新课标立体几何常考平行证明题汇总
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。
E 是AA 1的中点， 3、如图，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，BDE 。 求证： AC 1//平面
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形A 1AC 的中位线 ∴EO //AC 1
B
A
D 1
C
D
BDE 外 又EO 在平面BDE 内，AC 1在平面
BDE 。 ∴AC 1//平面
考点：线面平行的判定
5、已知正方体ABCD -A 1BC 11D 1，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面AB 1D 1；(2)AC ⊥面AB 1D 1． 1证明：（1）连结AC 11，设
C
D A 1
B C 1
AC 11⋂B 1D 1=O 1，连结AO
1
∵ ABCD -A D 1BC 11D 1是正方体 ∴A 1ACC 1是平行四边形 C ∴A 1C 1∥AC 且 AC =AC 11
又O 1, O 分别是AC A B 1C 1=AO 11, AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O
∴AOC 1O 1是平行四边形
∴C 1O ∥AO 1, AO 1⊂面AB D ，C O ⊄面AB D ∴C O ∥面AB D
11111111
（2） CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1 ∴C C ! 1⊥B 1D ∵AC 11⊥B 1D 1， ∴B D ⊥面A C C 又 1111 即A 1C ⊥B 1D 1
AC ⊥AD 1， 又D 1B 1⋂AD 1=D 1
同理可证1
⊥面AB 1D 1 ∴AC 1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．
A 1
证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，
又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．
而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．
(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．
从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点. 10、如图，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，
求证：平面D 1EF ∥平面BDG .
证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD
又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵D
1G
EB ∴四边形DGBE 为平行四边形，D 1E ∥GB 1
又D 1E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴D 1E ∥平面BDG
EF ⋂D 1E =E ，平面D EF ∥平面BDG
∴1
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
E 是AA 1的中点. 11、如图，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，BDE ； （1）求证：AC 1//平面
（2）求证：平面A 1AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC ⋂BD =O ，
AC 的中点，∴AC ∵E 、O 分别是AA 1∥EO 1、
BDE 又AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴AC 1∥平面1
（2）∵AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA 1⊥BD 又BD ⊥AC ，平面A 1AC
AC ⋂AA 1=A ，BD ⊥平面A AC ，BD ⊂平面BDE ，平面BDE ⊥
∴∴1
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG. ，FG ，则易证AEGF 是平行四
边形
（第1题图）
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F分别为AA 1, CC1, AB的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. A 1
分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
D
A F
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, BA ⊥AD , CD ⊥AD , CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: EB //平面PAD ;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线
6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
（.3） 利用平行四边形的性质
9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;
分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1
是平行四边形
10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=
1
DC ，E 为PD 中点. 2
求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ. ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（I ）证法一：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，∠ACB =90︒， 所以∠EGF =90︒, ∆ABC ∽∆EFG . 由于AB=2EF，因此，BC=2FC， 连接AF ，由于FG//BC，FG =
1BC 2
在 ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC，且AM =
1
BC 2
因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA。 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。
(4)利用对应线段成比例
12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且求证：
MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
AM BN
=，
SM ND
13、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN求证：MN ∥平面BEC
分析：过M 作MG//AB，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形
(5)利用面面平行
14、如图，三棱锥P -ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA =90，PB=BC=CA，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF =2FP . （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：CM //平面BEF ；
分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//EFB
10. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点. 求证：B 1C //平面A 1BD .
A 1
. 证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，
D 为AC 中点，∴PD//B 1C .
又 PD ⊂平面A 1B D ，∴B 1C //平面A 1B D
11. 如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .
11. 证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD
又 BB 1//DD 1, ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B1D 1. 又MN//BD，从而MN//B1D 1 （2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点
四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC1.
AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH
AH ⋂HC 1=H，∴面AHC 1//面EB 1D 1. 而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1
（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1, ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B1D 1.
