａｂｏｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｓｅｒｉｅｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ
ａｒｅ
ａｒｅ
ｄｒａｗｎｆｒｏｍｔｈｅ
ａｂｏｖｅａｎａｌｙｓｉｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅｋｎｏｗｎｃｏｒｒｅｃｔｒｅｓｕｌｔｓｕｓｅｄｔｏｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｏｕｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔｅ
Ｏ
引言
单位冲激信号艿（ｔ）是信号与系统学科中描述
的计算，容易出现理解上的偏差，导致计算错误，而且目前对这方面的计算还存在诸多的分歧。
由于冲激信号属于广义函数，对于单位冲激信号复合函数的积分运算，在一般的教材和相关辅导资料中都很少涉及和讨论，甚至为了减少理解上的误区而回避了此类运算。有些参考书上甚至因为对艿（ｆ）定义的相关理解不当而出现不同程度的误解，最典型的情况就是只考虑了冲激出现的时刻，而没有考虑相应冲激在强度方面的变化［２］。例如，在文献
一类特定物理现象的数学模型，在信号与系统分析中具有重要意义［１］，因为它本身的特殊物理含义和广义函数的数学性质，有时能使相关计算大大简化。但有时也使得相关计算无法按常规方法进行，特别
ｔ＇ｏｏ
是关于单位冲激信号复合函数的积分Ｉ缸，（ｆ）］出
收稿日期：２０１０・０８—２５；修回日期ｔ２０１１－－０２—１５基金项目：中国纺织工业协会科研项目。项目编号（２００８０５２）
作者简介：易志雄（１９８８一）．男．本科学生．研究方向为控衬理论与工程，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｚｘ８７１２＠１６３．ｃｏｒｎ
陈簸涛（１９７２‘），男，博士．副教授，主要从事测控信号分析处理的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｏ＿ｃｙｔ＠１６３．ｃｏｍ
欧贵兵（１９６４一），男。硬士，副教授．主要从事教学理论的应用，Ｅ－ｍａｉＬ：ｏｕｙａｎｇｇｕｉｂｉｎ８ｒ＠１６３．ｃｏｍ
万方数据
第２期易志雄，陈皴涛等：单位冲激甬数及其复合甬数积分的探讨
１１７
［３］例１．３（５）中认为
Ｉ艿（￡２—４）ｄｔ＝ｌ［艿（ｒ＋２）＋艿（￡一２）］ｄｔ一２
在文献［４］例１－３（ｂ）中认为
ＩⅨ，一４ｔ＋３）出＝ｌ
［ｂ＇（ｔ－－１）＋烈￡一３）］出＝２
在文献［５］中也有类似的问题。
本文从单位冲激信号的广义定义出发，试图总结出一套相对完善的解决方法，从而消除目前存在
的这种状况。以下将关于Ｉ
ａ［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算做了
分类归纳，做出一般性的分析与讨论。
１关于．『：缸，（ｔ）］ｄｔ的计算
１．１
ｆ（ｔ）－－－－－ｃ为常数
（１）当ｃ：ｇ：０时，ｆ３［ｆ（ｔ）］ｄｔ＝Ｉ
ｏ出＝０（２）当ｃ＝０时，Ｉ虻／（￡）］出＝Ｉ
８（Ｏ）ｄｔ＝１
１．２
ｆ（ｔ）＝ｂｔ＋ｃ（６≠Ｏ）为一次函数应用艿（￡）尺度变换性质，有
Ｉ虻厂（ｚ）］出＝Ｉ
８（ｂｔ＋ｃ）ｄｔ＝
ＤＭ＋詈）】出＝￡击艿（外音）ｄｔ一
击Ｄ（小ｃ）ｄｚ＝击
㈤
１．３
ｆ（ｔＪ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ（ａ：／：ＯＪ为二次函数根据广义函数的相关性质，有
厂（￡）艿（￡）＝，（Ｏ）艿（￡）
则对于任意ｍ＜０，有
ｒｏｏ
广∞Ｉ＂ｏｏ
Ｉｆ（ｔ）Ⅸｔ）ｄｔ＝Ｉｆ（Ｏ）ｄ（ｔ）ｄｔ＝八ｏ）Ｉ
