节点电压法

今日作业：

3-12bc 3-16

3.3

节点电压法

3.3

未知数：

节点电压法(nodal analysis)

各节点电压。

节点电压：1、在电路中任选一个参考点，其余各节点对 参考点间的未知电压就成为该节点的节点 电压； 2、节点电压的个数为(n-1)个; 3、节点电压自动满足KVL。 解题思路：根据KCL列节点电流方程，然后联立求解；最 后根据节点电压和支路电压的关系求出各 支路电流。

3.3

节点电压法

3.3

节点电压法(nodal analysis)

一、解题步骤 二、只含电导和电流源的电路

三、含实际电压源支路的电路

四、含理想电压源支路的电路

五、含两个节点的电路

 例题 六、含受控源的电路

3.3

节点电压法

G3 G2

1

_ US3 +

一、解题步骤：

1. 设定参考点和 节点电压

3

Un1

Un2 IS4

2

Un3

IS1

G5 _

US5 +

4

G6 _ US6 +

2. 列KCL方程 对每个节点有

I  0

3. 解联立方程组 4. 求出各节点电压。

3.3

节点电压法

二、只含电导和电流源的电路

G3

G2

1

Un1 IS1

Un2 IS4

2 3

Un3

G6

1、设定参考点和节点 电压； 2、列写方程求解。

G5

4

(U n1  U n 2 )G2  (U n1  U n 3 )G3  I s1  0  (U n 2  U n1 )G2  U n 2G5  I S 4  0 (U  U )G  U G  I  0 n1 3 n3 6 S4  n3

3.3

节点电压法

G3

Un1 IS1

G2

Un2 IS4

Un3

G5

G6

整 理 得：

（ ）  G2  G3 U n1  G2U n 2  G3U n 3  I S 1   G2U n1  (G2  G5 )U n 2  I S 4  G U  (G  G )U   I 3 6 n3 S4  3 n1

3.3

节点电压法

（ ）  G2  G3 U n1  G2U n 2  G3U n 3  I S 1   G2U n1  (G2  G5 )U n 2  I S 4  G U  (G  G )U   I 3 6 n3 S4  3 n1

通式也可写为：

自电导*主节点电位+(互电导*邻节点电位)

=流入主节点的各电流源电流的代数和

3.3

节点电压法

G3

Un1 IS1

G2

Un2 IS4

Un3

G5

G6

用矩阵 形式表 示得：

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4      

3.3

节点电压法

一般形式：

G11  G21 G31  G12 G22 G32 G13  U n1   I s11      G23  U n 2    I s 22  G33  U n 3   I s 33     

Gkk——第k个节点的自电导

Gkj——k节点和j节点公共支路上的互电导（一律为负） ISkk——流入节点k的所有电流源电流的代数和

注意：互电导为负数。

3.3

节点电压法

问1：如果G5支路有两个电导串在一起，那么下面方程中的 参数该怎么修改？ G3

G2 Un2 IS4 G51 G52

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4  

   

Un1 IS1

Un3

G6

3.3

节点电压法

G3 G2 Un2 IS4 G51

Un1 IS1

Un3 G6

G52

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4      

答案

G 51G 52 方程中所有 G 5用 替代，其余不变。 G 51  G 52

3.3

节点电压法

问2：如果电导G1和电流源串连在一起，那么方程 该怎么改？ G3

G2 Un2 IS4

Un1 IS1

Un3 G6

G5

G1

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4      

3.3

节点电压法

G3

G2 Un2 IS4

Un1 IS1

Un3

G6

G5 G1

答案：G1将不出现在方程中。

结论：与电流源串连的电导（阻）不会出现在节 点电压方程中。

3.3

节点电压法

三、含实际电压源支路的电路

G5 G2 Un2 G3 + US_

Un1 IS1

G4

IS2

Un3

处理方法：将实际电压源支路等效变换成实际电 流源支路。

3.3

节点电压法

G5 原电路等效为： Un1 G2 Un2 USG3 G3 G4 IS2 Un3

IS1

－G2 －G5  U n1   I s1  G2＋G5      －G2 G2＋G3＋G4 －G4  U n 2   U sG3    －G5 －G4 G4＋G5  U n 3   I s 2      