BD ⋂DG=G，∴面EB 1D 1//面BDG
4、如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面PAD
1．运用中点作平行线
例1．已知四棱锥P -ABCD 的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．
C
M B
图1
2．运用比例作平行线
例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M ∈AC ，N ∈BF ，求证：ＭＮ∥平面BCE
E F 3. 运用传递性作平行线
例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行 k
σ
n l
４. 运用特殊位置作平行线
图4
例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？ 1
E 1 A N F
A B
图5
2. （2012•山东）如图，几何体E-ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB=CD，EC ⊥BD ． （Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC
．
3. ．（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M ，N 分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN ∥平面A′ACC′； （Ⅱ）求三棱锥A′-MNC 的体积．
4. （2011•上城区）如图所示的几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2，CD=1，F 为BE 的中点．
（1）若点G 在AB 上，试确定G 点位置，使FG ∥平面ADE ，并加以证明；
新课标立体几何常考平行证明题汇总
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。
E 是AA 1的中点， 3、如图，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，BDE 。 求证： AC 1//平面
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形A 1AC 的中位线 ∴EO //AC 1
B
A
D 1
C
D
BDE 外 又EO 在平面BDE 内，AC 1在平面
BDE 。 ∴AC 1//平面
考点：线面平行的判定
5、已知正方体ABCD -A 1BC 11D 1，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面AB 1D 1；(2)AC ⊥面AB 1D 1． 1证明：（1）连结AC 11，设
C
D A 1
B C 1
AC 11⋂B 1D 1=O 1，连结AO
1
∵ ABCD -A D 1BC 11D 1是正方体 ∴A 1ACC 1是平行四边形 C ∴A 1C 1∥AC 且 AC =AC 11
又O 1, O 分别是AC A B 1C 1=AO 11, AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O
∴AOC 1O 1是平行四边形
∴C 1O ∥AO 1, AO 1⊂面AB D ，C O ⊄面AB D ∴C O ∥面AB D
11111111
（2） CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1 ∴C C ! 1⊥B 1D ∵AC 11⊥B 1D 1， ∴B D ⊥面A C C 又 1111 即A 1C ⊥B 1D 1
AC ⊥AD 1， 又D 1B 1⋂AD 1=D 1
同理可证1
⊥面AB 1D 1 ∴AC 1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．
A 1
证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，
又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．
而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．
(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．
从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点. 10、如图，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，
求证：平面D 1EF ∥平面BDG .
证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD
又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵D
1G
EB ∴四边形DGBE 为平行四边形，D 1E ∥GB 1
又D 1E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴D 1E ∥平面BDG
EF ⋂D 1E =E ，平面D EF ∥平面BDG
∴1
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
E 是AA 1的中点. 11、如图，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，BDE ； （1）求证：AC 1//平面
（2）求证：平面A 1AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC ⋂BD =O ，
AC 的中点，∴AC ∵E 、O 分别是AA 1∥EO 1、
BDE 又AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴AC 1∥平面1
（2）∵AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA 1⊥BD 又BD ⊥AC ，平面A 1AC
AC ⋂AA 1=A ，BD ⊥平面A AC ，BD ⊂平面BDE ，平面BDE ⊥
∴∴1
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG. ，FG ，则易证AEGF 是平行四
边形
（第1题图）
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F分别为AA 1, CC1, AB的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. A 1
分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
D
A F
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, BA ⊥AD , CD ⊥AD , CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: EB //平面PAD ;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线
6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
（.3） 利用平行四边形的性质
9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;
分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1
是平行四边形
10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=
1
DC ，E 为PD 中点. 2
求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ. ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（I ）证法一：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，∠ACB =90︒， 所以∠EGF =90︒, ∆ABC ∽∆EFG . 由于AB=2EF，因此，BC=2FC， 连接AF ，由于FG//BC，FG =
1BC 2
在 ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC，且AM =
1
BC 2
因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA。 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。
(4)利用对应线段成比例
12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且求证：
MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
AM BN
=，
SM ND
13、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN求证：MN ∥平面BEC
分析：过M 作MG//AB，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形
(5)利用面面平行
14、如图，三棱锥P -ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA =90，PB=BC=CA，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF =2FP . （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：CM //平面BEF ；
分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//EFB
10. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点. 求证：B 1C //平面A 1BD .
A 1
. 证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，
D 为AC 中点，∴PD//B 1C .
又 PD ⊂平面A 1B D ，∴B 1C //平面A 1B D
11. 如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .
11. 证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD
又 BB 1//DD 1, ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B1D 1. 又MN//BD，从而MN//B1D 1 （2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点
四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC1.
AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH
AH ⋂HC 1=H，∴面AHC 1//面EB 1D 1. 而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1
（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1, ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B1D 1.
BD ⋂DG=G，∴面EB 1D 1//面BDG
4、如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面PAD
1．运用中点作平行线
例1．已知四棱锥P -ABCD 的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．
C
M B
图1
2．运用比例作平行线
例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M ∈AC ，N ∈BF ，求证：ＭＮ∥平面BCE
E F 3. 运用传递性作平行线
例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行 k
σ
n l
４. 运用特殊位置作平行线
图4
例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？ 1
E 1 A N F
A B
图5
2. （2012•山东）如图，几何体E-ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB=CD，EC ⊥BD ． （Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC
．
3. ．（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M ，N 分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN ∥平面A′ACC′； （Ⅱ）求三棱锥A′-MNC 的体积．
4. （2011•上城区）如图所示的几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2，CD=1，F 为BE 的中点．
（1）若点G 在AB 上，试确定G 点位置，使FG ∥平面ADE ，并加以证明；