８（ｔ）ｄｔ一
厂（ｏ）Ｉ艿（ｔ）ｃｌｔ＝厂（ｏ）
（２）
同理可得：对于任意ｎ＞０，有
ｒＨｒ月
ｆｎＪ‘∞
ｌｆ（ｔ）ｃ，（ｔ）ｄｔ—Ｉ
一－ｏｏ
ｆ（Ｏ）ｃ，（ｔ）ｄｔ＝厂（ｏ）Ｉ艿（￡）出＝
Ｊ。∞
，（ｏ）Ｉ
３（ｔ）ｄｔ＝厂（ｏ）
（３）
上述两式就是后面解题的基本依据。
现在，我们继续讨论ｌ８［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算。对于
，（￡）＝ａｔ２＋ｂｔ＋Ｃ，有／（￡）＝２ａｔ＋ｂ。
令，（￡）＝ａｔ２＋ｂｔ＋Ｃ＝ｚ，１／厂（￡）＝１／（２ａｔ＋ｂ）＝ｇ（ｚ），
万方数据
ｋ＝４ａｃ—ｂ２／４ａ，以下分别予以讨论。１）对于ａ＞０的情况
（１）当△＝ｂ２—４ａｃ＜０时，有．
１虻，（￡）］出＝ｌ
ｏ出＝０
（２）当△＝ｂ２—４ａｃ＝０时，方程厂（￡）＝０有二重根，使用类似文献［６］的做法，则有
＿ｆ二虻，（￡）］出＝＿ｆ兰虻／（￡）］出＋，ｉ艿［厂（ｔ）］ｄｒ＝
胁ｚ，南如＋胁ｚ，南ｄｘ＝
一Ｉ３（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋Ｉ
艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝０
（３）当△＝ｂ２—４ａｃ＞０时，有
Ｊ‘∞
ｆ。缸，∽］出：旺茈，∽］出＋ｆ■，∽］出＝
Ｊ‘∞
Ｊ‘五
胁ｚ，南如＋胁ｚ，南ｄｘ＝
一Ｉ．３（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ｌ艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ
这时不能简单认为上述前后两式正负相消为０，
因为前后两个ｇ（ｚ）一１／／（￡）一０时ｔ的取值不一样。
对应于不同的情形，前者对应于ｔｌ＝（一ｂ一√五）／２ａ，后
者对应于ｚ２＝（－ｂ＋历）／２ａ。所以，由前面推导出的解
题依据式（２）有如下结果：
一ｌｄ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｚ＋Ｉ艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄＬｒ一
一ｇ（工）Ｉ篙＋ｇ（ｚ）Ｉ二：２－ｌ／ｆ＇（ｔ）ｌ霉＋１／ｆ（ｔ）Ｉ篇＝
一１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ，一ｏ＋１／（２ａｔ＋ｂ）ｌ
ｘｍＯ＝
。ｔＢｔ．
。ｔｇｈ
、｝瓜＋、ｆ厄＝２／瓜
２）对于ａ＜０的情况
（１）当△＝ｂ２—４ａｃ＜０时，有
Ｉ虻，（￡）］ｄｔ—Ｉ
ｏ出＝０
（２）当Ａ＝ｂ２—４ａｃ＝０时，有
Ｊ’∞
ｆ”虻厂（ｔ）］出：ｆ。袅虻／（幻］出＋Ｒ跹八￡）］出：
Ｊ。∞
Ｊ。芄
卜ｃｚ，南ｄｚ＋，＿讹，南ｄｘ＝
Ｉ
艿（ｚ）ｇ（ｚ）如～Ｉ
艿（ｚ）ｇ（ｚ）如＝０
（３）当△＝ｂ２—４ａｃ＞０时，有
’一
ｆ。缸，（ｔ）］出一ｆ嗉缸厂（￡）］出＋ｌ缸，（￡）］出：
。一
ｏ
ｚＩ
１１８
电气电子教学学报第３３卷
Ｊ．二池，南如＋卜ｃ工，南如＝
＿ｆ２艿（ｚ）ｇ（ｚ）如一，二艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝ｇ（ｚ）Ｉ二：一
ｇ（ｚ）Ｉ三？一１／ｆ＇（ｔ）Ｉ二：一ｌ／ｆ＇（ｔ）Ｉ二：一
１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ。：－－０。一１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ三：２
ｌｆ抠＋１７岖＝２／砸