注意：第二个方程右端为等效电流源电流，而不是原电路中实际电压源 支路的支路电流。

3.3

节点电压法

四、含理想电压源支路的电路

G5

G2 Un2 I + US _ Un3 G3 IS2

Un1 IS1

处理方法1：在US支路增设一个电流I，然后将其暂时当作电 流源处理，列写方程；最后，再补充一个电压源电压和节点 电压之间的关系方程。

3.3

节点电压法

G5

Un1 IS1

G2

Un2 I + US _ Un3 G3

IS2

G2＋G5 －G2 －G5  U n1   I s1       －G2 G2＋G3 0  U n 2     I    －G5 0 G5  U n 3   I s 2  I      

补充： Un2  Un3  U S

3.3

节点电压法

四、含理想电压源支路的电路

G5 G2 Un2 US _ + Un3 IS2

Un1 IS1

G3

处理方法2：将节点3（电压源负极）选为参考点，Un2即 成为已知节点，这样列写余下n-2个节点电压方程即可。

3.3

节点电压法

处理方法2：将节点3（电压源负极）选为参考点， Un2即成为已知节点，这样列写余下n-2个节点电 压方程即可。

G5

Un1 IS1

G2

Un2

US _ +

IS2

G3

Un4

3.3

节点电压法

G5

Un1 IS1

G2

Un2

US _ +

IS2

G3

Un4

I s1 G2＋G5 0 －G2  U n1         0 G3 G3  U n 4     I s1  I S 2     U n 2         其中：U n 2  U s

3.3

节点电压法

注意：虽然只有n-2个未知的节点电压，但是方 程中节点电压列向量元素仍

为n-1个。

(n-1)个元素

I s1 G2＋G5 0 －G2  U n1         0 G3 G3  U n 4     I s1  I S 2     U n 2         其中：U n 2  U s

3.3

节点电压法

五、含两个节点的电路

Un R1 + US1 _ R2 + US2 _ R5 _ US5 +

R4

U S1 U S 2 U S 5 1 1 1 1 （    )U n    R1 R2 R4 R5 R1 R2 R5

3.3

节点电压法

Un

R1 R2 + US2 _ R4 R5 _ US5 +

+ US1 _

U S1 U S 2 U S 5 1 1 1 1 （    )U n    R1 R2 R4 R5 R1 R2 R5

U S1 U S 2 U S 5   R1 R2 R5 Un  1 1 1 1 （    ) R1 R2 R4 R5

3.3

节点电压法

Un R1 + US1 _ R2 + US2 _ R4 R5 _ US5 +

U S1 U S 2 U S 5   R1 R2 R5 Un  1 1 1 1 （    ) R1 R2 R4 R5

一般形式

Un

I  G

S

弥 尔 曼 定 理

3.3

节点电压法

节点电压法例题

例1:用节点电压法求 电流i和电压u。 解 节点电压

2、列写方程

1 1 1  2 2   1 1  1  2 2 2   1 0      1   10  20   U n1     40    0  U n 2    5    2   U n 3      1 10   20  5   1   10 10    

1Ω 2Ω

_ 20V +

Un1 10A

i Un2 5A

1、设定参考点及其

+

2Ω _ 40V + u

Un3 10Ω _ 10V +

_

3.3

节点电压法

1Ω

2Ω

_ 20V +

Un1 10A

i Un2 5A + 2Ω _ 40V + u _

Un3 10Ω _ 10V +

解得：

U n1  14V U n 2  22V  u Un3  0 i  (U n1  U n 2 ) / 2  4A

例2:用节点电压法 求各节点电压。

Un1 1Ω Un2 4Ω

2A Un3 1Ω

3Ω + 6V _

6Ω + 12V _

2Ω

解

与电流源串联的电阻应短路处理。

3.3

节点电压法

例2:用节点电压法 求各节点电压。

3Ω

Un1 1Ω Un2 4Ω 6Ω + 12V _

2A Un3 1Ω 2Ω

解

+ 6V _

列写方程

1 1   6 12  0    3  6  1 1  U n1   3 6       1  1 1  U n 2    2   1   U   2  1   0 1  1  n 3       2    

3.3

节点电压法

Un1 1Ω Un2 4Ω

2A Un3 1Ω 2Ω

3Ω

+ 6V _

6Ω

+ 12V _

解得：

U n1  6V U n 2  5V U n 3  2V

3.3

节点电压法

例3

-12V 3KΩ

求: 开关K断开和闭合两种情况下A点的电位。

解

K断开，电路可改成下图所示：

3.9KΩ 3KΩ _ 20KΩ I + 12V _

A

3.9KΩ A 20KΩ

12V +

K

+12V

12 12  U A  3 K  3.9 K 20 K  5.84 V 1 1  3 K  3.9 K 20 K

3.3

节点电压法

求: 开关K断开和闭合两种情况下A点的电位。

解

-12V 3KΩ

K闭合，电路可改成下图所示：

3.9KΩ 3KΩ _ 20KΩ + 12V _ A

I

3.9KΩ A 20KΩ

12V +

A点电位仅取决于右边回路

UA  12 20 K 1 1  3.9 K 20 K  1.96 V

K

+12V

3.3

节点电压法

六、含受控源的电路

处理方法：将受控源按对应的独立源 处理，然后再补充控制量和变量（节 点电压）

之间的关系方程。

3.3

节点电压法

例1

R1

Un1 R2 + rI_

IS3 Un2 _ + U I R5 _ US5 +

1. 设定参考点和 节点电压

+ US1 _

R4

2. 列写方程

3. 补充方程

1 1  R R 2  1   0  

 U S 1 rI     IS3    U R2  n1   R1   U     1 1  U    n2   I S 3  S 5  R4 R5  R5      0

Un2 补充：I  R4

3.3

节点电压法

例2

G2

Un1

G4

G3 Un2 + G1 U1 _ + US1 G5 I _ Un4 Un3 G6 G8 2I _ 4U1+

G7

3.3

节点电压法

G2

Un1

G4

G3 Un2 + G1 U1 _ + US1 G5 I _ Un4 Un3 G6 G8

2I

 G4  G1 G1  G4  G5  G5

G7

G2  G4  G7   G2    G4  0   G2 G1  G2  G3  G1  G3

_

4U1+

0  U n 1     U   U G  n2  S1 1     U n 3    2 I  U S 1G1   G5     G3  G5  G8  U n 4   4U 1G8  0  G3

补充： n3  U n4 )G5  I (U

U n2  U n3  U1  U S 1

3.3

节点电压法

练习 试分别用节点电压法和回路电流法求电流I。

1Ω

1Ω I _ 1Ω 4U + 1Ω 4V _

+ U

1Ω 2A

3.3

节点电压法

节 点 电 压 法

Un1 1Ω Un2 _ + U

1Ω 2A 1Ω

Un3 1Ω I

4U

+ 1Ω 4V _

  0   U n 1   2  1  1 1  1 1  1 0  U    4U      n2     0 0 1  1 U n 3       4U  4   1

补充：Un1  Un2  U

3.3

节点电压法

1Ω

1Ω I _ 1Ω 4U 4U

回 路 电 流 法

2A

2A

+ U Il 1Ω

I + 1Ω 4V _

0  1  1  I l   0  1  1  1  0 1  1 1 0   I   4           4U           2   

补充：U  1I l

今日作业：

3-12bc 3-16

3.3

节点电压法

3.3

未知数：

节点电压法(nodal analysis)