综上可得：对于厂（ｆ）＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ（ａ≠Ｏ）为二次函数，有
卜”
ｌ缸，（ｆ）］出＝０，
△＝ｂ２—４ａｃ≤０
ｌ
ｌ
（４）
Ｉｂ＇［ｆ（ｔ）Ｊｄｔ；２／怄，△＝ｂ２—４ａｃ＞０Ｉ
１．４
ｆ｛ｔ）为三次或三次以上的函数
，（ｆ）为三次或三次以上的函数的情况并不常
见，ｔ”的系数与，（ｆ）＝０的根之间没有明确的关系，
不能推导出象前面那样的公式。笔者受参考文献［２］
的启发，采用如下的解法。
设方程，（￡）＝０有ｎ个单重根￡＝ｔｉ（ｉ＝１，２，ｎ），则有
虻弛）］５蚤可打文卜岛）
仁彤∽Ⅻ＝￡客耐衍讹１地＝
骞￡鬲备讹１础
若方程，（￡）＝０有重根（二重及以上），对于偶数重根点，由前面二次重根的推导可知，其积分为零；对于奇数重根点，可看作是偶重根和单根的线性组合，根据上面的推导，其积分为
Ｊ．。南默卜厶）ｄ。
综上所述，设方程厂（￡）＝０有ｑ个奇重根（含单根）ｔ＝岛（歹一１，２，…，ｑ），声个偶重根ｔ—ｔｉ（ｉ＝１，２，…，ｐ），则有
‘仁彤∽弘＝Ｅ
ｊ奎＝１南讹１地＝
蚤Ｊ．。盯打默卜ｔｊ）ｄｔ
（５）
万方数据
２验证与应用
ｒ∞
在参考文献［２］中，有两例关于Ｉ
Ｊ‘∞
ｔ３［ｆ（ｔ）］ｄｔ的
正确计算结果，这里用于验证前面所得结论。
，∞
（１）ｌ虻￡２—４］ｄｔ＝１／２
Ｊ一∞
对应于ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝－４△一ｂ２—４ａｃ＝１６＞０
代入公式（４），得２／伍＝２／￣／矿＝百＝１／２，
验证正确。
，∞
（２）ｌ缸￡２—４ｔ＋３］ｄｔ＝１Ｊ‘∞
对应于ａ＝１，ｂ＝一４，ｃ＝３△＝ｂ２—４ａｅ＝４＞０
代入公式（４），得２／沤＝２／￣／矿＝石一１，验
证正确。３
结语
解决“信号与系统”中诸多问题时，往往会涉及
到很多数学问题。但工程问题由于受到实际环境因素的影响，或是８０）和￡（ｔ）这样的广义函数的影响，解决问题时，从数学角度看往往不具有完备性，存在各种理解上的误区，甚至会存在争议。在分析问题时，应仔细考虑。本文将关于ＩＹｏｏ￥［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算归纳到一起，做出一般性的分析与讨论，试图得出相应的结论，期望对相关计算和研究有所帮助。参考文献：
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［４］胡光锐．徐昌庆．信号与系统解题指南［Ｍ］．北京：科学出版社。
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［５］范世贵．信号与系统＊导教＊导学＊导考（第二舨）［Ｍ］．西
安：西北工业大学出版社，２００４：５－１５
Ｃ６］刁元胜．积分变换［Ｍ］．广州：华南理工大学出版社．２００３．２，
２９—３０
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
易志雄， 陈燚涛， 欧贵兵， YI Zhi-xiong， CHEN Yi-tao， OU Gui-bing武汉纺织大学,湖北武汉,430073
电气电子教学学报
JOURNAL OF ELECTRICAL & ELECTRONIC EDUCATION2011,33(2)
参考文献(6条)
1. 陈生潭 信号与系统 2001
2. 倪育德;庞勇 以分配函数的概念认识冲激信号及复合函数[期刊论文]-中国民航学院学报 2006(01)3. 郑君里;应启珩;杨为理 信号与系统 20004. 胡光锐;徐昌庆 信号与系统解题指南 20005. 范世贵 信号与系统*导教*导学*导考 20046. 刁元胜 积分变换 2003
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