各节点电压。

节点电压：1、在电路中任选一个参考点，其余各节点对 参考点间的未知电压就成为该节点的节点 电压； 2、节点电压的个数为(n-1)个; 3、节点电压自动满足KVL。 解题思路：根据KCL列节点电流方程，然后联立求解；最 后根据节点电压和支路电压的关系求出各 支路电流。

3.3

节点电压法

3.3

节点电压法(nodal analysis)

一、解题步骤 二、只含电导和电流源的电路

三、含实际电压源支路的电路

四、含理想电压源支路的电路

五、含两个节点的电路

 例题 六、含受控源的电路

3.3

节点电压法

G3 G2

1

_ US3 +

一、解题步骤：

1. 设定参考点和 节点电压

3

Un1

Un2 IS4

2

Un3

IS1

G5 _

US5 +

4

G6 _ US6 +

2. 列KCL方程 对每个节点有

I  0

3. 解联立方程组 4. 求出各节点电压。

3.3

节点电压法

二、只含电导和电流源的电路

G3

G2

1

Un1 IS1

Un2 IS4

2 3

Un3

G6

1、设定参考点和节点 电压； 2、列写方程求解。

G5

4

(U n1  U n 2 )G2  (U n1  U n 3 )G3  I s1  0  (U n 2  U n1 )G2  U n 2G5  I S 4  0 (U  U )G  U G  I  0 n1 3 n3 6 S4  n3

3.3

节点电压法

G3

Un1 IS1

G2

Un2 IS4

Un3

G5

G6

整 理 得：

（ ）  G2  G3 U n1  G2U n 2  G3U n 3  I S 1   G2U n1  (G2  G5 )U n 2  I S 4  G U  (G  G )U   I 3 6 n3 S4  3 n1

3.3

节点电压法

（ ）  G2  G3 U n1  G2U n 2  G3U n 3  I S 1   G2U n1  (G2  G5 )U n 2  I S 4  G U  (G  G )U   I 3 6 n3 S4  3 n1

通式也可写为：

自电导*主节点电位+(互电导*邻节点电位)

=流入主节点的各电流源电流的代数和

3.3

节点电压法

G3

Un1 IS1

G2

Un2 IS4

Un3

G5

G6

用矩阵 形式表 示得：

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4      

3.3

节点电压法

一般形式：

G11  G21 G31  G12 G22 G32 G13  U n1   I s11      G23  U n 2    I s 22  G33  U n 3   I s 33     

Gkk——第k个节点的自电导

Gkj——k节点和j节点公共支路上的互电导（一律为负） ISkk——流入节点k的所有电流源电流的代数和

注意：互电导为负数。

3.3

节点电压法

问1：如果G5支路有两个电导串在一起，那么下面方程中的 参数该怎么修改？ G3

G2 Un2 IS4 G51 G52

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4  

   

Un1 IS1

Un3

G6

3.3

节点电压法

G3 G2 Un2 IS4 G51

Un1 IS1

Un3 G6

G52

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4      

答案

G 51G 52 方程中所有 G 5用 替代，其余不变。 G 51  G 52

3.3

节点电压法

问2：如果电导G1和电流源串连在一起，那么方程 该怎么改？ G3

G2 Un2 IS4

Un1 IS1

Un3 G6

G5

G1

G2 G3  U n1   I S 1  G2  G3      G2 G2  G5 0  U n 2    I S 4    G3 0 G3  G6  U n 3    I S 4      

3.3

节点电压法

G3

G2 Un2 IS4

Un1 IS1

Un3

G6

G5 G1

答案：G1将不出现在方程中。

结论：与电流源串连的电导（阻）不会出现在节 点电压方程中。

3.3

节点电压法

三、含实际电压源支路的电路

G5 G2 Un2 G3 + US_

Un1 IS1

G4

IS2

Un3

处理方法：将实际电压源支路等效变换成实际电 流源支路。

3.3

节点电压法

G5 原电路等效为： Un1 G2 Un2 USG3 G3 G4 IS2 Un3

IS1

－G2 －G5  U n1   I s1  G2＋G5      －G2 G2＋G3＋G4 －G4  U n 2   U sG3    －G5 －G4 G4＋G5  U n 3   I s 2      

注意：第二个方程右端为等效电流源电流，而不是原电路中实际电压源 支路的支路电流。

3.3

节点电压法

四、含理想电压源支路的电路

G5

G2 Un2 I + US _ Un3 G3 IS2

Un1 IS1

处理方法1：在US支路增设一个电流I，然后将其暂时当作电 流源处理，列写方程；最后，再补充一个电压源电压和节点 电压之间的关系方程。

3.3

节点电压法

G5

Un1 IS1

G2

Un2 I + US _ Un3 G3

IS2

G2＋G5 －G2 －G5  U n1   I s1       －G2 G2＋G3 0  U n 2     I    －G5 0 G5  U n 3   I s 2  I      

补充： Un2  Un3  U S

3.3

节点电压法

四、含理想电压源支路的电路

G5 G2 Un2 US _ + Un3 IS2

Un1 IS1

G3

处理方法2：将节点3（电压源负极）选为参考点，Un2即 成为已知节点，这样列写余下n-2个节点电压方程即可。

3.3

节点电压法

处理方法2：将节点3（电压源负极）选为参考点， Un2即成为已知节点，这样列写余下n-2个节点电 压方程即可。

G5

Un1 IS1

G2

Un2

US _ +

IS2

G3

Un4

3.3

节点电压法

G5

Un1 IS1

G2

Un2

US _ +

IS2

G3

Un4

I s1 G2＋G5 0 －G2  U n1         0 G3 G3  U n 4     I s1  I S 2     U n 2         其中：U n 2  U s

3.3

节点电压法

注意：虽然只有n-2个未知的节点电压，但是方 程中节点电压列向量元素仍

为n-1个。

(n-1)个元素

I s1 G2＋G5 0 －G2  U n1         0 G3 G3  U n 4     I s1  I S 2     U n 2         其中：U n 2  U s

3.3

节点电压法

五、含两个节点的电路

Un R1 + US1 _ R2 + US2 _ R5 _ US5 +

R4

U S1 U S 2 U S 5 1 1 1 1 （    )U n    R1 R2 R4 R5 R1 R2 R5

3.3

节点电压法

Un

R1 R2 + US2 _ R4 R5 _ US5 +

+ US1 _

U S1 U S 2 U S 5 1 1 1 1 （    )U n    R1 R2 R4 R5 R1 R2 R5

U S1 U S 2 U S 5   R1 R2 R5 Un  1 1 1 1 （    ) R1 R2 R4 R5

3.3

节点电压法

Un R1 + US1 _ R2 + US2 _ R4 R5 _ US5 +

U S1 U S 2 U S 5   R1 R2 R5 Un  1 1 1 1 （    ) R1 R2 R4 R5

一般形式

Un

I  G

S

弥 尔 曼 定 理

3.3

节点电压法

节点电压法例题

例1:用节点电压法求 电流i和电压u。 解 节点电压

2、列写方程

1 1 1  2 2   1 1  1  2 2 2   1 0      1   10  20   U n1     40    0  U n 2    5    2   U n 3      1 10   20  5   1   10 10    

1Ω 2Ω

_ 20V +

Un1 10A

i Un2 5A

1、设定参考点及其

+

2Ω _ 40V + u

Un3 10Ω _ 10V +

_

3.3

节点电压法

1Ω

2Ω

_ 20V +

Un1 10A

i Un2 5A + 2Ω _ 40V + u _

Un3 10Ω _ 10V +

解得：

U n1  14V U n 2  22V  u Un3  0 i  (U n1  U n 2 ) / 2  4A

例2:用节点电压法 求各节点电压。

Un1 1Ω Un2 4Ω

2A Un3 1Ω

3Ω + 6V _

6Ω + 12V _

2Ω

解

与电流源串联的电阻应短路处理。

3.3

节点电压法

例2:用节点电压法 求各节点电压。

3Ω

Un1 1Ω Un2 4Ω 6Ω + 12V _

2A Un3 1Ω 2Ω

解

+ 6V _

列写方程

1 1   6 12  0    3  6  1 1  U n1   3 6       1  1 1  U n 2    2   1   U   2  1   0 1  1  n 3       2    

3.3

节点电压法

Un1 1Ω Un2 4Ω

2A Un3 1Ω 2Ω

3Ω

+ 6V _

6Ω

+ 12V _

解得：

U n1  6V U n 2  5V U n 3  2V

3.3

节点电压法

例3

-12V 3KΩ

求: 开关K断开和闭合两种情况下A点的电位。

解

K断开，电路可改成下图所示：

3.9KΩ 3KΩ _ 20KΩ I + 12V _

A

3.9KΩ A 20KΩ

12V +

K

+12V

12 12  U A  3 K  3.9 K 20 K  5.84 V 1 1  3 K  3.9 K 20 K

3.3

节点电压法

求: 开关K断开和闭合两种情况下A点的电位。

解

-12V 3KΩ

K闭合，电路可改成下图所示：

3.9KΩ 3KΩ _ 20KΩ + 12V _ A

I

3.9KΩ A 20KΩ

12V +

A点电位仅取决于右边回路

UA  12 20 K 1 1  3.9 K 20 K  1.96 V

K

+12V

3.3

节点电压法

六、含受控源的电路

处理方法：将受控源按对应的独立源 处理，然后再补充控制量和变量（节 点电压）

之间的关系方程。

3.3

节点电压法

例1

R1

Un1 R2 + rI_

IS3 Un2 _ + U I R5 _ US5 +

1. 设定参考点和 节点电压

+ US1 _

R4

2. 列写方程

3. 补充方程

1 1  R R 2  1   0  

 U S 1 rI     IS3    U R2  n1   R1   U     1 1  U    n2   I S 3  S 5  R4 R5  R5      0

Un2 补充：I  R4

3.3

节点电压法

例2

G2

Un1

G4

G3 Un2 + G1 U1 _ + US1 G5 I _ Un4 Un3 G6 G8 2I _ 4U1+

G7

3.3

节点电压法

G2

Un1

G4

G3 Un2 + G1 U1 _ + US1 G5 I _ Un4 Un3 G6 G8

2I

 G4  G1 G1  G4  G5  G5

G7

G2  G4  G7   G2    G4  0   G2 G1  G2  G3  G1  G3

_

4U1+

0  U n 1     U   U G  n2  S1 1     U n 3    2 I  U S 1G1   G5     G3  G5  G8  U n 4   4U 1G8  0  G3

补充： n3  U n4 )G5  I (U

U n2  U n3  U1  U S 1

3.3

节点电压法

练习 试分别用节点电压法和回路电流法求电流I。

1Ω

1Ω I _ 1Ω 4U + 1Ω 4V _

+ U

1Ω 2A

3.3

节点电压法

节 点 电 压 法

Un1 1Ω Un2 _ + U

1Ω 2A 1Ω

Un3 1Ω I

4U

+ 1Ω 4V _

  0   U n 1   2  1  1 1  1 1  1 0  U    4U      n2     0 0 1  1 U n 3       4U  4   1

补充：Un1  Un2  U

3.3

节点电压法

1Ω

1Ω I _ 1Ω 4U 4U

回 路 电 流 法

2A

2A

+ U Il 1Ω

I + 1Ω 4V _

0  1  1  I l   0  1  1  1  0 1  1 1 0   I   4           4U           2   

补充：U  1I l


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